ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

Podobne dokumenty
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Wykład z modelowania matematycznego.

Przestrzenie wektorowe

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zbiory wypukłe i stożki

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Prawdopodobieństwo i statystyka

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Przestrzenie liniowe

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Całki krzywoliniowe skierowane

Przekształcenia liniowe

Wstęp do układów statycznych

Zbiór zadań z Układów Dynamicznych. Krzysztof Barański Michał Krych Anna Zdunik

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Układy równań i równania wyższych rzędów

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

Definicje i przykłady

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

1 Relacje i odwzorowania

Chaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

1 Pochodne wyższych rzędów

Układy autonomiczne. Rozdział Stabilność w sensie Lapunowa. Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Analiza funkcjonalna 1.

F t+ := s>t. F s = F t.

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk

Zagadnienia stacjonarne

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

Matematyka dyskretna dla informatyków

Fakty wstępne Problem brachistochrony Literatura. Rachunek wariacyjny. Bartosz Wróblewski

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Elementy metod numerycznych

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

Dwa przykłady z mechaniki

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

Przestrzenie liniowe

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Prawdopodobieństwo i statystyka

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Zasada indukcji matematycznej

1 Równania nieliniowe

Wykład 10: Całka nieoznaczona

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Wykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

Transkrypt:

VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia, przy których dla każdego warunku początkowego x(0) = p istnieje rozwiązanie ϕ(t) określone na całej prostej R. W celu zaznaczenia, że rozwiązanie ϕ(t) przechodzi przez punkt p, czyli jest orbitą punktu p, będziemy używać notacji ϕ(t; p). Definicja 1.1. Zbiorem granicznym w + (zbiorem ω-granicznym) punktu p (orbity punktu p) nazywamy zbiór ω(p) := {y R n : y = lim k ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k + }. Definicja 1.. Zbiorem granicznym w (zbiorem α-granicznym) punktu p (orbity punktu p) nazywamy zbiór α(p) := {y R n : y = lim k ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. Stabilne punkty krytyczne układów liniowych x = Ax (węzły i ogniska stabilne) są przykładami zbiorów ω-granicznych dla wszystkich punktów p z ich dostatecznie małego otoczenia. Natomiast niestabilne punkty krytyczne układów liniowych x = Ax (węzły i ogniska niestabilne) są przykładami zbiorów α-granicznych dla wszystkich punktów p z ich dostatecznie małego otoczenia. Orbita zamknięta jest zbiorem granicznym dla punktów do niej należących. Zbiór ω(p) może być zbiorem pustym, jak np. w przypadku równania x = 1 rozważanego na prostej. 1

Definicja 1.3. Rozwiązanie ϕ(t; p) nazywamy okresowym (orbitą okresową, orbitą zamkniętą), jeżeli dla pewnego T > 0 zachodzi warunek ϕ(t + T ; p) = ϕ(t; p), t R. Jeżeli ϕ(t ; p) = ϕ(0; p) = p i ϕ(t; p) ϕ(0; p) dla t (0, T ), to punkt p nazywamy punktem okresowym o okresie T. Każdy punkt na orbicie okresowej ϕ(t; p) jest okresowy z okresem T. Definicja 1.4. Orbitę zamkniętą γ taką, że dla punktów y należących do pewnego otoczenia V zbioru γ mamy ω(y) = γ lub α(y) = γ, nazywamy cyklem granicznym. Cykl graniczny γ nazywamy atraktorem (stabilnym cyklem granicznym), jeżeli γ = ω(y) dla wszystkich punktów y z otoczenia V. Cykl graniczny γ nazywamy repelerem (niestabilnym cyklem granicznym), jeżeli γ = α(y) dla wszystkich punktów y z otoczenia V. Sprawdzimy, czy układ ma cykl graniczny. (a) x 1 = x + x 1 (1 x 1 + x x = x 1 + x (1 ) x 1 + x ) Fakt 1.5. (własności zbiorów granicznych.) (i) Zbiór graniczny jest domknięty. (ii) Zbiór graniczny zawiera całe trajektorie. (iii) y ω(p) ω(y) ω(p) (iv) Jeżeli zbiór wartości rozwiązania ϕ(t), tj. zbiór {ϕ(t) : t R} jest ograniczony (odpowiednio dla t + lub t ), to odpowiedni zbiór graniczny (ω lub α) jest niepusty i zwarty.

(v) Zbiór graniczny ω lub α składa się z izolowanego punktu wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ten jest granicą rozwiązania dla t + lub t, odpowiednio.. Twierdzenie Poincarégo-Bendixona. Rozważamy równanie (.1) x = f(x) na otwartym podzbiorze Q R. Będziemy badać pajawianie się cykli granicznych w oparciu o teorię Poincarégo-Bendixona. Definicja.1. Niech g t (p) = ϕ(t; p) będzie potokiem generowanym przez układ (.1). Zbiór K Q R nazywamy dodatnio niezmienniczym (ujemnie niezmienniczym) dla tego układu, jeżeli dla każdego p K zachodzi warunek dla wszystkich t 0 (t 0). g t (p) K Twierdzenie.. (Poincarégo-Bendixona) Jeżeli w przestrzeni fazowej na płaszczyźnie orbita zawiera co najmniej jeden swój punkt graniczny, to jest punktem krytycznym albo orbitą okresową. Inne sformułowanie twierdzenia.: Jeżeli zbiór graniczny ω(p) R jest niepusty, zwarty i nie zawiera punktu krytycznego, to jest orbitą okresową. Z twierdzenia. wypływają następujące wnioski: 3

Wniosek.3. Jeżeli zbiór K Q R jest niepustym, zwartym i niezmienniczym (dla t + ) zbiorem dla układu (.1), to K zawiera punkt krytyczny albo orbitę okresową. Wniosek.4. Jeżeli niepusty, zwarty i niezmienniczy zbiór K Q R układu (.1) nie zawiera punktu krytycznego, to w zbiorze K istnieje orbita okresowa. Wniosek.5. Jeżeli γ jest orbitą okresową układu (.1), która wraz ze swym wnętrzem Γ zawiera się w Q R, to zbiór Γ zawiera punkt krytyczny. Pokażemy, że równanie (b) x x (1 3x (x ) ) + x = 0 zawiera cykl graniczny. Przedstawimy teraz kryteria, które pozwolą wykluczać istnienie cykli granicznych. Twierdzenie.6. (kryterium Bendixona-Dulaca) Zakładamy, że równanie (.1) x = f(x) jest określone na jednospójnym obszarze Q R. Jeżeli dla wszystkich x Q zachodzi jeden z warunków: div f(x) = f 1 x 1 (x) + f x (x) > 0 div f(x) = f 1 x 1 (x) + f x (x) < 0, tzn. jeśli div f(x) ma w Q stały znak, to równanie (.1) nie ma orbit okresowych leżących w Q. 4

Wniosek.7. Jeżeli istnieje dodatnia funkcja B określona na zbiorze Q taka, że pole wektorowe B(f(x)) ma dodatnią diwergencję w każdym punkcie zbioru Q, to równanie (.1) nie ma orbit okresowych w Q. Uwaga.8. Funkcję B będziemy nazywać funkcją Dulaca. Wniosek.7 wynika z twierdzenia.6 oraz faktu, że dla funkcji B > 0 równania mają te same orbity. x = f(x), x = B(f(x)) Twierdzenie.9. Jeżeli istnieje dodatnia funkcja B określona na zbiorze Q R taka, że dla każdego x Q zachodzi warunek div B(f(x)) = 0, to istnieje całka pierwsza równania (.1) x = f(x). Wykażemy, że jeśli układ { ( x (c) 1 = x + x 1 1 x ( 1 x) x = x 1 + x 1 x 1 x) + C, gdzie C jest pewną stałą, ma orbitę okresową, to (i) albo ta orbita okrąża punkt (0, 0); (ii) albo przecina okrąg x 1 + x = 1. { x = a (b + cy) x Sprawdzimy, czy układ (d) y = βx α+x + dy, gdzie a, b, c, d, α, β > 0, ma rozwiązania okresowe w zbiorze Q = {(x, y) R : x 0 y 0}. 5