Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch jego elemetów kwalfkujc je do tego zboru oraz przyajmej jed włacwo, ze wzgldu a któr elemety tego zboru mog s ró mdzy sob. Małgorzata Krtowska Wydzał Iformatyk Poltechka Bałostocka e-mal: mmac@.pb.balystok.pl stroa www: http://aragor.pb.balystok.pl/~gkret komplete dostarcza pełej formacj o badaej cesze, czsto jest ewykoale, czasochłoe badae % populacj) Badae cechy populacj czcowe wskowae o włacwocach populacj a podstawe formacj z pewego skoczoego podzboru tzw. próby losowej Metody probablstycze statystyka Metody probablstycze statystyka Próba losowa Próba losowa prosta elemetowa to cg ezaleych zmeych losowych X, X,.., X o jedakowym rozkładze, takm jak rozkład zmeej losowej X w populacj. Przykład badaa czcowego? Badae próby losowej Nech,,..., bdze elemetow prób losow. Gdy wartoc próby grupuje s w tzw. klasy - s to przedzały ajczcej jedakowej długoc. Przyjmuje s upraszczajce załoee, e wszystke wartoc zajdujce s w daej klase s detycze ze rodkem klasy. Lczb wartoc próby zawartych w -tej klase azywamy lczoc -tej klasy. K =, gdze K lczba klas W wyku podzału próbk a klasy otrzymuje s SZEREG ROZDZIELCZY, który staow pary lczb: rodk klas oraz ch lczoc., ) Metody probablstycze statystyka Metody probablstycze statystyka
Szereg rozdzelczy Lczba klas zaley od lczby pomarów : - lczo K- lczba klas -6 6-8 6-7- - 9- Rozkłady emprycze Rozkłady emprycze cechy skokowej cechy cagłej welomodale jedomodale jedomodale welomodale Grafcza reprezetacja szeregu rozdzelczego: Szereg rozdzelczy Welobok czestosc symetrycze Rozkłady jedomodale umarkowae asymetrycze skraje asymetrycze ormale leptokurtycze wysmukłe) platokurtycze spłaszczoe) prawoskoe lewoskoe prawoskoe lewoskoe Metody probablstycze statystyka Metody probablstycze statystyka 6 Modalo Symetra lczosc lczosc lczosc lczosc........ rozklad jedomodaly.......... rozklad dwumodaly....... rozklad symetryczy....... rozklad umarkowae asymetryczy prawoskosy lczosc lczosc lczosc........... 6...... rozklad welomodaly rozklad amodaly Metody probablstycze statystyka 7..... rozklad skraje asymetryczy lewoskosy Metody probablstycze statystyka 8
Współczyk asymetr ag. skewess) Współczyk spłaszczea kurtoza) A = s = ) ) s + ) K = ) ) ) s ) ) ) A= - rozkład symetryczy A> - asymetra prawostroa rozkład prawoskoy) A< - asymetra lewostroa rozkład lewoskoy) A > - rozkład skraje asymetryczy K= - rozkład ormaly K> - rozkład leptokutryczy K< - rozkład platokutryczy leptokutryczy ormaly platokurtyczy Metody probablstycze statystyka 9 Metody probablstycze statystyka m - warto mmala ma - warto maksymala R= ma - m - rozstp ag. rage) Mary cetrale: reda arytmetycza - warto reda z próby = - mary cetrale medaa - rodkowa lczba w uporzdkowaej emalejco próbce, gdy eparzyste lub reda arytmetycza dwóch rodkowych lczb, gdy parzyste Iterpretacja: ) )... ) me = / + )/ + eparzyste / ) + ) parzyste co ajmej % wartoc cechy jest me lub co ajmej % wartoc cechy jest me ) ) Metody probablstycze statystyka Metody probablstycze statystyka
- mary cetrale domata moda, warto modala) - ajczcej powtarzajca s warto w próbce, o le steje e bdca m a ma. Mary zrócowaa waracja s = sˆ = W przypadku rozkładów symetryczych r =me=do. odchylee stadardowe s = m zrócowae elemetów jest wksze tym s jest wksze. s okrela o le wszystke jedostk daej zborowoc ró s redo od redej arytmetyczej badaej zmeej. s s ˆ = sˆ Moemy wykorzysta je do budowy typowego obszaru zmeoc: s < typ < + s mec s w m około / wszystkch jedostek. Metody probablstycze statystyka Metody probablstycze statystyka kwartyl doly Q PX Q ). PX Q ).7 Iterpretacja: co ajmej % wartoc cechy jest Q lub co ajmej 7% wartoc cechy jest Q kwartyl góry Q PX Q ).7 PX Q ). Iterpretacja: co ajmej 7% wartoc cechy jest Q lub co ajmej % wartoc cechy jest Q f) Rozkład ch-kwadrat Rozkładem ch-kwadrat o stopach swobody azywamy rozkład prawdopodobestwa sumy kwadratów ezaleych zmeych losowych X ) o rozkładach N,): χ = X + X + Κ +.. = = =8. 6 8 X Γ / ) dla ) = / / e dla / f - lczba stop swobody tz. lczba ezaleych składków tworzcych zme losow Parametry rozkładu ch-wkadrat: E χ ) = V χ ) = > Metody probablstycze statystyka Metody probablstycze statystyka 6
Dla duych : Rozkład ch-kwadrat N,) χ Y = χ N,) W praktyce, gdy > rozkład ch-kwadrat aproksymujemy rozkładem ormalym Rozkład t Studeta Rozkładem t Studeta o stopach swobody azywamy rozkład prawdopodobestwa zmeej losowej: t = χ gdze X χ s ezaleym zmeym losowym, X ma rozkład ormaly N,), a χ ma rozkład ch-kwadrat o stopach swobody. N,) t-studeta E ) = t V t ) = Metody probablstycze statystyka 7 Metody probablstycze statystyka 8 Rozkład t Studeta Dla duych : rozkład t Studeta -> N,) W praktyce, gdy > rozkład t Studeta aproksymujemy rozkładem ormalym. Metody probablstycze statystyka 9