Sabina Nowak. Podstawy statystyki i ekonometrii Część I

Transkrypt

1 Saba owa Podstawy statysty eoometr Część I Podyplomowe Studa Wycea eruchomośc Wydzał Zarządzaa Uwersytetu Gdańsego 7 weta 19 rou

2 1. Elemety teor badaa zborów statystyczych Statystycze metody badaa prawdłowośc charateryzujących badae zjawsa występują w forme opsu statystyczego oraz w forme wosowaa statystyczego. Ops statystyczy jest opsem lczbowym może być realzoway w postac daych lczbowych zestawoych w szereg tablce (tzw. ops tabelaryczy), w postac wyresów ujawających prawdłowośc (tzw. ops grafczy) oraz w postac charaterysty lczbowych, zwaych parametram, odoszących sę do różych prawdłowośc (tzw. ops parametryczy). Wosowae statystycze odos sę do metod mających a celu uogólee wyów badaa częśc zborowośc zwaej próbą a całą zborowość (populację), z tórej próba została wylosowaa. Uogólae to jest obarczoe pewym błędem, stąd też metody wosowaa statystyczego są oparte a rachuu prawdopodobeństwa. Wosowae statystycze wchodz w zares statysty matematyczej. Przedmot badaa statystyczego Realzacja oreśloego celu ażdorazowo wymaga zdefowaa przedmotu badaa. Przedmotem badaa statystyczego jest zborowość statystycza, tóra może sładać sę z osób, rzeczy lub zdarzeń. Zborowość statystycza mus być precyzyje oreśloa pod względem rzeczowym, przestrzeym czasowym. Zares badaa statystyczego Zares badaa jest podporządoway celow, jaemu badae ma służyć. Cel badaa przesądza bowem e tylo o tym, ja zbór jedoste (osób, rzeczy, zdarzeń) zajdze sę w badaej zborowośc statystyczej, ale taże, za pomocą jach cech będzemy te jedost opsywać. Cechy zmee są to te właścwośc, tórym poszczególe jedost statystycze różą sę mędzy sobą, przyjmując odmee waraty cechy. Istotym ryterum podzału cech zmeych jest sposób ch pomaru. Według tego ryterum wyodrębamy cechy jaoścowe (opsowe) cechy loścowe (lczbowe). Waraty cech jaoścowych wyrażamy opsowo (p. wyształcee podstawowe, średe, wyższe), atomast waraty cech loścowych wyrażamy za pomocą lczb pochodzących z pomaru (p. waga w logramach, czas w godzach) lub zlczaa (p. lczba osób w rodze). Prezetacja rozładu cechy Rozład cechy w zborowośc geeralej to aczej strutura tej zborowośc ze względu a daą cechę. Podstawowe lasy rozładów empryczych: 1) rozłady symetrycze asymetrycze, ) rozłady jedomodale welomodale, 3) rozłady spłaszczoe wysmułe.

3 Typy rozładów empryczych A B C D E F G H I J K L Zaobserwowae u poszczególych jedoste wartośc cechy mogą być przedstawoe w postac szeregu szczegółowego, bądź też po dooau grupowaa w postac szeregu rozdzelczego. Aalzując rozład cechy merzalej, ależy brać pod uwagę astępujące jego własośc: tedecję cetralą (przecęty pozom); dyspersję (zróżcowae); asymetrę (sośość); ocetrację (urtoza). Do ocey tych własośc służą charaterysty lczbowe zwae parametram rozładu. Rozróża sę parametry lasycze oblczae a podstawe wszystch obserwacj, oraz parametry pozycyje wyzaczae a podstawe ch mejsca w szeregu lub częstotlwośc występowaa. 3

4 Przyład 1 W wylosowaych do próby 167 agecjach eruchomośc a teree woj. pomorsego zbadao lczbę zawartych trasacj powyżej woty tys. zł w wetu 18 r. Lczba trasacj w badaym mesącu Lczba agecj eruchomośc Razem 167 Scharateryzować rozład lczby zaweraych trasacj powyżej tys. zł w mesącu. Przyład Pewa eruchomość została wyceoa przez 1 espertów. Każdy z ch zazaczył szacuowy przedzał wartośc eruchomośc. Wartość eruchomośc (w tys. zł.) Lczba wyceających espertów 3, 46,5 46,5 6, 4 6, 84, 3 84, 9, 1 1 Przyład 3 Zebrao formacje a temat powerzch slepów w daym meśce. Przedzał Powerzcha w m Lczba slepów , , , , , ,9 7 Razem 81 4

5 MIARY POZIOMU WARTOŚCI (PRZECIĘTE) Mary średe mary lasycze mary pozycyje - średa arytmetycza - domata - średa harmocza - medaa - średa geometrycza - watyle Średa arytmetycza () jest lorazem sumy wartośc zmeej lczby obserwacj (lczebośc). średa arytmetycza zwyła Przyład 1 Lczba zaweraych trasacj w mesącu ( ) 1 Przyład 1 średa arytmetycza ważoa Lczba agecj ( ) 1 cum Razem X 596 3,57 trasacj 167 Wartość eruchomośc (w tys. zł) Lczba wyceających espertów 3, 46,5 76,5 88, 46,5 6, 4 13, 144, 6, 84, 3 16, 487,7 84, 9, 1 87, 77,1 1 59,5 83,8 1 59,5 1 59,5 tys. zł 5

6 Przyład 3 Przedzał Powerzcha w m Lczba slepów Środ przedzałów Iloczyy , , , , , , Razem , 95m 81 Własośc średej arytmetyczej: 1) suma wartośc zmeej X jest rówa średej arytmetyczej pomożoej przez lczebość zborowośc: 1 ) suma odchyleń poszczególych wartośc zmeej X od średej arytmetyczej jest rówa zero: 1 ( ) 3) suma wadratów odchyleń poszczególych wartośc zmeej X od średej arytmetyczej jest ajmejsza: 1 ( ) m Średej arytmetyczej e moża lub e ależy oblczać w przypadu, gdy: szereg ma otwarte przedzały lasowe, w zborowośc występują wartośc sraje, rozład badaej cechy jest sraje asymetryczy lub welomodaly. Średe pozycyje Domata jest to wartość ajlczej reprezetowaa w daej zborowośc, wartość występująca z ajwęszą częstotlwoścą. Dla oreślea, jaa wartość cechy występuje z ajwęszą częstotlwoścą, ezbęde jest pogrupowae materału statystyczego, a w przypadu ewelej lczby obserwacj ch uporządowae. Przyład 1: Domata (moda) = 3 6

7 W szeregu rozdzelczym przedzałowym domatę ustala sę drogą terpolacj (szacuu) w gracach przedzału supającego ajwęszą lczbę obserwacj. Wyzaczając domatę, w perwszej olejośc odajdujemy przedzał ajlczejszy (ma), a astępe oblczamy jej wartość posługując sę wzorem terpolacyjym: D ( ) ( 1 1 c ) gdze: dola graca przedzału ajlczejszego; lczebość przedzału ajlczejszego; 1 lczebość przedzału poprzedzającego przedzał ajlczejszy; +1 lczebość przedzału astępego po przedzale ajlczejszym; c rozpętość przedzału ajlczejszego. Przyład 4. Rozład powerzch slepów 1 Powerzcha w m Lczba slepów , , ,9 3 przedzał domaty 9 19, , ,9 7 Stwerdzamy, że ajlczej jest reprezetoway przedzał 7 89,9 m. Dola graca tego przedzału = 7, lczebość przedzału ajlczejszego = 3, lczebośc sąsedch przedzałów 1 = 19, +1 = 14. Rozpętośc przedzałów są jedaowe wyoszą c =. Podstawając do wzoru otrzymamy: D 1 c ( 1) ( 1) = m (319) (314) 76,. Medaa jest to wartość środowa cechy dzeląca zborowość a dwe rówe lczebe częśc. Wyzaczając medaę w szeregu szczegółowym, porządujemy obserwacje według rosących wartośc cechy wsazujemy obserwację środową, tóra jest medaą. Gdy szereg zawera parzystą lczbę obserwacj, medaę lczymy jao średą z dwóch środowych. Przyład 5 Dzesęć osób zapytao o czas, ja pośwęcają a dojazd do pracy. Otrzymao astępujące dae w m: 35, 5,, 15, 3, 1, 6,, 45, 6. Szereg ależy uporządować rosąco, a astępe zaleźć jego środe: 5, 1, 15,,, 3, 35, 45, 6, 6 3 Me 5 m. Ozacza to, że połowa badaych osób pośwęca a dojazd do pracy e węcej ż 5 mut, a druga połowa e mej ż 5 mut. 7

8 W odeseu do Przyładu 1: Medaa = 3 Przyładu 4 c.d. Powerzcha w m Lczba slepów Lczebośc sumulowae j () = s 3 49, , , , , , Razem 81 poz. Me =,5( + 1) =,58 = 41 Operając sę a szeregu sumulowaym stwerdzamy, że 41. slep ależy do przedzału 7 89,9m. Dola graca = 7, lczebość przedzału = 3, rozpętość c =, a lczebośc sumulowae dwóch poprzedch przedzałów s Me s 1 c ,3 A zatem połowa slepów ma powerzchę 81,3 m mejszą a druga połowa 81,3 m węszą. Przeprowadzając otrolę logczą stwerdzamy, że oblczoa wartość Me meśc sę we wsazaym przedzale: 7 < Me < 89,9. 81 s Me Kwartylem perwszym azywamy tę wartość zmeej w rozładze empryczym, pożej tórej zajduje sę 5% jedoste zborowośc. 8

9 Kwartylem trzecm azywamy tę wartość zmeej w rozładze empryczym, pożej tórej zajduje sę 75% jedoste zborowośc. W odeseu do Przyładu 1: Kwartyl perwszy = Kwartyl trzec = 5 Mary rozproszea Mary rozproszea (zmeośc, dyspersj) są to tae charaterysty opsowe rozładów cechy merzalej, tóre służą do uogólającego pomaru zróżcowaa wartośc zmeej w obrębe badaej populacj. Obszar zmeośc (rozstęp) jest różcą pomędzy ajwęszą ajmejszą wartoścą zmeej: R ma Odchylee ćwartowe jest połową obszaru zmeośc 5% środowych jedoste zborowośc: Q Q Q 3 1 Waracja jest średą arytmetyczą odchyleń od średej podesoych do wadratu: S ( ) 1 m ( ) Odchylee stadardowe jest średą wadratową odchyleń od średej arytmetyczej: S ( ) 1 ( ) Odchylee stadardowe formuje o le przecęte odchylają sę poszczególe wartośc zmeej od średej arytmetyczej. Przyładu 4 c.d. Powerzcha w m Lczba slepów Środ przedz. Oblczea pomoccze 1 ( ) 3 49, , , , , , Razem

10 1 Średa arytmetycza: 68 83,95 84m. 81 ( ) 1 Waracja: s 814,m lub (oblczea oparte a mometach zwyłych) s 1 Odchylee stadardowe: s s 814,1 8,53 m. W odeseu do Przyładu : m (83,95) 814, ,8 s s 8,38 15,1 1 Ocey espertów dotyczące wartośc eruchomośc odchylają sę przecęte od średej ocey o 15,1 tys. zł. Współczy zmeośc - względa mara rozproszea Przyład 6: Staż pracy pracowów w dwóch różych populacjach: Populacja I średa arytmetycza = 4 lata odchylee stadardowe = 3 lata Populacja II średa arytmetycza = lata odchylee stadardowe = 6 lat Współczy zmeośc (V): V s 1 1 Q V 1 ME Współczy zmeośc pozwala oceć atężee zróżcowaa badaej cechy w zborowośc. Jego wartość blsa zeru śwadczy, że badaa zborowość jest jedoroda, a m bardzej zróżcowaa jest zborowość, tym węszy jest współczy zmeośc. W odeseu do Przyładu 4: s 8,53 Współczy zmeośc: V ( s) %. 84 Powerzcha poszczególych slepów róż sę od średej arytmetyczej średo o 8,53 m. Współczy zmeośc poazuje, że zróżcowae jest umarowae. 1

11 Mary asymetr (sośośc) rozładu cechy W szeregu symetryczym lczebośc są rówomere rozłożoe po obu stroach średej arytmetyczej. W środu rozładu zajdują sę róweż domata medaa. Relacja mędzy średm jest astępująca: = Me = D. W rozładze o asymetr dodatej obserwacje supają sę przy wartoścach cechy ższych od średej arytmetyczej, a zatem różca D >. Relacja średch w tym wypadu jest: D < Me <. Z ole w rozładze o asymetr ujemej relatywe lcze są jedost posadające wartośc cechy wyższe od średej arytmetyczej, a zatem różca D <. Relacja średch jest astępująca: < Me < D. D Me Me D Klasyczą marą asymetr jest momet trzec względy. Stosujemy go w aalze szeregów rozdzelczych putowych przedzałowych, gdy możlwe jest oblczee średej arytmetyczej. W perwszej olejośc lczymy momet trzec cetraly: 1 3 ( ) 3 Mara ta poazuje am erue asymetr astępująco: 3 = szereg symetryczy; 3 > szereg o asymetr dodatej, w tórym odchylea dodate przeważają ad ujemym; 3 < szereg o asymetr ujemej, gdze odchylea ujeme przeważają ad dodatm. Słę erue asymetr oceamy, oblczając momet trzec względy, będący lorazem mometu trzecego cetralego odchylea stadardowego podesoego do trzecej potęg: s Mara ta może przyjmować wartośc z przedzału < 3 <, poza przypadam srajej asymetr. 11