PODSTAWY MECHANIKI KLASYCZNEJ wersja robocza. Andrzej P kalski

PODSTAWY MECHANIKI KLASYCZNEJ wersja robocza Andrzej P kalski

Spis tre±ci Rozdziaª 1. Wst p 5 Rozdziaª 2. Dynamika punktu materialnego 7 1. Zasady zachowania 11 2. Ukªad punktów materialnych 13 3. Wi zy 14 4. Ogólne równanie dynamiki. 17 5. Równania Lagrange'a II rodzaju. 17 6. Prawa zachowania we wspóªrz dnych uogólnionych 23 Rozdziaª 3. Zasada Hamiltona 27 Rozdziaª 4. Formalizm Hamiltona 31 1. Równania Hamiltona 31 2. RH z zasady Hamiltona 35 3. Nawiasy Poissona 35 Rozdziaª 5. Zagadnienie dwu ciaª 39 1. Równania toru 39 2. Prawa Keplera 42 Rozdziaª 6. Szczególna teoria wzgl dno±ci 45 1. Wydªu¹enie czasu i skrócenie lorentzowskie 46 2. Przeksztaªcenie Lorentza 48 3. Wnioski z przeksztaªcenia Lorentza 51 4. Przedziaªy mi dzy zdarzeniami i ich klasykacja 53 5. Czterowektory i równania ruchu 55 3

4 SPIS TRE CI

ROZDZIAª 1 Wst p Mechanika klasyczna, zwana tak»e teoretyczn lub analityczn, to dziaª zyki teoretycznej zajmuj cy si badaniem praw ruchu ciaª materialnych. Jest to mechanika Newtonowska, której podstawy zostaªy stworzone przed powstaniem mechaniki kwantowej i teorii wzgl dno±ci. Zagadnienia do których stosuj si metody rozwini te tutaj mo»na okre±li jako zwyczajne", tzn zagadnienia dotycz ce ruchu ciaª o niezbyt maªych rozmiarach i poruszaj cych si z pr dko±ciami maªymi w porównaniu z pr dko±ci ±wiatªa. Pojawiaj ce si czasem ró»nice pomi dzy teori i do±wiadczeniem równie» i w tym zakresie zjawisk, nale»y poªo»y na karb przyj cia zbyt prostego modelu matematycznego - zaniedbanie tarcia, zast pienie ciaªa spr»ystego przez sztywne itd. Kiedy wzgl dne pr dko±ci ciaª staj si porównywalne z pr dko±ci ±wiatªa lub kiedy rozmiary ciaª s rz du staªych atomowych, wówczas mechanika klasyczna nie opisuje ju» zjawisk w sposób poprawny. W pierwszym przypadku nale»y j zast pi przez mechanik relatywistyczn, w drugim przez mechanik kwantow. Aczkolwiek mechanika klasyczna znajduje dzisiaj ci gle jeszcze bezpo±rednie zastosowanie, np w astronomii, to jednak gªówna jej warto± polega na tym,»e jest ona podstaw caªej zyki teoretycznej. Wiele poj np mechaniki kwantowej okre±lanych jest poprzez analogie z odpowiednimi poj ciami mechaniki klasycznej. W mechanice klasycznej, tak jak w caªej zyce teoretycznej, operujemy modelami matematycznymi. Zamieniamy w nich istniej c realn rzeczywisto± poprzez pewien uproszczony model. Robimy tak gªównie dlatego,»e uwzgl dnienie wszystkich czynników wpªywaj cych na rzeczywist sytuacj nie jest ani mo»liwe, ani te» na ogóª potrzebne. Dlatego te» musimy uwzgl dni tylko niektóre z tych czynników. Takie które s, lub które uwa»amy za najistotniejsze. Rozwi zanie tak postawionego problemu powinno poprawnie opisywa najwa»niejsze cechy charakterystyczne danego procesu. Generaln zasad jest aby pocz tkowo konstruowa mo»liwie prosty model i dopiero po sprawdzeniu jego ogólnej przydatno±ci wprowadza dodatkowe parametry umo»liwiaj ce opis bardziej szczegóªowych wªasno±ci. Dlatego te» mo»e istnie kilka modeli teoretycznych opisuj cych t sam rzeczywisto±. Poj ciem, którym b dziemy si caªy czas posªugiwali jest poj cie punktu materialnego (PM). Rozumiemy przez to ciaªo zyczne o rozmiarach pomijalnie maªych w porównaniu i innymi rozmiarami z jakimi mamy do czynienia w rozpatrywanym zagadnieniu. B dzie to wi c punkt matematyczny, któremu zostaªa przypisana pewna masa. W tym kontek±cie PM mo»e by np Ziemia, je»eli rozpatrujemy jej ruch roczny wokóª Sªo«ca. Poªo»enie PM w danym ukªadzie wspóªrz dnych, lub jak teraz b dziemy mówi ukªadzie odniesienia, podawa b dziemy przy pomocy promienia wodz cego r, o wspóªrz dnych (x, y, z). Jest to wektor poprowadzony z pocz tku ukªadu do miejsca w którym znajduje si PM. Aby okre±li ruch PM podajemy zale»no± promienia wodz cego od czasu t : r = r(t). Krzyw geometryczn zakre±lan przez PM w czasie ruchu nazywamy torem PM lub jego trajektori. Równanie r = r(t) jest parametrycznym równaniem toru, przy czym parametrem jest czas t. O funkcji r zakªadamy,»e jest ci gªa i dwukrotnie ró»niczkowalna (klasy C 2 ). Zaªo»enia te usprawiedliwione s poprzez zgodno± otrzymanych wniosków z do±wiadczeniem. 5

6 1. WST P y r(t 0 ) tor PM r(t 1 ) x Rysunek 1. Wektory wodz ce w dwu chwilach czasu. Pr dko±ci PM v, nazywamy pochodn wzgl dem czasu promienia wodz cego v = d r r. Przyspieszeniem PM a, nazywamy wektor b d cy pochodn wzgl dem czasu pr dko±ci a = d v v r. Kropka nad liter b dzie zawsze oznaczaªa pochodn wzgl dem czasu.

ROZDZIAª 2 Dynamika punktu materialnego Zajmowa si teraz b dziemy ruchem punktu materialnego (PM) pod wpªywem zewn trznej siªy. Podstaw rozwa»a«s prawa ruchu Newtona otrzymane jako uogólnienie danych do±wiadczalnych. Pierwsze prawo Newtona Istnieje ukªad odniesienia, w którym PM porusza si bez przyspieszenia (tzn jednostajnie i prostoliniowo), je»eli nie dziaªa na«z zewn trz»adna siªa, lub te» dziaªaj ce siªy równowa» si. Ukªady, o których mowa w tym punkcie nazywamy ukªadami inercjalnymi. Je»eli ukªad U porusza si wzgl dem ukªadu inercjalnego U ruchem prostoliniowym i jednostajnym, wówczas i ukªad U jest inercjalny. Sªuszne jest równie» i twierdzenie odwrotne, tzn dwa ukªady inercjalne mog porusza si wzgl dem siebie tylko ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W dalszym ci gu wykªadu, o ile nie zostanie to o- sobno podkre±lone, rozpatrywa b dziemy tylko ukªady inercjalne. Drugie prawo Newtona Mo»na je traktowa jako denicj siªy i masy: (2.1) F = m a = m d v = m r. Wybieraj c wspóªczynnik proporcjonalno±ci mi dzy siª F i przyspieszeniem a, decydujemy si na pewien ukªad jednostek. Przyj li±my tutaj (co nie zawsze jest sªuszne),»e ten wspóªczynnik nie zale»y od czasu. Mo»na wi c drugie prawo Newtona zapisa w postaci: (2.2) F = d(m v) = d p, gdzie wielko± p = m v jest p dem PM. Przez F rozumiemy wypadkow siª dziaªaj c na PM. Dla ukªadów inercjalnych I prawo jest konsekwencj II. Je±li bowiem wypadkowa siªa F = 0, wówczas m a = 0, czyli je±li m 0 to a = 0 i PM porusza si bez przyspieszenia. Ruch PM dany jest przez wektorow zale»no± funkcyjn r = r(t). Mo»emy j znale¹ z II prawa Newtona, traktuj c F jako wielko± znan z do±wiadczenia. Ukªad równa«(2.2), lub we wspóªrz dnych kartezja«skich (2.3) mẍ = F x, mÿ = F y, m z = F z, nazywamy równaniami ruchu Newtona. Maj c dan funkcj F = (F x, F y, F z ), poprzez caªkowanie równa«(2.2) otrzymujemy zale»no± r = r(t), lub x = x(t), y = y(t), z = z(t), okre±laj c ruch PM. Znalezienie takiej zale»no±ci jest równoznaczne z wyznaczeniem toru PM, je»eli znane s odpowiednie warunki pocz tkowe, i stanowi zasadniczy cel mechaniki klasycznej. Trzecie prawo Newtona Siªy oddziaªywania dwu PM s równe co do wielko±ci, maj przeciwny zwrot i dziaªaj wzdªu» prostej ª cz cej te punkty. Prawo to nie jest uniwersalne i nie jest sªuszne np. w przypadku siª elektromagnetycznych pomi dzy 7

8 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO poruszaj cymi si ªadunkami. Zasada niezale»no±ci siª, sformuªowana przez Newtona w oparciu o dane do±wiadczalne, mówi»e: Siªy dziaªaj na PM niezale»nie, tzn dodanie nowej siªy nie zmienia dotychczas dziaªaj cych. Tak wi c siªy, a wi c i przyspieszenia, mo»emy traktowa jak wektory i dodawa do siebie geometrycznie. Je±li znana jest siªa F dziaªaj ca na PM, to korzystaj c z równa«newtona (2.2) lub (2.3) i caªkuj c je powinni±my otrzyma, przy zadanych warunkach pocz tkowych, rozwi zanie zagadnienia, tzn tor PM. Dla przykªadu znajdziemy tor PM pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci Ziemi. Zaªó»my,»e o± O x skierowana jest pionowo w gór. Mamy wtedy Równania Newtona maj posta F x = mg, F y = 0, F z = 0, g = const. (2.4) m d2 x 2 = mg, d 2 y 2 = d2 z 2 = 0. Jak wida, istotna jest tylko zale»no± x od t. Dlatego te» dalej rozpatrzymy tylko pierwsze równanie. Wycaªkujmy je od pewnej pocz tkowej chwili czasu t 0 do chwili ko«cowej t. Otrzymamy dx(t) Po powtórnym scaªkowaniu dostaniemy dx(t 0) = t t 0 g = g(t t 0 ). (2.5) x(t) = dx(t 0) (t t 0 ) + x(t 0 ) g 2 (t t 0) 2. Otrzymali±my wi c szukan zale»no± x = x(t) w postaci caªki ogólnej równania Newtona. Aby jednak wyznaczy do ko«ca ruch PM (znale¹ rozwi zanie szczególne) nale»y zada warunki pocz tkowe. Równanie jakie otrzymali±my powinno opisywa dowoln sytuacj w której na PM dziaªa tylko siªa grawitacji Ziemi. Zadanie warunków pocz tkowych wybiera spo±ród wszystkich mo»liwych rozwi za«jedno, odpowiadaj ce konkretnemu zagadnieniu. Niech w naszym przypadku b dzie nim swobodne spadanie. Tak wi c w chwili pocz tkowej t 0 PM znajduje si w spoczynku na pewnej wysoko±ci h. Rachub czasu rozpocznijmy od chwili t 0. Nasze warunki pocz tkowe b d wi c miaªy posta dx(t 0 ) x(t 0 ) = x(0) = h, = v 0 = 0, t 0 = 0. Podstawiaj c te warunki do znalezionego rozwi zania (2.5) dostajemy x(t) = h gt2 2 oraz dx(t) = v(t) = gt. Rozpatrzmy teraz rzut w gór. Oznacza to,»e w chwili pocz tkowej t 0 (= 0 dla prostoty) PM znajduje si w poªo»eniu x(0) = x 0, które te» bez straty ogólno±ci mo»emy przyj za równe 0. Pr dko± pocz tkowa jest teraz ró»na od zera, tzn dx(t 0 )/ = v 0 > 0. Podstawiaj c te warunki do rozwi zania (2.5)dostajemy (2.6) x(t) = v 0 t gt2 dx(t), v(t) = v 0 gt 2 St d ju» ªatwo mo»emy znale¹ np maksymalna wysoko± (x m ) jak osi gnie PM. W punkcie tym pr dko± punktu zmienia znak i jest równa zero, v(t m ) = 0, gdzie t m to czas w jakim to zajdzie. Czas ten mo»emy wyznaczy korzystaj c z drugiego równania w (2.6) v(t m ) = 0 = v 0 gt m t m = v 0 g.

Wstawiaj c to do równania toru, dostajemy 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 9 x m x(t m ) = v 0 t m gt2 m 2 = v2 0 2g. Z rozpatrzonego przykªadu wida,»e aby jednoznacznie wyznaczy ruch PM trzeba byªo poda dwa warunki pocz tkowe, dla x(t 0 ) oraz dla dx(t 0 )/. Wynika to st d,»e równania Newtona s równaniami ró»niczkowymi drugiego rz du i rozwi zanie ogólne zawiera dwie staªe, które wyznacza si (znajduje rozwi zanie szczególne) podaj c dwa warunki pocz tkowe. Zapiszmy teraz to samo zagadnienie w notacji wektorowej. Nie zakªadamy tu,»e wektor przyspieszenia ziemskiego skierowany jest wzdªu» jednej z osi kartezja«skiego ukªadu wspóªrz dnych. Mamy wtedy i st d równanie Newtona Warunki pocz tkowe przyjmiemy w postaci F = m g, g = const r(t 0 ) = r 0, i po scaªkowaniu równania Newtona dostajemy czyli d r(t) d 2 r 2 = g. d r(t 0) d r(t 0 ) = v 0 = g(t t 0 ) r(t) = r(t 0 ) + d r(t 0) (t t 0 ) g 2 (t t 0) 2 = Mo»na to te» zapisa w postaci = r 0 + v 0 (t t 0 ) g 2 (t t 0). r(t) r(t 0 ) = v 0 (t t 0 ) g 2 (t t 0). Ze wzoru tego wida,»e wektor r r 0 le»y w tej samej pªaszczy¹nie co wektory v i g. Poniewa» wektory te s staªe, wi c wniosek st d taki,»e ruch pod wpªywem siªy przyci gania ziemskiego jest pªaski, tzn le»y caªy czas w pªaszczy¹nie wyznaczonej przez wektory pr dko±ci pocz tkowej i dziaªaj cej siªy. Jest to szczególny przypadek pewnej ogólnej zasady, któr poznamy pó¹niej. Jako drugi przykªad caªkowania równa«newtona rozpatrzymy oscylator harmoniczny. Jest to najcz ±ciej chyba stosowany model procesu zycznego. Drgania harmoniczne to ruch jaki wykonuje PM, na który dziaªa siªa proporcjonalna do wychylenia z poªo»enia równowagi. Siª t mo»emy zapisa w postaci F = k 2 r, gdzie k jest pewn staª. Drgania harmoniczne wykonuje np. spr»yna przy zaniedbaniu tarcia. Dla prostoty rozpatrzmy przypadek oscylatora liniowego, tzn jedno-wymiarowego (1D), gdy ruch odbywa si wzdªu» jednej prostej. Wtedy F = k 2 x i równanie Newtona ma posta m d2 x 2 = k2 x,

10 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO co mo»na zapisa jako d (2.7) 2 x 2 + ω2 x = 0, gdzie ω 2 = k2 m. Jest to równanie ró»niczkowe zwyczajne rz du 2, jednorodne. Aby znale¹ rozwi zanie ogólne takiego równania, dokonujemy podstawienia x = e αt i po wstawieniu do naszego równania, otrzymujemy równanie charakterystyczne (algebraiczne, nie ró»niczkowe) dla α: α 2 + ω 2 = 0 α 1,2 = ±iω. Tak wi c rozwi zanie ogólne, które ma by kombinacj dwu liniowo niezale»nych rozwi za«szczególnych (tzn dla α 1 i α 2 ), ma posta x(t) = A 1 e iωt + A 2 e iωt. Korzystaj c ze wzorów Eulera e ±ia = cos a ± i sin a, mo»na to zapisa w postaci (2.8) x(t) = (A 1 + A 2 ) cos ωt + i(a 1 A 2 ) sin ωt = B 1 cos ωt + B 2 sin ωt. Podstawiaj c dalej dostajemy B 1 = h sin γ, B 2 = h cos γ (2.9) x(t) = h sin(ωt + γ). Dowolne dwie staªe, h i γ wyznaczamy z warunków pocz tkowych (poªo»enie i pr dko± w chwili pocz tkowej) Jak wida z otrzymanego równania (2.9), ruch pod wpªywem siªy spr»ystej jest okresowy, przy czym okres ten wynosi T = 2π ω, bo x(t + T ) = h sin(ω(t + T ) + γ) = h sin(ωt + 2π + γ) = h sin(ωt + γ) = x(t). Dlatego te» wielko± ω nazywamy cz sto±ci koªow, 1/T ν - cz sto±ci, h - amplitud, argument γ - faz. Wyznaczmy teraz staªe z warunków pocz tkowych, które maj ogóln posta : x(0) = x 0, dx(0)/ = v 0. Ró»niczkuj c (2.8) mamy dx(t) = B 1 ω sin ωt + B 2 ω cos ωt. St d i z (2.8), dostajemy, kªad c t = 0 B 1 = x 0, B 2 = v 0 ω i wobec tego rozwi zanie ogólne ma posta (2.10) x(t) = x 0 cos ωt + v 0 sin ωt. ω Je»eli w chwili pocz tkowej PM znajdowaª si w pocz tku ukªadu, czyli w centrum siªy spr»ystej (x 0 = 0) oraz spoczywaª (v 0 = 0), wówczas z rozwi zania (2.10) wynika,»e x(t) = 0, a wi c PM w dalszym ci gu pozostanie w spoczynku. Mo»emy wi c powiedzie,»e centrum siªy spr»ystej jest poªo»eniem równowagi oscylatora harmonicznego. Wszystkie te wnioski pozostaj sªuszne równie» dla oscylatora 2D i 3D.

1. ZASADY ZACHOWANIA 11 1. Zasady zachowania Klasa równa«ró»niczkowych, które da si rozwi za ±ci±le jest niestety niewielka. Dlatego m.in. staramy si zdoby mo»liwie du»o informacji o rozpatrywanym ukªadzie zycznym bez konieczno±ci rozwi zywania równa«ró»niczkowych. Wiele informacji mo»na otrzyma badaj c symetrie ukªadu. Przejawiaj si one w zasadach zachowania. S to prawa mówi ce jakie warunki musz by speªnione aby pewne wielko±ci byªy niezmienne podczas danego procesu. Mówimy wtedy,»e wielko±ci te s zachowane. Z II prawa Newtona wynika bezpo±rednio,»e F = d p, je±li wi c wypadkowa wszystkich siª dziaªaj cych na PM znika, to (2.11) d p = 0 p = const. a wi c p d w czasie procesu jest zachowany, a otrzymany warunek nosi nazw zasady zachowania p du. Dla otrzymania nast pnej zasady zachowania wykorzystajmy raz jeszcze równania Newtona (2.2) (narazie s to jedyne znane nam prawa mechaniki) i pomnó»my je lewostronnie przez r. Otrzymamy (2.12) r d(m v) = r F. Poniewa» jednak (d r/) (md r/) = 0, wi c r d(m v) St d, uwzgl dniaj c (2.12) mamy = d r md r d(m v) + r = d( r m v) = r F d( r m v). Wprowadzaj c oznaczenia J = r m v, D = r F dostajemy dj = D. Wektor J nazywamy momentem p du (kr tem), za± D - momentem siªy (lub momentem obrotowym). Wektor J ma kierunek prostopadªy do wektorów r i v ( z denicji). Je»eli wi c podczas ruchu kierunek wektora J nie ulega zmianie, wówczas ruch jest pªaski. Je»eli moment siª dziaªaj cych na PM znika, tzn D = 0, wówczas (2.13) J = const. i otrzymali±my zasad zachowania momentu p du. Wzór (2.13) nazywamy tak»e caªk pierwsz równa«newtona lub caªk momentu p du. Nazwa caªka pierwsza pochodzi st d,»e aby ten wzór otrzyma nale»y raz scaªkowa równanie Newtona. Moment siª dziaªaj cych na PM mo»e znika b d¹ gdy r = 0, b d¹ gdy F = 0, lub te» gdy r 0, F 0 lecz r F. Tak siª, która skierowana jest zawsze wzdªu» promienia wodz cego nazywamy siª centraln. Staªy punkt do, lub od którego skierowana jest ta siªa nazywamy centrum siªy. Poniewa» dla siª centralnych moment siª D = 0, wi c moment p du jest zachowany. Staªy jest wi c kierunek wektora J, czyli ruch pod dziaªaniem siªy centralnej jest pªaski. Siª centraln mo»emy wi c zapisa w postaci F = r r F r, gdzie F r = F, r = r.

12 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO Trzeci zasad zachowania jak wyprowadzimy b dzie zasada zachowania energii. Punktem wyj±cia s znów równania Newtona. Tym razem pomno»ymy je skalarnie przez pr dko± : lub Lew stron mo»na ªatwo przeksztaªci, bo i wobec tego oznaczaj c mo»emy napisa (2.14) m d r r = F r vm d v = F r. v d v = 1 d v 2 2, T = 1 2 m v 2, dt = F v. Wielko± T nazywamy energi kinetyczn PM. Jest ona wyznaczona z dokªadno±ci do staªej addytywnej, niezale»nej od czasu, któr tutaj przyjmujemy za równ 0, tak aby w spoczynku T = 0, zgodnie z przyj t umow,»e energia kinetyczna jest to energia zwi zana z ruchem ciaªa. Równanie (2.14) mo»emy scaªkowa, otrzymuj c t T T 0 = F v = F d r t 0 r 0 jako,»e d r/ = v. Wyra»enie r r 0 F d r przedstawia prac wykonan przez siª F na drodze od r0 do r, gdzie r 0 to poªo»enie PM w chwili t 0, za± r to poªo»enie w chwili t. Warto± tej pracy zale»y na ogóª od drogi caªkowania. Je»eli jednak istnieje jednoznaczna funkcja V ( r, t), taka»e ( (2.15) F V = x, V y, V ) grad V, z wówczas mówimy,»e siªa F jest potencjalna, a sam funkcj V ( r, t) nazywamy potencjaªem tej siªy. Poniewa» potencjaª nie zale»y od pr dko±ci, wi c te» i siªa potencjalna mo»e by co najwy»ej funkcj poªo»enia i czasu. Je»eli potencjaª jest tylko funkcj poªo»enia, V = V ( r), wówczas nazywamy go energi potencjaln PM, za± o sile (2.15), mówimy,»e jest zachowawcza lub konserwatywna lub potencjalna. Je»eli wi c siªa jest potencjalna, to F d r = grad V d r = r ( ) V V V dx + dy + x y z dz. Je»eli V = V ( r), czyli jest energi potencjaln, to wyra»enie F d r jest ró»niczk zupeªn dv i mamy A wi c ostatecznie T T 0 = r r 0 dv ( r) = (V ( r) V ( r 0 )) = V + V 0. (2.16) T + V = T 0 + V 0. Wielko± T + V = E nazywamy energi caªkowit PM. Ze wzoru (2.16) wynika,»e wielko± ta nie ulega zmianie w czasie ruchu o ile siªy dziaªaj ce na PM s zachowawcze. Otrzymali±my w ten sposób zasad zachowania energii. Z denicji wida wprost,»e energia potencjalna wyznaczona jest przez

2. UKAD PUNKTÓW MATERIALNYCH 13 siª F z dokªadno±ci do staªej addytywnej, tym razem niezale»nej od poªo»enia. Umo»liwia to upraszczanie szeregu zagadnie«przez przyjmowanie odpowiedniej warto±ci tej staªej. Jest to równowa»ne po prostu przesuwaniu pocz tku skali wg której mierzymy energi potencjaln. Powierzchnie V ( r) = const nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi. Ze wzgl du na zwi zek F = grad V ( r), pole siªy F jest wsz dzie prostopadªe do powierzchni równego potencjaªu, grad V ( r) wskazuje bowiem kierunek zmian pola V ( r). Prostopadªo± F oraz powierzchni V ( r) = const mo»na pokaza z zerowania si iloczynu skalarnego F oraz przesuni cia d r równolegªego do powierzchni ekwipotencjalnej. Bior c bowiem ró»niczk zupeªn równania powierzchni staªego potencjaªu V ( r) = const mamy dv = 0 = V V V dx + dy + dz = grad V d r. x y z Podobnie jak w wypadku momentu p du, wyra»enie (2.16) nazywamy caªk energii. Jest to caªka pierwsza równa«newtona gdy F = grad V ( r). Jako przykªad znajdowania potencjaªu obliczymy potencjaª jednorodnego pola grawitacyjnego. Rozpatrzmy PM w pobli»u Ziemi, a wi c g = const. i siªa ma posta F = m g. Poniewa» W przypadku siªy grawitacyjnej mamy wi c F = dv d r = V, wi c V ( r) = V ( r 0) r V ( r) = V ( r 0 ) m g d r = V ( r 0 ) mg r + mg r 0. r 0 Je»eli o± O z b dzie zgodna z kierunkiem dziaªania siªy grawitacyjnej, wówczas problem staje si jednowymiarowy i dla potencjaªu mamy V (z) = mgz + const. Staª mo»emy przyj za równ zeru i ostatecznie energia potencjalna PM w polu grawitacyjnym jest równa V (z) = mgz. 2. Ukªad punktów materialnych Osi gni te do tej pory wyniki mo»na prosto uogólni na ukªad wielu PM. Rozró»nia teraz b dziemy siªy zewn trzne F i z oraz wewn trzne. Te ostatnie to siªy z jakimi dany PM dziaªa na pozostaªe PM ukªadu. Równanie ruchu (Newtona) dla i-tego PM ma teraz posta r r 0 F d r. (2.17) F z i + j F ij = p i, gdzie F ij to siªa oddziaªywania i-tego PM na j-ty. Poniewa» PM nie oddziaªuje sam na siebie, wi c F ii = 0. Do siª wewn trznych stosuje si III prawo Newtona, st d sumuj c (2.17) po wszystkich punktach ukªadu otrzymujemy F i z + F ij = p i = d p i, i ij i i a st d, poniewa» i,j F i,j = 0 z trzeciego prawa Newtona, mamy i F z i = d p i, i

14 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO i Fi z oznacza sumaryczn siª zewn trzn dziaªaj c na ukªad PM. Dla ukªadu PM mo»na wyprowadzi, analogicznie jak dla pojedynczego PM, zasady zachowania. B d one dotyczy caªkowitej masy ukªadu oraz promienia wodz cego ±rodka masy ukªadu. 3. Wi zy Ukªad dot d rozpatrywany byª zbiorem swobodnych PM, tzn na jego ruch nie byªy naªo»one»adne ograniczenia i zale»aª on jedynie od przyªo»onej siªy F. Na ogóª jednak PM (lub ukªad PM) musi pozostawa na pewnej powierzchni f(x, y, z, t) = 0 ( dla i-go PM f(x i, y i, z i, t) = 0) lub krzywej f 1 ( r, t) = 0, f 2 ( r, t) = 0. Poniewa» równania te zawieraj jawnie czas, dopuszczamy zmienno± tych powierzchni, b d¹ krzywych w czasie. Przyczyny zyczne powoduj ce pozostawanie PM w trakcie ruchu na takiej powierzchni nazywamy wi zami, za± odpowiednie równania - równaniami wi zów. O funkcjach tych zakªadamy,»e s ci gªe i dwukrotnie ró»niczkowalne. Je»eli równania wi zów zale» jawnie od czasu, to wi zy takie nazywamy zale»nymi od czasu, je±li za± nie zale» - stacjonarnymi. Przykªadem wi zów stacjonarnych jest ruch PM po nieruchomej powierzchni, np kula tocz ca si po stole. Przykªad wi zów zale»nych od czasu to korek unosz cy si na powierzchni strumienia. Je»eli na PM dziaªa pewna siªa F, wówczas z równania Newtona, znaj c mas tego PM, mo»emy wyznaczy przyspieszenie a. Z drugiej jednak strony, do równa«wi zów wchodzi promie«wodz cy PM - r. Ró»niczkuj c go dwukrotnie wzgl dem czasu otrzymujemy wyra»enie na przyspieszenie. Mo»e okaza si,»e jest ono ró»ne od przyspieszenia wyznaczonego z równania Newtona, i odwrotnie, a z równania Newtona nie speªnia równania wi zów. Aby usun t sprzeczno± nale»y siª w równaniu Newtona uzupeªni o dodatkow wielko± F R, tak aby przyspieszenie obliczone z rozszerzonego równania Newtona speªniaªo równania wi zów. F R nazywamy siª reakcji wi zów. Nieswobodny PM musi wi c speªnia równanie Newtona m a = F + F R oraz równania wi zów f( r, t) = 0 lub f 1 ( r, t) = 0 i f 2 ( r, t) = 0. Wi zy mo»na klasykowa na rozmaite sposoby. Przyjmiemy tutaj nast puj cy podziaª - je»eli ograniczenia nakªadane przez istnienie wi zów dadz si przedstawi w postaci równo±ci ª cz cych wspóªrz dne i czas, tzn w postaci f( r, t) = 0 lub (2.18) f( r 1, r 2,..., r N, t) = 0 dla ukªadu N PM, wówczas nazywa je b dziemy holonomicznymi. Przykªadem s wi zy w ciele sztywnym, gdzie odlegªo±ci pomi dzy PM s ustalone. Mo»na to zapisa w postaci ( r i r j ) 2 = c 2 ij. Natomiast te wi zy, których nie da si przedstawi w ten sposób nazywamy nieholonomicznymi. Przykªadem jest ruch PM wewn trz sfery, co zapisujemy w postaci r i < a 2, gdzie a jest promieniem sfery. Wi zy wprowadzaj do zagadnie«mechaniki dwie trudno±ci. Pierwsza z nich polega na tym,»e nie wszystkie wspóªrz dne r i (dla ukªadu PM) s liniowo niezale»ne, poniewa» zwi zane s równaniami, b d¹ nierówno±ciami wi zów. Druga trudno± polega na tym,»e wi zy wprowadzaj nieznane a priori siªy - siªy reakcji wi zów. Mo»e to by np siªa oddziaªywania kuli na stóª. Siª tak nale»y dopiero wyznaczy. Pierwsza trudno± zostaje pokonana przez wprowadzenie tzw wspóªrz dnych uogólnionych.

3. WI ZY 15 We wspóªrz dnych kartezja«skich, jakimi do tej pory posªugiwali±my si, ukªad N PM miaª 3N niezale»nych wspóªrz dnych - je»eli nie byªo wi zów. Mówimy wi c,»e miaª on 3N stopni swobody. Je»eli na ukªad naªo»onych jest k równa«wi zów, postaci (2.18), to spo±ród 3N dotychczasowych zmiennych niezale»nych, tylko 3N k pozostanie w dalszym ci gu niezale»nymi. Ukªad b dzie wi c miaª teraz tylko 3N k stopni swobody. Musimy pozby si tych k zale»nych zmiennych wprowadzaj c 3N k nowych, niezale»nych ju», zmiennych q 1, q 2,..., q 3N k i wyra»aj c stare wspóªrz dne r 1,..., r N przez nowe. Otrzymujemy wtedy ukªad równa«(2.19) r 1 = r 1 (q 1, q 2,..., q 3N k, t),... r N = r N (q 1, q 2,..., q 3N k, t). Równania te mo»na traktowa jako parametryczne przedstawienie zmiennych r 1,..., r N, przy czym równania wi zów nie wchodz jawnie do (2.19). O funkcjach r i (q, t) zakªadamy tak»e,»e s ci gªe i dwukrotnie ró»niczkowalne. Wprowad¹my oznaczenie n = 3N k na liczb stopni swobody ukªadu z wi zami, lub, co jest równowa»ne, liczb niezale»nych wspóªrz dnych uogólnionych. Maj one inny charakter ni» wspóªrz dne kartezja«skie. Nie mo»na ich podzieli na trzy grupy, tak aby otrzyma wektory, np r = (x, y, z). Nie musz tak»e mie wymiaru dªugo±ci. Rozpatrzmy ruch PM po powierzchni sfery o promieniu R. Mo»emy ruch ten opisa przy pomocy wspóªrz dnych kartezja«skich x, y, z, ale, jak nietrudno si domy±le, wygodniej b dzie wprowadzi wspóªrz dne sferyczne x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Poniewa» taki PM mo»e porusza si tylko po powierzchni, a wi c gdy r = R, co jest równaniem wi zów, ukªad ma tylko dwa stopnie swobody i do jego opisu wystarcz dwie niezale»ne zmienne. W rozpatrywanym przykªadzie b d to dwie zmienne k towe θ, φ, które s nowymi wspóªrz dnymi uogólnionymi, a ich wymiar nie jest dªugo±ci, lecz miar k tow. n-wymiarow przestrze«rozpi t przez zmienne q nazywamy przestrzeni konguracyjn. Ka»- demu poªo»eniu ukªadu jako caªo±ci w chwili t odpowiada punkt w tej przestrzeni. Ruch ukªadu jest tam przedstawiony jako pewna krzywa. Je»eli wi zy nie zale» od czasu, wówczas zawsze mo»na tak wybra wspóªrz dne uogólnione aby czas nie wchodziª jawnie do (2.19). W dalszym ci gu zajmowa si b dziemy wyª cznie wi zami holonomicznymi. Rozpatrzmy teraz drug trudno± wywoªan przez naªo»enie wi zów, tzn pojawienie si siªy reakcji wi zów. Wprowad¹my najpierw poj cie przesuni cia rzeczywistego i wirtualnego. Niech na nasz ukªad N PM naªo»onych b dzie k równa«wi zów f α ( r i, t) = 0 (α = 1,..., k; i = 1,..., N). Obliczaj c ró»niczk tego wyra»enia otrzymujemy N f (2.20) α d r i + f α r i t = 0 lub i=1 N i=1 f α v i + f α = 0. r i t Ukªad wektorów v i nazywamy pr dko±ciami dopuszczalnymi poniewa» przesuni cia, których pochodnymi s pr dko±ci, speªniaj równania wi zów. Na ogóª dla danego czasu t i poªo»enia punktów ukªadu istnieje niesko«czenie wiele mo»liwych pr dko±ci zgodnych z wi zami. Podczas rzeczywistego ruchu ukªadu

16 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO realizuje si jeden z nich. Z kolei ukªad niesko«czenie maªych przesuni d r i = v i (i = 1,..., N) gdzie v i to pr dko±ci dopuszczalne, nazywamy przesuni ciami dopuszczalnymi, b d¹ rzeczywistymi. Przesuni cia te speªniaj równania wi zów (2.20). Rozpatrzmy teraz dwa ukªady przesuni rzeczywistych dla tego samego czasu t i tego samego poªo»enia pocz tkowego ukªadu PM d r i = v i oraz d r i = v i. Ka»de z nich speªnia równania wi zów. Wobec tego ich ró»nica speªnia równanie jednorodne (2.21) δ r i = d r i d r i (i = 1,..., N) N i=1 f α r i δ r i = 0 (α = 1,..., k) Wielko±ci δ r i nazywamy przesuni ciami wirtualnymi. W ogólnym przypadku przesuni cia te nie odpowiadaj rzeczywistym zmianom poªo»enia PM, lecz s pomocnicz konstrukcj matematyczn. Aby odczyta sens zyczny obu typów przesuni zauwa»my,»e przesuni cia wirtualne (2.21) ró»ni si od rzeczywistych (2.20) tym,»e nie wyst puje tam czªon ( f α / t). Dlatego te» cz sto mówi si,»e przesuni cia wirtualne s to przesuni cia przy zamro»onych, niezmiennych, wi zach. Je±li bowiem ustalimy w równaniu wi zów czas, wówczas ró»niczkuj c funkcje f α czªon z jest równy 0 i oba wyra»enia s identyczne. W przypadku wi zów stacjonarnych nie ma ró»nicy mi dzy obu typami przesuni. Mamy wobec tego nast puj cy problem - zadane s siªy aktywne F i = F i ( r i, r i, t) dziaªaj ce na punkty ukªadu i dane s zgodne z wi zami poªo»enia pocz tkowe r 0 0 i oraz pr dko±ci pocz tkowe v i punktów ukªadu (i = 1,..., N). Nale»y wyznaczy ruch punktów ukªadu i siªy reakcji wi zów F i R. Przy tak postawionym zadaniu pojawia si trudno± - nale»y wyznaczy 6N wielko±ci skalarnych - x i, y i, z i oraz Fi Rx, F Ry i, Fi Rz (i = 1,..., N), maj c do dyspozycji mniejsz liczb równa«- 3N równa«newtona oraz k równa«wi zów. k oczywi±cie musi by mniejsze od 3N. W przypadku k = 3N ukªad nie ma»adnego stopnia swobody i nie mo»e si porusza. Tak wi c musimy znale¹ dodatkowe n = 3N k równa«. Otrzymamy je je»eli ograniczymy si do pewnej klasy wi zów, które nazywa si cz sto wi zami idealnymi. S to takie wi zy, dla których suma prac na przesuni ciach wirtualnych znika : (2.22) N F i R δ r i = 0. i=1 Spo±ród 3N wielko±ci δx i, δy i, δz i tylko 3N k = n jest niezale»nych. Mo»emy wi c wykorzysta to równanie aby wyrazi przesuni cia zale»ne przez n niezale»nych. Otrzymamy w ten sposób wyra»enie (2.22) w zmiennych niezale»nych. Aby byªo ono speªnione konieczne jest aby zerowaªy si wspóªczynniki przy niezale»nych zmiennych. To daje nam szukanych n równa«. Wprowadzenie przesuni wirtualnych rozszerzyªo klas rozpatrywanych ukªadów.

5. RÓWNANIA LAGRANGE'A II RODZAJU. 17 4. Ogólne równanie dynamiki. Postarajmy si teraz znale¹ równanie opisuj ce ruch ukªadu nieswobodnych PM. Równanie to nie powinno zawiera nieznanych siª reakcji wi zów. Mamy równania Newtona m a i = ( Fi + ) Fi R i i oraz (2.22). Wyznaczaj c F R z równa«newtona i wstawiaj c do (2.22), dostajemy N ( ) (2.23) Fi m i a i δ r i = 0, i=1 zwane czasami ogólnym równaniem dynamiki. Fi jest tu wypadkow wszystkich siª aktywnych dzia- ªaj cych na i-ty PM. Równanie (2.23) jest speªnione dla dowolnego ruchu zgodnego z wi zami (o co dbaj siªy reakcji wi zów) i odbywaj cego si pod dziaªaniem siª F. Warto zauwa»y,»e z ogólnego równania dynamiki (2.23) dla wi zów stacjonarnych i ukªadu zachowawczego wynika zasada zachowania energii. Mamy bowiem wtedy δ r i = d r i = r i, ( Fi d(m r ) i i ) r i = Fi ri d ( ) 1 2 m r 2 i i = 0 ale 1 2 m r i 2 i = T oraz dla ukªadu konserwatywnego Fi ri = dv/ a wi c d (2.24) (V + T ) = 0 V + T = E = const. 5. Równania Lagrange'a II rodzaju. Ogólne równanie dynamiki (2.23) nie ma postaci dogodnej dla rachunków. Wykorzystajmy teraz poj cie wspóªrz dnych uogólnionych. Pozwoli to nam zredukowa liczb równa«ruchu do ilo±ci równej liczbie stopni swobody. Zapiszmy (2.23) we wspóªrz dnych uogólnionych, przejd¹my wi c od zmiennych r i (i = 1,..., N) do zmiennych q j (j = 1,..., n), zgodnie z (2.19) : r i = r i (q 1,..., q n, t). Dla pr dko±ci, otrzymanych przez ró»niczkowanie wzgl dem czasu (2.19) mamy (2.25) v i = n r i q j + r i q j t Dla przesuni wirtualnych (branych przy ustalonym czasie) n r (2.26) i δ r i = δq j. q j Elementarna praca przy przesuni ciach wirtualnych ma posta N δa = F i δ r i, ale ze wzgl du na (2.26) δa = N F i i=1 n r i q j δq j = i=1 ( n N i=1 (i = 1,..., N). F i r i q j ) δq j n Q j δq j,

18 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO gdzie Q j nazywamy siªami uogólnionymi i deniujemy poprzez siªy aktywne jako (2.27) Q j = N i=1 F i r i q j. W poªo»eniu równowagi praca jest równa zero, δa = 0, a wi c równie» n Q j δq j = 0. Poniewa» wielko±ci q j s liniowo niezale»ne, wi c w poªo»eniu równowagi Q j = 0. Znikanie siª uogólnionych jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie poªo»enia równowagi. Podobnie jak wspóªrz dne uogólnione nie musz mie wymiaru dªugo±ci, tak i siªy uogólnione nie musz mie wymiaru siªy, jednak iloczyn Q j q j musi mie wymiar pracy. Udaªo si nam wyrazi jeden ze skªadników (2.23) we wspóªrz dnych uogólnionych. Zróbmy teraz to samo z drugim. Ma on posta N m i ri δ r i. Ró»niczkuj c (2.25) wzgl dem q j dostajemy i=1 (2.28) r i q j = r i q j. Natomiast ró»niczkuj c (2.25) wzgl dem q l dostajemy r i n 2 r i = q j + 2 r i = d r i q l q j q l t q l q l i wobec tego m i ri δ r i = i i j m i ri r i q j δq j = j ( i m i ri r i q j ) δq j j Z j δq j Obliczmy teraz Z j = d Zj = i i m i ri r i q j i m i ri r i q j = d i m i ri r i q j m i ri r i q j i = d 1 2 Poniewa» T = i 1 2 m i ṙ i 2 jest energi kinetyczn ukªadu, wi c Z j = d N 2 m i ṙ i i=1 d r i m i ri = q j q i 1 2 T T (j = 1,..., n) q j q j N i=1 m i r 2 i. q j Tak otrzymane warto±ci mo»emy teraz podstawi do (2.23) otrzymuj c ogólne równanie dynamiki we wspóªrz dnych uogólnionych n ( d T (2.29) T ) Q j δq j = 0. q j q j

5. RÓWNANIA LAGRANGE'A II RODZAJU. 19 Wielko±ci δq j s niezale»ne, a wi c zerowa si musz wszystkie wspóªczynniki. Otrzymujemy st d ukªad równa«d T (2.30) T = Q j (j = 1, 2,..., n). q j q j Równania te, wynikaj ce z ogólnego równania dynamiki, nazywane s równaniami Lagrange'a II rodzaju. Wyst puj ce w nich wielko±ci q j nazywamy pr dko±ciami uogólnionymi. Do równa«tych nie wchodz jawnie siªy reakcji wi zów. Gdyby±my jednak chcieli siªy te wyznaczy. mo»na to zrobi po scaªkowaniu równa«lagrange'a i wyznaczeniu z nich zale»no±ci q j = q j (t). Zale»no±ci te nale»y nast pnie podstawi do równa«r i = r i (q 1,..., q n, t) i wyznaczy st d r i = r i (t). Nast pnie dwukrotnie ró»niczkuj c wzgl dem czasu znale¹ a i = r i. Nieznane siªy reakcji wi zów znajdujemy ze zwi zków F R i = m i a i F i (i = 1, 2,..., n). Tak wi c równania Lagrange'a II rodzaju s szukanym rozwi zaniem postawionego uprzednio problemu. Caªkuj c dwukrotnie te równania otrzymujemy rozwi zanie ogólne, a nast pnie zadaj c warunki pocz tkowe (2n warunków - n dla poªo»e«i n dla pr dko±ci) mo»emy wyznaczy tor PM w przestrzeni konguracyjnej. Jednocze±nie mo»emy te» wyznaczy siªy reakcji wi zów. Równania Lagrange'a II rodzaju (RL2) s ukªadem n równa«ró»niczkowych zwyczajnych drugiego rz du dla n nieznanych funkcyj q j zmiennej niezale»nej t. Rz d ukªadu jest wi c 2n. Je»eli teraz siªy uogólnione Q j nie zale» od pr dko±ci uogólnionych, tzn s postaci Q j = Q j (q 1,..., q n, t) (j = 1,..., n), oraz istnieje taka funkcja V (q 1,..., q n, t),»e (2.31) Q j = V (j = 1,..., n), q j wówczas siªy uogólnione nazywamy potencjalnymi, a funkcj V - potencjaªem tych siª. Je»eli wi c siªy s potencjalne, mo»emy RL2 przepisa w postaci d T (T V ) = 0 (j = 1, 2,..., n). q j q j poniewa» jednak potencjaª nie zale»y od pr dko±ci uogólnionych, mo»na to przepisa jako d (T V ) (T V ) = 0 (j = 1, 2,..., n). q j q j lub te» wprowadzaj c now funkcj, zwan funkcj Lagrange'a b d¹ Lagrangianem (2.32) L = T V, mo»emy zapisa RL2 w postaci (2.33) d L L = 0, q j q j gdzie L(q j, q j, t) = T (q j, q j, t) V (q j, t). Równania (2.33) to RL2 dla siª potencjalnych. Poka»emy teraz,»e energia kinetyczna ukªadu stacjonarnego jest funkcj jednorodn stopnia drugiego pr dko±ci uogólnionych. Funkcj f(x j ) nazywamy funkcj jednorodn stopnia n zmiennych x 1,..., x M je»eli (2.34) f(λx j ) = λ n f(x j ), M f x j x j = nf

20 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO gdzie λ jest dowolna staª. Podobnie jest dla funkcji wielu zmiennych. Wyra»enie jest funkcj jednorodn stopnia drugiego poniewa» gdzie f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 f(λx, λy) = λ 2 x 2 + λ 2 2xy + λ 2 3xy = λ 2 ( x 2 + 2xy + 3y 2) = λ 2 f(x, y) Dla energii kinetycznej mamy = 1 2 a jk = = 1 2 N i=1 N i=1 T = 1 2 N i=1 m i m i m i r i q j N m i ri 2 = 1 2 i=1 n r i q j q j n n k=1 = 1 2 r i q j N i=1 2 m i + 2 n r i q k q j q k + 2 n a jk q j q k + j,k r i q k, a j = 2 N i=1 n r i q j + r i q j t r i q j r i t q j + n r i q j r i t q j + n a j q j + a 0 m i r i q j r i t, a 0 = 1 2 2 = ( ) 2 ri = t ( ) 2 ri = t N i=1 ( ) 2 ri m i. t Ogólnie wi c energia kinetyczna jest wielomianem stopnia drugiego wzgl dem pr dko±ci uogólnionych T = T 2 + T 1 + T 0, T 2 = 1 a jk q j q k, T 1 = a j q j, T 0 = a 0. 2 j,k j Je»eli nasz ukªad jest stacjonarny, wówczas wi zy i równania ª cz ce r i z q j nie zale» jawnie od czasu i r/ t = 0 i wobec tego a 0 = a j = 0. Ostatecznie dla ukªadu stacjonarnego mamy (2.35) T = T 2 = 1 a jk q j q k. 2 Energia kinetyczna jest, jak wida, funkcj jednorodn stopnia 2 pr dko±ci uogólnionych. Jako pierwszy przykªad posªugiwania si RL2 rozpatrzmy ruch PM bez wi zów. Najprostszy wybór wspóªrz dnych uogólnionych to wspóªrz dne kartezja«skie. Mamy wtedy j,k T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ). T ẋ = mẋ, T x = T y = T z = 0; T ẏ = mẏ, T ż = mż.

5. RÓWNANIA LAGRANGE'A II RODZAJU. 21 Na PM dziaªa siªa F = (F x, F y, F z ) i wobec tego RL2 maj posta d (mẋ) = F d x, (mẏ) = F d y, (mż) = F z i jak wida, pokrywaj si z równaniami Newtona dla PM bez wi zów. Równa«tych jest trzy, poniewa» na PM nie s naªo»one»adne wi zy, a wi c ma on trzy stopnie swobody i posªugujemy si trzema wspóªrz dnymi uogólnionymi, które w tym przypadku s wprost wspóªrz dnymi kartezja«skimi. Je»eli dana jest siªa zewn trzna F, to caªkuj c otrzymane równania ruchu mo»emy (przynajmniej w zasadzie) otrzyma równania toru PM, co jest rozwi zaniem postawionego problemu. W przykªadzie, który przed chwil rozpatrzyli±my wybór wspóªrz dnych uogólnionych byª wªa±ciwie automatyczny. Niestety nie istnieje»adna ogólna metoda. która pozwalaªaby na najlepszy wybór wspóªrz dnych uogólnionych. Najlepszy tzn taki, który pozwoli rozwi za dany problem najszybciej i najpro±ciej. Potrzebne jest tutaj pewne wyczucie i wprawa. Np gdy PM znajduje si pod dziaªaniem siªy centralnej, wskazany jest wybór wspóªrz dnych biegunowych, gdy» na ogóª siªa taka nie zale»y od kierunku lecz tylko od odlegªo±ci od centrum siªy, tzn F = F (r), a wi c od jednej tylko wspóªrz dnej biegunowej z pary (r, ϕ), natomiast we wspóªrz dnych kartezja«skich zale»y od obu, zwi zanych ze sob, zmiennych (x, y). Jako drugi,nieco mniej banalny przykªad, rozpatrzymy ruch PM w polu siªy grawitacyjnej. Ruch ten wyznaczali±my poprzednio korzystaj c z równa«newtona. Ruch PM odbywa si w polu siªy centralnej, jest wi c pªaski, co stanowi jedno ograniczenie na ruch PM - jedno równanie wi zów. Mamy st d 2 stopnie swobody i jako wspóªrz dne uogólnione mo»emy wybra np wspóªrz dne kartezja«skie (x, y). Potencjaª ma posta V = V (y) = mgy natomiast energia kinetyczna i st d funkcja Lagrange'a L y = mgy, St d równanie dla wspóªrz dnej x d i dla wspóªrz dnej y i st d T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) mgy. L ẏ = mẏ, L x = 0, L ẋ = mẋ L ẋ L x = d mẋ = 0 ẋ = const = C 1 x(t) = C 1 t + C 2, d L ẏ L y = d mẏ + mg = 0 ẏ = gt + C 3 y(t) = 1 2 gt2 + C 3 t + C 4. Wybieraj c warunki pocz tkowe odpowiadaj ce np swobodnemu spadkowi z punktu (0, y 0 ) dostajemy St d mamy dla staªych ẋ(0) = ẏ(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = y 0. ẋ(0) = C 1, x(0) = C 2 C 1 = C 2 = 0, ẏ(0) = C 3, y(0) = C 4 C 3 = 0, C 4 = y 0.

22 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO Ostatecznie wi c dostajemy równanie dla PM y(t) = 1 2 gt2 + y 0. Jako nast pny przykªad znajdziemy równanie ruchu (RL2) dla wahadªa matematycznego. Jest to PM o masie m zawieszony na niewa»kiej i nierozci gliwej nici o zadanej dªugo±ci l, na który dziaªa siªa grawitacji. Zaczniemy od znalezienia liczby stopni swobody takiego ukªadu. W zale»no±ci od tej liczby b dziemy mieli odpowiedni liczb wspóªrz dnych uogólnionych. Ukªad zªo»ony jest z 1 PM, a wi c liczba stopni swobody n = 3 k, gdzie k to liczba równa«wi zów. Ruch wahadªa odbywa si w staªej pªaszczy¹nie, np z = 0, co daje jedno równanie wi zów. Poniewa» PM zawieszony jest na nici o staªej dªugo±ci, wi c x 2 + y 2 = l 2 = const. Mamy dwa równania wi zów, czyli nasz ukªad ma jeden stopie«swobody (n = 3 2 = 1). Wprowadzimy wi c jedn zmienn uogólnion. Najlepiej jest w tym celu wybra k t ϕ wychylenia PM od osi Oy. Mamy wtedy x = l sin ϕ, y = l cos ϕ, z = 0. Siªa grawitacji dziaªaj ca na PM skierowana jest np w kierunku ujemnej osi Oy, tzn F = (0, mg, 0). Potencjaª tej siªy V = F d r = mgy = mgl cos ϕ. Dalej ró»niczkuj c wzgl dem czasu wzór okre±laj cy zwi zek mi dzy wspóªrz dnymi kartezja«skimi i wspóªrz dnymi uogólnionymi, dostajemy ẋ = l ϕ cos ϕ, ẏ = l ϕ sin ϕ St d Dla funkcji Lagrange'a mamy T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = 1 2 m(l2 ϕ 2 cos 2 ϕ + l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ) = 1 2 ml2 ϕ 2. L = T V = 1 2 ml2 ϕ 2 + mgl cos ϕ. L L = mgl sin ϕ, ϕ i jedno RL2, bo jest jedna wspóªrz dna uogólniona Ostatecznie ϕ = ml2 ϕ d L ϕ L ϕ = ml2 ϕ + mgl sin ϕ = 0. l ϕ + g sin ϕ = 0. Równanie to daje si prosto rozwi za w wypadku maªych wychyle«, tzn wtedy gdy sin ϕ = ϕ. Równanie ruchu ma wtedy posta l ϕ + gϕ = 0, a wi c jest takie jak równanie oscylatora harmonicznego.

6. PRAWA ZACHOWANIA WE WSPÓŠRZ DNYCH UOGÓLNIONYCH 23 6. Prawa zachowania we wspóªrz dnych uogólnionych Rozpatruj c dot d równania ruchu ukªadu PM nie interesowali±my si zupeªnie problemem rozwi zania tych równa«. Niestety klasa równa«jakie daj si scaªkowa, nie jest du»a. Je»eli mamy bowiem ukªad PM o n stopniach swobody, wówczas opisuje go ukªad n równa«ró»niczkowych drugiego rz du. Musimy wi c wykona ogóªem 2n caªkowa«i wyznaczy z warunków pocz tkowych dla q j i q j 2n pojawiaj cych si staªych. Zadanie takie jest bardzo trudne i trzeba szuka innych sposobów aby uzyska informacj o ruchu ukªadu. W wielu przypadkach mo»na stosunkowo ªatwo, b d¹ nawet odrazu, uzyska caªki pierwsze równa«ruchu, tzn wyra»enia postaci F (q 1...q n, q 1... q n, t) = const, czyli funkcje zawieraj ce tylko pierwsz pochodn poªo»enia wzgl dem czasu. Caªki te daj cz sto cenne informacje o rozpatrywanym ukªadzie. Cz sto maj one posta zasad zachowania, czyli informacji o tym jakie wielko±ci nie ulegaj zmianie w trakcie ruchu ukªadu. Z problemem tym spotkali±my si ju» przy omawianiu równa«newtona u»ywaj c wspóªrz dnych kartezja«skich. Aby te zasady znale¹ w nowej postaci, tzn korzystaj c ze wspóªrz dnych uogólnionych, rozszerzymy pewne znane poj cia. Na pocz tek rozpatrzmy ukªad zachowawczy, a jako wspóªrz dne uogólnione przyjmijmy wspóªrz dne kartezja«skie. Mamy wtedy L T = ẋ i ẋ i ẋ i k m k 2 (ẋ2 k + ẏk 2 + żk 2 ) = mi ẋ i = p ix, gdzie p ix jest x-ow skªadow wektora p du i-go PM. Tak wi c p d (kartezja«ski) jest pochodn cz stkow funkcji Lagrange'a wzgl dem pr dko±ci (kartezja«skiej) Poj cie to uogólnimy teraz wprowadzaj c p d uogólniony, zdeniowany w analogii do poprzedniej denicji jako (2.36) p j = L q j, (j = 1,..., n). W ten sposób ka»dej wspóªrz dnej uogólnionej q j odpowiada p d uogólniony p j, zwany cz sto p dem kanonicznie sprz»onym ze wspóªrz dn q j. Je»eli q j nie jest wspóªrz dn kartezja«sk i nie ma wymiaru dªugo±ci, wówczas p d uogólniony p j nie ma wymiaru zwykªego p du. Zdeniujmy teraz wspóªrz dn cykliczn jako tak wspóªrz dn, która nie wchodzi jawnie do funkcji Lagrange'a. Niech b dzie to np wspóªrz dna q k. Dla takiej wspóªrz dnej L = 0, q k a wi c RL2 redukuj si do d L = 0. q k To jednak ze wzgl du na (2.36) mo»na zapisa w postaci dp (2.37) k = 0 p k = const. Na tej podstawie mo»emy sformuªowa nast puj c zasad zachowania: Je»eli wspóªrz dna q k jest cykliczna, to odpowiadaj cy jej p d uogólniony jest zachowany. Jak wida, zasada zachowania p du uogólnionego ma posta caªki pierwszej równa«ruchu i otrzymali±my j bez konieczno±ci caªkowania tych równa«, ale jako nast pstwo faktu,»e odpowiednia wspóªrz dna uogólniona jest cykliczna. Od wyprowadzonej poprzednio zasady zachowania p du obecna ró»ni si tym,»e jest ona ogólniejsza. Przy jej wyprowadzeniu nie korzystali±my z III zasady Newtona, jest wi c sªuszna tak»e dla siª dziaªaj cych mi dzy poruszaj cymi si ªadunkami elektrycznymi. Po wtóre, z zasady zachowania p du uogólnionego wynika zarówno zasada zachowania p du (zwykªego) gdy wspóªrz dna uogólniona odpowiada za przesuni cie ukªadu, jak te» i momentu p du, gdy wspóªrz dna ta zwi zana jest z obrotem ukªadu. Zwi zane jest to z szersz denicj wspóªrz dnej uogólnionej.

24 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO Wida st d,»e wspóªrz dne cykliczne odgrywaj du» rol przy badaniu wªasno±ci ukªadu. Je»eli cykliczna jest wspóªrz dna uogólniona opisuj ca obrót ukªadu, oznacza to,»e wªasno±ci ukªadu nie zale» od k ta obrotu wokóª danej osi. Mówimy wtedy,»e ukªad ma symetri obrotow, lub»e jest niezmienniczy wzgl dem obrotu wokóª tej osi. Sytuacja taka prowadzi do zachowania momentu p du, ±ci±lej, rzutu momentu p du na t o±. Mówimy,»e ukªad jest sferycznie symetryczny je»eli jest on niezmienniczy wzgl dem obrotu o dowoln o±. Zachowany jest wówczas peªny moment p du. Przy niezmienniczo±ci tylko wobec obrotów wokóª jednej osi, zachowany jest tylko odpowiedni rzut momentu p du na t o±. Podobnie jest przy przesuni ciach. Je»eli ukªad jest niezmienniczy wobec przesuni cia w dowolnym kierunku, zachowany jest caªkowity p d, je»eli ukªad jest niezmienniczy tylko wobec przesuni w jednym kierunku, np wzdªu» jednej osi, - zachowany jest rzut caªkowitego p du na ten kierunek (odpowiednia skªadowa p du). Dlatego te» je±li wiadomo,»e ukªad ma okre±lon symetri, mo»na poda wówczas odpowiednie caªki pierwsze równa«ruchu, bez konieczno±ci caªkowania tych równa«. Poka»emy teraz,»e je»eli czas jest zmienn cykliczn, wówczas prowadzi to do zasady zachowania energii. Zgodnie z zaªo»eniem, funkcja Lagrange'a nie zale»y jawnie od czasu: L = L(q, q). Pochodna zupeªna funkcji Lagrange'a ma wi c posta Z RL2 mamy i dlatego a wi c (2.38) dl = n ( d L q j dl = ) dqj + n n L d q j q j d L ( L dq j q j + L ) d q j. q j L = d L q j q j = n ( d L q j n L q j = 0. q j ) dqj + n ( L q j ) d Wynika st d,»e wielko± w nawiasie nie zmienia si w czasie, co mo»na zapisa w postaci n L L q j = const. q j Staª t oznaczamy przez H : (2.39) H = n q j L q j L. ( ) dqj, Otrzymali±my w ten sposób caªk pierwsz RL2. Poka»emy teraz,»e tak zdeniowana wielko± H jest caªkowit energi ukªadu. Poniewa» energia potencjalna nie zale»y od pr dko±ci uogólnionych, wi c p j = L q j = T q j, Jak wiemy, dla ukªadu o wi zach stacjonarnych energia kinetyczna jest kwadratow funkcj pr dko±ci uogólnionych. Wykorzystajmy teraz twierdzenie Eulera o funkcjach jednorodnych, (2.34) co pozwoli nam napisa

6. PRAWA ZACHOWANIA WE WSPÓŠRZ DNYCH UOGÓLNIONYCH 25 (2.40) H = n q j L q j L = n T q j q j L = 2T (T V ) = T + V = E. Wida st d,»e wielko± H jest caªkowit energi ukªadu potencjalnego, natomiast (2.38) jest zasad zachowania energii.

ROZDZIAª 3 Zasada Hamiltona Omówione dot d równania i zasady, takie jak równania Newtona, Lagrange'a lub d'alemberta s tzw zasadami innitezymalnymi (zasadami niesko«czenie maªych) lub ró»niczkowymi, gdy» przy ich wyprowadzeniu rozwa»ali±my poªo»enia ukªadu w niesko«czenie maªych przedziaªach czasu. Zawieraj one pochodne wzgl dem czasu wspóªrz dnych PM. Oprócz zasad ró»niczkowych istniej tak»e w mechanice zasady caªkowe. O ile zasady ró»niczkowe rozpatruj ruch ukªadu po zadanej krzywej w kolejnych chwilach czasu, to zasady caªkowe dotycz ruchu ukªadu w caªym przedziale czasu, wybieraj c jedn spo±ród wielu dopuszczalnych krzywych, po których dany ruch mo»e si odbywa. Rozpatrzmy teraz ruch ukªadu w przestrzeni konguracyjnej, tzn przestrzeni utworzonej przez n wspóªrz dnych uogólnionych q 1,..q n, przy czym czas t jest parametrem. W przestrzeni tej poªo»enie caªego ukªadu w danej chwili t wyznaczone jest przez jeden punkt, a ruch ukªadu wyznacza pewn krzyw - trajektori ukªadu. Ruch jest wi c opisany przez funkcj q j = q j (t), (j = 1,...n) i nazwiemy go ruchem rzeczywistym. Zakªadamy przy tym,»e funkcja q j (t) jest funkcja ci gª i dwukrotnie ró»niczkowaln. Oprócz ruchu rzeczywistego mo»liwe sa tak»e inne ruchy zgodne z wi zami, ale tylko z wi zami. Ruchy takie nazywane s ruchami porównawczymi. Zakªadamy tutaj,»e wszystkie ruchy, tak rzeczywisty jak i porównawcze, zaczynaj si i ko«cz w tym samym punkcie. Ruchów porównawczych mo»e by bardzo wiele, ale realizowany jest tylko jeden z nich ruch rzeczywisty zgodny zarówno z wi zami jak i z siªami. Wi zy np. mog ogranicza ruch PM (np kulki) do pewnej powierzchni (np podªogi). Ka»dy ruch po podªodze b dzie wi c ruchem dopuszczalnym przez wi zy, ale pod dziaªaniem konkretnej siªy kulka potoczy si w pewien okre±lony sposób wybrana b dzie konkretna trajektoria, czyli ruch rzeczywisty. Je»eli ruch PM zadany jest przez (3.1) q j = g j (t), to ruch porównawczy mo»emy opisa przy pomocy zale»no±ci q j (t). Oba te ruchy ró»ni si od siebie o pewn wielko± δq(t), która mo»e zmienia si w czasie (3.2) q j (t) = q j (t) + δq j (t). Wariacj wspóªrz dnej uogólnionej nazwiemy teraz wyra»enie δq j = qj (t) q j(t), gdzie qj (t) jest ruchem porównawczym. Mo»emy wi c uwa»a,»e wariacja δq j (t) opisuje odst pstwo krzywej porównawczej od krzywej dla ruchu rzeczywistego. Bior c pochodn wzgl dem czasu z δq j (t) dostajemy,»e (3.3) δ d q j = δ q j = d δq j oraz podobnie dla caªkowania (3.4) δj = δ t1 q(t) = t 0 27 t1 t 0 δq(t).

28 3. ZASADA HAMILTONA q δ q P 2 P 1 Czas Trajektoria rzeczywista (linia ci gªa) i jedna z trajektorii dopuszczalnych (linia kropkowana). P 1 i P 2 to wspólne punkty pocz tkowy i ko«cowy. δq to odst pstwo od ruchu rzeczywistego. Podobne wzory mo»na te» napisa dla wspóªrz dnych kartezja«skich, gdzie teraz wariacja wektora wodz cego b dzie miaªa posta (3.5) δ r i = r i r i. Pami taj c,»e r i = r i (q 1, q 2,..., q n ), mo»emy wyrazi wirtualn zmian (wariacj ) r i poprzez wariacj zmiennych q i (3.6) δ r i = n r i q j δq j a to pokrywa si z podanym poprzednio (2.26) wzorem dla przesuni wirtualnych. Mo»emy wi c powiedzie,»e wariacje wektorów wodz cych s wprost przesuni ciami wirtualnymi punktów ukªadu. W dalszym ci gu interesowa si b dziemy nie dowolnymi ruchami porównawczymi, lecz tylko takimi dla których poªo»enia w ustalonych chwilach t 0 i t 1 (s to zwykle punkt pocz tkowy i ko«cowy) pokrywaj si. Ruchy te maj wi c dwa wspólne punkty w przestrzeni konguracyjnej: q 0 = q(t 0 ) oraz q 1 = q(t 1 ). W punktach tych wariacje znikaj δq j (t 0 ) = δq j (t 1 ) = 0. Zasada Hamiltona pozwala znale¹ trajektori rzeczywist spo±ród wszystkich ruchów porównawczych. Punktem wyj±cia jest znów ogólne równanie dynamiki (2.23) (3.7) N i=1 ( Fi m i a i ) δ r i = 0. Rozpatrzmy teraz caªk tego wyra»enia (3.8) t1 t 0 N i=1 ( Fi m i a i ) δ r i = 0.

3. ZASADA HAMILTONA 29 Scaªkujmy to przez cz ±ci wykorzystuj c fakt,»e w punktach pocz tkowym i ko«cowym wariacje s równe zero, tzn ruchy porównawcze nie ró»ni si od ruchu rzeczywistego. Dostaniemy, caªkuj c pierwszy wyraz (3.9) St d równanie (3.8) = (3.10) t1 t 0 m i ri δ r i = t1 t 0 t1 t 0 [ t1 t 0 m i ri δ r i = δ d r i m i δ r i = t1 t 0 δ m i 2 ṙ i. 2 ( ) ] N 2 m i ṙ i + F 2 i δ r i = 0 i=1 Ale suma wyra»e«w nawiasie () to caªkowita energia kinetyczna T. Mo»emy wi c napisa [ ] t1 N (3.11) δt + F i δ r i = 0 t 0 i=1 Wzór, który otrzymali±my jest to ogólna posta zasady Hamiltona, sªuszna dla dowolnego typu siª. Zaªó»my teraz,»e rozpatrywany ukªad posiada potencjaª V, czyli (3.12) N F i δ r i = δv Zasad Hamiltona (3.11) mo»emy teraz zapisa w prostszej postaci t1 (3.13) (δt δv ) = 0, δ (T V ) = δ t 0 t 0 Istnieje wobec tego funkcja Lagrange'a L. Zdeniujmy wielko± (3.14) W [q 1...q n ] = i=1 t1 t 0 t1 L (q 1...q n, q 1... q n, t). t1 t 0 L = 0 któr nazywamy dziaªaniem Hamiltona w przedziale czasu [t 0, t 1 ]. Dziaªanie to ma wymiar energia czas. Mo»emy teraz sformuªowa zasad Hamiltona dla ukªadów potencjalnych: Dla ruchu rzeczywistego i tylko dla ruchu rzeczywistego, w dowolnym przedziale czasu [t 0, t 1 ] mamy t1 (3.15) δw = δ L (q 1...q n, q 1... q n, t) = 0. t 0 Zasada Hamiltona mo»e by punktem wyj±cia caªej mechaniki klasycznej, mo»na bowiem z niej wyprowadzi RL2.