Rachunek prawdopodobieństwa MAP064 Wydział Elektroniki, rok akad. 08/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 7: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego. Przykłady do zadania 7. : a) Niech X oznacza ocenę z egzaminu w czterostopniowej skali ocen:, 3, 4, 5) losowo wybranego studenta z dużej grupie studenckiej. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli: n 3 4 x n 3 4 5 p n 0, 0,3 0,4 C Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że ocena jest wyższa niż 3. p n 0 C 0 4 p n = 0, + 0, 3 + 0, 4 + C = 0, 8 + C = C = 0, n= Oba warunki spełnione są dla C = 0,. P X > 3) = P X = 4) + P X = 5) = p 3 + p 4 = 0, 4 + 0, = 0, 6 b) Dla jakiej wartości stałej c ciąg p n = c ln ), n =, 3,..., określa rozkład pewnej n zmiennej losowej? Podać trzy różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla każdego z nich prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 5, i mniejsza od 7,9999. p n 0 dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c 0 bo < ). n p n = clnn ) + lnn + ) ln n) = lim cln ) + n= n= n n ln ) = c ln ) = wtedy i tylko wtedy, gdy c = ln. Oba warunki są spełnione dla c = ln. Aby podać rozkład zmiennej losowej z wykorzystaniem p n trzeba jeszcze określić zbiór jej wartości, czyli różnowartościowy ciąg x n ). Przykład. Zmienna losowa X, dla której x n = n dla n =, 3, 4,.... Zbiór wartości to {, 3,...}.) Wtedy P 5, < X < 7, 9999) = P X = 6) + P X = 7) = p 6 + p 7 = ln 36 = ln Przykład. ) + ln 49 )) 0, 07. Zmienna losowa Y, dla której x n = dla n =, 3, 4,.... Zbiór wartości to {6, 4, 3,,...}.) n 5 Wtedy P 5, < Y < 7, 9999) = P Y = 6) = p = ln ) ln 4 0, 45. Przykład 3. Zmienna losowa Z, dla której x n = 8+n dla n =, 3, 4,.... Zbiór wartości to {, 7,...}.) Wtedy P 5, < Z < 7, 9999) = 0.
c) Zmienna losowa X przyjmuje wartość x n = n, n =,,..., z prawdopodobieństwem p n proporcjonalnym do. Wyliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 4,5 i 3n mniejsza od 6,3. ciag {x n } jest różnowartościowy; p n = c 0 dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c 0. 3n p n = c n= n= 3 = c n 3 = c = wtedy i tylko wtedy, gdy c =. 3 Wszystkie warunki na ciąg określający rozkład są spełnione dla c =, tzn. p n = 3 n. P 4, 5 < X < 6, 3) = P X = 6) = p 3 = 0, 074. 33 Przykład do zadania 7. : a) Wiadomo, że % skrzynek pomarańczy psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się 0 skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż 0% badanych skrzynek zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu? Model: schemat Bernoulliego, sukces-wybranie skrzynki z popsutymi owocami, p = 0, 0 %), n = 0. Niech X oznacza ilość skrzynek z popsutymi owocami wśród 0 badanych. X ma rozkład Bernoulliego Bn = 0, p = 0, 0), czyli przyjmuje wartość x k = k z prawdopodobieństwem p k = ) 0 k 0, 0) k 0, 0) 0 k dla k = 0,,..., 0. Transport jest odrzucany, gdy X > 0% 0 =. Prawdop. odrzucenia transportu wynosi zatem P X > ) = P X = 0) P X = ) = = ) 0 0 0, 0) 0 0, 0) 0 ) 0 0, 0) 0, 0) 9 0, 0043. b) Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczyszczeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o dystrybuancie 0 dla x 0, F x) = x 3 4 3x) dla 0 < x, dla x >. Wybrano niezależnie cztery próbki. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że ) dokładnie jedna próbka zawiera ponad 50% zanieczyszczeń; ) co najmniej jedna próbka zawiera ponad 50% zanieczyszczeń.
Model: schemat Bernoulliego, sukces-procent zanieczyszczeń w próbce jest większy niż 50%, czyli X > 0, 5; p = P X > 0, 5) = F x) =, n = 4. 6 lim x 0,5+ Niech Y oznacza ilość próbek z więcej niż 50% zanieczyszczeń wśród 4 badanych czyli ilość sukcesów w n = 4 próbach). Y ma rozkład Bernoulliego B ) n = 4, p = 6, czyli przyjmuje wartość x k = k z prawdopodobieństwem p k = ) ) 4 k ) 4 k k 6 6 dla k = 0,,..., 4. Mamy zatem ) P Y = ) = 4 ) 6 ) ) 3 6 0, 084; ) ) P Y ) = P Y = 0) = 4 0 6 ) 0 ) 4 6 0, 99. c) Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie 6. Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów. Jakie są możliwe wartości X i z jakim prawdopodobieństwem przyjmuje każdą z nich? Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wypadła szóstka, p = 6. X to czas oczekiwania na pierwszy sukces, który przyjmuje wartości k =,,... z prawdopodobieństwami p k = P X = k) = ) k 6 = ) 5 k. 6 5 6 Prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów, wynosi P X parzyste) = p k = ) l 5 5 6 = 5 0, 45. k parzyste Uwaga: jest ono różne od 0,5). l= d) Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich sześć i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi jeszcze co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie wynosi 0,. Model: schemat Bernoulliego, sukces-trafienie na kołek, p = 0,. Wyobraźmy sobie, że mamy nieograniczoną liczbę krążków, i oznaczmy przez Y czas oczekiwania na pierwsze trafienie. Wiemy, że Y ma rozkład geometryczny Geo0, ), czyli przyjmuje wartość x k = k z prawdop. p k = 0, 0, ) k dla k =,,.... Graczowi zostanie co najmniej jeden krążek, gdy Y 5. Szukane prawdopod. wynosi zatem P Y 5) = 5 p k = 5 0, 0, 9) k = 0, 9) 5 0, 4. k= k= 3
Przykłady do zadania 7.3 : a) Dla X o rozkładzie Bernoulliego Bn = 00, p = 0, 0) wyliczyć P X > ) i porównać otrzymany wynik z przybliżeniem Poissona. Ze wzorów dokładnych dostajemy P X > ) = P X = 0) + P X = ) + P X = )) = ) = 0, 99 00 + 00 0, 0 0, 99 99 00 99 + 0, 0 0, 99 98 0, 0794. Z tw. Poissona otrzymujemy przybliżenie P X > ) p 0 p p = 0, 3679 0, 3679 0, 839 = 0, 0803, gdzie p k odczytane są z tablic rozkładu Poissona dla λ = np = 00 0, 0 =. Porównanie otrzymanych wartości P X > ): wzory dokładne z tw. Poissona 0,0794 0,0803 Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza tu np = 0, 0.) b) Wśród ziaren pszenicy znajduje się 0.6% ziaren chwastów. Oszacować na podstawie przybliżenia Poissona, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 000 losowo wybranych ziaren znajduje się ) co najwyżej 6 ziaren chwastów, ) co najmniej 3 ziarna chwastów, 3) dokładnie 6 ziaren chwastów. Oszacować błąd przybliżenia. Model: schemat Bernoulliego, sukces-natrafiono na ziarno chwastu, p = 0, 006, n = 000. Niech X oznacza liczbę sukcesów, czyli liczbę ziaren chwastów wśród 000 ziaren. ) P X 6) 6 p k = 0, 9998; k=0 gdzie p k odczytane są z tablic rozkładu Poissona z λ = np = 000 0, 006 = 6. ) P X 3) p 0 p p = 0, 005 0, 049 0, 0446 = 0, 06 = 0, 9380; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np = 000 0, 006 = 6. 3) P X = 6) p 6 = 0, 606, gdzie p 6 odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np = 000 0, 006 = 6. Błąd przybliżenia w każdym przypadku nie przekracza np = 0, 036. 4
c) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi książkę, wynosi 0,. Reklamę wysłano do osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ) dokładnie osoby, ) więcej niż osoby przyślą zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną i przybliżoną z tw. Poissona. Porównać wyniki. Model: schemat Bernoulliego, sukces-osoba odpowie na reklamę, p = 0,, n =. Niech X oznacza liczbę osób, które zamówiły książkę, czyli liczbę sukcesów. ) Wzór dokładny: P X = ) = ) 0, ) 0, ) 0, 85. Przybliżenie Poissona: P X = ) p = 0, 707; gdzie p odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np = 0, =. ) Wzory dokładne: P X > ) = P X = 0) P X = ) P X = ) = = ) 0 0, ) 0 0, ) 0 ) 0, ) 0, ) ) 0, ) 0, ) = = 0, 9) 0, 0, 9) 9 90 0, ) 0, 9) 8 0, 33. Przybliżenie Poissona: P X > ) p 0 p p = 0, 353 0, 707 0, 707 = 0, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np = 0, =. Porównanie otrzymanych wartości : wzory dokładne z tw. Poissona P X = ) 0,85 0,707 P X > ) 0,33 0,333 Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza np = 0,.) d) Przy masowych prześwietleniach małoobrazkowych prawdopodobieństwo natrafienia na chorego na gruźlicę jest 0,0. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 0 ludzi prześwietlonych będzie nie mniej niż 3 chorych. Oszacować błąd przybliżenia. Model: schemat Bernoulliego, sukces-pacjent jest chory, p = 0, 0, n = 0. Niech X oznacza liczbę chorych. Mamy oszacować P X 3). Przybliżenie Poissona: P X 3) p 0 p p = = 0, 353 0, 707 0, 707 = 0, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np = 0 0, 0 =. Błąd przybliżenia nie przekracza np = 0, 0. 5