Niestandardowe ujęcie dynamiki relatywistycznej oraz klasycznej teorii elektromagnetyzmu Krzysztof Rębilas Katedra Chemii i Fizyki, Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołłątaja w Krakowie Al. Mickiewicza 21, 31-120 Kraków
Wiedzębudujesięzfaktów,jakdomzkamienia; ale zbiór faktów nie jest wiedzą, jak stos kamieni nie jest domem. Henri Poincaré
Plan wykładu Relatywistyczne równanie ruchu- wydedukować zamiast postulować. Niezmienniczość relatywistycznego równania ruchu- wykazać dla dowolnej siły(nie tylko siły Lorentza). Relatywistyczne równanie ruchu wyrazić poprzez Lorentzowsko niezmiennicze trójwymiarowe wektory Euklidesoweprawdziwa inwariantność zamiast jedynie kowariantności standardowego równania. Wyprowadzić równania Maxwella z prawa Gaussa. Wyprowadzić ogólne pola Maxwella z prawa Gaussa. Wyprowadzić relatywistyczne równanie ruchu spinu z równania nierelatywistycznego.
Bibliografia 1. K. Rębilas, A way to discover Maxwell equations theoretically, Foundations of Physics Letters 19(4), 337-351(2006). 2. K. Rębilas, Reducing Maxwell s equations to Gauss law, Physics Essays 19(3), 434-446(2006). 3. K. Rębilas, Alternative method of developing Maxwell s fields, Apeiron 14(4), 464-480(2007). 4. K. Rębilas, Derivation of the relativistic momentum and relativistic equation of motion from Newton s second law and Minkowskian space-time geometry, Apeiron 15(3), 206-221(2008). 5. K. Rębilas, Lorentz invariant three-vectors and alternative formulation of relativistic dynamics, American Journal of Physics 78, 294-299(2010). 6. K. Rębilas, Simple approach to relativistic spin dynamics, American Journal of Physics 79, 1064-1067(2011). 7. K. Rębilas, Thomas Precession and the Bargmann-Michel-Telegdi Equation, Foundations of Physics 41, 1800-1809(2011).
Fizyka Newtonowska S S r r ' V t' t Transformacja Galileusza: r= r + Vt t=t
Fizyka Newtonowska S S a' d v ' d t' V a d v d t Transformacja Galileusza: r= r + Vt Wniosek: t=t a= a
Fizyka Newtonowska S S F' m a' V F m a W układzie S: F=m a, WukładzieS : F =m a. Dla sił niezależnych od prędkości i zależnych jedynie od względnychpołożeńciał, F= F( r i r j ), F= F.
Fizyka Newtonowska S S F' m a' V F m a ZarównowukładzieSjakiS obowiązujetosamorównanieruchu: F=m a Spełniona jest zasada względności: Prawa fizyki mają tę samą postać w każdym układzie inercjalnym.
Fizyka Newtonowska S S F' m a' V F m a Równanie: F=m a jest nie tylko strukturalnie ale i numerycznie tożsame w dowolnym układzie inercjalnym- silna postać zasady względności.
Teoria względności S S r r ' V t' t Transformacja Lorentza: r= r + γ 1 V 2 ( V r ) V+γ Vt, ( t=γ t V r + ) c 2
Teoria względności S S a' d v ' d t' V a d v d t Wniosek: a = ) 3/2 (1 V2 c a = 2 ( V v 1+ ) 3 a c ) (1 2 V2 ( ) c 2 ( V v 1+ ) 3 a +V c 2 ( a v ) c 2
Dynamika relatywistyczna Jak uratować zasadę względności? Definiujemy czterowektor pędu: p µ =m(cγ v,γ v v),składowaprzestrzenna: p=mγ v v Postulujemy relatywistyczne równanie ruchu: gdzie: K µ = dpµ dτ,składowaprzestrzenna: F= d p dt F v K µ = (γ v,γ c vf) czterowektorsiły(siłaminkowskiego).
Dynamika relatywistyczna TransformacjaLorentzaΛ µ νdziałataksamonakażdy czterowektor: K µ = dpµ dτ, Λ µ ν Kν = Λ µ ν K µ = dp µ dτ dp ν dτ Λµ ν (Kν dpν dτ )=0 Wniosek- spełniona jest zasada względności: Równanie ruchu: K µ = dpµ dτ ma tę samą postać w każdym układzie odniesienia(jest kowariantne).
Kowariantne sformułowanie dynamiki relatywistycznej S S K Μ d p Μ dτ V K Μ d pμ dτ K µ ik µ niesąniezmiennicze(sąnumerycznieróżne);podobnie p µ ip µ orazdp µ /dτidp µ /dτ-kontrastwzględemfizykinewtona. K µ idp µ /dτsąjedyniewspółzmiennicze.
Dynamika relatywistyczna Zasada względności wyrażona jako strukturalna niezmienniczość równania czteorowektorowego K µ = dpµ dτ Trywialne; osiągnięte za cenę sztucznej konstrukcjiczterowektory to obiekty nadmiarowe: K µ =(γ vf v/c,γ }{{} vf ) }{{} K 0 = v K/c K Zasada względności powinna być spełniona dla fizycznie istotnej składowej przestrzennej równania ruchu: F= d p dt.
Dynamika relatywistyczna Czyli oczekujemy, że równanie: F= d p dt ma tę samą postać w każdym układzie odniesienia. Nietrywialne! Składowa przestrzenna transformacji Lorentza Λ µ ν Kν =Λ µ ν dpν dτ,czylitransformacjawektora F: F= F +γ F +γ v ( ) V c 2 F, Zasada względności(jej fizycznie istotna treść) implikuje, że: Dladowolnejsiływektory F i Fbędąmiećtęsamąpostaćw układziesis.
Elektromagnetyzm SzczególnawłasnośćsiłyLorentzaipól Ei B. W układzie S: d p dt =q E+q v B, gdziepola Eoraz BspełniająrównaniaMaxwella: E= ρ ɛ 0 (1) B 1 c 2 E t = j c 2 ɛ 0 (2) E+ B t =0 (3) B=0 (4)
Elektromagnetyzm TransformacjaLorentzadoukładuS : d p dt = ( ) d p dt V Uwzględniając, że: oraz ( ) d p +γ V dt V γ V v d p dt =q E+q v B, ( V v= v + V+(γ 1) V V [( v V)+V 2 ] ( 2 γ 1 v V ) c 2 otrzymujemy(dzieją się cuda): c 2 d p dt dp ( ) ( dt =q E +γ E V +γ VV B +qv B +γ B V γ ) V c 2 V E. ),
dp ( ) ( dt =q E +γ VE +γ VV B +qv B +γ VB γ ) V c 2 V E. Definiujemy: E = E +γ V E +γ V V B, B = B +γ VB γ V c 2 V E. imamy: dp dt =qe +qv B. TasamapostaćcowukładzieS: d p dt =q E+q v B.
Ale,czyqE +qv B tosiłalorentzawukładzies?polae orazb powinnyspełniaćrównaniamaxwellaws we współrzędnych r it : r = r+ γ 1 V 2 ( V r) V γ Vt, t =γ ( t V r c 2 Odpowiedź:q E +q v B jestsiłąlorentza;pola E oraz B spełniają równania Maxwella: E = ρ ɛ 0 B 1 c 2 E t = j E + B t =0 B =0 c 2 ɛ 0 ).
Konkluzja: GdyskładowaprzestrzennaK µ tosiłalorentza, współzmienniczośćk µ = dpµ dτ współzmienniczość F=q E+q v B. Dlatego sformułowanie czterowektorowe strukturalnej niezmienniczości równania ruchu w dziedzinie elektrodynamiki nie budzi kontrowersji. CozsiłamiinnyminiżsiłaLorentza?Czy(iwjakimsensie)można oczekiwać, że dowolna siła zachowa swą postać przy transformacji Lorentza?
Relatywistyka- ujęcie niestandardowe Zamiast postulować relatywistyczne równanie ruchu, wyprowadzić je z... drugiej zasady dynamiki Newtona!
Relatywistyka- ujęcie niestandardowe S R v F R m a R W układzie spoczynkowym cząstki: F R =m a R. To samo równanie zapisane we współrzędnych układu S: ( ) ( ) d p d p F R = +γ v, dt dt p=mγ v v-pędrelatywistyczny.
Wyprowadzenie relatywistycznego równania ruchu Druga zasada dynamiki Newtona zapisana w układzie S: F R = ( ) d p dt ( ) d p +γ v dt jest równoważna relatywistycznemu równaniu ruchu w standardowej postaci: F= d p dt nie trzeba postulować gdzie: F ( ( F R ), ( F R ) γ v ). - definicja siły relatywistycznej w oparciu o siłę Newtonowską.
Dyskusja Standardowe uzasadnienie dla pędu relatywistycznego i równania ruchu: Analiza zderzeń. Wielkość zachowana to relatywistyczny pęd p=mγ v v. Ale brak związku pędu relatywistycznego p z siłą zmieniającą pęd. Potrzebny oddzielny postulat: F= d p dt. Sprawdzamy, czy spełniona jest zasada korespondencji: F= d p dt v c 0 F=m a.
Dyskusja Nowa propozycja: Wychodzimy od uznanego równania ruchu Newtona: Wyprowadzamy: F R = F R =m a R. ( ) d p dt F = d p dt, F ( ) d p +γ v dt ( ( F R ), ( F R ) γ v Definicja pędu relatywistycznego oraz jego związek z siłą pojawia się automatycznie. Spełnienie zasady korespondencji gwarantowane. ).
Jawna postać i definicja strukturalnej niezmienniczości R F R m a R S v F d p dt F F R v F R v Γ v S v F' d p dt F' F R v' F R v' Γ v' Ogólna definicja współzmienniczej postaci siły- w oparciu o F R,aniejakorelacja F( F ). Jawne spełnienie współzmienniczości trójwymiarowego, tj. fizycznie istotnego równania ruchu dla dowolnej siły.
Niezmienniki transformacji Lorentza Znany skalarny niezmiennik transformacji Lorentza: Dlaczegods 2 jestniezmiennicze? ds 2 =dt 2 dx 2 dy 2 dz 2.
Faktualneuzasadnienieniezmienniczościds 2 R l S v S v' l 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 l 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2
Faktualneuzasadnienieniezmienniczościds 2 Niezmienniczość interwału jednoznaczność wyniku pomiaru w układzie spoczynkowym. R Τ S v S v' Τ 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 Τ 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2
Lorentzowsko niezmienniczy wektor Euklidesowy R m a R S v m a R d p d p Γ v dt v dt v S v' m a R d p' d p' Γ v' dt' v' dt' v' ( ) d p dt ( ) d p +γ v = dt ( ) dp dt v +γ v ( ) dp dt v!
Niezmiennicze wektorowe równanie ruchu Równanie ruchu w układzie R: F R (t R, x R )=m a R jako równanie ruchu w układzie S: albowukładzies : F R (t, x)= F R (t, x )= ( ) d p dt v ( ) dp dt ( ) d p +γ v dt v v +γ v ( ) dp Wszędzietasamasiła F R -wyrażanawodpowiednichzmiennych. dt v
Niezmiennicze wektorowe równanie ruchu Zalety: F R (t, x)= ( ) d p dt v ( ) d p +γ v dt v Niezmiennicze strukturalnie i numerycznie(standardowe równanie- jedynie kowariantne). Lepiej niż w fizyce Newtonowskiej, bo bez zastrzeżeń co do rodzaju siły. Wektor ( ) d p dt ( ) d p +γ v dt to absolutna(taka sama w każdym układzie) miara efektu działania siły; nie wszystko jest względne w teorii względności (por. przyspieszenie w fizyce Newtonowskiej). Nie trzeba transformować siły.
Przykład: Elektrodynamika Podejście standardowe. W układzie S: d p dt =q E+q v B. WukładzieS : przy czym: d p dt =q E +q v B, E = E +γ V E +γ V V B, B = B +γ V B γ V c 2 V E. Jedynie współzmienniczość.
Przykład: Elektrodynamika Podejście alternatywne. W układzie S: ( ) ( ) d p d p +γ v dt dt WukładzieS : ( ) dp dt v v +γ v v ( ) dp dt =q E R. v =q E R. WystarczyznaćpoleelektryczneE R,byopisaćruchładunkuw dowolnym układzie odniesienia. Uwaga: ( d p dt ) v ( ) d p +γ v =q( E v dt +γ ve +γ v v v ) B. v Jeszcze jeden wektorowy inwariant: E v +γ v E v +γ v v B.
Niezmienniki transformacji Lorentza Odpowiedniki: l 2 cdt 2 dx 2 dy 2 dz 2, m a R ( ) d p dt v ( ) d p +γ v, dt v E R E v +γ v E v +γ v v B. Fundamentalne znaczenie wielkości własnych- wyrażone w innych układach odniesienia generują wielkości Lorentzowsko niezmiennicze.
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Równania Maxwella: E= ρ ɛ 0 Prawo Gaussa B 1 E c 2 t = j c 2 ɛ 0 E+ B t =0 Prawo Ampera Maxwella Prawo Faradaya B=0 PrawoGaussadlamagnetyzmu oraz siła Lorentza: d p dt =q E+q v B jako niezależne równania?
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Znany fakt: Równania Maxwella Lorentzowsko współzmiennicze. Novum: Równania Maxwella jak i siłę Lorentza można odkryć na drodze teoretycznej. Punktem wyjścia jest: Transformacja Lorentza: Prawo Gaussa: r= r + γ 1 V 2 ( V r ) V+γ Vt, ( t=γ t V r + ) c 2. E= ρ ɛ 0.
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Relatywistyka standardowa(kowariantna). Równanie ruchu w układzie S: F= d p dt, iwukładzies : F = d p dt. Transformacja Lorentza związek między siłami: F= F +γ F +γ v ( ) V c 2 F. Nie jest to standardowy wzór transformacyjny- v po prawej stronietoprędkośćws(niews ). Fundamentalny wzór dla dalszej analizy.
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa F= F +γ F +γ v ( V c 2 F ) Wprowadzamyoznaczenia Ei B:. E= F +γ F oraz B=γ ( ) V c 2 F V = c 2 E.
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Dladowolnejsiły F zukładus,siła FwukładzieodniesieniaS ma postać: F= E+ v B, zcałkiemogólnymi Ei B: E= F +γ F B= V c 2 E. (Natymetapie, F= E+ v BtoniejestsiłaLorentza- F całkiem dowolna.)
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Niech F =q E -siłacoulombaws. ŹródłoQspoczywawS. S F q E q v B S Q q F q E v V
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Dla F =q E,siławukładzieS: F= E+ v B F=q E+q v B, gdzie E q Ei B q Boraz: E= E +γ E, B= V c 2 E. E niezależyodprędkościcząstki v wielkości Ei Btakże niezależne od prędkości ładunku q(pola). Ei Bniesązdefiniowaneniezależnie. Jakierelacjewiążązesobąwielkości Ei B?
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Mamy do dyspozycji: Prawo Gaussa w układzie spoczynkowym źródła: E = Qδ( r r Q ) ɛ 0. Definicjepól: E= E +γ E, B= V E. c 2 Transformaję Lorentza: x =γ 1 V 2 V x( V )+ x γv x c 2 t, y =γ 1 V 2 V y( V )+ y γv y c 2 t, z =γ 1 V 2 V z( V )+ z γv z c 2 t, t =γ t γ V.
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Bezpośredni rachunek: E= 1 ɛ 0 Qδ( r r Q ). B= 1 c 2 E t + j c 2 ɛ 0. E= B t. B=0. Wniosek:Pola Ei BspełniająrównaniaMaxwella;sątopola elektryczne i magnetyczne w układzie S. Otrzymana z siły Coulombasiła F=q E+q v BtosiłaLorentza.
Wyprowadzenie równań Maxwella z prawa Gaussa Bardziej szczegółowo: E x =E x E y =γe y E z =γe z E= x E x x x +γ E y y +γ E z z =γ E =γ 1 Qδ( r r ɛ Q), 0 oraz δ(f(x))= n δ(x x n ) f (x n ) δ( r r Q)= 1 γ δ( r r Q), zatem: E= 1 ɛ 0 Qδ( r r Q ). Pole EspełniaprawoGaussa.
Wyprowadzenie prawa Ampera-Maxwella B 1 E c t= j 2 c 2 ɛ 0 Liczymyrotacjępola B: B= ( V c 2 E) = 1 c 2 V( E) 1 c 2 E( V)+ 1 c 2( E ) V 1 c 2( V ) E Prędkość V-stała(formalnie,stałe pole ): B= 1 c 2 V( E) 1 c 2( V ) E. Z ogólnej transformacji Lorentza: V =γ V γβ 2 t t = γ V +γ t.
Wyprowadzenie prawa Ampera-Maxwella B 1 E c t= j 2 c 2 ɛ 0 Zatem: Czyli: V = 1 γ t t. B= 1 c 2 V( E)+ 1 c 2 E t 1 γc 2 E t. E= ρ ɛ 0. Vρtogęstośćprądu j. Ejestzdefiniowanyprzez E,któreniezależyodt. Ostatecznie: B 1 c 2 E t = j c 2 ɛ 0.
WyprowadzenieprawaFaradaya E+ B t=0 Z transformacji Lorentza: x =γ 1 V 2 V x( V )+ x γv x c 2 t, y =γ 1 V 2 V y( V )+ y γv y c 2 t, z =γ 1 V 2 V z( V )+ z γv z c 2 t. γ V =γ t t, E= E +γ E = E +(γ 1) 1 V 2( V E ) V.
WyprowadzenieprawaFaradaya E+ B t=0 Cierpliwieliczymyrotacjępola E... ( ) E= γ 1 γv 2 +γ 1 γ 2 V 2 t ( V E)= 1 c 2 t ( V E) albo E+ B t =0.
WyprowadzenieprawaGaussadlamagnetyzmu B=0 B= 1 c 2 ( V E)= 1 c 2 E ( V) 1 c 2 V ( E). Pierwszy człon równy zero. Drugi człon z prawa Faradaya: 1 c 2 V V ( V E)=0. ( ) B = 1 ) V ( t c 4 t ( V E) = 1 c 4 V ( t V E). Ostatecznie: B=0.
Wyprowadzenie równań Maxwella Ogólna konkluzja: Równania Maxwella można odkryć na drodze teoretycznej. Dlapól Ei BzdefiniowanychtransformacjąLorentza: gdzie: F =q E T.L. F=q E+q v B, E= E +γ E, B= V c 2 E, oraz E = Qδ( r r Q ), ɛ 0 równania Maxwella to tożsamości algebraiczne. Widać, że równania Maxwella są Lorentzowsko współzmiennicze(układ S jest dowolny)- kowariantność można pokazać nie używając rachunku tensorowego.
Wyprowadzenie równań Maxwella Bonus: Ogólne rozwiązania równań Maxwella obejmują także przypadek przyspieszających źródeł.
Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella Wymagane mocniejsze założenia: Polewytwarzanewprzestrzeniwczasietzależyodpołożeniai ruchuźródławretardowanejchwiliτ=t R ret /c,gdzie: R ret = r(t) r Q (τ). Dla dowolnego ruchu źródła pola siła w każdym układzie odniesienia ma postać: F=q E+q v B. DladowolnegoruchuźródłapoleelektryczneEspełniaw każdym układzie odniesienia prawo Gaussa: E= 1 Q i δ( r r Qi ). ɛ 0 Uwaga: Z ostatnich dwóch założeń wynika prawo Ampera-Maxwella B 1 E c 2 t = j c 2 ɛ 0 dladowolnie poruszającychsięźródeł-możnaznaleźćpoleb. i
Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa SpoczywająceźródłoQchwilowoprzyspieszonewmomenciet 0. Przyspieszenie: a=cd β/dt.następnieruchjednostajnyz prędkościąd β.przemieszczeniepoczasiet: r=d β(t t 0 ). cdt E 2 P E 1 n ret a Dr
Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa E a E 2 E 1 cdt R ret n ret q A 2 a A 1
Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa E a E 2 E 1 Fundamentalne spostrzeżenie: n ret q R ret A 2 cdt Prawo Gaussa wymaga istnienia dodatkowegopola E a prostopadłegodo R ret,które kompensuje strumień dawany przezpola E 1 i E2. a A 1
Wyprowadzenie ogólnych pól Maxwella z prawa Gaussa Ostatecznie: E= Q [ n ] β 4πɛ 0 γ 2 (1 β n) 3 R 2 ret + Q 4πɛ 0 c 2 [ ] n ( n β) a (1 β n) 3 R ret, - ogólne pola Maxwella. B= n ret c E
Relatywistyczne równanie ruchu spinu W chwilowym spoczynkowym układzie odniesienia: s= ge 2mc s B, - klasyczne nierelatywistyczne równanie. Równanie Bargmanna, Michela i Telegdi(BMT): Ṡ µ = ge [ F µν S ν + 1 2mc c 2Uµ (S λ F λν U ν ) ] 1 c 2Uµ (S λ U λ ), -postulat. Równanie BMT można wyprowadzić w sposób jednoznaczny z równania nierelatywistycznego( Simple approach to relativistic spin dynamics, American Journal of Physics 79, 1064-1067(2011)).
Równanie ruchu dla fizycznego spinu s Równanie BMT- okrężna droga do poznania ruchu fizycznego spinu s.czterospins µ niemaprostejinterpretacjifizycznej. n s S S 0 =γ(s 0 + β s) S= s+ γ2 γ+1 ( β s) β+γ βs 0.
Równanie ruchu dla fizycznego spinu s Jak(i czy) równanie BMT uwzględnia precesję Thomasa? Problem: Jak opisać ruch wektora s z punktu widzenia laboratorium?(formalnie s jest zdefiniowany w układzie spoczynkowym.) Przyjmujemy postulat BMT: s jest w układzie spoczynkowym częściączterowektoras µ =(0, s);wlaboratoryjnym: S µ =(S 0, S). s 0 =γ(s 0 β S), s= S+ γ2 γ+1 ( β S) β γ βs 0. s= s(s µ, β)-dobrzezdefiniowanywlaboratoriumprzez chwilową transformację Lorentza. Przyróżniczkowaniuwektora s(s µ, β), βtraktowaćjako wielkość zmieniającą się w czasie- także różniczkować!
Równanie ruchu dla fizycznego spinu s ( ) d s = dt lab ( ) d s + dt β=constant ( ) d s. dt S=constant ( ) d s = d S dt β=constant dt + γ2 ( β d S ) β γ ds 0 β γ+1 dt dt, ( ) ( ) d s d s. dt dt β=constant rest ( ) d s dt S=constant = d dt ( γ 2 γ+1 ) ( β S) β+ γ2 γ+1 (d β dt S) β + γ2 γ+1 ( β S) d β dt dγ dt βs 0 γ d β dt S0.
Równanie ruchu dla fizycznego spinu s gdzie: ( ) ( d s = γ2 dt S=constant γ+1 s β d ) β = ω T s, dt ω T = γ2 dβ γ+1dt β, - prędkość kątowa precesji Thomasa. Ostatecznie, pełne równanie ruchu w układzie laboratoryjnym: ( ) d s = dt lab ( ) d s + ω T s, dt rest - równanie BMT w języku fizycznego spinu s.
Równanie ruchu dla fizycznego spinu s Zalety: ( ) d s = dt lab ( ) d s + ω T s, dt rest Automatycznie i w sposób jawny pokazuje obecność precesji Thomasa. Prosta interpretacja w porównaniu do oryginalnego równania BMT. Zawiera fizyczny spin s- do bezpośredniego zastosowania eksperymentalnego. Lorentzowsko współzmiennicze trójwymiarowe równanie ruchu.
Podsumowanie Fizyka(klasyczna) w układzie spoczynkowym plus transformacja Lorentza pozwala wydedukować w sposób jednoznaczny: Relatywistyczne równanie ruchu i jego strukturalną niezmienniczość dla dowolnego wektora siły. Lorentzowsko niezmiennicze wektory- silna niezmienniczość prawa ruchu zamiast jedynie współzmienniczości. Równania Maxwella. Relatywistyczne równanie ruchu spinu BMT oraz jego odpowiednik w języku fizycznego wektora spinu. Wyprowadzone prawa są kowariantne(lub wręcz inwariantne), choć sformułowane w oparciu o zwykłe wektory Euklidesowe. Prawa fizyki w chwilowym układzie spoczynkowym ciała są nie tyle granicznym przypadkiem ogólnych praw relatywistycznych, co raczej fundamentem, z którego ogólne prawa da się w sposób ścisły wyprowadzić.
Dziękuję za uwagę.