Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49, PWN, Warszawa 1977 [KM] M Kargapolov, J Merzljakov, Podstawy teorii grup, PWN, Warszawa 1976 [BJ] M Bryński, J Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1 Obliczyć rze dy grup izometrii bry l platońskich 2 Obliczyć rza d grupy przekszta lceń kostki Rubika 3 Czy istnieje skończony uk lad generatorów grupy Q +? 4 Sprawdzić, że SL 2 (Z) jest generowana przez macierze A = ( ) 0 1, B = 1 0 ( ) 0 1 1 1 5 Niech G 1 i G 2 be podgrupami pewnej ustalonej grupy Udowodnić G 1 G 2 G 1 G 2 = G 1 G 2 Uawaga: zbiór G 1 G 2 = {g 1 g 2 : g 1 G 1, g 2 G 2 } nie musi być grupa 6 Udowodnoć, że Q + nie zawiera podgrupy skończonego indeksu > 1 7 Znaleźć GL n (F q ), SL n (F q ) i Sp n (F q ), gdzie F q jest cia lem q-elementowym, a grupa Sp n (F ( ) q ) 0 I oznacza grupe macierzy 2n 2n spe lniaja cych warunek A T JA = J, a J jest macierza blokowa I 0 8 (pis) Centrum grupy to Z(G) = {g G : h G gh = hg} Znależć Z(GL n (F)) i Z(SL n (F)) 9 (pis) Niech φ(n) = ilość liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych z n i mniejszych od n (funkcja Möbiusa) Udowodnić, że dla każdej liczby a wzgle dnie pierwszej z n mamy a φ(n) 1 mod n To jest tw Eulera, udowodnić je z tw Lagrange a 10 Niech (G, +, 0) be przemienna Mówimy, że G jest podzielna, jeśli g G n N \ {0} h G nh = g Wykazać, że grupa podzienlna nie ma w laściwych podgrup skończonego indeksu 11 a) Niech G Q be dzie zbiorem u lamków, które w postaci nieskracalnej maja mianowniki be ce pote ga liczby p (Oznaczenie Z[1/p]) Czy Z[1/p] ma podgrupe skończonego indeksu? b) Niech G Q be dzie zbiorem u lamków, które w postaci nieskracalnej maja mianowniki wzgle dnie pierwsze z liczba p (Oznaczenie Z (p) ) Czy Z (p) ma podgrupe skończonego indeksu? Naste pne dwa zadania to przyk lady grup Coxetera, be dziemy je robić w drugiej kolejności 12 Niech G GL n (Z[t, t 1 ]) be przez permutacje wspó lrze dnych i macierze diagonalne Diag(t a 1, t a 2,, t an ), n i=1 a i = 0 Wykazać, że istnieje uk lad generatorów s 0, s 1, s n 1, spel lniaja cy s 2 i = 1, s i s j = s j s i dla i j ±1 mod n, (s i s i+1 ) 3 = 1 (i + 1 rozumiane modulo n) 1
13 Niech G GL n (Z), n 4 be przez permutacje wspó lrze dnych i macierze diagonalne D = Diag(±1, ±1,, ±1), det(d) = 1 Wykazać, że istnieje uk lad generatorów s 1, s 2, s n 1, s n 1, spe lniajacy s 2 i = 1, s 2 n 1 = 1 s i s j = s j s i dla i j 1, s i s n 1 = s n 1 s i dla i n 2, (s i s i+1 ) 3 = 1, (s n 2 s n 1 )3 = 1 14 (pis) Wykazać, że grupa wolna o 2 generatorach zawiera grupe wolna o przeliczalnie wielu generatorach 15 Niech A be przemienna, H Aut(A) Niech grupa G be permutacji zbioru A, przez H i przekszta lcenia T r a dla a A (definiujemy T r a (b) = a + b) Wykazać, że jako zbiory G = H A Opisać dzia lanie w G 16 Wykazać, że istnieje epimorfizm GL 2 (F 3 ) Σ 4 z ja drem {I, I} (tzn P GL 2 (F 3 ) Σ 4 ) 17 Czy grupa izometrii sześcianu zachowuja cych orientacje O 48 SO(3) jest izomorficzna z Σ 4? 18 Znaleźć epimorfizm Σ 4 Σ 3 19 Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna 20 H < G, N G to (NH)/N H/(N H) 21 (pis) Jesli G nieprzemienna, to G podzielona przez centrum G/Z(G) nie jest cykliczna 22 * Grupa automorfizmow grupy nieprzemiennej nie jest cykliczna (Wsk: z poprzedniego zadania) 23 Wykazać że jeśli liczba pierwsza p dzieli rza d grupy, to istnieje element rze du p 24 Przecie cie skończonej liczby podgrup normalnych skończonego indeksu ma skończony indeks 25 Niech H i K be dwiema podgrupami normalnymi w G, H K = {1} Udowodnić, że każdy element z H jest przemienny z każdym elementem w K 26 Podać klasyfikacje grup rze du 10 27 Znaleźć wszystkie podgrupy normalne grupy O(3) macierzy 3 3 spe lniaja cych A T A = I 28 * Znaleźć wszystkie podgrupy skończone grupy O(3) macierzy 3 3 spe lniaja cych A T A = I 29 Każdy element komutanta może być przedstawiony w postaci a 1 a 2 a n a 1 1 a 1 2 a 1 n 30 Cykle d lugości 3 generuja A n 31 Opisać klasy sprze żoności elementów w Σ 5 i w A 5 2
32 Czy Inn(Σ n ) = Aut(Σ n ) dla n = 2, 3, 4, 5? Uwaga: wyja tkowo Inn(Σ 6 ) Aut(Σ 6 ) (Wiki: Automorphisms of the symmetric and alternating groups oraz [KM], str 30, gdzie omawia sie w lasność G Aut(G) nies lusznie nazwana doskona lościa Dla nas grupa doskona la, to taka, że G = [G, G]) 33 (pis) Jeśli G = pq (p i q liczby pierwsze), a) to G nie jest prosta, b) G jest produktem pó lprostym Z p i Z q 34 (pis) H/(N H) (H N)/N 35 (pis) Inn(G) Aut(G) 36 (pis) Ab(GL n (K)) =? 37 p liczba pierwsza Wykazać, że dowolna grupa rze du p k ma nietrywialne centrum 38 p liczba pierwsza G = p k, {1} N G to N Z(G) {1} 39 * Jeśli G = pqr (p, q i r liczby pierwsze), pokazać, że G nie jest prosta 40 p liczba pierwsza Pokazać, że Σ p jest generowana przez dowolny cykl d lugości p i dowolna transpozycje 41 (pis) Niech H < K < G oraz H G Wykazać H K i (G/H)/(K/H) G/K jako zbiory Jeśli ponadto K/H G/H to K G oraz (G/H)/(K/H) G/K jako grupy 42 (pis) a) Wskazać dwie nieizomorficzne nieprzemienne grupy rze du 125 b) Czy istnieje jeszcze trzecia grupa nieprzemienna, która jest nieizomorficzna ze wskazanymi w punkcie a)? 43 (pis) a) Wskazać podgrupe rze du 5 6 w Σ 25 b) Niech p be dzie liczba pierwsza, n N Wskazać p-podgrupe Sylowa w Σ n 44 * Niech H < G be dzie w laściwa skończonego indeksu Wykazać, że G g G ghg 1 45 Udowodnić G\X = 1 G X g g G 46 Niech H be prosta, H G, H 2 nie dzieli G Udowodnić, że H jest jedyna izomorficzna z H G 47 Niech G = [G, G] grupa doskona la, K G cykliczna podgrupa normalna Pokazać, że K < Z(G) 48 Niech A n < A be podgrupami grupy abelowej oraz n N A n = A Za lóżmy, że ( ) n A n A k = 0 k<n Wykazać, że A n N A n, tzn dla dowolnej rodziny homomorfizmów f n : A n B istnieje przekszta lcenie f : A B takie, że f An = f n (Uwaga: N można zasta pć zbiorem dowolnym indeksów, podać odpowiebnie sformu lowanie tezy) 3
49 Funkcja G G, g g 1 jest homomorfizmem wtady i tylko wtedy gdy G jest przemienna 50 Dla f, g Hom(G, H) określamy f g : G H, (f g)(x) = f(x) g(x) Wykazać, że gdy H jest abelowa, to f g jest homomorfizmem 51 Niech A, B, C, D be grupami abelowymi Mówimy, że cia g homomorfizmów A B C jest dok ladny w miejscu B, gdy im(a B) = ker(b C) Za lóżmy, że 0 A B C 0 jest dok ladny w miejscach A, B i C W którym z miejsc jest dok ladny oczywisty cia g 0 Hom(D, A) Hom(D, B) Hom(D, C) 0? 52 Za lożenia tjw W którym z miejsc jest dok ladny oczywisty cia g 0 Hom(C, D) Hom(B, D) Hom(A, D) 0? 53 Za lożenia tjw oraz za lóżmy dodadkowo A jest podzielna W którym z miejsc jest dok ladny oczywisty cia g 0 Hom(D, A) Hom(D, B) Hom(D, C) 0? 54 Podać przyk lad grupy abelowej beztorsyjnej A takiej, że istnieje epimorfizm p : B A z grupy abelowej B nie maja cy przekroju (tzn nie istnieje s : A B spe lniaja cego p s = id A ) 55 Niech A, B, C be grupami przemiennymi Za lóżmy, że 0 A f B g C 0 jest dok ladny w miejscach A, B i C Wykazać, że gdy istnieje h : B A, takie h f = id A, to B A C Czy wynikanie w odwrotna strone jest prawdziwe? Analogicznie rozważyć warunek: istnieje k : C B taki, że g k = id C 56 (pis) Dana grupa abelowa A = Z n /im(φ), gdzie φ : Z m Z n jest zadane wzorem ( m ) m m m φ(a 1, a 2,, a m ) = a i, i a i, i 2 a i, i n 1 a i i=1 i=1 i=1 i=1 Przedstawić A w postaci produktu grup cyklicznych 57 (pis) Czy każda grupa rze du 595 jest cykliczna? 58 (pis) Dla jakiego n istnieje grupa prosta rze du 3 n 7? 59 Niech grupa G dzia la na grupe H przez automorfizmy Podać wzór na centrum H G wyrażony za pomoca niezmienników G, H i dzia lania 60 Czy Q Q Q? 61 Udowodnić, że grupa Σ n ma przedstawienie: generatory: transpozycje s i = (i, i + 1) dla i = 1, s,, n 1 relacje: s 2 i = 1, s i s j = s j s i dla i j 1, (s i s i+1 ) 3 = 1 VERTE 4
We czwartek o g 15 jest kolokwium Zamiast ćwiczeń rano zrobimy konsultacje: jeśli ktoś be dzie mia l pytanie, to postaram sie odpowiedzieć Możemy też robić zadania 64, 67, 68, 69, 72, 73 62 Podgrupa grupy nilpotentnej jest nilpotentna 63 Iloraz grupy nilpotentnej jest grupa nilpotentna 64 * W grupie nilpotentnej G, zbiór elementów torsyjnych tworzy podgrupe (Ewentualnie patrz [KM]) 65 Niech G be przez skończony zbiór A Przez g oznaczamy d lugość najkrótszego s lowa reprezentuja cego g Definiujemy d(g, h) = gh 1 Udowodnić, że d jest metryka (odleg lościa ), w szczególności spe lnia nierówność trójka ta 1 66 Grupa Heisenberga 0 1 ma wzrost r 4 0 0 1 67 * Grupy nilpotentne maja wzrost wielomianowy 68 * SL 2 (Z) ma wzrost wyk ladniczy 69 * Niech A = E 1,2 (1) SL 2 (Z) be dzie macierza elementarna Udowodnić, że grupa generowana przez A i A T jest wolna 70 Niech Λ R n be dzie krata, tzn Λ jako podgrupa grupy R n jest generowana przez wektory stanowia ce baze R n Udowodnić, że Λ Z n (to chyba bardzo latwe) 71 Niech G O(n) be dzie skończona grupy izometrii przestrzeni R n Za lóżmy, że: (1) G zachowuje pewna krate Λ R n (2) G jest generowana przez odbicia (tzn symetrie prostopad le) s v wzge dem hiperp laszczyzn H v = v dla v A Λ Wykazać, że element s v s w dla v, w A może być rze du 1, 2, 3, 4 lub 6 72 (Rozk lad Bruhata) Niech B GL n (K) oznacza grupe macierzy górnotrójka tnych Dla w Σ n niech a w oznacza macierz permutacji Udowodnić, że GL n (K) jest suma roz la czna zbiorów X w = B a w B = {b 1 a w b 2 b 1, b 2 B} gdzie w przebiega Σ n 73 Znaleźć normalizator grupy macierzy górnotrójka tnych B GL n (F) 5