Relacje Kramersa Kroniga

Relacje Kramersa Kroniga

Relacje Kramersa-Kroniga wiążą ze sobą część rzeczywistą i urojoną każej funkcji, która jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Pozwalają na otrzymanie części rzeczywistej z urojonej i owrotnie. Przenikalność elektryczna opisuje właściwości elektryczne materiału (wzajemny wpływ pola elektrycznego i materiału nieprzewozącego): gzie część rzeczywista związana jest z energią zmagazynowaną w materiale, a część urojona określa yssypację (stratę) energii w strukturze. Poatność elektryczna opisuje łatwość polaryzacji materiału nieprzewozącego na skutek pola elektrycznego.

Założenie: intensywność fali elektromagnetycznej jest wystarczająco słaba, żeby wywołana polaryzacja liniowo zależała o pola elektrycznego. Wówczas przenikalność oraz poatność elektryczna opisują liniowe opowiezi ośroka na zewnętrzne pole. Przenikalność elektryczną można przestawić w postaci: A po rozszerzeniu na płaszczyznę zespoloną: gzie i 2 Ponieważ opowieź na ane pole (np. polaryzacja) nie może go wyprzezić, funkcja f ąży o zera la. 0 f i 2 e e

Doatkowo o zera ąży różnica f i la 0 funkcja pocałkowa jest zawsze ograniczona, a przenikalność elektryczna jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie zmiennej (równoważne przyczynowości zarzeń). 0 Rozważmy całkę po konturze (la owolnego konturu z tw. o resiuach): 0

Wartość całki wynosi zero, gyż zgonie z postawowym twierzeniem Cauchy ego, całka po roze zamkniętej z funkcji analitycznej (brak osobliwości) jest równa zero. Oznaczmy funkcję pocałkową jako. Całkę możemy zapisać jako sumę całek po poszczególnych częściach konturu S: Dla oraz : R 0 r R r r R S S S 2 0 S 2 i S R r r R

Otrzymujemy więc: Natępnie porównujemy opowienio części rzeczywiste i urojone obu stron: relacje KK (matem.) Korzystając z zależności: wiemy, że oraz 2 2

Ostatecznie zależności mają postać: Relacje (związki yspersyjne) łączące część rzeczywistą i urojoną przenikalności elektrycznej noszą nazwę relacji Kramersa-Kroniga. Doatkowo w szczególnym przypaku: gzie 0 jest stałą elektryczną materiału.

Z rugiej strony: gzie N jest koncentracją elektronów, e jego łaunkiem a m masą. W analogiczny sposób relacje Kramersa-Kroniga łączą ze sobą część rzeczywistą i urojoną zespolonego współczynnika załamania:

Można również pokazać, że: czyli, że niskoczęstotliwościowy współczynnik załamania jest określony przez pole powierzchni po krzywą współczynnika absorpcji. Ekstrapolacja relacji Kramersa-Kroniga pozwala wyznaczyć przenikalność elektryczną lub stałe optyczne, mając o yspozycji wyniki pomiarów współczynnika obicia w ograniczonym zakresie spektralnym. n oraz mogą być wyznaczone z wima obicia (łatwiejszy pomiar), wykorzystując zespoloną postać współczynnika obicia:

Ponieważ pomiar obicia jest barzo truny la całego zakresu częstotliwości (o zera o nieskończoności), potrzebna jest ekstrapolacja niskich oraz wysokich częstotliwości. W przypaku małych częstotliwości i nieomieszkowanego półprzewonika, współczynnik obicia przyjmuje się jako stały. Dla barzo użych częstotliwości, półprzewonik może być przybliżony gazem swobonych elektronów, la których przenikalność elektryczna wyrażona jest przez: p gzie jest częstością plazmy i zależy jeynie o gęstości elektronów walencyjnych (pozostałe elektrony są związane na tyle silnie, że ich wkła o przenikalności elektrycznej może być zwykle zaniebany).