Definicje. r r r r. Struktura kryształu. Sieć Bravais go. Baza

Podobne dokumenty
KRYSTALOGRAFIA. pokój 7 w Gmachu Głównym konsultacje: czwartek 8-9. Treść wykładów: a/

Struktura kryształów. Kittel, rozdz. 1 (Uwaga błędna terminologia!) Ashcroft, Mermin, rozdz.

Położenia, kierunki, płaszczyzny

Skala wielkości spotykanych w krystalografii: Rozmiar komórki elementarnej: od 2 Å do kilkadziesięciu Å. Sieci Bravais go. Body-Centered Cubic (I)

Aby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.

Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania

Szkice rozwiązań zadań zawody rejonowe 2019

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

STRUKTURA KRYSTALICZNA

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych (1101-4FS22) Michał Baj

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Krzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią.

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

G i m n a z j a l i s t ó w

1 Definicja całki podwójnej po prostokącie

BUDOWA KRYSTALICZNA CIAŁ STAŁYCH. Stopień uporządkowania struktury wewnętrznej ciał stałych decyduje o ich podziale

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Całki podwójne i potrójne

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Aby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.

Geometria analityczna

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Układ regularny. Układ regularny. Możliwe elementy symetrii: Możliwe elementy symetrii: 3 osie 3- krotne. m płaszczyzny przekątne.

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wykªad 8. Pochodna kierunkowa.

Elementy teorii powierzchni metali

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Wykład 5. Komórka elementarna. Sieci Bravais go

Metody generowania skończonych modeli zachowań systemów z czasem

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

STRUKTURA CIAŁA STAŁEGO

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

Iloczyn skalarny

Rozwiązanie: Zadanie 2

Laboratorium z Krystalografii. 2 godz.

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

Układy krystalograficzne

Morfologia kryształów

Kształty komórek elementarnych

Sieć przestrzenna. c r. b r. a r. komórka elementarna. r r

Wstęp. Krystalografia geometryczna

STRUKTURA MATERIAŁÓW

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Klasyfikacja trójkątów

a) b) Rys Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

Analiza matematyczna i algebra liniowa

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Rodzina i pas płaszczyzn sieciowych

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

Roztwory rzeczywiste (1) Roztwory rzeczywiste (2) Funkcje nadmiarowe. Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 (A) i CH 3 OH (B).

Elementy symetrii makroskopowej.

2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

S 2, C 2h,D 2h,D 3d,D 4h, D 6h, O h

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

8. 1. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. Definicje funkcji trygonometrycznych kata ostrego. b- przyprostokątna przy α

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania

Algebra WYKŁAD 8 ALGEBRA

Zagadnienie brachistochrony jako przyk lad zastosowania rachunku wariacyjnego

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

Grupy przestrzenne i ich symbolika

Obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów poprzecznych pręta

Wymagania edukacyjne z matematyki

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

MATERIA. = m i liczby całkowite. ciała stałe. - kryształy - ciała bezpostaciowe (amorficzne) - ciecze KRYSZTAŁY. Periodyczność

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Skrypt 18. Trygonometria

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

WYKRESY PARĆ HYDROSTATYCZNYCH

f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.

Krystalochemia białek 2016/2017

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Wykład 4: Struktura krystaliczna

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

GRANIASTOSŁUPY

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Transkrypt:

Definije Sieć Brvis'go - Nieskońzon sieć punktów przestrzeni tkih, że otozenie kżdego punktu jest identyzne Nieskońzon sieć punktów przestrzeni otrzymnyh wskutek przesunięi jednego punktu o wszystkie możliwe wektory typu: r r r r = n + n b + n T 1 2 3 Gdzie lizby n są lizbmi łkowitymi, wektory, b i są to tzw. wektory prymitywne (trzy njkrótsze wektory, nie leżąe w jednej płszzyźnie, tworząe dną sieć jk wersory n osih ukłdu współrzędnyh) Bz tomow - Grup tomów przyporządkown kżdemu punktowi (węzłowi) siei Brvis'go. Komórk prymitywn - NAJMNIEJSZA brył geometryzn (zzwyzj wielośin), któr po trnsljh o wszystkie możliwe kombinje wektorów prymitywnyh (wszystkie możliwe wektory trnslji) wypełni łą przestrzeń bez dziur i nkłdni się. Komórk elementrn -Brył geometryzn (zzwyzj wielośin), któr po trnsljh o niektóre kombinje wektorów prymitywnyh (niektóre wektory trnslji) wypełni łą przestrzeń bez dziur i nkłdni się. Njzęśiej wybier się je tk, by odzwieriedlły symetrię krysztłu. Sieć Brvis go Struktur krysztłu Bz 1

Siei Brvis go regulrne Simple prymitywn Cubi (P) Wewnętrznie Body-Centered Cubi (I) entrown (b) Fe-Centered Śiennie Cubi (F) entrown (f) Simple Body-Centered Tetrgonlne: (P) prymitywn Tetrgonl (I) i wewnętrznie entrown Siei Brvis go Rombowe b Bse-Centered Orthorhombi (C) b Fe-Centered Orthorhombi (F) 120º Hexgonl heksgonln (H) b Simple Orthorhombi (P) b Body-Centered Orthorhombi (I) α α α Rhombohedrl romboedryzn (R) 2

Siei Brvis go β b Simple Monolini jednoskośne (P) β b Bse-Centered Monolini (C) β α Trilini (P) trójskośn γ b Resumują, istnieje tylko: 7 ksztłtów komórek elementrnyh 14 typów siei Brvis'go 3

Osie krystlogrfizne Osie krystlogrfizne: ukłd osi współrzędnyh zzepiony w wierzhołku komórki elementrnej Prmetry komórek elementrnyh Prmetry komórki elementrnej: długośi krwędzi komórki elementrnej (są to odległośi jednostkowe n osih krystlogrfiznyh), orz kąty pomiędzy osimi. 4

Zestwienie niektóryh dnyh poszzególnyh komórek elementrnyh Regulrn Tetrgonln Rombow Heksgonln Romboedryzn lub trygonln Jednoskośn Trójskośn () 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Lerning Położenie punktów w krysztle Współrzędne punktów w komóre elementrnej wyrż się tk smo jk współrzędne punktów w ukłdzie współrzędnyh w geometrii nlityznej, le jednostkmi n osih są prmetry komórki, b,. 5

Wskźniki punktów Z b 1,1,1 0,0,0 Y X 1,0,0 ½,½,0 Wskźniki punktów 6

Wskźniki kierunków w krysztle Trzy lizby łkowite, względem siebie pierwsze [uvw]. Jeżeli prost przehodzi przez pozątek ukłdu współrzędnyh, to współrzędne pierwszego węzł leżąego n prostej, o ile są łkowite, stnowią wskźniki prostej. Jeśli nie są łkowite, to trzeb je sprowdzić do wspólnego minownik - lizniki stnowią wskźniki kierunku. Wskźniki kierunków w krysztle Jeżeli prost nie przehodzi przez pozątek ukłdu, to jej wskźniki wyznzmy tk, jk współrzędne wektor i sprowdzmy je do lizb łkowityh. 7

Kierunki Z [010] 0,1,1-1,1,0= 1,1,1-1,0,1=[0 1 0] [1 0 1] [0 1 0] Y X Kierunki Z 0, 1, 1 1 1 0 = 2 2 1 0 = 1 1 1 2 = 1 2 ½, 0, ½ Pozbywmy się ułmków, mnożą przez 2 i otrzymujemy: Y X [1 2 1] 8

Niektóre kierunki w krysztle są sobie równowżne. Zpisujemy je wtedy w nwish trójkątnyh. Np. () 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Lerning Wskźniki Miller płszzyzn Trzy lizby łkowite, względem siebie pierwsze* (hkl). Jeżeli płszzyzn nie przehodzi przez pozątek ukłdu współrzędnyh, le jest mu njbliższ, to odwrotnośi współrzędnyh punktów przeięi płszzyzny z osimi, o ile są łkowite, stnowią wskźniki płszzyzny. 9

Wskźniki Miller płszzyzn Jeśli odwrotnośi współrzędnyh punktów przeięi płszzyzny z osimi nie są łkowite, to trzeb je sprowdzić do wspólnego minownik - lizniki stnowią wskźniki płszzyzny. Płszzyzny Z ( 1 1 1) Y X 10

Wyznznie wskźników Miller Sposób pierwszy: 1. Wyznz współrzędne punktów przeięi płszzyzny z osimi krystlogrfiznymi (jko krotnośi stłyh siei). 2. Znjdź ih odwrotnośi 3. Przemnóż je przez wspólny minownik, by otrzymć lizby łkowite, względem siebie pierwsze. () 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Lerning A 1. Wskźniki punktów przeięi płszzyzny z osimi: x = 1, y = 1, z = 1 2.1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1 3. W wyniku nie m ni ułmków, ni wzjemnie podzielnyh lizb łkowityh, ztem wynik: 4. (111) 11

() 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Lerning B 1. x = 1, y = 2, i z = 2.1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0 3. Pozbywmy się ułmków, mnożą wszystkie lizby przez wspólny minownik 1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0 4. (210) () 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Lerning C 1. Musimy przesunąć ukłd współrzędnyh, by płszzyzn nie przehodził przez 0, 0, 0. Np. o jedną jednostkę w kierunku osi y. Terz, x =, y = -1 i z = 2.1/x = 0, 1/y = -1, 1/z = 0 3. Nie m ułmków. (1 1 0) 12

Wskźniki Miller (102) (111) ( 11 1) (896) 2 3 1 3 4 Wyznznie wskźników Miller Sposób drugi (w ukłdzie prostokątnym): 1. Wyznz współrzędne trzeh punktów n płszzyźnie. 2. Wstw je do równni płszzyzny: 3. Ax+By+Cz=D 4. Z równni płszzyzny wyznz współrzędne punktów przeięi z osimi x, y, z. 13

Niektóre płszzyzny w krysztle są sobie równowżne. Zpisujemy je wtedy w nwish klmrowyh. N przykłd: Uwg: w strukturze heksgonlnej używ się ztereh osi i ztereh wskźników. Osie pokzne są n rysunku. () 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Lerning 14

Płszzyzny A 1. 1 = 2 = 3 =, = 1 2. 1/ 1 = 1/ 2 = 1/ 3 = 0, 1/ = 1 3. Nie m ułmków 4. (0001) () 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Lerning B 1. 1 = 1, 2 = 1, 3 = -1/2, = 1 2. 1/ 1 = 1, 1/ 2 = 1, 1/ 3 = -2, 1/ = 1 3. Nie m ułmków 4. (1121) kierunek C 1. Dw punkty 0, 0, 1 i 1, 0, 0. 2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = 1, 0, 1 3. Nie m ułmków. 4. [101 ]or[2113 Rodzin płszzyzn równoległyh m tkie sme wsźniki Miller 15

Odległośi między płszzyznmi Wskźniki Miller pozwlją oblizyć odległośi między sąsiednimi płszzyznmi o tyh smyh wskźnikh. Np. w strukturh regulrnyh: d hkl = 2 2 h + k + l 2 gdzie jest długośią krwędzi komórki elementrnej Ps płszzyzn W krystlogrfii definiuje się również pojęie tzw ps płszzyzn: są to płszzyzny równoległe do pewnej prostej (oś ps). 16

Ps płszzyzn Jeżeli oś ps jest prostą o wskźnikh [u,v,w], to płszzyzny (hkl) nleżą do tego ps, jeżeli: uh+vk+wl=0 Litertur Donld R. Askelnd, Prdeep P. Phule, The Siene nd Engineering of Mterils. Z. Bojrski, M. Gigl, K. Stróż, M. Surowie, Krystlogrfi 17