ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta Pręt obciążony siłami podłużnymi (działającymi wzdłuż osi pręta) nazywamy prętem rozciąganym, gdyż siła podłużna jest dodatnia (N = + P, P > 0), a więc wtedy, gdy wskutek działania siły podłużnej nastąpi wydłużenie pręta. Natomiast ze ściskaniem mamy do czynienia w przypadku przeciwnym, czyli N = - P, przy której nastąpi skrócenie pręta. W przypadku rozciągania (ściskania) realizowany jest jednokierunkowy (jednoosiowy, płaski) stan naprężenia w każdym punkcie pręta, w związku z czym w takim przypadku występują tylko naprężenia normalne σ. Sposób obciążenia pręta ma istotny wpływ na rozkład naprężeń normalnych σ. Na rysunku (5.1) pokazano trzy przypadki obciążenia pręta siłą ściskającą P. Rys. 5.1
W pierwszym przypadku siła P przekazywana jest poprzez idealnie sztywną płytkę o przekroju równym przekrojowi pręta. W drugim przypadku ta sama siła P działa poprzez idealnie sztywną płytkę o przekroju mniejszym od przekroju pręta, natomiast w trzecim siła P (o tej samej wartości) działa poprzez idealnie sztywną kulkę realizując obciążenie punktowe. Rzeczywisty rozkład naprężeń w każdym z prętów pokazano na rysunku 5.1. Naprężenia w bliskiej odległości od miejsca przyłożenia siły znacznie różnią się od siebie. Natomiast w odległości znacznie przekraczającej wymiary poprzeczne pręta, (L > 1,5d), naprężenia mają wartości stałe. Zasadę tę możemy sformułować w następujący sposób: jeżeli na pewien niewielki obszar ciała jednorodnego będącego w równowadze działają kolejno rozmaicie rozmieszczone ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości od obszaru przewyższającej wyraźnie jego rozmiary, powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia. Powyższe twierdzenie nazywamy zasadą de Saint Venanta. Podstawowe wiadomości z rozciągania i ściskania Na prosty pręt o stałym przekroju (rys. 5.2) działa układ sił, lub jedna siła P, która w każdym przekroju wywołuje siłę rozciągającą N = P. Rys. 5.2.
W dowolnym, prostopadłym do osi pręta przekroju poprzecznym, pręta obciążonego siłą P (rozciągającą lub ściskającą) panuje wg zasady de Saint Venanta naprężenie równomiernie rozłożone na całym przekroju i zakładamy, że będą to wyłącznie naprężenia normalne σ. Układ sił elementarnych σd musi się równoważyć z siłą P (N), stąd możemy napisać warunek równowagi: σd = P Całkując powyższe wyrażenie otrzymamy: σ = P (5.1) Obliczone wg (12.1) naprężenie powinno spełniać warunek wytrzymałości: σ = P k (5.2) przy czym: k = k r tj. dopuszczalne naprężenie na rozciąganie, (k c dopuszczalne naprężenie na ściskanie). Wzorem (5.1) można się posługiwać w trojaki sposób: - jeżeli jest dana siła P oraz k, to możemy obliczyć przekrój, P k - jeśli dany jest przekrój oraz k, to możemy obliczyć siłę P, jaką można obciążyć rozpatrywany pręt P k - jeżeli dana jest siła P oraz przekrój, to możemy sprawdzić, czy powstałe naprężenia nie przekraczają wartości dopuszczalnej; σ = P k Podany wzór (5.2) nie uwzględnia wpływu ciężaru własnego pręta, który nie w każdym przypadku może być pominięty. Przyjmując oznaczenia wg (rys. 5.3) czyli: L długość pręta, stały przekrój, γ ciężar właściwy, E moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga), znajdujemy:
oraz dla z = l σ = G z = γz = γz, (5.3) σ max = γl Rys. 5.3 Według (3.1): ε z = 1 E σ z = 1 E γz, czyli wydłużenie odcinka o długość dz wynosi: λ z = ε z dz = 1 E γzdz, natomiast wydłużenie całkowite: gdzie: λ = γ E G = γl i oznacza ciężar pręta. zdz = γl2 E = Gl E, (5.4) Ze wzoru (5.4) można obliczyć długość pręta, przy której naprężenia wywołane ciężarem własnym pręta osiągają wartość wytrzymałości materiału R r. Wielkość tę nazywamy długością zerwania.
l r = R r γ W przypadku gdy pręt jest ponadto obciążony siłą użytkową F u, mamy zgodnie z (4.2) ale: F u + G k r, G = γl, dlatego po przekształceniach otrzymamy: (5.5) = F u k r - γl. (5.6) Określenie zależności między odkształceniami a naprężeniami ciał rzeczywistych (prawo Hooke a) pozwala nam na rozwiązywanie układów określanych w mechanice jako statycznie niewyznaczalne. Brakująca liczba równań równowagi określa stopień statycznej niewyznaczalności. Rozwiązywanie układów statycznie niewyznaczalnych (w przypadku rozciągania, ściskania) polega na napisaniu równań równowagi dla danego układu, natomiast za brakujące równania piszemy warunki zgodności odkształceń (musimy napisać tyle warunków zgodności odkształceń, jaka jest krotność statycznej niewyznaczalności). Naprężenia dopuszczalne k (σ dop ) definiujemy jako: k (σ dop ) = R n (5.7) gdzie: n współczynnik bezpieczeństwa (pewności). Ustalenie wartości n współczynnika bezpieczeństwa jest jednym z ważniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych. Współczynnik ten powinien uwzględniać prawdopodobieństwo zupełnie przypadkowych odstępstw od warunków przyjętych za podstawę odliczeń. Zdarzające się od czasu do czasu katastrofy budowlane, uszkodzenia maszyn itp. wypadki, pociągające za sobą ofiary w ludziach i straty materialne, powodowane są przeważnie tym, że dopuszczone zostały zbyt duże naprężenia, a więc przyjęto zbyt małe wartości współczynnika bezpieczeństwa. Zdarzają się jednak również przypadki odwrotne, kiedy wskutek przyjęcia zbyt dużych wartości współczynnika bezpieczeństwa projektuje się konstrukcje o przesadnych wymiarach. Powoduje to stratę materiałów konstrukcyjnych i zbędne, a często szkodliwe zwiększenie ciężaru projektowanej konstrukcji.
Stale polepszająca się jakość materiałów konstrukcyjnych i coraz dokładniejsze metody obliczeń wytrzymałościowych stwarzają podstawę do projektowania z coraz mniejszym współczynnikiem bezpieczeństwa n, a tym samym mniejszym zużyciem materiałów. Na wielkość współczynnika bezpieczeństwa ma wpływ wiele czynników, a mianowicie: - narażenie życia ludzkiego w przypadku zniszczenia konstrukcji, - odpowiedzialność elementu konstrukcyjnego (zniszczenie elementu może spowodować zniszczenie całej konstrukcji), - naprężenia wstępne, - niejednorodność materiału, - wpływy przypadkowych wstrząsów, drgań, obciążeń, - negatywny wpływ stanu powierzchni, - możliwość wystąpienia korozji, - bardziej złożony kształt, - zmniejszona kontrola jakości, Przykład Obliczyć i porównać wartości jednostkowej sztywności rozciągania dwóch prętów przedstawionych na rys. 5.13. Pręty wykonane są z tego samego materiału o module Younga E. Iloraz średnic jest równy α = d D = 0,8. Do jakiej wartości α jednostkowe sztywności rozciągania obu prętów będą jednakowe. Rozwiązanie: Rys. 5.13
Jednostkową sztywność rozciągania określa się jako wartość siły potrzebnej do wywołania jednostkowego zwiększenia lub zmniejszenia długości pręta czyli: c = P Δl (1) Ponieważ zgodnie z prawem Hooke a: więc: Δl = P l E, c = E l. Wydłużenie pręta o zmiennej średnicy wynosi: Δl 1 = Pl 2 E 1 4 πd2 + Pl 2 E 1 4 πd2 Δl 1 = P 2l(D 2 + d 2 ) πed 2 D 2. (2) Podstawiając zależność (2) do (1) otrzymamy: c 1 = c 1 = πed 2 D 2 2l(D 2 + d 2 ) πed 2 2l(1 + α 2 ). nalogicznie, dla pręta o przekroju pierścieniowym wydłużenie wynosi: Pl Δl 2 = πe 1 4 (D2 - d 2 ), czyli: Δl 2 = πe(d2 - d 2 ) 4l, Δl 2 = πed2 (1 - α 2 ) 4l. Dla α = 0,8 iloraz jednostkowych sztywności wynosi:
c 1 πed 2 4l c = 2 2l(1 + α 2 ) πed 2 (1 - α 2 ) = 2α2 1 - α 4 = 2 0,64 1-0,41 c 1 c 2 = 2,17. Jednostkowe sztywności rozciągania będą miały jednakowe wartości, jeżeli: c 1 c 2 = 2α2 1 - α 4 = 1 Po rozwiązaniu równania: α 4 + 2α 2 1 = 0 dochodzimy do wyniku α = 0,643
SKRĘCNIE PRĘTÓW O PRZEKROJCH ŚRODKOWO SYMETRYCZNYCH Jeżeli na pręt działają wzajemnie równoważące się pary sił leżące w różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta, to pręt ulega skręceniu (rys. 6.1). Rys. 6.1 Wymienione pary sił nazywamy momentami skręcającymi i oznaczamy je M Si. Moment skręcający w przekroju α-α pręta równy jest sumie algebraicznej momentów M Si działających na pręt po jednej stronie przekroju (rys. 6.1a), czyli: M Sα = M Si = B M Si (6.1) Ze względu na potrzebę jednoznacznego określenia zwrotu momentu skręcającego wprowadzamy następującą umowę (rys. 6.1b): moment skręcający uważać będziemy za dodatni, jeśli wektor M S ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej do przekroju; w przeciwnym przypadku moment skręcający uważać będziemy za ujemny. Przy działaniu wektora momentu skręcającego M S, jako składowej wektora momentu ogólnego M równoległej do osi pręta, występuje odkształcenie które określamy jako skręcanie. Związku pomiędzy obciążeniem zewnętrznym M S a wywołanymi przez to obciążenie naprężeniami będziemy poszukiwać poprzez obserwację naprężeń, przy czym ograniczymy się tylko do prętów okrągłych. Nanosimy na zewnętrzną powierzchnię walcową pręta (rys. 6.2a) siatkę złożoną z tworzących walca i kół, odpowiadających przekrojom poprzecznym. Przy obciążeniu pręta walcowego momentem M S zauważamy, że narysowane koła doznają obrotu wokół osi pręta, bez widocznych deformacji, a tworzące przyjmują
kształt linii śrubowych, przy czym długość pierwotna walca nie ulega zmianie. Brak wydłużeń i przewężeń w skręcanym wale okrągłym, równoznaczny z brakiem odkształceń objętościowych, pozwala przyjąć założenie, że naprężenia σ = 0, a zmiana kształtu jest spowodowana występowaniem jedynie naprężeń stycznych τ i to zarówno w przekrojach poprzecznych, jak i podłużnych. Rys. 6.2a,b,c,d Rozkładu naprężeń w dowolnym przekroju poprzecznym nie można ustalić jedynie na podstawie obserwacji powierzchni skręcanego wału. Musimy przyjąć pewne hipotezy obliczeniowe (które znalazły potwierdzenie w doświadczeniach), a mianowicie:
- naprężenia styczne τ zwiększają się proporcjonalnie do odległości od osi wału, poczynając od zera w jego środku do wartości maksymalnych we włóknach skrajnych; - naprężenia te są styczne do odpowiednich okręgów, czyli są prostopadłe do odpowiednich promieni; - siły styczne elementarne τd w przekroju tworzą układ, który redukuje się do wypadkowej pary sił, równoważnej momentowi skręcającemu M S. Przyjmując powyższe założenia i uwzględniając pokazane na rys. (6.2b,c,d) zależności geometryczne, a mianowicie; znajdujemy γdx = rdυ, γ = r dυ dx, (6.2) a zgodnie z rys. (6.2d) w odległości ρ od osi pręta według (3.4): γ ρ = ρ dυ dx (6.3) γ = τ G zatem τ ρ = Gρ dυ dx Ostatnie założenie wyraża zależność (6.4) τ ρ d ρ = M S, (6.5) w której d oznacza element powierzchni przekroju. Podstawiając w równaniu (6.5) zależność (6.4) otrzymamy: M = Uwzględniając, że: Gρ 2 dυ dυ dx d = dx G ρ 2 d ρ 2 d = J o jest biegunowym momentem bezwładności przekroju, a zgodnie z (6.4) Gdυ dx = τ ρ ρ,
znajdujemy czyli M S = dυ dx G J o = τ ρ Jo ρ, (6.6) τ ρ = M S J o ρ (6.7) Największe naprężenia wystąpią na obwodzie i wynoszą: τ max = M S J o r (6.8) Oznaczając wskaźnik wytrzymałości na skręcanie J o r = W o (6.9) możemy wzór (6.8) przedstawić następująco: τ max = M S W o (6.10) Z równania (6.6) można znaleźć kąt obrotu przekrojów, przypadający na jednostkę długości między dwoma przekrojami dυ dx = M S G J o (6.11) Zależność na długości l (6.11) można wyrazić wzorem ogólnym: υ = W przypadku, gdy na całej długości l, to otrzymamy: lub po podstawieniu (6.8) l M S G J o dx (6.12) M S = const i G J o = const υ = M Sl G J o (6.13) υ = τ maxl G r Obliczony w mierze łukowej kąt obrotu przekrojów można wyrazić w mierze kątowej υ = 180 π (6.14) M Sl G J o (6.15) Zgodnie ze wzorem (6.8) największe naprężenia τ występują w wałach na ich obwodzie, natomiast w środku spadają do zera. Wynika stąd, że wytrzymałość wału jest wykorzystywana na jego obwodzie. W celu lepszego wykorzystania materiału wprowadza się
wały wydrążone, które są znacznie lżejsze od wałów pełnych. Jednocześnie przy zachowaniu jednakowej wytrzymałości na skręcanie wały wydrążone, z uwagi na większą średnicę są sztywniejsze od wałów pełnych. Pomimo zwiększonego kosztu produkcji zysk ekonomiczny stosowania wałów wydrążonych jest oczywisty. Podsumowując, możemy więc stwierdzić, że zarówno w przekrojach poprzecznych, jak i podłużnych pręta skręcanego o przekroju środkowo symetrycznym istnieją jedynie naprężenia styczne τ, natomiast naprężenia normalne σ są równe zero. Podstawowe zależności dla prętów kołowo-symetrycznych pełnych oraz pierścieniowych, podane zostały w tablicy 6.1. Lp. Nazwa, rysunek 1 przekrój kołowy Zależności J o = πr4 2 = πd4 32 0,1 d4 W o = J o = πd3 0,2 d3 d 16 2 Tablica 6.1 przekrój pierścieniowy J o = π 2 (r 2 4 r 1 4 ) = π 32 (D4 d 4 ) 0,1 (D 4 d 4 ) 2 W o = π 16 D 4 - d 4 D 0,2 D4 - d 4 D J o = πd4 32 (1 α4 ) 0,1 D 4 (1 - α 4 ) W o = πd3 16 (1 α4 ) 0,2 D 3 (1 - α 4 )
ZGINNIE Podział zginania Zginanie belek ze względu na zmienność momentu zginającego wzdłuż długości belki możemy podzielić na: - Zginanie równomierne. Jest to takie zginanie, w którym moment zginający M g = const, a siły poprzeczne T = 0. - Zginanie nierównomierne. W tym przypadku moment zginający oraz siła poprzeczna zmieniają się wzdłuż długości belki M g const, T const. - Zginanie proste. Z takim przypadkiem mamy do czynienia wtedy, gdy wektor momentu zginającego pokrywa się z jedną z głównych, centralnych osi bezwładności przekroju. - Zginanie ukośne. Występuje wtedy, gdy wektor momentu zginającego nie pokrywa się z żadną z głównych, centralnych osi bezwładności przekroju belki. W związku z powyższym mamy do czynienia z czterema przypadkami zginania, a mianowicie: - zginanie równomierne proste, - zginanie równomierne ukośne, - zginanie nierównomierne proste, - zginanie nierównomierne ukośne. W niniejszym rozdziale zajmiemy się tylko przypadkiem zginania równomiernego prostego. Zginanie równomierne proste by uzyskać wiadomości o rozkładzie naprężeń w przypadku zginania, wykonamy na bokach zginanego pręta (podobnie jak w przypadku skręcania) prostokątną siatkę (rys. 7.1). Obciążamy belkę równoważącymi się parami sił o momentach M w taki sposób, aby kierunki wektorów momentów pokrywały się z kierunkiem jednej z osi symetrii. W każdym przekroju wystąpi wyłącznie moment gnący o stałej wartości M g = M. Odkształcenie zginanego pręta przedstawi się nam wyłącznie jako zakrzywienie linii podłużnych siatki osi pręta. Natomiast linie pionowe pozostaną proste, a kontur przekroju pozostanie nadal płaski. Na tej podstawie możemy przyjąć, że powierzchnie przekrojów zachowują również swoją płaskość. Myślowo dzieląc całą belkę na podłużne elementy (włókna) stwierdzimy, że
włókna po stronie wklęsłej belki uległy skróceniu, natomiast po stronie wypukłej uległy wydłużeniu. Rys. 7.1 Z przedstawionego rozumowania wynika, że w belce istnieje warstwa, w której włókna nie zmieniły swej pierwotnej długości, jaką miały przed odkształceniem. Warstwę tę nazywamy warstwą obojętną, a jej ślad w płaszczyźnie przekroju linią lub osią obojętną. Przyjęcie tzw. przekrojów płaskich oraz istnienie warstwy obojętnej pozwala stwierdzić, że odkształcenia zwiększają swoje wartości wprost proporcjonalnie do odległości rozpatrywanej warstwy od osi obojętnej. Założenie, że w rozpatrywanym przypadku występuje wyłącznie moment gnący i to stały na całej długości, prowadzi do wniosku, że w poszczególnych przekrojach poprzecznych wystąpią jedynie naprężenia normalne. Podobnie uzasadnione jest przyjęcie, że w przekrojach podłużnych pręta nie będzie żadnych naprężeń, co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że włókna podłużne nie wywierają na siebie żadnych sił. Teorię zginania równomiernego prostego opieramy na następujących założeniach: - przekrój pręta płaski przed odkształceniem pozostaje płaski i po odkształceniu, - istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania momentu zginającego, - w przekroju poprzecznym pręta występują wyłącznie naprężenia normalne, brak jest natomiast naprężeń w przekrojach podłużnych.
W przypadku zginania wygodnie jest wprowadzić umowę dotyczącą układu współrzędnych. Przyjmujemy mianowicie oś x wzdłuż osi pręta, oś y wzdłuż krawędzi przecięcia przekroju z płaszczyzną działania momentu zginającego natomiast oś z, wzdłuż krawędzi przecięcia przekroju z warstwą obojętną. Zwroty poszczególnych osi przyjmuje się następująco: początek osi x obieramy w jednym z końców pręta i nadajemy zwrot w stronę drugiego końca. Zwrot osi y przyjmujemy w stronę wypukłości linii ugięcia, zaś zwrot osi z zgodnie z układem prawoskrętnym (rys. 7.2). W tak przyjętym układzie osi położenie dowolnego punktu belki, np., można określić współrzędną x wspólną dla wszystkich punktów przekroju poprzecznego belki zawierającego punkt oraz współrzędnymi y i z tegoż punktu. Rys. 7.2 Wytnijmy z belki element pręta przed odkształceniem (rys. 7.3a) oraz po odkształceniu (rys. 7.3b) Biorąc pod uwagę włókno odległe o y od warstwy obojętnej, którego długość pierwotna (przed odkształceniem) wynosiła dx = ds, a po odkształceniu wynosi ds(1 + ε) (gdzie ε jest odkształceniem właściwym), znajdujemy zależność a stąd przy czym: ds(1 + ε) ρ + y = ds ρ, ε = y ρ, (7.1)
ρ promień krzywizny warstwy obojętnej. Rys. 7.3a,b,c (rys. 7.3c). Z warunku równowagi sił zewnętrznych i sił wewnętrznych naprężeń znajdziemy Σ X = Σ M y = Σ M z = σd = 0 (7.2) (σd)z = 0 (7.3) (σyd)y - M g = 0 (7.4) Korzystając z prawa Hooke a (wzór 3.1) i wstawiając do wzoru (7.1) otrzymamy: σ = E ρ y (7.5) Jest to wzór ustalający prawo rozkładu naprężeń w przekroju, zgodnie z założeniem płaskich przekrojów. Wykorzystując zależność (7.5) i wstawiając ją kolejno do wzorów (7.2), (7.3), (7.4), po uporządkowaniu otrzymamy: E ρ yd = 0 (7.6)
E ρ yzd = 0 (7.7) E ρ y 2 d = M g (7.8) Ze względu na stałą i różną od zera wartość czynnika przed znakiem całek z równania (7.6) wynika, że: yd = 0. Oznacza to, że moment statyczny przekroju względem osi z jest równy zeru. Oś ta jest zatem osią obojętną i przechodzi przez środek ciężkości przekroju. Z równania (7.7) wynika natomiast, że osie y i z tworzą układ osi głównych przekroju, gdyż całka: yzd, określająca moment dewiacji, jest równa zeru. Ponadto, jak przyjęto w założeniu, wektor momentu M g pokrywa się z osią z, będącą jedną z głównych osi bezwładności przekroju. Warunek ten odpowiada tzw. zginaniu prostemu. Uwzględniając w równaniu (7.8), że: y 2 d = J z znajdziemy wzór określający krzywiznę 1 ρ osi belki odkształconej. 1 ρ = M g E J z, (7.9) z którego wynika, że krzywizna osi belki odkształconej jest proporcjonalna do momentu zginającego M g, a odwrotnie proporcjonalna do iloczynu EI z, zwanego sztywnością zginania. Chcąc określić wartość naprężeń normalnych zginanej belki w przypadku zginania prostego należy wstawić zależność (7.9) do wzoru (7.5) w wyniku czego otrzymamy: (7.10) σ = M gy J z.