Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x <, F (x) = x, 0 x <,, x, 0, x, 0, x 0, 0, x < 0, 0, x < 0, F 4 (x) = F 5 (x) = F (x) = 0.5, 0 x <,, x > 0,, x 0,, x, 0, x <, 0, x <, 0, x <, F 7 (x) = x, x, F 8 (x) = x, x, F 9 (x) = x, x.. Zmienna losowa X ma rozkład podany w tabeli: x i 0 p i 0. 0. 0. 0. 0. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe X oraz wyznacz jej dystrybuantę.. Dany jest rozkład zmiennej losowej Z. z i? 5 7 p i 0. 0. 0.? Ponadto wiadomo, że E(Z) = 4.75. Oblicz wariancję Z oraz wyznacz jej dystrybuantę. 4. Wyznacz dystrybuanty zmiennych losowych o rozkładach:. P(X = ) = P(X = ) = P(X = ) = P(X = 5) = 4,. P(Y = ) = 0., P(Y = ) = 0., P(Y = ) = 0.5. 5. Zmienna Y ma rozkład taki jak w zadaniu 4. Wyznacz rozkłady i dystrybuanty zmiennych losowych: Y = Y +, Y = Y, Y = Y, Y 4 = Y, Y 5 = Y, Y = Y.. Wykonujemy trzykrotny rzut monetą. Zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych reszek w trzech rzutach.. Przedstaw rozkład zmiennej losowej X w postaci tabeli i w postaci graficznej.. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X i przedstaw ją na wykresie.. Wyznacz parametry rozkładu zmiennej losowej X (wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe). 7. Prawdopodobieństwo wylosowania dobrego długopisu z wybranej partii wynosi 0.8. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa liczby dobrych długopisów w zakupionej partii czterech długopisów. 8. Wiadomo, że 5% wszystkich szkód zgłaszanych do zakładu ubezpieczeniowego stanowią włamania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zgłoszonych 0 szkód liczba włamań będzie: równa 5, większa niż, nie mniejsza niż 4 i nie większa niż 8? 9. W pewnej grze, gracz za wylosowanie figury (walety, damy, króle, asy) z talii 5 kart otrzymuje 0 zł. W przeciwnym wypadku rzuca monetą. Jeśli wypadł orzeł to gracz płaci 8 zł, jeśli reszka to jedynie zł. Oblicz wartość oczekiwaną takiej gry dla gracza.
0. Test składa się z 0 pytań. Przy każdym pytaniu znajduje się 4 odpowiedzi, z których należy wybrać dokładnie jedną (test jednokrotnego wyboru). Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba rozwiązująca test całkowicie losowo zaznaczy dokładnie 0 poprawnych odpowiedzi. (Wystarczy podać odpowiednie wyrażenie nie trzeba go wyliczać).. Zmienna losowa X ma rozkład dany wzorem P(X = k) = λk k! e λ dla k = 0,,,..., gdzie λ =. Oblicz P(X > ).. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem 0, dla x < 0, 0. + x, dla 0 x < 0.5, F (x) = 0.4 + x, dla 0.5 x < 0.55,, dla x 0.55. Wyznacz P(X = 0.5), P(0. < X < 0.), P(X [0, 0.5]), P(X (0, 0.55)).. Wiedząc, że E(X) = 7, E(Y ) = 4, D (X) = D (Y ) = oraz zmienne losowe X i Y są niezależne, oblicz wartości oczekiwane i wariancje zmiennych losowych: X + Y, X Y, 4X, 7Y, X Y, XY. 4. Z urny zawierającej po 0 banknotów o nominałach, 5, 0 PLN, wylosowano jeden banknot, a następnie bez zwracania pierwszego wylosowano drugi. Niech X oznacza nominał pierwszego banknotu, a X nominał drugiego. Jaki jest rozkład X? Jaki jest rozkład X? Jaki jest rozkład łączny X i X? Jaki jest rozkład X + X? Oblicz E(X ), E(X ), E(X + X ), D (X ), D (X ) i D (X + X ). Co się zmieni, jeśli zwrócimy pierwszy banknot przed losowaniem drugiego? 5. Dla jakiej wartości liczby C poniższa funkcja jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? 0 x, f(x) = C x 4, 0 x > 4. Wyznacz dystrybuantę X oraz oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję. Ponadto wyznacz prawdopodobieństwa: P(X = ), P(.5 < X < ), P(X <.5), P(X.).. Dla jakiej wartości liczby C poniższa funkcja jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? 0 x, f(x) = Cx < x 4, 0 x > 4. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X, oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję. Ponadto wyznacz prawdopodobieństwa: P(X = 5.9), P(4 < X < 5), P(5 < X < ), P(X 4.5), P(X < 5.75). 7. Dla jakiej wartości c poniższa funkcja jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? 0 x 0, f(x) = x 0 x c, 0 x > c. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X, oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję.
8. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest równa 0 x 0, x F (x) = 5 0 x 5, x > 5. Wyznacz funkcję gęstości, wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej. 9. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem 0, t < 0, F X (t) = ct, 0 t <,, t. Wiedząc, że rozkład ten ma ciągłą dystrybuantę, wyznacz jego gęstość. 0. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem 0, t <, F X (t) = t t +, t <,, t. Oblicz jej wartość oczekiwaną.. Żywotność pewnego urządzenia (w godzinach) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 0.00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urządzenie będzie pracować dłużej niż 500 godzin?. Aparat wykonuje serię niezależnych zdjęć. Wiadomo, że 0% zdjęć spełnia stawiane wymagania techniczne. Ile zdjęć należy wykonać aby z prawdopodobieństwem 0.9 co najmniej 0 zdjęć spełniało wymagania?. Zmienne losowe X i, i =,..., 00 są niezależne i mają jednakowe rozkłady P(X i = k) = 0., dla k =,,, 4, 5. Oszacuj prawdopodobieństwo, że Y = 00 i= X i przyjmie wartość większą od 0. 4. Rzucono 70 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych czwórek (czterech oczek) będzie zawarta w granicach od 00 do 50? 5. W skład złożonej aparatury wchodzi n = 500 elementów określonego rodzaju. Prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku każdego z tych n elementów jest równe 0.00 i nie zależy od stanu pozostałych elementów. Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku więcej niż elementów. Wskazówka: zastosuj Twierdzenie Poissona.. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ =. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y = g(x), jeśli, x <, g(x) =, x <,, x. 7. Wykonano n prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu /. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacuj prawdopodobieństwo zdarzenia n X n 0.0 gdzie X n oznacza liczbę sukcesów oraz a) n = 9000, b) n = 75000. Oszacuj te same prawdopodobieństwa korzystając z CTG.
8. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład Oblicz współczynnik korelacji między X i Y. Y \X - 0-0 0 0 0 0 0 0 9. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład Y \X 0 Zbadaj czy zmienne losowe X oraz Y są niezależne. 0. Sprawdź, które z poniższych funkcji są gęstościami rozkładów i wyznacz ich dystrybuanty: f (x) = [0,] (x), f (x) = ( x) [0,] (x), f (x) = (x x ) [0,] (x), f 4 (x) = 0.4 [0,] (x) + 0. (,4] (x), f 5 (x) = e x [0, ) (x), f (x) = x / (0,) (x). Uwaga: A (x) = dla x A, 0 dla x A.. Zmienna losowa X ma gęstość f(x) = [0,] (x). Wyznacz dystrybuanty i gęstości zmiennych losowych: Y = X +, Y = X, Y = X, Y 4 = X, Y 5 = X, Y = exp(x), Y 7 = ln(x), Y 8 = X, Y 9 = (X ), X 0 = X.. Wyznacz gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X +, jeśli gęstością zmiennej losowej X jest f X (x) = e x [0, ) (x).. Niech X oraz Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrami λ oraz λ odpowiednio. Wyznacz rozkład zmiennej X + Y. 4. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję dla rozkładów: a) dwupunktowego, b) dwumianowego, c) Poissona, d) geometrycznego, e) jednostajnego, f) wykładniczego. 5. Oblicz współczynnik asymetrii α = µ /σ oraz kurtozę (współczynnik spłaszczenia) α 4 = (µ 4 /σ 4 ) dla rozkładu wykładniczego.
Odpowiedzi nie, nie, nie, nie (tak według innej konwencji), tak, tak, nie, tak, tak, E(X) =., D(X) =., D (Z) = 4.45, 5 np. P(Y 5 = ) = 0.7, E(X) = /, D (X) = /4, 7 np. P(X = ) = 0.5, 8 0.05899, 0.474407, 0.4095, 9 5/, 0 0.090854, 0.488, 0., 0., 0.9, 0.85, np. E(X Y ) = 0, D (X Y ) = 5, E(XY ) = 8, D (XY ) =, 4 np. P(X =, X = 5) = 0/87, E(X ) = E(X ) = 5, D (X ) = 5 9, D (X + X ).75, przy losowaniu ze zwracaniem zmieni się rozkład i wariancja sumy, 5 C = /, E(X) =, D (X) = /, prawdopodobieństwa: 0, 0.5, 0.75, 0.9, C = /, E(X) = 8/9, D (X) = /8, prawdopodobieństwa: 0, 0, 0, 0,, 7 c =, E(X) = /4, D (X) = /80, 8 f(x) = 0.08x [0,5] (x), E(X) = 0/, D (X) = 5/8, 9 c = /8, 0 E(X) = 5/, 0.00, aproksymacja rozkładem normalnym: n 5, wynik dokładny (rozkład dwumianowy): n 40, 0.07849, z poprawką na ciągłość: 0.08994, 4 0.9759, z poprawkami na ciągłość: 0.9787, 5 0.9998, np. P(Y = ) = 0.0004098, 7 nierówność Czebyszewa: a) /8, b) /5, CTG: a) 0.955887, b) 0.999999994, 8, 9 nie są niezależne, 0 x < 0, 0 tak, tak, nie, tak, tak, nie, F 4 (x) = 0.4x 0 x <,. 0.8 + 0.x x e (x ) [, ) (x), X + Y P ois(λ + λ ), 5 α =, α 4 =,