ZŁOŻONY MIESZANY ROZKŁAD POISSONA ZASTOSOWANIA UBEZPIECZENIOWE

Studa Ekonomczne. Zeszyty Naukowe Unwersytetu Ekonomcznego w Katowcach ISSN 083-8611 Nr 7 015 Mchał Trzęsok Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Zarządzana Katedra Analz Gospodarczych Fnansowych mchal.trzesok@ue.katowce.pl Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Ekonom Katedra Metod Statystyczno-Matematycznych w Ekonom alcja.wolny-domnak@ue.katowce.pl ZŁOŻONY MIESZANY ROZKŁAD POISSONA ZASTOSOWANIA UBEZPIECZENIOWE Streszczene: Celem nnejszej pracy jest zaproponowane pewnego złożonego meszanego rozkładu Possona, korzystając z tego, że złożony rozkład Posson gamma jest szczególnym przypadkem rozkładu Tweede. Wykorzystujemy fakt, ż z kole rozkład Tweede należy do dyspersyjnej rodzny rozkładów wykładnczych. W tym celu w perwszej częśc pracy rozważamy meszany rozkład Possona, w którym uwzględnamy zmenną neobserwowalną. Następne charakteryzujemy złożony meszany rozkład Possona. W drugej częśc przedstawamy możlwość wykorzystana tego rozkładu w szacowanu oczekwanej łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w masowym portfelu ryzyk. Słowa kluczowe: meszany rozkład Possona, złożony meszany rozkład Possona, ubezpeczena, taryfkacja, estymacja. Wprowadzene Rozkład Possona odgrywa bardzo znaczącą rolę w modelowanu zjawsk uwzględnających zmenne zlczające. Przyczyny tego faktu tkwą w szczególnej przydatnośc tego rozkładu w przypadkach, kedy modelowana zmenna ma charakter strcte losowy, a rozpatrywana populacja jest jednorodna. Nestety w przypadku welu rzeczywstych zborów danych przyjmowane takch założeń jest nerealstyczne. Dla danych nejednorodnych alternatywą do modelowana z wykorzystanem klasycznego rozkładu Possona jest zastosowane meszanych rozkładów Possona. Na szczególną uwagę zasługuje przypadek, w którym badana populacja w stoce składa sę ze skończonej lczby jednorodnych podpopulacj. Rozkład prawdopodobeństwa zmennej w całej badanej populacj można wówczas trakto-

86 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak wać jako meszannę rozkładu Possona oraz rozkładu pewnej zmennej neobserwowalnej θ. Przykładem jest najpopularnejsza meszanna Posson gamma. Szczególnym przypadkem jest analza danych ubezpeczenowych dotyczących krótkotermnowych ubezpeczeń majątkowych, takch jak ubezpeczena komunkacyjne czy ubezpeczena neruchomośc (meszkań, domów td.). Problem neobserwowalnej (ukrytej) nejednorodnośc w danych ubezpeczenowych w ubezpeczenach komunkacyjnych wynka na przykład z faktu, że aktuarusz ne ma dostępu do danych dotyczących różnc w zachowanach oraz stylu prowadzena pojazdów poszczególnych kerowców. Jedną ze znanych konsekwencj owej nejednorodnośc w danych dla zmennych zlczających jest tzw. efekt nadmernej dyspersj, który oznacza, że warancja tej zmennej zlczającej jest wększa nż jej wartość przecętna. Oprócz wspomnanych konsekwencj wystąpena nejednorodnośc dla wartośc momentów nskch rzędów badanej zmennej, ta ukryta nejednorodność wpływa równeż stotne na postać estymowanego rozkładu. Dla welu zborów danych ubezpeczenowych charakterystyczne jest (wynkające właśne z ukrytej nejednorodnośc) występowane bardzo welu wartośc zerowych, jak równeż bardzo slna asymetra prawostronna (gruby prawy ogon rozkładu). Ukrytą nejednorodność uwzględna sę w modelowanu przez nałożene dodatkowego założena, że wartość przecętna (parametr) rozkładu Possona ne jest stały, lecz jest zmenną losową o pewnym rozkładze (w modelowanu mówmy wtedy o uwzględnenu tzw. efektu losowego). Budowane w ten sposób modele nazywamy modelam meszanek Possona. Na przykład w modelowanu szkód roczna oczekwana frakcja pols zwązanych z wypłatą odszkodowana może być traktowana jako zmenna losowa. Celem nnejszego artykułu jest zaproponowane zastosowana złożonego meszanego rozkładu Possona w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych, w których dysponujemy masowym portfelem ryzyk. Pojedyncze ryzyko w portfelu rozumemy tu jako zmenną losową o określonym rozkładze prawdopodobeństwa. Może to być np. lczba szkód, wartość pojedynczej szkody czy łączna wartość szkód dla pojedynczego ryzyka. W perwszej częśc defnujemy rozkłady: meszany Possona, złożony Possona, złożony meszany Possona. Defnujemy wektor parametrów rozkładów, wyznaczamy perwsze dwa momenty oraz omawamy możlwe metody estymacj parametrów tych rozkładów. W drugej częśc pracy przedstawamy przykład empryczny. Oblczena wykonujemy korzystając z programu R [zob. R Core Team, 014].

Złożony meszany rozkład Possona... 87 1. Meszany rozkład Possona (MPOIS) Rozważmy dyskretną zmenną losową N o rozkładze Possona z parametrem λ (ozn. POIS). Dobrze znana wartość funkcj prawdopodobeństwa ma wtedy postać: k λ exp( ) [ ] λ P N = k =, k = 0,1,,K (1) k! Łatwo można wykazać, że dla rozkładu Possona zachodz następująca równość: E [ N ] = Var[ N ] = λ. () W welu zagadnenach, równeż ubezpeczenowych, specyfka danych powoduje, ż często równane () ne jest spełnone. Występuje wtedy, wspomnany we wprowadzenu, efekt nadmernej dyspersj. Efekt ten jest tłumaczony najczęścej faktem, ż ne uwzględna sę pewnej neobserwowalnej zmennej Θ wpływającej na zmenną N. Aby uwzględnć tę zmenną, randomzuje sę parametr λ rozkładu Possona poprzez wprowadzene zmennej losowej Θ, która może meć zarówno rozkład dyskretny, jak równeż cągły. Uzyskuje sę wtedy meszany rozkład Possona (ozn. MPOIS), będący szczególnym przypadkem meszanny rozkładów [zob. Wnkelmann, 003, s. 33, 134]. Brzegowa funkcja prawdopodobeństwa dana jest wtedy wzorem: P[ N = k] = P[ N = k θ ] fθ ( θ ) dθ, (3) c θ Θ gdze P [ N = k θ ] jest funkcją prawdopodobeństwa rozkładu Possona zmennej N θ ~ POIS( λθ ), fθ ( ) jest gęstoścą rozkładu zmennej neobserwowalnej θ, natomast Θ jest zborem wszystkch możlwych zmennych Θ. c Zachodz węc równość: E [ N θ ] = Var[ N θ ] = λ. (4) Wtedy wartość oczekwana warancja rozkładu MPOIS wynoszą: E [ = E[ E[ N θ ]] = E[ λθ ] = λe[ θ ] (5) Var[ = E[ Var[ N θ ]] + Var[ E[ N θ ]] = E[ λθ ] + Var[ λθ ] =. (6) = λe[ θ ] + λ Var[ θ ] Wektor parametrów ρ rozkładu MPOIS składa sę zatem z parametru λ warunkowego rozkładu zmennej N θ oraz parametrów rozkładu zmennej θ.

88 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Najbardzej popularnym w zagadnenach ubezpeczenowych rozkładem MPOIS jest meszanna Posson gamma, w której uzyskuje sę rozkład ujemny dwumanowy z wektorem parametrów ρ = ( λ, α) (ozn. NB ). W rozkładze NB zakłada sę, ż zmenna neobserwowalna θ ma rozkład gamma, dla którego E [ θ ] = 1, natomast Var [ θ ] = α. Łatwo wykazać, ż tak skonstruowany rozkład NB charakteryzuje sę zawsze efektem nadmernej dyspersj. Korzystając z założena o rozkładze warunkowym N θ ~ POIS( λθ ), brzegowa wartość oczekwana brzegowa warancja zmennej N wynoszą: E [ = λ, (7) Var [ = λ + λ Var[ θ ] = λ(1 + λα ). (8) Podobną konstrukcją jak wyżej charakteryzują sę równeż nne popularne meszanny, w których zakłada sę różnorodne rozkłady dla zmennej neobserwowalnej. Tab. 1 zawera stosowne zestawene. Tab. 1. Zestawene wybranych meszanek rozkładów Possona Nazwa rozkładu MPOIS ze wskazanem rozkładu zmennej neobserwowalnej Hermte a (Posson normalny) Posson Odwrotny normalny Lndleya (Posson Lndley) Posson Ujemny dwumanowy Neymana (Posson Posson) Posson Logarytmczno normalny Źródło: Na podstawe: [Karls, 001]. Estymacja parametrów ρ meszanego rozkładu Possona MPOIS jest mnej lub bardzej skomplkowana w zależnośc od założonego rozkładu zmennej θ. W przypadku gdy dla konkretnej meszanny całkę (3) można oblczyć analtyczne, jak np. w przypadku rozkładu ujemnego dwumanowego, bezpośredne zastosowane znajduje metoda najwększej warygodnośc. Jeśl natomast całka ta ne ma swojej analtycznej postac, można wykorzystać take algorytmy, jak algorytm EM (Expectaton Maxmzaton algorthm) [Dempster, Lard, Rubn, 1977] czy algorytm H IWSL (Herarchcal Iteratve Weghted Least Square) [Lee, Nelder, 1996]. Przedstawony powyżej rozkład MPOIS znajduje bezpośredne zastosowane w zagadnenu taryfkacj (grupowana ryzyk) w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych, takch jak ubezpeczena komunkacyjne czy ubezpe-

Złożony meszany rozkład Possona... 89 czena domów/meszkań. Istotne jest wtedy szacowane wartośc E N ], gdze N oznacza lczbę szkód wygenerowaną przez -te ryzyko w portfelu ryzyk [Denut n., 007; Antono, Valdez, 01; Wolny-Domnak, 013]. W punkce 3. rozważamy lczbę szkód dla portfela ryzyk, gdze parametry rozkładu MPOIS szacujemy metodą EM, gdze postać E-kroku oraz M-kroku została zaczerpnęta z pracy Karlsa [001]. [. Złożony meszany rozkład Possona (CMPOIS) Rozważmy zmenną losową Y skonstruowaną następująco: N V k k = 1 Y =, (9) gdze N jest zmenną dyskretną o rozkładze Possona, zmenne V k, k = 1, K, N są nezależnym zmennym losowym o tych samych rozkładach oraz nezależnym od N. Ponadto Y = 0, jeśl N = 0. Wtedy zmenna Y posada złożony rozkład Possona (ozn. CPOIS). Wartość oczekwana E [Y ] oraz warancja Var [Y ] są dane wzorem: E [ Y ] = E[ V1 ] E[, (10) Var Y ] = E [ V ] Var[ + E[ Var[ V ]. (11) [ 1 1 Oczywśce równeż w tym przypadku może wystąpć efekt nadmernej dyspersj dla zmennej N, tłumaczony występowanem neobserwowalnej zmennej θ. W celu uwzględnena tego efektu w rozkładze zmennej Y, przyjmuje sę węc założene, ż N ma meszany rozkład Possona N ~ MPOIS. Uzyskuje sę wtedy złożony meszany rozkład Possona (ozn. CMPOIS ). Korzystając z tego, ż N θ ~ POIS( λθ ), można wyprowadzć wartość oczekwaną warancję zmennej Y ~ CMPOIS : E Y ] = E[ V ] E[ = E[ V ] E[ E[ N θ ]] = λe[ V ] E[ ], (1) [ 1 1 1 θ Var[ Y ] = E [ V1 ] Var[ + E[ Var[ V1 ] =. (13) = λ{ E [ V1 ]( E[ θ ] + λvar[ θ ]) + Var[ V1 ] E[ θ ]} Wektor parametrów ρ rozkładu CMPOIS, analogczne jak dla MPOIS, zawera parametr λ warunkowego rozkładu zmennej N θ oraz parametru rozkładu zmennej θ.

90 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Funkcja gęstośc rozkładu złożonego ne ma swojej analtycznej postac, co prowadz do komplkacj estymacj parametrów tego rozkładu. Bezpośredne zastosowane znajduje tutaj metoda PQL [Breslow, Clayton, 1993]. Wynka to z faktu, ż w metodze tej korzysta sę jedyne z dwóch perwszych momentów rozkładu. W zastosowanach ubezpeczenowych często przyjmuje sę rozkład gamma dla zmennych V k. Wtedy alternatywnym rozwązanem może być wykorzystane pewnej własnośc złożonego rozkładu Posson gamma. W pracy [Jorgensen, Paes De Souza, 1994] autorzy przedstawl ten rozkład jako szczególny przypadek rozkładu Tweede z parametrem 1 < p <. Rozkład Tweede należy do dyspersyjnej rodzny rozkładów wykładnczych charakteryzuje sę tym, ż funkcja p warancj V ( μ ) = μ. Rozkład ten posada zatem trzy parametry: ρ = ( μ, φ, p)', gdze φ jest parametrem dyspersj (o dyspersyjnej rodzne rozkładów wykładnczych zob. [Jorgensen, 1987]). Przyjmując, że: 1) N jest zmenną lcznkową o rozkładze Possona z parametrem λ, ) zmenne Y k, k = 1, K, N są nezależne o rozkładze gamma z parametrem skal α ' parametrem kształtu β ' oraz nezależne od N, parametry złożonego rozkładu Posson gamma jako przypadku rozkładu Tweede mają postać: 1 p p β ' + λ ( α' β ') μ = λα ' β ', p =, φ =. (14) β ' + 1 p p Wtedy E [Y ] = μ oraz Var[ Y ] = φμ. Łatwo dalej uzyskać złożony rozkład meszany CMPOIS poprzez randomzację parametru μ, przyjmując, ż zmenna N ma rozkład MPOIS oraz N θ ~ POIS( λθ ). Wektor parametrów rozkładu CMPOIS składa sę z: wektora ( p, φ)', parametru λ warunkowego rozkładu zmennej N θ oraz parametrów rozkładu zmennej θ. Istotą powyższego podejśca jest fakt, ż wektor parametrów ρ rozkładu CPOIS można szacować, wykorzystując klasyczny algorytm IWSL stosowany w modelach regresyjnych klasy GLM [Mccullagh, Nelder, 1989]. W przypadku rozkładu CMPOIS można z kole wykorzystać wspomnany już wcześnej algorytm PQL lub herarchczny algorytm H IWSL [Lee, Nelder, 1996; Wolny- -Domnak, 013]. W każdej z tych metod ne jest wymagana znajomość postac funkcj gęstośc, a jedyne dwóch perwszych momentów. Alternatywne można bezpośredno zastosować funkcję brzegowej warygodnośc, co wymaga całkowana numerycznego [Zhang, 013].

Złożony meszany rozkład Possona... 91 Omówony rozkład CMPOIS (w szczególnośc jako przypadek rozkładu Tweede), podobne jak rozkład MPOIS, znajduje bezpośredne zastosowane w taryfkacj. W tym przypadku poszukuje sę wartośc E [ Y ], gdze Y oznacza łączną wartość szkód wygenerowaną przez -te ryzyko w portfelu ryzyk [Smyth, 00; Wolny-Domnak, 014]. Rozkład ten jest równeż stosowany w zagadnenu szacowana rezerwy szkodowej [Peters n., 009]. W punkce 3. rozważamy problem szacowana E [ Y ]. Do estymacj parametrów rozkładu CMPOIS stosujemy funkcję brzegowej warygodnośc całkowane metodą Laplace a. 3. Zastosowana MPOIS oraz CMPOIS w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych Rozważmy portfel ryzyk w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych. Każdemu ryzyku w portfelu są przypsane zmenne losowe N oraz Y, oznaczające odpowedno: lczbę szkód oraz łączną wartość szkód dla -tego ryzyka. Zakładamy jednakową ekspozycję na ryzyko dla całego portfela. W celu uwzględnena zmennej neobserwowalnej θ przyjmujemy odpowedno: meszany rozkład Possona N ~ MPOIS oraz złożony meszany rozkład Possona Y ~ CMPOIS. Zmenna θ jest nterpretowana jako zmenna neobserwowalna, opsująca osobste cechy osoby ubezpeczającej sę, wpływające na szkodowość danego ryzyka (rsk profle). Jest ona zatem charakterystyczna dla ndywdualnego ryzyka. W oblczenach wykorzystujemy portfel zaczerpnęty z paketu nsurancedata [Wolny-Domnak, Trzęsok, 014] programu R o nazwe ClamsLong. Ponżej przedstawamy przykłady proponowanych zastosowań rozkładów MPOIS oraz CMPOIS w ubezpeczenach. Przykład 1. Szacowane oczekwanej lczby szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu Zakładamy rozkład MPOIS lczby szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu. Lczba szkód ma alternatywne rozkład MPOIS meszanna Posson gamma lub MPOIS meszanna Posson Lndley. Oczywśce można to rozważać jako rozkład ujemny dwumanowy szacować parametry rozkładu, korzystając z metody MLE. My przedstawamy nne rozwązane, w którym korzystamy z algorytmu EM. Algorytm ten jest elastyczny daje możlwość zmany rozkładu zmennej neobserwowalnej.

9 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Przyjmjmy dalej, że lczba szkód ma rozkład warunkowy N θ ~ POIS( θ ). Zmenna neobserwowalna ma z kole rozkład θ ~ Gamma ( α, β ) o funkcj gęsto- α 1 α x exp( βx) β α śc f θ ( x) =, x > 0, α, β > 0 oraz E [ θ ] = 1, Var [ θ ] =. Γ( α) β Do szacowana parametrów α, β stosujemy algorytm EM, w którym dla danych wartośc α oraz β teracyjne są wykonywane następujące krok [por. Karls, 001, s. 11]: 1. Krok E: wyznaczene wartośc: t = E x + α ( θ x ) = oraz s = Ψ( + x ) ln( β + 1) 1+ β α, dla = 1, K, n, gdze Ψ ( ) oznacza funkcję dgamma.. Krok M: etap maksymalzacj, który w przypadku tego rozkładu sprowadza sę do oblczena nowych wartośc parametrów α β, zgodne z wzoram: α β new = oraz α t new Ψ( α ) + ln( β new ) s = α, Ψ ( α ) 3 dψ gdze Ψ 3 ( x) = oznacza funkcję trgamma. dx Dalej zmenono założene odnośne do rozkładu zmennej neobserwowalnej przyjęto rozkład Lndleya θ ~ LD( p) o funkcj gęstośc p p + fθ ( x) = ( x + 1) exp( px), x, p > 0. Wtedy E[ θ ] = oraz p + 1 p( p + 1) ( p + 3) Var[ θ ] =. Podobne jak w przypadku meszanny Posson gamma, p ( p + 1) do szacowana parametru p stosujemy algorytm EM, w którym dla danej wartośc p teracyjne są wykonywane następujące krok [por. Karls, 001, s. 8]: 1. Krok E: wyznaczene wartośc: ( p + x + 3)( x + 1) t = E( θ x ) =, dla = 1, K, n. ( p + x + )( p + 1)

Złożony meszany rozkład Possona... 93. Krok M: etap maksymalzacj, który w przypadku tego rozkładu sprowadza sę do oblczena nowej wartośc parametru p zgodne ze wzorem ( t 1) + t + 6t + 1 p new =. t W oblczenach wykorzystujemy mplementację własną algorytmu EM w programe R. Zmenną N jest lczba szkód dla pojedynczego ryzyka (clam.num), dla którego zarejestrowano przynajmnej jedną szkodę. Jako wartośc początkowe oszacowywanych metodą EM parametrów przyjęto: dla meszank Posson gamma α = 1, β = 0,3, zaś dla meszank Posson Lndley p = 0, 1. Prostym metodam symulacyjnym sprawdzono równeż wrażlwość na zadane wartośc początkowe przyjęte do oszacowana metodą EM stwerdzono brak stotnych różnc w wyznaczonych ocenach parametrów. Zakończene teracyjnej procedury estymacj metodą EM, opsanej powyżej, następowało wtedy, gdy oszacowana nowych wartośc parametrów w kroku M różnły sę od wartośc wyznaczonych w poprzednej teracj o ne węcej nż ε > 0. Przyjęto ε = 10 8. Oszacowane parametry dla Posson gamma wynoszą ˆ α = 1, 8 oraz ˆ β = 1, 03, natomast parametr p w rozkładze Lndleya p ˆ = 0, 86. Wtedy wartość oczekwana lczby szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu wynos: E [ = 1, 744 (Posson gamma) oraz E [ = 1, 7736 (Posson Lndley). W tym bardzo uproszonym podejścu jest ona taka sama dla wszystkch ryzyk w portfelu, jednak sytuację zmen wprowadzene regresorów (czynnków wpływających na lczbę szkód, opsujących osobę ubezpeczającą sę, przedmot ubezpeczena oraz obszar geografczny). Regresory spowodują zróżncowane portfela w wynku otrzymamy ne jedną wartość E [, ale klka wartośc w zależnośc od lczby regresorów oraz lczby ch kategor. Przykład. Szacowane łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu Zakładamy rozkład CMPOIS łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu, w którym lczba szkód dla pojedynczego ryzyka ma warunkowy rozkład N θ ~ POIS( λθ ) oraz zmenna neobserwowalna wynos θ = exp(θ '), gdze θ ' ma rozkład N (0, σ θ ' ). Szacujemy zatem wektor parametrów ( λ, p, φ, σ θ ' )'. Z zależnośc (14) można dalej łatwo wyznaczyć parametry α ', β ' rozkładu zmennej neobserwowalnej. W oblczenach wykorzystujemy funkcję cpglmm{cplm} oraz całkowane metodą Laplace a. Dane dotyczą pols zawartych w kolejnych trzech okresach.

94 Mchał Trzęsok, Alcja Wolny-Domnak Zmenną Y jest łączna wartość szkód dla pojedynczego ryzyka (clam.cost), dla którego zarejestrowano przynajmnej jedną szkodę w przecągu trzech okresów. Oszacowane parametry rozkładu CMPOIS są równe: λ = 0, 7, p = 1,51 φ = 87,77, α '= 0, 97, β '= 1498, 48. Wyznaczona oczekwana łączna wartość szkód dla pojedynczego ryzyka jest równa E [ Y ] = 1013, 11. Podobne jak w przykładze 1., jest to przypadek prosty, w którym ne różncujemy w żaden sposób ryzyk w portfelu poprzez np. wprowadzene regresorów. Podsumowane W modelowanu welu zjawsk o charakterze społeczno-ekonomcznym wymagane jest uwzględnene neobserwowalnej nejednorodnośc (heterogencznośc) występującej w danych. W pracy przedstawono podejśce, w którym ta nejednorodność jest reprezentowana przez pewną neobserwowalną zmenną losową o zadanym przez nas rozkładze prawdopodobeństwa. Wykorzystane meszanego rozkładu Possona, przedstawanego bezpośredno jako pewna neskończona meszanna, jest zdecydowane bardzej elastycznym podejścem daje znaczne wększe możlwośc uwzględnana neobserwowalnej nejednorodnośc w danych poprzez różne założena odnośne do rozkładu zmennej θ. O le parametry rozkładu MPOIS można w marę łatwo oszacować za pomocą algorytmu EM, o tyle dla rozkładu CMPOIS jest to cągle problem złożony. Zaproponowane przez nas rozwązane, wykorzystujące rozkład Tweede, daje praktyczne możlwośc modelowana łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka w portfelu z uwzględnenem neobserwowalnej nejednorodnośc. Lteratura Antono K., Valdez E.A. (01), Statstcal Concepts of a pror and a posteror Rsk Classfcaton n Insurance, Advances n Statstcal Analyss, 96(), s. 187-4. Breslow N.E., Clayton D.G. (1993), Approxmate Inference n Generalzed Lnear Mxed Models, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 88(41), s. 9-5. Dempster A.P., Lard N.M., Rubn D.B. (1977), Maxmum Lkelhood from Incomplete Data Va the EM Algorthm, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal), 39(1), s. 1-38. Denut M., Maréchal X., Ptrebos S., Walhn J.F. (007), Actuaral Modellng of Clam Counts: Rsk Classfcaton, Credblty and Bonus Malus Systems, John Wley&Sons, Chchester.

Złożony meszany rozkład Possona... 95 Jorgensen B. (1987), Exponental Dsperson Models, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal), 49(), s. 17-16. Jørgensen B., Paes De Souza M.C. (1994), Fttng Tweede's Compound Posson Model to Insurance Clams Data, Scandnavan Actuaral Journal, 1994(1), s. 69-93. Karls D. (001), A General EM Approach for Maxmum Lkelhood Estmaton n Mxed Posson Regresson Models, Statstcal Modellng, 1(4), s. 305-318. Lee Y., Nelder J.A. (1996), Herarchcal Generalzed Lnear Models, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal), 58(4), s. 619-678. McCullagh P., Nelder J.A. (1989), Generalzed Lnear Models, Chapman and Hall, London. Peters G.W., Shevchenko P.V., Wüthrch M.V. (009), Model Uncertanty n Clams Reservng wthn Tweede's Compound Posson Models, Astn Bulletn, 39(1), s. 1-33. R Core Team (014), R, A Language and Envronment for Statstcal Computng, R Foundaton for Statstcal Computng, Venna, Austra, URL http://www.r project.org/ Smyth G.K. (00), Fttng Tweede's Compound Posson Model To Insurance Clams Data: Dsperson Modelng, Astn Bulletn, 3(1), s. 143-157. Wnkelmann R. (003), Econometrc Analyss of Count Data, Sprnger, New York. Wolny-Domnak A. (013), Modelng Clam Severty va h lkelhood [w:] H. Vojackova, red., Proceedngs of 31st Internatonal Conference Mathematcal Methods n Economcs 013, College of Polytechncs Jhlava, Jhlava. Wolny-Domnak A. (014), Taryfkacja w ubezpeczenach majątkowych z wykorzystanem model meszanych, Wydawnctwo UE, Katowce. Wolny-Domnak A., Trzęsok M. (014), nsurancedata: A Collecton of Insurance Datasets Useful n Rsk Classfcaton n Non lfe Insurance, R package verson 1.0. Zhang Y. (013), Lkelhood-based and Bayesan Methods for Tweede Compound Posson Lnear Mxed Models, Statstcs and Computng, 3(6), s. 743-757. COMPOUND MIXED POISSON DISTRIBUTION AND ITS APPLICATION IN INSURANCE Summary: The paper presents compound mxed Posson dstrbutons n the context of Tweede dstrbuton, snce e.g. the compound Posson-gamma dstrbuton s ts specal case. We use the fact, that Tweede dstrbuton belongs to overdspersed exponental famly of dstrbutons. In the frst part of the paper the problem of overdsperson s addressed by consderng mxed Posson dstrbuton, where the unobserved varable s ntroduced. Then we specfy compound mxed Posson dstrbuton. In the second part we present the possbltes of makng use of ths dstrbuton n estmatng the total clam costs for the ndvdual rsk n the automoble nsurance portfolo. Keywords: mxed Posson, compound mxed Posson, non lfe nsurance, ratemakng, estmaton.