ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ 1. LICZBY NATURALNE. x + 1 = x, x + y = (x + y). ( y + (z + w) ) + w = x + (d) jeśli (x) = 1, to x = 1,

ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ 1. LICZBY NATURALNE. Dodawanie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że dodawanie "+" jest działaniem scharakteryzowanym jednoznacznie przez warunki: (1 + ) (2 + ) x + 1 = x, x + y = (x + y). Ćwiczenie 1. Wykazać, że 2 + 2 = 4 i 3 + 3 = 6. Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x, y, z i w zachodzi równość ( (x + y) + z ) + w = x + ( y + (z + w) ). Ćwiczenie 3. Wykazać, że istnieje co najwyżej jedna funkcja : N N spełniająca warunki: 1 (1) = 1, 2 (x ) = (x) + x. Wartości funkcji nazywa się często liczbami trójkątnymi. Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnych x, y N suma x + y 1. Ćwiczenie 5. Niech będzie funkcją z ćwiczenia 3. Wykazać, że dla dowolnego x naturalnego zachodzą następujące własności: (a) (x ) (x), (x ) (x), (b) jeśli (x ) = (x), to x = 1, (c) jeśli x 1, to (x) x, (d) jeśli (x) = 1, to x = 1, (e) jeśli x 2, to (x) x, (f) (x) 2. Ćwiczenie 6. Niech f : N N będzie funkcją spełniającą warunki 1 f(1) = 1 { 1 dla x = 1, 2 f(x ) = f( x) + f(x) dla x 1. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej x (a) f(x + x ) 1, (b) f(x + 2) = f(x) + f(x ). Wartości funkcji f tworzą tak zwany ciąg Fibonacciego. Ćwiczenie 7. Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych x i y x y wtedy i tylko wtedy, gdy x + x y + y. Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y N

2 (a) jeśli x + y = 2, to x = 1 i y = 1, (b) jeśli x + y = 3, to (x = 1 i y = 2) lub (x = 2 i y = 1). Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnego x N zachodzi następująca alternatywa parami wykluczających się warunków: 1 x x = 1, 2 x istnieje y N takie, że x = y + y, 3 x istnieje ỹ N takie, że x = ỹ + ỹ. Każdą liczbę naturalną x spełniającą warunek 1 x lub 3 x nazywamy liczbą nieparzystą, natomiast liczbę x spełniającą warunek 2 x nazywamy liczbą parzystą. Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y N istnieje dokładnie jedna liczba r(x, y) N taka, że (x + y) = ( (x) + (y)) + r(x, y). Ćwiczenie* 11. Wykazać, że funkcja z ćwiczenia 3. jest różnowartościowa. Wskazówka: skorzystać z ćwiczenia 10. Mnożenie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że mnożenie " " jest działaniem scharakteryzowanym jednoznacznie przez warunki: (1 ) (2 ) x 1 = x, x y = (x y) + x. Ćwiczenie 1. Wykazać, że 2 2 = 4. Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych x, y N zachodzi równość (x + y) (x + y) = (x x + y y) + 2 (x y). Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla dowolnych x, y N jeśli y 1, to istnieje taka liczba naturalna r, że x y = r + x. Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla każdego x N istnieje dokładnie jedna liczba y N taka, że x x = 2y. Oznaczmy ją przez f(x). Wykazać, że tak zdefiniowana funkcja f : N N jest równa funkcji z ćwiczenia 3. z poprzedniego paragrafu. Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnych x, y N liczba r(x, y) z ćwiczenia 10. z poprzedniego paragrafu jest równa iloczynowi x y. Ćwiczenie 6. Wykazać, że istnieje co najwyżej jedna funkcja s : N N spełniająca warunki: 1 s(1) = 1, 2 s(x ) = s(x) x. Funkcję s nazywamy silnią a jej wartości oznaczamy symbolem x! dla dowolnego x N. Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych x, y N x y wtedy i tylko wtedy, gdy x x y y. Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych x, y N

3 (a) jeśli xy = 1, to x = 1 i y = 1, (b) jeśli xy = 2, to (x = 1 i y = 2) lub (x = 2 i y = 1). Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x N prawdziwe są następujące implikacje: (a) jeśli x 1, to x! 1, (b) jeśli x! = x, to x = 1 lub x = 2. Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y N (a) istnieje i(x, y) N takie, że (x + y)! = (x! (x + y)) i(x, y), (b) istnieje j(x, y) N takie, że (x y)! = (x! y!) j(x, y). Ćwiczenie* 11. Wykazać, że dla dowolnego x N zachodzi następująca alternatywa wykluczających się warunków: 1 x x = 1 lub x = 2 lub x = 3, 2 x istnieje y N takie, że x! = (x) + y. Odejmowanie i dzielenie liczb naturalnych. Działania kilkuargumentowe. Połóżmy R = {(x, y) N N :! r(x,y) N y + r(x, y) = x}. Zbiór R jest niepusty i różny od N N. Odejmowaniem nazywamy funkcję określoną wzorem ( ) x y = r(x, y) dla (x, y) R. Wynik odejmowania x y nazywamy różnicą, przy czym x nazywamy odjemną, a y odjemnikiem. Połóżmy I = {(x, y) N N :! i(x,y) N y i(x, y) = x}. Zbiór I jest niepusty i różny od N N. Dzieleniem nazywamy funkcję : określoną wzorem (:) x : y = i(x, y) dla (x, y) I. Wynik dzielenia x : y nazywamy ilorazem, przy czym x nazywamy dzielną, a y dzielnikiem. Mówimy, że liczba x jest podzielna przez y. Ćwiczenie 1. Wykazać, że istnieje różnica 5 2 i nie istnieje różnica 3 5. Co stąd można powiedzieć o istnieniu różnic 2 5 i 5 3? Ćwiczenie 2. Wykazać, że istnieje iloraz 4 : 2 = 2 i nie istnieje iloraz 4 : 3. Ćwiczenie 3. Podać przykład pary liczb naturalnych x, y, dla której nie istnieją ani iloraz x : y ani iloraz y : x. Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych x, y, dla których istnieją jednocześnie ilorazy x : y i y : x. Problem wyznaczenia wszystkich par liczb naturalnych x, y, dla których nie istnieje iloraz x : y rozwiązany w starożytności pojawi sie w późniejszych ćwiczeniach dotyczących rozkładu Euklidesa. Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnego x N istnieje iloraz (x(x + 1)) : 2. Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnego x N istnieje iloraz (x(x + 1)(x + 2)) : 6. Ćwiczenie 6. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x i y zachodzi następująca równość (x y)(x y) = (xx + yy) 2(xy), przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych x, y N

4 (a) jeśli istnieje różnica x y, to (x y)+y = x, (b) jeśli istnieje iloraz x : y, to (x : y) y = x, (c) (x + y) y = x, (d) (x y) : y = x. Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z N zachodzi równość x (y z) = (x + z) y, przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Podać kontrprzykład, że z istnienia prawej strony nie zawsze wynika istnienie lewej. Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z N zachodzi równość (x : z) y = (x y) : z, przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Podać kontrprzykład, że z istnienia prawej strony nie zawsze wynika istnienie lewej. Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z N zachodzi równość (x : y) : z = x : (y z), przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej. Ćwiczenie 11. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x, y i z zachodzi prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania, czyli (x y) z = x z y z, przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej. Ćwiczenie 12. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z N zachodzą równości: (a) (x + y) : z = x : z + y : z, (b) (x y) : z = x : z y : z, przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej, (c) x y = (x + z) (y + z), (d) x : y = (x z) : (y z), przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej. Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, u, v N zachodzą równości (przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej): (a) (x y) + (u v) = (x + u) (y + v), (b) (x : y) (u : v) = (x u) : (y v), (c) (x y) (u v) = (x + v) (u + y), (d) (x : y) : (u : v) = (x v) : (u y). Ćwiczenie* 14. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek liczb naturalnych x, y, z N, dla których istnieją jednocześnie ilorazy x : y, x : z i x : (y + z). Wykazać, że dla żadnej takiej trójki nie zachodzi równość x : (y + z) = x : y + x : z. Uporządkowanie. Przypomnijmy, że relacja x > y oznacza, że istnieje taka liczba r R, że y+r = x. Relacja x y oznacza, że x > y lub x = y. Niech A N będzie niepustym zbiorem. Definicję minimum i maksimum zbioru A możemy zapisać symbolicznie w postaci m = min A m A x A m x, n = max A n A x A x n. Ćwiczenie 1. Wykazać, że 4 > 2. Co stąd można wnioskować o relacji 2 > 4? Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych x, y N jeśli x < y, to nie istnieje iloraz x : y. Ćwiczenie 3. Podać przykład pary liczb naturalnych x, y, dla których: (a) x > y i istnieje iloraz x : y, (b) x > y i nie istnieje iloraz x : y. Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnego x N zachodzą nierówności

5 (a) (2x) 2 (x) + 1, (b) (3x) > 3 (x) + 2, (c) (x + 2)! (x), (d) (2x)! > x! x!. Ćwiczenie 5. Niech x, y, u, v N. Wykazać, że jeśli x > y i u > v, to xu > yv. Ćwiczenie 6. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, z N jeśli istnieją ilorazy x : z i y : z, to nierówność x > y jest równoważna nierówności x : z > y : z. Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, z N jeśli istnieją ilorazy z : x i z : y, to nierówność x > y jest równoważna nierówności z : y > z : x. Ćwiczenie 8. Niech x, y, u, v N, przy czym istnieją ilorazy x : v i y : u. Wykazać, że jeśli x > y i u > v, to x : v > y : u. Ćwiczenie 9. Niech x, y N. Wykazać, że jeśli x y i y x, to x = y. Ćwiczenie 10. Niech x, y, z N. Wykazać, że jeśli x y i y z, to x z, przy czym równość w tezie zachodzi jedynie wtedy, gdy zachodzą równości w założeniu. Ćwiczenie 11. Pokazać, że zbiór A = {x N : i N xx + 96 = xi} posiada maksimum. Ćwiczenie 12. Pokazać, że zbiór B = {x N : k N x = kk} nie jest ograniczony z góry. Ćwiczenie 13. Wyznaczyć maksimum i minimum zbioru C = {x N : k N x = 100 kk}. Ćwiczenie 14. Ustalmy k N i niech D k = {x N : k nn, nn + 2n mamy max D k = n. xx k}. Wykazać, że dla każdego n N i Rozkład Euklidesa. Przypomnijmy, że przy danych x, y N, x y zachodzi dokładnie jeden z przypadków: 1 istnieje e y (x) N takie, że x = e y (x) y, 2 istnieją e y (x), r y (x) N takie, że x = e y (x) y + r y (x) i r y (x) < y. Co więcej opisane liczby są jedyne i równe odpowiednio e y (x) = min{k N : ky > x} 1, r y (x) = x e y (x) y. Liczbę e y (x) nazywamy częścią całkowitą ilorazu przybliżonego, a r y (x) jego resztą. Jeśli x < y, to iloraz przybliżony x przez y nie ma sensu. Ćwiczenie 1. Podać rozkład Euklidesa (o ile istnieje) liczby x przy dzieleniu przybliżonym przez y: (a) x = 5, y = 3, (b) x = 22, y = 3, (c) x = 3, y = 4, (d) x = 22, y = 6, (e) x = 22, y = 7, (f) x = 22, y = 11. Ćwiczenie 2. Wypisać te z poniższych równości, które są rozkładami Euklidesa. Podać część całkowitą i resztę ilorazu przybliżonego. 5 = 2 2 + 1, 12 = 3 4, 17 = 2 6 + 5, 17 = 3 6 1, 19 = 3 4 + 7, 17 = 5 3 + 2. Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla danych x, y N, przy czym x y część całkowita ilorazu przybliżonego e y (x) jest równa e y (x) = max{k N : ky x}. Ćwiczenie 4. Niech x i y będą takimi liczbami naturalnymi, że 15y < x < 17y. Wyznaczyć e 5y (x) i r 5y (x). Ile wynosi e 5y (2x)? Ćwiczenie 5. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne x, dla których:

6 (a) e 4 (2x + 1) = 1, (b) r 4 (2x + 1) = 1, (c) e 5 (7x + 1) = x. Ćwiczenie 6. Dla każdego x N wyznaczyć (a) e 2 (2x + 1) i r 2 (2x + 1), (b) e 3x (4x + 1) i r 3x (4x + 1), (c) e 5x (7x + 6) i r 5x (7x + 6), (d) e x (xx + 2) i r x (xx + 2). Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla danych x, y N iloraz x : y istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x y i nie istnieje reszta r y (x). Tym samym iloraz x : y nie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x < y albo x y i istnieje reszta r y (x). Ćwiczenie 8. Wykazać, że nie istnieją ilorazy 4 : 3 i 5 : 2. Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z N, jeśli x y z, to e y (x) e z (x). Ćwiczenie 10. Niech x, y N i y x. Wykazać, że jeśli istnieje reszta r xy (y y), to istnieje reszta r x (y) i zachodzi równość r xy (y y) = r x (y) y. Ćwiczenie 11. Niech x, y N, przy czym x z i y z. Wykazać, że wówczas zachodzi dokładnie jeden z następujących przypadków: 1 e z (x + y) = e z (x) + e z (y), 2 e z (x + y) = (e z (x) + e z (y)) + 1. Podać warunek jaki muszą dodatkowo spełnić x i y, aby zachodził przypadek 2. Ćwiczenie* 12. Dla dowolnych x, y N takich, że x z i y z wyznaczyć e z (x y). Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnego x naturalnego zachodzi równość e x ( (2x)) = 2x + 1. Natomiast reszta r x ( (2x)) nie istnieje. Stąd, jeśli x jest nieparzysta, to (2x) jest również nieparzysta. Niech w, x, y N. Jeśli istnieją ilorazy w : x i w : y, to liczbę w nazywamy wspólną wielokrotnością liczb x i y, gdyż wtedy w = (w : x) x i w = (w : y) y. Niech A = {w N : w jest wspólną wielokrotnością liczb x i y}. Zbiór A, gdyż xy A. Minimum zbioru A nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb x i y i oznaczamy [x, y]. Ćwiczenie* 14. Wykazać, że każda wspólna wielokrotność liczb naturalnych x i y jest podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb x i y. Wskazówka: przypuścić przeciwnie, że teza nie zachodzi i skorzystać z ćwiczenia 7. Analogicznie liczbę naturalną d nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb x i y, gdy jednocześnie istnieją ilorazy x : d i y : d. Wówczas oczywiście d x i d y, więc zbiór B = {d N : d jest wspólnym dzielnikiem liczb x i y} jest ograniczony z góry. Maksimum zbioru B nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb x i y i oznaczamy (x, y). Ćwiczenie* 15. Wykazać, że największy wspólny dzielnik liczb x i y jest podzielny przez każdy wspólny dzielnik liczb x i y. Wskazówka: skorzystać z ćwiczenia 14. Ćwiczenie* 16. Niech x, y, z N. Wykazać, że jeśli (x, y) = 1 i istnieje (x z) : y, to istnieje z : y i zachodzi równość (x z) : y = x (z : y) (porównaj z ćwiczeniem 9 z paragrafu Liczby naturalne. Działania kilkuargumentowe.)

Przedziały. Postępowanie indukcyjne. Niech a, b N. Przedziałami liczb naturalnych nazywamy zbiory postaci a, b = {x N : a x b}, a, + ) = {x N : a x}. Ćwiczenie 1. Pokazać, że iloczyn dowolnej rodziny przedziałów liczb naturalnych, mających wspólny element, jest przedziałem. Co więcej, iloczyn ten jest przedziałem niewłaściwym wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina składa sie wyłącznie z przedziałów niewłaściwych. Ćwiczenie 2. Pokazać, że jeśli p < r, to p, q \ r, + ) jest przedziałem właściwym. Wyznaczyć jego postać. Ćwiczenie 3. Podać przykład funkcji przekształcającej zbiór 1, n n + 2, + ) na przedział n, + ) w sposób wzajemnie jednoznaczny. Ćwiczenie 4. Niech f : N N będzie funkcją nierosnącą. Wykazać, że istnieje wtedy takie n 0 N, że f(n) = f(n 0 ) dla wszystkich n n 0. Wykazać na tej podstawie, że nie istnieje funkcja malejąca f : N N. Ćwiczenie 5. Niech A bedzie niepustym zbiorem, α A i niech n N. Niech A z, B z A będą niepustymi zbiorami dla z 1, n i niech τ będzie operatorem określonym na 1, n, przyporządkowującym każdej liczbie z N funkcję τ z : A z B z. Pokazać, że jeśli α A 1, A z B z i B z A z+1 dla z, z + 1 1, n, to istnieje dokładnie jedna funkcja γ : 1, n + 1 A spełniająca warunki 1 γ(1) = α, 2 γ(y ) = τ y (γ(y)) dla y 1, n. Wskazówka. Wykazać, że dla każdego m 1, n istnieje funkcja γ m : 1, m + 1 B m spełniająca warunki 1 γ m (1) = α, 2 γ m (y ) = τ y (γ m (y)) dla y 1, m. Pokazać, że funkcja γ(y) = γ n (y) dla y 1, n + 1 spełnia żądane warunki. Ćwiczenie 6 (Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję). Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem i α A oraz niech ϕ : A N A będzie ustaloną funkcją. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja f : N A spełniająca warunki: 1 f(1) = α, 2 f(x ) = ϕ(f(x), x) dla x N. Wskazówka. Rozważyć operator τ określony na N, przyporządkowujący każdej liczbie z N funkcję τ z : A A daną wzorem τ z (a) = ϕ(a, z), a A i skorzystać z twierdzenia 30. o istnieniu funkcji wysyconej ˆγ, określonej indukcyjnie przez wartość początkową α, operator τ i rodzinę Γ złożoną ze wszystkich funkcji γ n, n N określonych na przedziałach normalnych 1, n + 1 przez wartość początkową α i operator τ (takie funkcje istnieją na mocy wcześniejszego ćwiczenia). Patrz również Appendix. 7

Ćwiczenie 7. Wskazać zbiór A, wartość początkową α oraz funkcję ϕ : A N A definiującą funkcję: 8 (a) : N N z ćwiczenia 3. Dodawanie liczb naturalnych. (b) s : N N z ćwiczenia 6. Mnożenie liczb naturalnych. Ćwiczenie 8. Udowodnić zasadę indukcji wstecznej. Z warunków: 1 prawy koniec q przedziału p, q ma daną własność, 2 jeżeli x p, q ma tę własność, to poprzednik x ma także tę własność, o ile x p, q, wynika, że każda liczba z przedziału p, q ma daną własność. Ćwiczenie 9. Niech a będzie dowolną liczbą naturalną i niech γ : N N będzie funkcją określoną indukcyjnie warunkami: 1 γ(1) = 1 + a, 2 γ(x ) = γ(x) (1 + a). Wykazać, że dla każdego x 1, 99 zachodzi następująca nierówność γ(100 x) 1 + (100 x) a. Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnego n 2, + ) i dowolnych x, y N takich, że x + y = n istnieje dokładnie jedna liczba N(x, y) N, N(x, y) > 1 taka, że (x + y)! = (x! y!) N(x, y). Wskazówka. Zauważyć, że (x 1) + y = x + (y 1) dla x, y 2, n 1, n > 2. Dla dowolnego n 2, + ) i k 1, n 1 istnieje n k i k + (n k) = n. Liczbę N(k, n k) nazywamy symbolem Newtona i oznaczamy ( n ( k). Z powyższej definicji wynika natychmiast, że n k) = ( n ( n k). Z dowodu powyższego ćwiczenia można wyczytać również, że n ) ( k + n ) ( k+1 = n+1 k+1). Ćwiczenie 11. Znaleźć przedstawienie normalne i rosnące zbiorów: (a) A = {3, 7, 15}, (b) B = {n N : q N n = 3q + 2}. Działania wieloargumentowe. Iteracje działań głównych. Ćwiczenie 1. Określić mnożenie wieloargumentowe na ciągach b k=a x k. Ćwiczenie 2. Wykazać, że: (a) ( b+1 k=a x k) = ( bk=a x k ) xb+1, (b) dla przedziałów sąsiednich a, b i c, d, c = b + 1 oraz ciągu (x k ), k = a,..., d jest ( b k=a x k ) ( dk=c x k ) = dk=a x k, (c) dla ciągu (x k ), k = a,..., b i ciągu (ˆx k ), k = a,..., b powstałego z poprzedniego przez przestawienie wyrazów na miejscach d i b jest b k=a ˆx k = b k=a x k, (d) dla ciągu różnowartościowego (k j ), j = p,..., q przekształcającego p, q na jakiś przedział a, b i ciągu (x k ), k = a,..., b jest q j=p x k j = b k=a x k. Ćwiczenie 3. Niech x, y, p, q, n N. Wykazać następujące własności potęgi:

9 (a) b k=a x = x (b+1) a, (b) (x y) n = x n y n, (c) x p x q = x p+q, (d) ( x p ) q = x p q, (e) jeśli p > q, to x p : x q = x p q, (f) (x : y) n = x n : y n, przy czym z istnienia lewej strony jest wynika istnienie prawej, (g) x > y wtedy i tylko wtedy, gdy x n > y n, (h) jeśli x > 1, to p > q wtedy i tylko wtedy, gdy x p > x q. Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla każdego x N mamy (x) = x k=1 k i x! = x k=1 k. Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla każdego n N i q N, q > 1 istnieje iloraz (q n 1) : (q 1) Ćwiczenie 6. Wykazać, że każda liczba naturalna n > 1 posiada przynajmniej jeden dzielnik będący liczba pierwszą. Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza od niej większa. Ćwiczenie** 8. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej x > 1 istnieje dokładnie jeden ciąg rosnący liczb pierwszych (p i ), i = 1,..., s oraz dokładnie jeden ciąg liczb naturalnych (c i ), i = 1,..., s taki, że Powyższy wzór nazywamy rozkładem liczby naturalnej x na czynniki pierwsze. x = s i=1 Ćwiczenie* 9. Niech x, y, n N. Wykazać, że jeśli (x, y) = 1, to (x n, y n ) = 1. Na tej podstawie wykazać, że jeśli istnieje iloraz x n : y n, to istnieje iloraz x : y. Porównaj z ćwiczeniem 3 (f). p c i i. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenie 1. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1,... spełnia dla i N warunek a i+1 = a 1 + ir, gdzie r jest pewną liczbą naturalną, to (a i ) jest postępem arytmetycznym o różnicy r. Analogicznie wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1,... spełnia dla i N warunek a i+1 = a 1 q i, gdzie q jest pewną liczbą naturalną, to (a i ) jest postępem geometrycznym o ilorazie q. Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1,... jest postępem arytmetycznym, to dla dowolnych k, n N takich, że k n zachodzi wzór a k + a (n+1) k = a 1 + a n. Ćwiczenie 3. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1,... jest postępem geometrycznym i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n N zachodzi wzór S n q + a 1 = S n+1. Ćwiczenie 4. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1,... jest postępem arytmetycznym i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n N zachodzi wzór 2S n = n (a 1 + a n ). Ćwiczenie 5. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1,... jest postępem geometrycznym o ilorazie q > 1 i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n N zachodzi następujący wzór S n (q 1) = a 1 (q n 1). Ćwiczenie 6. Wykazać, że jeżeli ciąg (a i ), i = 1,... jest postępem arytmetycznym o różnicy r i S n jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n 2 zachodzi wzór S n = na 1 + (n 1)r. Ćwiczenie 7. Podać i udowodnić wzór na n k=4 3 k, n 4 oraz na n k=4 3k, n 4. Ćwiczenie 8. Niech (a i ), i = 1,..., n i (x i ), i = 1,..., n będą dowolnymi ciągami liczb naturalnych oraz x, a N. Podać i udowodnić wzory na następujące iloczyny: n k=1 x a i, n k=1 x a i.

10 2. LICZBY CAŁKOWITE. Ćwiczenie 1. W zbiorze N N wprowadzono relację wzorem: m n p q m + q = n + p. Wykazać, że jest relacją równoważności. Ćwiczenie 2. Wykazać, że: (a) jeśli ˆm ˆn m n, to ˆn ˆm n m, (b) jeśli m w p w, to m = p, (c) m n (m + f) (n + f), (d) jeśli ˆm ˆn m n, to ( ˆm + n) (ˆn + n) (m + ˆn) (n + ˆn). Ćwiczenie 3. Niech x i y będą dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi. Wykazać, że jeśli x+y = 0, to x = 0 i y = 0. Ćwiczenie 4. Niech x Z. Wykazać następujące dwie równoważności: (a) x jest liczbą całkowitą dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy x > 0, (b) x jest liczbą całowitą ujemną wtedy i tylko wtedy, gdy x < 0. Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnych liczb całkowitych x, y, z Z (a) (x + y) = ( x) + ( y), (b) x y = x + ( y), (c) x ( y) = (x y), (d) ( x) ( y) = x y, (e) x (y z) = (x y) + z, (f) jeśli x > y, to x < y, (g) x : ( y) = (x : y), przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej (y 0). Ćwiczenie 6. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi, gdzie z 0. Wykazać, że (x + y) : z = x : z + y : z, przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej. Ćwiczenie 7. Niech x i y będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że x y = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy (x = 1 i y = 1) lub (x = 1 i y = 1). Ćwiczenie 8. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że jeśli x > y, to x + z > y + z. Ćwiczenie 9. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że jeśli z > 0 i x > y, to xz > yz, natomiast jeśli z < 0 i x > y, to xz < yz. Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej x zachodzą nierówności x x x. Ćwiczenie 11. Wykazać, że dla dowolnych x, y Z zachodzi nierówność x y x y. Ćwiczenie 12. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite x spełniające nierówność x 1 > x + 3. Ćwiczenie 13. Wykazać, że zbiór Z = {[1 (n + 1)] : n N} wraz z funkcją następstwo określoną wzorem a = a 1 dla a Z spełniają aksjomaty liczb naturalnych. Pokazać, że N i Z są izomorficzne bez zachowania porządku. Ćwiczenie 14. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite x spełniające równość e 3 (5x + 7) = x. 3. LICZBY UŁAMKOWE.

11 Ćwiczenie 1. W zbiorze N N wprowadzono relację wzorem: m : n p : q m q = n p. Wykazać, że jest relacją równoważności. Ćwiczenie 2. Wykazać, że: (a) jeśli ˆm : ˆn m : n, to ˆn : ˆm n : m, (b) jeśli m : w p : w, to m = p, (c) m : n (m f) : (n f), (d) jeśli ˆm : ˆn m : n, to ( ˆm n) : (ˆn n) (m ˆn) : (n ˆn). Ćwiczenie 3. Wykazać, że jeżeli ˆm : ˆn m : n, ˆp : ˆq p : q, to ( ˆm ˆp) : (ˆn ˆq) (m p) : (n q) i ( ˆmˆq + ˆpˆn) : (ˆnˆq) (mq + pn) : (nq). Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnych liczb ułamkowych X, Y i Z: (a) X (: X) = 1 (b) (: X) + (: Y ) = (X + Y ) : (XY ), (c) jeśli X > Y, to : Y >: X, (d) X : Y = X (: Y ), (e) : (X Y ) = (: X) (: Y ), (f) (X : Y ) : Z = X : (Y Z), (g) jeśli X < Y, to Z Y < Z X, przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla liczb ułamkowych zachodzi następująca implikacja [a : b] < [c : d] = [a : b] < [(a + c) : (b + d)] < [c : d]. Ćwiczenie 6. Wykazać, że w zbiorze liczb ułamkowych nie istnieje liczba najmniejsza ani największa. Ćwiczenie 7. Wykazać, że w zbiorze liczb ułamkowych nie zachodzi ani zasada minimum ani zasada maksimum. Ćwiczenie 8. Sformułować i udowodnić zasadę Archimedesa oraz twierdzenie o rozkładzie Euklidesa dla liczb ułamkowych. Ćwiczenie 9. Wykazać, że nie istnieje taka liczba ułamkowa X, że X 2 = 2. Ćwiczenie* 10. Niech A = {X U : X 2 < 2} i B = {X U : X 2 > 2}. Wykazać, że para zbiorów A i B stanowi lukę w zbiorze liczb ułamkowych. Ćwiczenie* 11. Wykazać, że jeśli X = [m : n] 1, to liczby ułamkowe [e n (m) : 1] i [r n (m) : n] nie zależą od wyboru reprezentanta m : n liczby X, przy czym druga przy założeniu, ze istnieje reszta r n (m). Liczbę [e n (m) : 1] nazywamy częścią całkowitą liczby X i oznaczamy E(X), natomiast liczbę [r n (m) : n] nazywamy częścią ułamkową liczby X i oznaczamy R(X). Ćwiczenie 12. Niech X, Y będą liczbami ułamkowymi X, Y 1 i N N. Wykazać, że:

12 (a) X N wtedy i tylko wtedy, gdy X = E(X), (b) jeśli X / N, to X = E(X) + R(X), (c) R(X) < 1, (d) E(X) X < E(X) + 1, (e) E(X + N) = E(X) + N, (f) E(X + Y ) E(X) + E(Y ). Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnej liczby ułamkowej X 1 część całkowita E(X) = e 1 (X) oraz reszta R(X) = r 1 (X). Ćwiczenie 14. Wyznaczyć wszystkie liczby ułamkowe X spełniające równość E(X) = 3. 4. LICZBY WYMIERNE. Ćwiczenie 1. Niech U i Z oznaczają odpowiednio zbiór wszystkich liczb ułamkowych i zbiór wszystkich liczb całkowitych. W zbiorze U U wprowadzono relację I wzorem: X Y I ˆX Ŷ X + Ŷ = Y + ˆX, natomiast w zbiorze Z (Z\{0}) wprowadzono relację II wzorem: x : y II ˆx : ŷ x ŷ = y ˆx. Wykazać, że są to relacje równoważności. Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji I oznaczamy Q I i nazywamy zbiorem liczb wymiernych pierwszego rodzaju, natomiast zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji II oznaczamy Q II i nazywamy zbiorem liczb wymiernych drugiego rodzaju. Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeżeli to [a : b] [c : d] I [â : ˆb] [ĉ : ˆd], [ad bc] : [bd + 1 1] II [â ˆd ˆbĉ] : [ˆb ˆd + 1 1]. Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla liczb całkowitych x i y 0 zachodzi relacja x : y II ( x) : ( y). Ponadto Wykazać, że jeżeli to [m n] : [p q] II [ ˆm ˆn] : [ˆp ˆq], [m : (p q)] [n : (p q)] I [ ˆm : (ˆp ˆq)] [ˆn : (ˆp ˆq)], o ile istnieją różnice p q i ˆp ˆq, natomiast o ile istnieją różnice p q i ˆq ˆp. [m : (p q)] [n : (p q)] I [ˆn : (ˆq ˆp)] [ ˆm : (ˆq ˆp)], Z powyższego wynika, że funkcje A : Q I Q II oraz D : Q II Q I dane wzorami: (1) A ([ [a : b] [c : d] ]) = [ [ad bc] : [bd + 1 1] ] oraz (2) D ([ [m n] : [p q] ]) = [ [m : (p q)] [n : (p q)] ], dla [p q] > 0 są poprawnie określone.

13 Ćwiczenie 4. Wykazać, że funkcja D : Q II Q I jest poprawnie określona wzorem (2). Ćwiczenie 5. Wykazać, że A D = id QII odwrotnymi. i D A = id QI, czyli A i D są odwzorowaniami wzajemnie Ćwiczenie 6. Wykazać, że A(1) = 1 i A(0) = 0 oraz dla dowolnych liczb wymiernych pierwszego rodzaju α i β zachodzą wzory: A(α + β) = A(α) + A(β), A(α β) = A(α) A(β). Ćwiczenie 7. Wykazać, że: (a) Dla każdego α Q I zachodzi równoważność α > 0 A(α) > 0, (b) Dla dowolnych α, β Q I zachodzi równoważność α > β A(α) > A(β). Ćwiczenie 8. Udowodnić następujące własności: (a) Ciąg stały (α), gdzie α Q jest zbieżny do wspólnej wartości swoich wyrazów czyli do α. (b) Jeżeli ciągi (α n ) i (β n ) mają prawie wszystkie wyrazy identyczne, to albo oba spełniają warunek Cauchy ego albo oba tego warunku nie spełniają. Ponadto granice jednego są granicami drugiego. (c) Ciąg (α n ) liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy ego jest ciągiem ograniczonym. Niech (α n ), n = 1, 2,... będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych i (k n ) n = 1, 2,... dowolnym ciągiem rosnącym liczb naturalnych. Ciąg (α kn ), n = 1, 2,... nazywamy podciągiem ciągu (α n ). Ćwiczenie 9. Niech (α n ), n = 1, 2,... będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że jeśli (α n ) jest ciągiem ograniczonym, to istnieje jego podciąg spełniający warunek Cauchy ego. Ćwiczenie 10. Wykazać, że jeśli ciąg liczb wymiernych (α n ) n = 1, 2,... spełnia warunek Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny do 0, to (α n ) jest zbieżny do 0. Analogicznie, gdy podciąg jest zbieżny do γ Q, to (α n ) zbiega do γ. Ćwiczenie 11. Wykazać, że jeżeli ciąg liczb wymiernych (α n ) spełnia warunek Cauchy ego i nie jest zbieżny do 0, to ciąg ( α n ) jest prawie ograniczony z dołu przez dodatnią liczbę wymierną. Ćwiczenie 12. Niech (α n ) i (β n ) będą ciągami liczb wymiernych. Wykazać, że lim(α n β n ) = lim α n lim β n, przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej. Ćwiczenie 13. Niech (α n ) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że warunek Cauchy ego jest równoważny z następującym warunkiem: dla każdego dodatniego ε Q zachodzi ( ) α n+k α n < ε dla wszystkich k N i prawie wszystkich n N. Ćwiczenie 14. Niech (α n ) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że jeśli istnieje taki ciąg (β n ) liczb wymiernych zbieżny do 0, że α n+k α n < β n dla wszystkich k N i prawie wszystkich n N, to (α n ) spełnia warunek Cauchy ego.

14 Ćwiczenie* 15. Wykazać, że ciąg (α n ) dany wzorem spełnia warunek Cauchy ego. n α n = 1 + 1 : (i!) i=1 Ćwiczenie* 16. Wykazać, że ciąg (α n ) z poprzedniego zadania nie jest zbieżny (do liczby wymiernej). Ćwiczenie 17. Niech (α n ) n = 1, 2,... będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych spełniającym warunek Cauchy ego i niech Wykazać, że M = {µ Q : m0 N n m0 µ α n } i N = {ν Q : n0 N n n0 α n ν}. (a) dla każdego ε Q, ε > 0 istnieją µ M i ν N takie, że ν µ = ε, (b) jeśli λ Q jest ograniczeniem górnym zbioru M i ograniczeniem dolnym zbioru N, to λ jest granicą ciągu (α n ). Ćwiczenie 18. Niech α i β będą dowolnymi liczbami wymiernymi nieujemnymi oraz n, p, q N. Wykazać, że: (a) jeśli α > 1, to α n > 1, (b) α > β α n > β n, (c) jeśli α > 1, to p > q α p > α q, (d) jeśli 0 < α < 1, to p > q α p < α q. Ćwiczenie 19. Wyznaczyć wszystkie liczby wymierne α dla których ciąg (α n ) jest zbieżny i podać jego granicę. 5. LICZBY RZECZYWISTE. Ćwiczenie 1. Niech P oznacza zbiór wszystkich ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy ego czyli tak zwanych ciągów podstawowych. W zbiorze P wprowadzamy relację wzorem: Wykazać, że jest relacją równoważności. (α n ) (β n ) lim n (α n β n ) = 0. Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeśli (α n ), n = 1, 2,... i (β n ), n = 1, 2,... są ciągami podstawowymi liczb wymiernych to ciąg (α n β n ) jest również podstawowy. Ćwiczenie 3. Niech (α n ), n = 1, 2,... i (β n ), n = 1, 2,... będą ciągami podstawowymi liczb wymiernych o wyrazach różnych od zera. Wykazać, że jeśli ciągi (α n ) i (β n ) nie są zbieżne do 0 oraz (α n ) (β n ), to (: α n ) (: β n ). Ćwiczenie 4. Niech (α n ), n = 1, 2,... i (ˆα n ), n = 1, 2,... będą ciągami podstawowymi liczb wymiernych i δ Q. Wykazać, że jeśli (α n ) (ˆα n ), to (a) jeśli dla każdego β < δ jest α n > β dla prawie wszystkich n i dla każdego γ > δ jest α n < γ dla prawie wszystkich n, to dla każdego ˆβ < δ jest ˆα n > ˆβ dla prawie wszystkich n i dla każdego ˆγ > δ jest ˆα n < ˆγ dla prawie wszystkich n, (b) jeśli istnieje γ 0 > δ takie, że α n γ 0 dla prawie wszystkich n, to istnieje ˆγ 0 > δ takie, że ˆα n ˆγ 0 dla prawie wszystkich n.

Ćwiczenie 5. Wykazać, że każda liczba rzeczywista dodatnia zawiera ciąg podstawowy o wyrazach dodatnich, każda liczba rzeczywista ujemna ciąg o wyrazach ujemnych, a liczba zero ciągi obu rodzajów. Ćwiczenie 6. Wykazać, że jeśli liczby rzeczywiste A i B są dodatnie względnie ujemne, to iloczyn A B jest liczbą dodatnią, natomiast jeśli A i B są różnych znaków, to A B jest liczbą ujemną. Ponadto Wykazać, że jeśli A i B są jednocześnie dodatnie lub ujemne to A + B jest odpowiednio dodatnia bądź ujemna. Ćwiczenie 7. Niech A = [(α n )], B = [(β n )] R. Wtedy A > B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie γ Q, γ > 0, że α n > β n + γ dla prawie wszystkich n. Ćwiczenie 8. Niech A, B, Γ R i Γ 0. Wykazać, że jeżeli A B, to A Γ B Γ. Dla ciągów liczb rzeczywistych (A n ), n = 1, 2,... analogicznie jak dla ciągów liczb wymiernych definiujemy pojęcie podciągu. Ćwiczenie 9. Wykazać, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada podciąg zbieżny. Ćwiczenie 10. Wykazać, że każdy ciąg liczb rzeczywistych (A n ), n = 1, 2,... spełniający warunek Cauchy ego jest zbieżny. Niech (α n ) oznacza ciąg podstawowy dany wzorem α n = 1 + n i=1 1 : (i!). Z zadania 16 z poprzedniego paragrafu wynika, że liczba rzeczywista [(α n )] nie jest liczbą wymierną. Liczbę tę oznaczamy symbolem e. Z twierdzenia 2 wynika, że liczba e jest granicą ciągu (α n ). Ćwiczenie 11. Wykazać, że suma i różnica dwóch liczb rzeczywistych, z których jedna jest wymierna a druga niewymierna jest liczbą niewymierną, natomiast suma dwóch liczb niewymiernych może być liczbą wymierną. Ćwiczenie 12. Niech (α n ) i (β n ) będą dowolnymi ciągami liczb wymiernych, przy czym ciąg (β n ) jest malejący i zbieżny do 0. Wykazać, że jeśli istnieje funkcja rosnąca f : Q R i liczba rzeczywista A taka, że dla każdego n N f(α n ) A < f(α n + β n ), to ciąg (α n ) spełnia warunek Cauchy ego. Ćwiczenie* 13. Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej A istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista dodatnia B, taka że B n = A. Powyższą liczbę B oznaczamy symbolem n A i nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z dodatniej liczby A. Zauważmy, że wprost z definicji pierwiastka wynika, że n A > 0 i ( n A) n = A. Zauważmy ponadto, że 0 n = 0 i B n 0 dla każdego B 0. Zatem można przyjąć, że n 0 = 0. Ćwiczenie 14. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich A i B oraz dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzą następujące własności: 15 (a) n A n B = n A B, (b) n (: A) =: ( n A), (c) n A : B = n A : n B, (d) n A m = ( n A) m, (e) n m n A = m A = mn A, (f) jeśli istnieje m : n, to n A m = A m:n, (g) n A m A = mn A m+n, (h) jeśli m > n, to n A : m A = mn A m n, (i) A < B n A < n B, (j) jeśli A > 1, to n < m n A > m A, (k) jeśli 0 < A < 1, to n < m n A < m A. Ćwiczenie 15. Niech A będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Wykazać, że lim n n A = 1.

16 6. APPENDIX. DEFINICJE INDUKCYJNE. Ćwiczenie 1 (Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję). Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem i α A oraz niech τ : A N A będzie ustaloną funkcją. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja f : N A spełniająca warunki: 1 f(1) = α, 2 f(x ) = τ(f(x), x) dla x N. Wskazówka. Rozważyć rodzinę M złożoną z wszystkich relacji R N A spełniających waruki: 1. (1, α) R, 2. jeśli (x, y) R, to (x, τ(y, x)) R dla x N, y A. Rodzina M jest niepusta, bo N A M. Pokazać, że f = R M R jest poszukiwaną funkcją. Zauważyć, że f M i stosując zasadę indukcji wykazać, że zbiory oraz N 1 = {x N : y A (x, y) f} ( N 2 = {x N : y1,y 2 A (x, y1 ) f (x, y 2 ) f ) y 1 = y 2 } są równe N. Patrz również ćwiczenie 6 z paragrafu "Postępowanie indukcyjne". Ćwiczenie 2. Dany jest niepusty zbiór Ω, element α Ω oraz funkcja ϕ : Ω Ω. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja γ : N Ω spełniająca warunki: 1 γ(1) = α, 2 γ(x + 1) = ϕ(γ(x)) dla x N. Ćwiczenie 3. Dany jest niepusty zbiór Ω, elementy α, β Ω oraz funkcja ϕ : Ω Ω Ω. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja γ : N Ω spełniająca warunki: 1 γ(1) = α, γ(2) = β, 2 γ(x + 2) = ϕ(γ(x), γ(x + 1)) dla x N. Wskazówka. Niech Φ : Ω Ω Ω Ω będzie funkcją określoną wzorem Φ(m, n) = (n, ϕ(m, n)). Z ćwiczenia poprzedniego istnieje funckja F : N Ω Ω spełniająca warunki 1 F (1) = (α, β), 2 F (x ) = Φ(F (x)). Wykazać, że π F jest poszukiwaną funkcją, gdzie π(m, n) = m. Ćwiczenie 4. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja f : N N spełniająca warunki: 1 f(1) = 1, f(2) = 1, 2 f(x + 2) = f(x) + f(x + 1) dla x N. Funkcję f nazywamy ciągiem Fibonacciego. Pierwszych piętnaście wartości ciągu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,...