020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie jest wystarczający? Odpowiedź Rozwiązanie równania x 2 = 2 nie jest liczbą wymierną! Niech F będzie dowolnym niepustym zbiorem, w którym są zdefiniowane dwie operacje: + : F F i : F F. Działanie + będziemy nazywali dodawaniem, a działanie mnożeniem w zbiorze F. Załóżmy, że dodawanie i mnożenie w F spełnia następujące warunki: A1 x + y = y + x przemienność dodawania A2 ( x + y) + z = x + ( y + z) łączność dodawania A3 y F x F x + y = x istnienie elementu neutralnego dodawania Element neutralny dodawania jest oznaczany symbolem 0. A4 x F w F x + w = 0 istnienie elementu przeciwnego Element przeciwny do x jest oznaczany symbolem x. Liczby rzeczywiste 1/8

A5 x y = y x przemienność mnożenia A6 ( x y) z = x ( y z) łączność mnożenia A7 z F, z 0 x F x z = x istnienie elem. neutralnego mnożenia Element neutralny mnożenia jest oznaczany symbolem 1. A8 x F, x 0 v F x w = 1 istnienie elementu odwrotnego Element odwrotny do x jest oznaczany symbolem x 1 1 lub. x A9 x ( y + z) = x y + x z rozdzielność mnożenia względem dodawania System ( F, +,,0,1 ) spełniający aksjomaty A1 A9 nazywamy ciałem. Przykłady System ( Q, +,,0,1 ) jest ciałem. System ( Z, +,,0,1 ) nie jest ciałem (dlaczego?). Niech ( F, +,,0,1 ) będzie ciałem. Zbiór P F nazywamy stożkiem w ciele F, gdy: B1 x, y P x + y P B2 x, y P x y P B3 x P x P Przykłady m Zbiór Q+ = { : m, n N} jest stożkiem w ciele liczb wymiernych Q. n Ciało ( F, +,,0,1 ) wraz ze stożkiem P F nazywamy ciałem uporządkowanym, gdy są spełnione aksjomaty A1 - A9, B1 B3 oraz B4 x F x = 0 lub x P lub x P (prawo trychotomii). Przykład m Ciało Q ze stożkiem Q+ = { : m, n N} jest ciałem uporządkowanym. n Niech ( F, +,,0,1 ) będzie ciałem uporządkowanym ze stożkiem F P. Element x nazywamy mniejszym od elementu y, gdy y x P. x < y y x P. Element y nazywamy większym od elementu x, gdy element x jest mniejszy od elementu y. y > x x < y y x P. x y x = y lub x < y. Liczby rzeczywiste 2/8

y x x y. Wniosek y > 0 y P. Twierdzenie Niech ( F, +,,0,1 ) będzie ciałem uporządkowanym. ( B1) [( x < y i z < w) x + z < y + w]. ( B2) [(0 < x < y i 0 < z < w) 0 < x z < y w]. ( B3) żaden element ciała F nie może być jednocześnie większy i mniejszy od innego elementu. Dowód Niech S będzie dowolnym zbiorem, w którym zdefiniowano relację mniejszości < spełniającą następujące warunki: x, y S x < y lub x = y lub y < x (prawo trychotomii), x, y, z S, x < y i y < z x < z (prawo przechodniości). Parę ( S, < ) nazywamy zbiorem uporządkowanym. Przykład Zbiór wszystkich samochodów jest zbiorem uporządkowanym względem każdej z poniższych relacji: x < y gdy samochód x jest lżejszy od samochodu y, x < y gdy samochód x jest tańszy od samochodu y, x < y gdy samochód x jest dłuższy od samochodu y. Natomiast zbiór samochodów nie jest ciałem. Uwaga Każde ciało uporządkowane jest jednocześnie zbiorem uporządkowanym. Zbiory liczb N, Z, Q z relacją < są zbiorami uporządkowanymi. Interpretacja geometryczna zbioru uporządkowanego Focus Fiesta Mondeo Waga Liczby rzeczywiste 3/8

Elementy zbioru uporządkowanego (o mocy co najwyżej continuum) można interpretować jako punkty leżące na prostej. Jeżeli prosta jest skierowana w prawą stronę, to element x jest mniejszy od elementu y wtedy, gdy x leży na lewo od y. Niech S będzie dowolnym zbiorem uporządkowanym i niech A S. Element M S nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, gdy x A x M. Jeśli zbiór A posiada ograniczenie górne, to zbiór A nazywamy zbiorem ograniczonym z góry. Element m S nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, gdy x A m x. Jeśli zbiór A posiada ograniczenie dolne, to zbiór A nazywamy zbiorem ograniczonym z dołu. Niech S będzie dowolnym zbiorem uporządkowanym i niech A S. Supremum zbioru A nazywamy najmniejszy element zbioru S, który ogranicza zbiór A z góry. Równoważnie: element M S jest supremum zbioru A, gdy x A x M ε > 0 x A M ε < x. Piszemy wtedy ε M = sup A ε Infimum zbioru A nazywamy największy element zbioru S, który ogranicza zbiór A z dołu. Równoważnie: element m S jest infimum zbioru A, gdy x A m x ε > 0 xε A xε < m + ε. Piszemy wtedy m = inf A. Uwaga Zbiór A nie musi posiadać ani supremum ani infimum. Przykład: zbiór A = { x Q : x 2 < 2} nie posiada ani supremum ani infimum w zakresie liczb wymiernych. Aksjomat zupełności Mówimy, że w zbiorze uporządkowanym S jest spełniony aksjomat zupełności, gdy każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór A S posiada supremum (równoważnie: każdy niepusty ograniczony z dołu podzbiór A S posiada infimum). Liczby rzeczywiste 4/8

Przykład Ciało liczb wymiernych Q nie spełnia aksjomatu zupełności. Twierdzenie Istnieje ciało uporządkowane (oznaczamy je symbolem R ) spełniające wszystkie aksjomaty A1 A9, B1 B4, aksjomat zupełności i zawierające ciało liczb wymiernych Q jako swoje podciało. Elementy ciała R nazywamy liczbami rzeczywistymi, a ciało R ciałem liczb rzeczywistych. Szkic dowodu (Kompletny dowód można znaleźć w podręczniku W.Rudina Podstawy analizy matematycznej.) Ciało ( G, +,,0,1) jest podciałem ciała ( F, +,,0,1 ), gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie T ( x1 + x2) = T ( x1) + T ( x2 ), T x x ) = T ( x ) T ( ). ( 1 2 1 x2 T : G 1 1 F takie, że Uwaga Z definicji natychmiast wynika, że T ( 0) = 0 i T ( 1) = 1. Oczywiście każde ciało jest swoim podciałem, wystarczy podstawić T ( x) = x. Przekrojem Dedekinda nazywamy każdy podzbiór α Q o następujących trzech własnościach: α i α Q, jeżeli p α, to każda liczba wymierna mniejsza od p też należy do α, tzn. p α, q Q i q < p q α, zbiór α nie zawiera liczby największej, tzn. p α r α p < r. Przekroje Dedekinda będziemy nazywać liczbami rzeczywistymi. Liczby rzeczywiste 5/8

Zbiór wszystkich przekrojów Dedekinda będziemy nazywać zbiorem liczb rzeczywistych podzbiór oznaczać literą R. Mówimy, że liczba rzeczywista α jest mniejsza od liczby rzeczywistej β, tzn. α < β, gdy α β i α β. Wnioski Dla liczb rzeczywistych z relacją < zachodzi prawo trychotomii i prawo przechodniości. Stąd zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem uporządkowanym. Zbiór liczb rzeczywistych spełnia aksjomat zupełności. Dodawanie: α + β = { p + q : p α i q β} 0 = { p Q : p < 0} α = { p Q : p r α dla pewnego r Q, r > 0} Mnożenie: Jeżeli α, β > 0, to α β = { p Q : p r s dla pewnych r α, s β, r > 0, s > 0}. 1 = { p Q : p < 1} α 0 = 0 α = 0 ( α ) ( β ), gdy α < 0 i β < 0, α β = [( α ) β ], gdy α < 0 i β > 0, [ α ( β )] gdy α > 0 i β < 0. System ( R, +,,0,1 ) spełnia aksjomaty A1 A9 i B1 B4, a więc jest ciałem uporządkowanym. Zdefiniujmy operator T : Q R następująco: T ( p) = { q Q : q < p}. Operator T jest wzajemnie jednoznaczny i zachowuje działanie dodawania i mnożenia. Stąd zbiór liczb wymiernych jest podciałem zbioru liczb rzeczywistych. Koniec szkicu dowodu Zasada Archimedesa Dla dowolnej liczby rzeczywistej x istnieje liczba naturalna n taka, że x < n. Liczby rzeczywiste 6/8

Dowód Twierdzenie o gęstości liczb wymiernych w R Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y R, x < y istnieje liczba wymierna p Q taka, że x < p < y. Dowód Twierdzenie o zamkniętości liczb R + względem pierwiastkowania Dla dowolnej liczby rzeczywistej x > 0 i dowolnej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista y > 0 taka, że y n = x. Bez dowodu Dowód można znaleźć w podręczniku W.Rudina Podstawy analizy matematycznej Liczbę y nazywamy pierwiastkiem n -tego stopnia z x i oznaczamy symbolem n x 1/ lub n x. Do zbioru liczb rzeczywistych R dodajemy dwa symbole oraz +. Zbiór ten będziemy oznaczać symbolem R. Rozszerzamy definicję relacji mniejszości ze zbioru liczb rzeczywistych na dwa nowe elementy wzorem x R, < x < +. System ( R, < ) nazywamy rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych. Uwagi System ( R, < ) jest zbiorem uporządkowanym. Każdy podzbiór R jest ograniczony z góry przez element + i ograniczony z dołu przez element. Każdy podzbiór R posiada supremum i infimum (być może jest nim element + lub element ) Rozszerzamy definicje dodawania, mnożenia i dzielenia ze zbioru liczb rzeczywistych na zbiór R przy pomocy wzorów: x R, x + ( + ) = x + = +, x + ( ) = x = 0 < x < +, x ( + ) = +, x ( ) = < x < 0, x ( + ) =, x ( ) = + Liczby rzeczywiste 7/8

Uwaga x x x R, = 0, = 0 + System ( R, +,,0,1 ) nie jest ciałem liczbowym. Działanie dodawania i mnożenia nie jest zdefiniowane dla wszystkich elementów zbioru R. Tworzą one tzw. symbole nieoznaczone: + (+ ), ( ), 0 ( + ), 0 ( ) itd. Liczby rzeczywiste 8/8