Małgorzata Just Krzsztof Paseck UOGÓLNIONA KRAŃCOWA SOPA SUBSYUCJI - ZASOSOWANIE W ANALIZIE PORFELOWEJ. Wstęp Zakładam, że a k peego procesu gospodarczego ma pł skończoa lczba różch czkó kształtuącch te proces. Zbór tch czkó będzem azać dale układem czkó. Sta tego czka będzem charakterzoać poprzez artość R. W te sposób każd sta układu czkó zostae opsa przez ektor staó,,..., ) X ( R ), gdze smbol X ozacza zbór szstkch ( potecalch staó osągach przez bada układ czkó. W ogólm przpadku przedmotem aalz ekoomcze est ocea przdatośc różoe artośc ektora staó do osągęca soke akośc ku aalzoaego procesu gospodarczego. Formalm odzercedleem te oce przdatośc est fukca użteczośc u : X R. O zborze potecalch staó X zakładać będzem, że artośc opsuące poszczególe czk kształtuące aalzoa proces są stmulatam użteczośc, co ozacza, że użteczość est fukcą rosącą każde se zmee. Puktem odesea do aalz ekoomcze est ustalo ektor staó X. Jedm z klasczch arzędz aalz est krańcoa stopa substtuc, zdefoaa (poróa [5]) za pomocą rażea u. (.) u Wartość zdefoae poże krańcoe stop substtuc formue, o le edostek pośm zększć artość -tego czka, ab prz ubtku ede edostk artośc stau -tego czka zachoać artość użteczośc całego układu czkó.
Stosoae krańcoe stop substtuc postac (.) maga stosoaa zasad ceters parbus głoszące ezmeość staó pozostałch czkó. W [] Besada Vazguez przedstal bardzo sle uogólee poęca krańcoe stop substtuc pozalaące a rezgacę z ograczeń spoodoach stosoaem zasad ceters parbus, oraz pozalaące a umeszczee artośc ektora staó doole przestrze Baacha. Praca poższa postała a margese aalz kó z [] est próbą adaptac poęca uogóloe krańcoe stop substtuc do potrzeb aalz portfeloe.. UOGÓLNIONA KRAŃCOWA SOPA SUBSYUCJI Rozażaa asze będzem proadzć a przestrze Baacha R, (poróa [4]), gdze smbol ozacza ustaloą ormę. Nech X R ozacza otart pukł zbór potecalch staó osągach przez bada układ czkó, X est ustalom puktem odesea aalz ech u : X R będze różczkoalą, mootoczą ścśle pukłą fukcą użteczośc. Pod uagę berzem da loo ezależe ektor że. R, take, Zbór ektoró, est dopeła o ektor,... take, że układ ektoró,..., stao bazę przestrze,,..., mędz m, że ektor macerz W,..., zależość, 3, 4 R. Ozacza to staoą kolum eosoble. Nech :Y X będze fukcą loą określoą przez W, (.) gdze Y R : X : W.. Zbadam teraz łasośc fukc F uw F : Y R określoe przez zależość. (.) W mam ted Dla F u grad o (.3)
3 Ostata eróość, raz z terdzeem o fukc ukłae e pochode (p [3]), doodz, że każda fukca g : R R spełaąca aruk g,,..., (.4) 3 F, g,,...,,, F,..., (.5) 3 3 4 posada pochodą zględem persze se zmee daą zależoścą F F grad grad u u. o (.6) Postać ostate pochode est ezależa od doboru postac fukc co est szczególe aże, gd fukca ukłaa g opsaa zależoścą (.5) stao relacę e będącą fukcą. Ostate spostrzeżee pozala a edozacze zdefoae uogóloe krańcoe stop substtuc G u u, grad grad. (.7) W szczególm przpadku uogóloa krańcoa stopa substtuc G redukue sę do krańcoe stop substtuc, gdż mam. G e, e, (.8) Ekoomcza terpretaca G pła prost z terpretac, gdż dzeląc u lczk maok (.7) przez G czkó A,,, otrzmuem. (.9) Lczk poższego ułamka pokazue, że utrata ede edostk kombac może bć zrekompesoaa przez, (.) edostek przrostu czka. Maok ułamka (.9) skazue atomast a to, że utrata ede edostk kombac czkó może bć zrekompesoaa przez
4 B, (.) edostek przrostu czka, to ostate ozacza, że eda edostka czka est róoaża stopa substtuc G, B edostek kombac czkó. Dlatego uogóloa krańcoa A B (.) est róa przblżeu lośc edostek kombac czkó rekompesuącch ubtek ede edostk kombac czkó. Poadto [] doedzoo, że artośc uogóloe krańcoe stop substtuc e zależą od postac fukc użteczośc. 3. O MOŻLIWOŚCI I ZASOSOWANIA W EORII PORFELOWEJ Zakładam, że dspouem skończoą lczbą różch aktó fasoch. Sta tego aktu fasoego będzem charakterzoać przez artość zmee R. Od zmee będzem magać, ab bła stmulatą akośc aktu fasoego. Zmeą zatem możem detfkoać ze stopą zrostu, odrotoścą arac, spółczkem zmeośc tp. W te sposób otrzmuem ektor staó,...,, będąc p. ektorem stóp zrotu lub ektorem odrotośc arac lub ektorem spółczkó zmeośc. Ze spomach poże aktó torzm t portfel te sposób, że udzał tego aktu tm portfelu opsue lczba. W te sposób torzm koleo ektor udzału.,,..., Wobec staaego rozdzale mogu R musm tuta prząć, że krótka sprzedaż est kluczoa []. Przestrzeń R ormuem za pomocą orm przestrze z, z R z,..., z przmuem l [4], to zacz dla doolego
5 z z z... z (3.) ted każd z ektoró udzału speła drug z arukó staach rozdzale. Zgode z sugestam zaartm rozdzale do poróań beram portfele o ektorach udzałó loo ezależch. Z druge stro em, że da róże portfele maą zasze ektor udzałó loo ezależe. Ozacza to, że uogóloą krańcoą stopą substtuc możem sę posługać prz poróau doole par różch portfel. Z druge stro obec ezmeośc uogóloe krańcoe stop substtuc obec postac fukc użteczośc możem prząć doolą e postać spełaącą ede założea rozdzału. Jest to szczególe aże ted, gd brak am formac o rozkładze skłoośc albo aers estoró do rzka. Zatem możem prząć, że fukca użteczośc u : R R daa est zależoścą u,...,...,. (3.),,...,, Przmuem, że puktem odesea asze aalz est ektor gdze artośc ozaczaą artośc stau -tego aktu fasoego. Użteczość tego układu aktó est róa u u. Uogóloa krańcoa stopa substtuc est ted róa G, u u. (3.3) Jeśl teraz dspouem portfelem o ektorze udzałó, to teresue as zamaa tego portfela a tak portfel o ektorze udzałó, że. G, (3.4) Portfele spełaące poższ aruek pozalaą a utrzmae akośc posadach aktó fasoch za pomocą meszch akładó. W te sposób aalza uogóloe krańcoe stop substtuc doproadzła as do sformułoaa krterum (3.4) aalz portfeloe. O praktcze użteczośc tego krterum po rozstrzgąć badaa emprcze.
6 LIERAURA [] Besada M.; Vázquez C.: he geeralzed margal rate of substtuto, Joural of Mathematcal Ecoomcs 3, 999, s 553 56. [] Elto E. J., Gruber M. J.: Nooczesa teora portfeloa aalza paperó artoścoch, WIG Press Warszaa 998. [3] Fchteholz G. M.: Rachuek różczko całko, PWN Warszaa 97. [4] Muselak J.: Wstęp do aalz fukcoale PWN Warszaa 976. [5] Paek E.: Ekooma matematcza, Wd. AE Pozań,.