MODUŁ II
Moduł II Praca i energia 7 Praca i energia Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym ojęciem energii jest konieczna dla wszelkich rozważań zarówno technologicznych, ekonomicznych, ekologicznych jak i sołecznych. Żeby się o tym rzekonać wystarczy srawdzić jak istotną ozycją w budżecie domowym stanowią wydatki związane z zaotrzebowaniem na energię (zakuy żywności, ołaty za rąd, gaz, ogrzewanie czy aliwo do samochodu). Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na rzetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej będziemy się odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących różnych zagadnień fizyki. W mechanice zasada zachowania energii ozwala obliczać w bardzo rosty sosób ruch ciał, stanowi alternatywę do stosowania zasad dynamiki Newtona. 7. Praca wykonana rzez siłę stałą W najrostszym rzyadku, unkt materialny rzemieszcza się od wływem stałej siły F. Traktując rzesunięcie s jako wektor o długości równej drodze jaką rzebywa ten unkt i kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, możemy zdefiniować racę W. Definicja Praca W wykonana rzez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły F i wektora rzesunięcia s. W F s Fs cosα (7.) gdzie α jest kątem między kierunkami siły i rzesunięcia. Zwróćmy uwagę, że kąt α może być różny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu unktu materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (n. ciężar, tarcie). Ale nawet gdy działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi oruszać się w kierunku jej działania n. siła grawitacji w rzucie ukośnym. Rozatrzmy teraz nastęujący rzykład. Przykład Ciało o masie m ( na rzykład sanki) jest ciągnięte o oziomej owierzchni stałą siłą F (rysunek oniżej), a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt α z oziomem. Rys. 7.. Ciało o masie m ciągnięte o oziomej owierzchni stałą siłą F tworzącą kąt α z oziomem 70
Moduł II Praca i energia Praca jaką wykonał człowiek ciągnący to ciało na drodze s jest zgodnie z równaniem (7.) równa Fscosα. Zauważmy, że racę wykonuje tylko składowa F s Fcosα styczna do rzesunięcia s. Natomiast składowa ionowa Fsinα działa w górę zmniejszając nacisk ciała na owierzchnię. Ze wzoru (7.) wynika, że raca może rzyjmować zarówno wartości dodatnie gdy α < 90, jak i ujemne gdy α > 90. W omawianym rzykładzie, oza siłą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia kinetycznego T (rysunek 7.) rzeciwstawiająca się ruchowi (α 80 ). Praca wykonana rzez siłę tarcia jest ujemna W T s Ts cos80 -Ts. W szczególności raca może być równa zeru, gdy kierunek siły jest rostoadły do kierunku rzesunięcia (α 90, cos90 0). Przykładem może być siła dośrodkowa. Przysieszenie dośrodkowe jest rostoadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje racy. Rozatrzmy jeszcze raz owyższy rzykład ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało orusza się ze stałą rędkością. Z ierwszej zasady dynamiki wynika, że wtedy F wy 0. W kierunku oziomym F wy Fcosα T 0, zatem "dodatnia" raca wykonana rzez człowieka jest równa co do wartości bezwzględnej "ujemnej" racy wykonanej rzez siłę tarcia. Z odobna sytuacją mamy do czynienia rzy odnoszeniu w górę (ze stałą rędkością) ciała o masie m na wysokość h (rysunek 7. obok). Zauważmy, że w trakcie odnoszenia ciała człowiek działa siłą F równą ciężarowi ale rzeciwnie skierowaną, więc "dodatnia" raca W mgh wykonana na drodze h rzez siłę F (człowieka) jest równa co do wartości "ujemnej" racy wykonanej rzez siłę Rys. 7.. Podnoszenie ciężaru na wysokość h ciężkości. Ćwiczenie 7. Teraz gdy znasz już definicję racy sróbuj samodzielnie odowiedzieć na roste ytania związane z nastęującym ćwiczeniem: Wyobraź sobie, że odnosisz książkę na ółkę, tak jak okazano to na rysunku obok. W ierwszym kroku odnosisz książkę z ołożenia () i umieszczasz ją na ółce (ołożenie ). Nastęnie rzenosisz książkę oziomo ze stałą rędkością na inne miejsce na ółce (ołożenie 3). Jaki znak ma raca wykonana rzez ciebie na odcinku - i -3, a jaki znak ma raca wykonana rzez siłę ciężkości? Tarcie i wszelkie oory omijamy. Wzór (7.) ozwala obliczyć racę dla siły stałej; do obliczeń "odstawiamy" za F konkretną jej wartość. Teraz oznamy jak obliczyć racę gdy siła zmienia się, rzyjmuje różne wartości. 7
Moduł II Praca i energia 7. Praca wykonana rzez siłę zmienną Rozważmy teraz siłę będącą funkcją ołożenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy racy jaką wykona ta siła rzy rzesuwaniu ciała od ołożenia x do ołożenia x. Jak już mówiliśmy wzór W F s ozwala obliczyć racę dla stałej siły F. Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na rzykład tak jak na rysunkach 7.3 (linia ciągła) trzeba stosować inny algorytm. Rys. 7.3a. Zmienna siła F(x) rzybliżona ciągiem stałych wartości F i Zacznijmy od zastosowania rzybliżenia. Dzielimy całkowite rzemieszczenie x na n jednakowych odcinków Δx tak jak na rysunku. Wewnątrz takiego rzedziału Δx rzyjmujemy (i to jest to rzybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru (7.) do obliczenia racy w dowolnym rzedziale Δx Δ W F Δx (7.) i i i gdzie F i jest wartością siły na i -tym odcinku Δx. Nastęnie sumujemy race wykonane na oszczególnych odcinkach otrzymując całkowitą racę W n i F i Δx (7.3) Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie racy jest równoważne liczeniu sumy owierzchni kolejnych rostokątów o odstawie Δx i wysokości F i. Możemy "orawić" nasze rzybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku dzielimy rzedział (x, x ) na więcej (mniejszych) odcinków Δx, tak jak okazano na rysunku 7.3b. Widać, że nowe rzybliżenie jest lesze. Wartości sił F i dla oszczególnych rzedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji F(x), a co za tym idzie obliczona (wzór 7.3) wartość racy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (ola owierzchni rostokątów bardziej okrywają się z olem od krzywą). 7
Moduł II Praca i energia Rys. 7.3b. Zmienna siła F(x) rzybliżona ciągiem stałych wartości F i Widać, że rozwiązaniem roblemu jest rzejście (w granicy) Δx 0.Stosujemy tę samą rocedurę obliczając całkowitą racę lim Δx 0 i x W Fi Δxi F( x)d x (7.4) Tak w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odowiada liczeniu ola owierzchni od krzywą F(x) w zadanym rzedziale (atrz rysunek 7.3c). Ta rocedura odowiada też z definicji liczeniu wartości średniej W F( x x) co zgadza się z intuicyjnym odejściem. x Rys. 7.3c. Pole owierzchni od krzywą F(x) równe liczbowo racy wykonanej rzez siłę na odcinku x x 73
Moduł II Praca i energia Możesz rześledzić jak dzielenie rzedziału (x, x ) na więcej (mniejszych) odcinków Δx wływa na dokładność obliczeń racy wykonanej rzez zmienną siłę F(x). korzystając z darmowego rogramu komuterowego Praca wykonana rzez siłę zmienną dostęnego na stronie WWW autora. Żeby obliczyć racę wykonaną rzez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie oszukać rozwiązania w tablicach) lub umieć obliczyć ole owierzchni od krzywą co w szczególnych rzyadkach nie jest trudne. Przykład Rozważmy srężynę zamocowaną jednym końcem i rozciąganą siłą F tak, że jej drugi koniec rzemieszcza się o x. Siła wywierana rzez srężynę F s - kx jest siłą rzywracającą równowagę. Aby rozciągnąć srężynę musimy zatem rzyłożyć siłę równą co do wartości lecz rzeciwnie skierowaną tzn. F kx. Rys. 7.4. Rozciąganie srężyny siłą F Znamy już ostać funkcji F(x) i możemy teraz korzystając z równania (7.4) obliczyć racę wykonaną rzy rozciąganiu srężyny W x x x kx kx ( (7.5) F x)d x ( kx)d x 0 0 0 Ćwiczenie 7. Srawdź, czy uzyskana wartość jest orawna. W tym celu oblicz bezośrednio ole od wykresem funkcji F(x). Wynik obliczeń zaisz oniżej i orównaj z wynikiem całkowania. S Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. 74
Moduł II Praca i energia 7.3 Energia kinetyczna Rozatrzmy jeszcze raz ruch ciała od wływem stałej, niezrównoważonej siły F i obliczmy racę jaką wykonuje ona na drodze s. Stałość siły oznacza, że ruch odbywa się ze stałym rzysieszeniem a. Zakładamy onao, że kierunek siły F i rzysieszenia a okrywa się z kierunkiem rzesunięcia s. Dla ruchu jednostajnie rzysieszonego możemy naisać co w ołączeniu daje at s v 0t + (7.6) v v 0 v v 0 + at a (7.7) t Wykonana raca jest równa v +v s 0 t (7.8) W v v 0 v + v 0 mv mv 0 F s ma s m t (7.9) t Definicja Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu rędkości nazywamy energią kinetyczną E k ciała o masie m. Ek mv (7.0) Na odstawie wzorów (7.8) i (7.9) widzimy, że Prawo, zasada, twierdzenie Praca wykonana rzez siłę F działającą na ciało o masie m jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała. W E k E k 0 (7.) To jest twierdzenie o racy i energii. Z tego twierdzenia wynika, że jednostki racy i energii są takie same. Jednostki Jednostką racy i energii jest w układzie SI dżul (J); J N m. W fizyce atomowej owszechnie używa się jednostki elektronowolt (ev) ev.6 0 9 J. Sróbuj teraz wykonać roste ćwiczenie. 75
Moduł II Praca i energia Ćwiczenie 7.3 Porównaj energię kinetyczną srintera o masie 80 kg biegnącego z rędkością 0 m/s z energią kinetyczną ocisku o masie 5 g wylatującego z karabinu z rędkością 800 m/s. Skorzystaj ze wzoru (7.0). Wynik obliczeń zaisz oniżej. Pamiętaj o odowiednich jednostkach. E srintera E ocisku 7.4 Moc Z unktu widzenia zastosowań raktycznych często istotnym jest nie to ile energii można uzyskać ze źródła ale to jak szybko można ją uzyskać (zamienić w użyteczną ostać). Na rzykład, ważnym arametrem samochodu, istotnym rzy wyrzedzaniu, jest to jak szybko samochód rzysiesza tzn. jak szybko silnik wykonuje racę związaną z rozędzaniem samochodu. Inny rzykład to, dwa dźwigi, które odnoszą jednakowe masy na jednakową wysokość h ale w różnym czasie. Tak jak zostało to już okazane na wcześniejszym rzykładzie, każdy z dźwigów wykonuje taką samą racę równą mgh. Jednak jeden z dźwigów wykonuje tę racę w czasie krótszym niż drugi. Mówimy, że ten dźwig ma większą moc. Definicja Moc definiujemy jako ilość wykonanej racy (lub rzekazanej energii) do czasu w jakim została ona wykonana. Jeżeli raca W została wykonana w czasie t to średnia moc jest dana wzorem W P t (7.) Dla stałej siły F wzór ten rzyjmuje ostać Fs P Fv t (7.3) Dla czasu t 0 mówimy o mocy chwilowej dw P (7.4) Moc chwilową obliczamy jako ochodną racy względem czasu. 76
Moduł II Praca i energia Jednostki Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); W J/ s. Dla celów raktycznych owszechnie stosowaną jednostką mocy jest kilowat (kw), a jednostką energii (iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kwh). Ćwiczenie 7.4 Teraz gdy znasz już definicję mocy średniej i odowiednie jednostki sróbuj ocenić średnią moc zużywaną rzez urządzenia elektryczne w twoim mieszkaniu. W tym celu odczytaj stan licznika energii elektrycznej, a nastęnie owtórz odczyt o 4 godzinach. Jaką wielkość rejestruje licznik i w jakich jednostkach? Na odstawie tych omiarów oblicz moc średnią. Wynik zaisz oniżej. P średnia 77
Moduł II Zasada zachowania energii 8 Zasada zachowania energii 8. Siły zachowawcze i niezachowawcze W orzednim rozdziale okazaliśmy, że raca wykonana rzez siłę wyadkową działającą na unkt materialny (ciało) wzdłuż ewnej drogi, jest równa zmianie energii kinetycznej E k tego unktu materialnego W ΔE k (8.) Skorzystamy z tego związku, dla rozróżnienia sił zachowawczych i niezachowawczych. W tym celu rozatrzmy ciało rzucone ionowo do góry, któremu nadano rędkość oczątkową v 0, a tym samym energię kinetyczną E k mv 0 /. Podczas wznoszenia się ciała siła grawitacji działa rzeciwnie do kierunku ruchu więc rędkość ciała, a także i jego energia kinetyczna maleją aż do zatrzymania ciała. Nastęnie ciało orusza się w rzeciwnym kierunku od wływem siły grawitacji, która teraz jest zgodna z kierunkiem ruchu. Przy zaniedbywalnym oorze owietrza, rędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało oczątkowo. Ciało rzucone do góry, wraca z tą samą rędkością i energią kinetyczną. Widzimy, że o rzebyciu zamkniętej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmieniła się, więc na odstawie równania (8.) oznacza to, że raca wykonana rzez siłę grawitacji odczas ełnego cyklu jest równa zeru. Praca wykonana rzez siłę grawitacji odczas wznoszenia się ciała jest ujemna bo siła jest skierowana rzeciwnie do rzemieszczenia (kąt omiędzy rzemieszczeniem i siłą wynosi 80 ; cos80 ). Gdy ciało sada siła i rzemieszczenie są jednakowo skierowane, raca jest dodatnia, tak że całkowita raca jest równa zeru. Definicja Siła jest zachowawcza, jeżeli raca wykonana rzez tę siłę nad unktem materialnym, który orusza się o dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sosób, n. siła srężysta wywierana rzez idealną srężynę, nazywamy siłami zachowawczymi. Jeżeli jednak, oór owietrza nie jest do zaniedbania, to ciało rzucone ionowo w górę owraca do ołożenia oczątkowego i ma inną energię kinetyczną niż na oczątku onieważ siła ooru rzeciwstawia się ruchowi bez względu na to, w którym kierunku orusza się ciało (nie tak jak siła grawitacji). Praca wykonywana rzez siłę ooru jest ujemna dla każdej części cyklu zarówno rzy wznoszeniu jak i oadaniu ciała więc odczas tego cyklu została wykonana raca różna od zera. Definicja Siła jest niezachowawcza jeżeli raca wykonana rzez tę siłę nad unktem materialnym, który orusza się o dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru. 78
Moduł II Zasada zachowania energii Siła ooru owietrza jest siłą niezachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sosób, n. siła tarcia, nazywamy siłami niezachowawczymi. Różnicę między siłami niezachowawczymi i zachowawczymi możemy zobrazować jeszcze inaczej. W tym celu rozatrzmy racę wykonaną rzez siłę grawitacji odczas ruchu ciała z unktu A do unktu B o dwóch różnych drogach tak jak okazano na rysunku oniżej. Rys. 8.. Ciało rzesuwane z unktu A do unktu B w olu grawitacyjnym o dwóch różnych drogach Z naszych orzednich rozważań wiemy, że raca wykonana rzez siłę grawitacji odczas ruchu ciała w górę jest ujemna bo siła jest skierowana rzeciwnie do rzemieszczenia (kąt omiędzy rzemieszczeniem i siłą wynosi 80 ; cos80 ). Gdy ciało rzemieszcza się w dół to siła grawitacji i rzemieszczenie są jednakowo skierowane, raca jest dodatnia. Natomiast rzy rzemieszczaniu w bok, siła grawitacji nie wykonuje żadnej racy bo jest rostoadła do rzemieszczenia (cos90 0). Widzimy, że rzesunięcia w górę znoszą się z rzemieszczeniami w dół, tak że wyadkowe rzemieszczenie w ionie wynosi h i w konsekwencji wyadkowa raca wykonana rzez siłę grawitacji wynosi W mgh bez względu na wybór drogi. Praca w olu grawitacyjnym nie zależy od wyboru drogi łączącej dwa unkty ale od ich wzajemnego ołożenia. Możemy uogólnić nasze rozważania na dowolną siłę zachowawczą. Jeszcze raz rozatrzmy ruch ciała z unktu A do unkt B o jednej drodze () oraz owrót z B do A o innej drodze () (rysunek 8.a). Rys. 8.. Ciało rzemieszcza się z unktu A do unktu B i z owrotem 79
Moduł II Zasada zachowania energii Ponieważ siła działająca na ciało jest zachowawcza to dla drogi zamkniętej z A do B i z owrotem raca jest równa zeru Lub zaisując to inaczej W W 0 (8.) A B + B A WA B W B A (8.3) Jeżeli teraz odwrócimy kierunek ruchu i rzejdziemy z A do B o drodze () (rysunek 8.b) to onieważ zmieniamy tylko kierunek ruchu to otrzymujemy racę tę samą, co do wartości ale różniącą się znakiem WAB W B A (8.4) Porównując dwa ostatnie równania otrzymujemy WA B WAB (8.5) Widać z tego, że raca wykonana rzez siłę zachowawczą rzy rzemieszczaniu ciała od A do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi () i () mogą mieć dowolny kształt o ile tylko łączą te same unkty A i B. Definicja Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli raca wykonana rzez nią nad unktem materialnym oruszającym się między dwoma unktami zależy tylko od tych unktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli raca wykonana rzez nią nad unktem materialnym oruszającym się między dwoma unktami zależy od drogi łączącej te unkty. Przedstawione definicje siły zachowawczej są równoważne. Teraz kiedy znasz już definicję sił zachowawczych sróbuj wykonać oniższe ćwiczenie Ćwiczenie 8. Ciało o masie m zsuwa się z równi ochyłej w kierunku nieważkiej srężyny (rysunek oniżej). Ruch odbywa się bez tarcia. Ciało dociera do srężyny i w wyniku działania siły srężystej zostaje zatrzymane. Nastęnie, od wływem rozrężającej się srężyny, ciało orusza się w rzeciwnym kierunku. Sróbuj teraz odowiedzieć na nastęujące ytania (odowiedzi zaisz oniżej): a) Jakie siły działają na ciało w trakcie jego ruchu? 80
Moduł II Zasada zachowania energii b) Czy są to siły zachowawcze?) Jak zmieniłaby się sytuacja, gdyby wystęowało tarcie omiędzy ciałem a oziomą łaszczyzną? Zauważ, że ciał odechnięte rzez srężynę owraca do swojego stanu oczątkowego. 8. Energia otencjalna Gdy rozatrywaliśmy (w orzednim rozdziale) ruch ciała od wływem siły grawitacji lub siły srężystości widzieliśmy, że energia kinetyczna oruszającego się ciała zmieniała się (malała i rosła) odczas ruchu, tak że w cyklu zamkniętym owracała do oczątkowej wartości. W tej sytuacji, gdy działają siły zachowawcze, do oisania tych zmian celowe jest wrowadzenie ojęcia energii otencjalnej E. Mówimy, że zmianie energii kinetycznej ciała o wartość ΔE k towarzyszy zmiana energii otencjalnej ΔE tego ciała równa co do wartości ale rzeciwnego znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru ΔE k + ΔE 0 (8.6) Każda zmiana energii kinetycznej ciała E k jest równoważona rzez zmianę energii otencjalnej E, tak że ich suma ozostaje rzez cały czas stała E k + E const. (8.7) Energię otencjalną można traktować jako energię nagromadzoną, która może być w rzyszłości całkowicie odzyskana i zamieniona na inną użyteczną formę energii. Oznacza to, że nie możemy wiązać energii otencjalnej z siłą niezachowawczą. Energię otencjalną często nazywa się energią stanu. Mówimy, że jeżeli energia układu zmieniła się to zmienił się stan układu. 8
Moduł II Zasada zachowania energii Z twierdzenia o racy i energii (7.0) wynika, że W ΔE k (8.8) więc zgodnie z wrowadzonym ojęciem energii otencjalnej, dla zachowawczej siły F, zachodzi związek W ΔE k ΔE (8.9) Korzystając z ogólnego wzoru na racę (7.4) otrzymujemy ogólną zależność ΔE W r r 0 F( r)d r (8.0) Możemy również zaisać zależność odwrotną między siłą i energią otencjalną d E ( r) F( r) (8.) d r Zauważmy, że na odstawie równania (8.0) otrafimy obliczyć zmianę energii otencjalnej ΔE, a nie samą energię otencjalną E. Ponieważ ΔE E (r) E (r 0 ), to żeby znaleźć E (r) trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość E (r 0 ) E r ( + 0 r r) ΔE + E ( r0 ) F( r)d r E ( r ) (8.) 0 Punkt r 0 nazywamy unktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak, żeby energia otencjalna w tym unkcie odniesienia E (r 0 ) była równa zeru. Jako unkt odniesienia r 0 często wybiera się ołożenie, w którym siła działająca na ciało jest równa zeru. Trzeba jednak odkreślić, że wybór unktu odniesienia jest srawą czysto umowną. Przykład Sróbujmy teraz obliczyć energię otencjalną na rzykład w rzucie ionowym do góry, w obliżu owierzchni Ziemi. W tym celu rzyjmujemy, że ruch odbywa się wzdłuż osi y, rzy czym kierunek osi y w górę rzyjmujemy jako dodatni. W konsekwencji siła grawitacji F(y) mg bo jest skierowana w ujemnym kierunku osi y. Wybieramy teraz unkt odniesienia n. na owierzchni Ziemi y 0 0 i rzyjmujemy E (0) 0. Energię otencjalną w ołożeniu y tj. na wysokości y onad oziomem odniesienia obliczamy z równania (8.). Obliczenie jest tym rostsze, że siła grawitacji F(y) jest stała więc nie musimy obliczać całki ale do obliczenia racy stosujemy wzór (7.) W Fs. Otrzymujemy E ( y) ( mgy) + E ( y0 ) mgy (8.3) 8
Moduł II Zasada zachowania energii Energia otencjalna związana z siłą grawitacyjną wynosi mgy, gdzie y jest wysokością onad unktem (oziomem) odniesienia i jest równa racy jaką trzeba wykonać rzy odnoszeniu ciała na tę wysokość (rzykład z rozdziału 7.). Energia otencjalna rzedstawia tu formę nagromadzonej w wyniku wykonanej racy energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną, odczas sadku ciała z danej wysokości. W analogiczny sosób obliczymy teraz energię otencjalną idealnej nieważkiej srężyny. Gdy srężyna jest rozciągnięta na odległość x od ołożenia równowagi to siła srężystości wynosi F - kx. Jako unkt odniesienia rzyjmujemy tym razem x 0 0. Odowiada to ołożeniu równowagi, w którym srężyna jest nierozciągnięta i siła srężystości jest równa zeru. Energię otencjalną onownie obliczamy z równania (8.) rzy czym korzystamy z odanego wyrażenia (7.5) na racę wykonaną rzy rozciąganiu srężyny E x ( x) ( kx)d x + E ( x0 ) kx (8.4) x 0 Sróbuj teraz, korzystając z definicji energii otencjalnej, wykonać nastęujące ćwiczenie Ćwiczenie 8. Dwa klocki o masach m i m są ołączone cienką linką rzerzuconą rzez nieważki bloczek tak jak na rysunku obok. W układzie wystęuje tarcie omiędzy masą m i stołem. Układ ozostający oczątkowo w soczynku zostaje uszczony i masa m oada na odłogę. Określ, w chwili gdy klocek m dociera do odłogi, jaki znak (+/-) ma: ) energia otencjalna klocka m względem odłogi, ) energia otencjalna klocka m względem stołu, 3) raca wykonana rzez siłę grawitacji, 4) raca wykonana rzez siłę tarcia, 5) zmiana energii otencjalnej układu, 6) zmiana energii kinetycznej klocka m, 7) zmiana energii kinetycznej klocka m. Sróbuj też odowiedzieć na nastęujące ytania: ) Czy zmiana energii kinetycznej klocka m jest większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii kinetycznej klocka m? 83
Moduł II Zasada zachowania energii ) Czy zmiana całkowitej energii kinetycznej układu jest co do bezwzględnej wartości większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii otencjalnej układu? Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. 8.. Energia otencjalna i otencjał ola grawitacyjnego W rzykładzie owyżej obliczyliśmy energię otencjalną związaną z siłą grawitacyjną w obliżu owierzchni Ziemi, gdzie rzyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała. Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię otencjalną masy m znajdującej się w dowolnym unkcie nad owierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi. Gdy obliczaliśmy grawitacyjną energię otencjalną w obliżu owierzchni Ziemi (rzykład owyżej) właśnie owierzchnię Ziemi rzyjmowaliśmy jako unkt odniesienia o zerowej energii otencjalnej. Natomiast dla ogólnych obliczeń unkt odniesienia wybiera się w nieskończoności. Temu ołożeniu (r ) rzyisujemy zerową energię otencjalną. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem zerowej siły. Przyomnijmy, że dla sił zachowawczych zmianę energii otencjalnej ciała rzy rzejściu z ołożenia (lub ogólniej ze stanu) A do B możemy zaisać jako Δ E E E W (8.5) B A AB Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla tak wybranego unktu odniesienia E ( r) E ( ) W r (8.6) Praca wykonywaną rzez siłę grawitacji rzy rzenoszeniu masy m z nieskończoności do unktu odległego o r od środka Ziemi wynosi E r r ( r) E ( ) W r Fd r r G Mm r G Mm r Mm G d r r (8.7) Znak minus wynika stąd, że kierunek działania siły grawitacji jest rzeciwny do kierunku wektora r. Ponieważ energia otencjalna ma wartość równą zeru w nieskończoności (unkt odniesienia) więc grawitacyjna energia otencjalna w odległości r od środka Ziemi (od środka dowolnej masy M) wynosi E Mm ( r) G (8.8) r 84
Moduł II Zasada zachowania energii Energia otencjalna ma wartość równą zeru w nieskończoności (unkt odniesienia) i maleje w miarę zmniejszania się r. Oznacza to, że siła jest rzyciągająca. Wzór ten jest rawdziwy bez względu na wybór drogi o jakiej unkt orusza się z nieskończoności do r bo siła grawitacji jest siłą zachowawczą. Widzimy, że z olem siły grawitacji wiąże się rzestrzenny rozkład energii E(r) dany równaniem (8.7). Omawiając w unkcie (6.4) ole grawitacyjne rzedstawialiśmy siłę działającą na umieszczony w tym olu obiekt jako iloczyn natężenia ola i masy tego obiektu. Stwierdziliśmy, że jedna masa wytwarza ole, a nastęnie to ole działa na drugą masę. Inaczej mówiąc rozdzieliliśmy siłę na dwie części i w ten sosób uniezależniliśmy nasz ois od masy obiektu wrowadzanego do ola. Podobnie możemy ostąić z energią otencjalną. Zauważmy, że zgodnie z wyrażeniem (8.7) możemy ją rzedstawić jako iloczyn masy m i ewnej funkcji V(r) E ( r) mv ( r) (8.9) Definicja Funkcję V(r) nazywamy otencjałem ola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek grawitacyjnej energii otencjalnej masy m do wartości tej masy. E ( r) M V ( r) G (8.0) m r Jak już wsominaliśmy z ojęcia ola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Przy oisie zjawisk elektrycznych również będziemy się osługiwali ojęciem ola (elektrycznego), jego natężenia i otencjału. Ćwiczenie 8.3 Skorzystaj teraz z wyrażenia na grawitacyjną energię otencjalną, żeby znaleźć rędkość jaką należy nadać obiektowi rzy owierzchni Ziemi, aby wzniósł się on na wysokość h nad owierzchnię Ziemi. Dane są masa Ziemi M z i jej romień R z oraz stała grawitacyjna G. Wynik zaisz oniżej. Wskazówka: Dla siły zachowawczej suma energii kinetycznej E k i energii otencjalnej E ciała ozostaje rzez cały czas stała (wzór 8.7). v Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. Jeżeli obiektowi nadamy na owierzchni Ziemi odowiednio dużą rędkość oczątkową to zacznie on okrążać Ziemię i nie sadnie na jej owierzchnię. Tę graniczną rędkość nazywamy ierwszą rędkością kosmiczną. Jest to najmniejsza rędkość jaką musi mieć unkt materialny swobodnie krążący o orbicie wokół Ziemi. Na tak 85
Moduł II Zasada zachowania energii oruszający się obiekt działają dwie siły; siła grawitacji i siła odśrodkowa. Siły te mają rzeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równoważą się mv R M Zm G R (8.) skąd obliczamy M v G Z I (8.) R Jeżeli na owierzchni Ziemi dostarczymy ciału jeszcze większej energii kinetycznej to wtedy może ono bezowrotnie uciec z Ziemi w rzestrzeń kosmiczną. Prędkość oczątkową (tzw. rędkość ucieczki), rzy której ciało ucieknie z owierzchni Ziemi do nieskończoności znajdujemy analogicznie jak w ćwiczeniu 8.3 wstawiając h. Prędkość ta nosi nazwę drugiej rędkości kosmicznej i wynosi M Z v II G (8.3) RZ Zauważmy, że w trakcie oddalania się ciała do nieskończoności (R ) jego energia otencjalna rośnie do zera (jest ujemna) kosztem energii kinetycznej, która maleje do zera (jest dodatnia). W naszych obliczeniach ominęliśmy inne siły, takie jak siły grawitacyjne wywierane rzez Księżyc czy Słońce. 8.3 Zasada zachowania energii Pokazaliśmy, że gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza to dla dowolnej drogi z A do B W ΔE E E (8.4) k kb ka W ΔE ( E B E A ) (8.5) skąd wynika, że ) ( E B E A EkB EkA (8.6) lub E + ka + E A EkB E B (8.7) Równanie (8.7) wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej. 86
Moduł II Zasada zachowania energii Prawo, zasada, twierdzenie Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że dla ciała odlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i otencjalnej jest stała. Podaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla ojedynczego ciała, ale ta zasada jest bardziej ogólna i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. Układy odosobnione to takie, na które nie działają siły zewnętrzne (soza układu). W takich układach suma energii kinetycznych i otencjalnych wszystkich ciał ozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące. Przykład Skoczek na linie "bungee" skacze z unktu A i osiąga najniższy unkt B tak jak na rysunku obok. Skoczek korzysta z liny o długości l, która rozciąga się srężyście (F kx), aż do zerwania, co nastęuje gdy lina wydłuży się o x 50% w stosunku do długości oczątkowej. Ile razy wytrzymałość liny na zerwanie musi być większa niż ciężar skoczka, żeby lina nie urwała się? W unkcie A grawitacyjna energia otencjalna skoczka liczona względem owierzchni Ziemi wynosi mgh (masę liny omijamy) natomiast energia otencjalna srężystości liny równa się zeru bo lina nie jest rozciągnięta. Całkowita energia mechaniczna układu w unkcie A wynosi więc E A mgh Natomiast energia całkowita układu w unkcie B kx E B mg( h l x) + jest sumą grawitacyjnej energii otencjalnej skoczka i energii otencjalnej srężystości rozciągniętej liny równanie (8.4). Ponieważ siły grawitacji i srężystości są siłami zachowawczymi więc energia mechaniczna jest zachowana. Uwzględniając, że energia kinetyczna skoczka w unktach A i B jest równa zeru otrzymujemy lub kx mgh mg( h l x) + kx mgl mgx 0 Wstawiając do tego równania maksymalne możliwe wydłużenie liny x 0.5l możemy obliczyć graniczny wsółczynnik k liny 87
Moduł II Zasada zachowania energii skąd otrzymujemy mg k l mg l F kx 6mg l Wytrzymałość liny na zerwanie musi być co najmniej 6 razy większa niż ciężar skoczka. Teraz sróbujemy odowiedzieć na ytanie czy energia jest zachowana w rzyadku gdy w układzie działa siła niezachowawcza. Jeżeli orócz siły zachowawczej F z działa jeszcze siła niezachowawcza F nz (n. tarcie) to z twierdzenia o racy i energii otrzymujemy W z + W ΔE (8.8) nz k a onieważ W z ΔE to W nz ΔEk + ΔE (8.9) Widzimy, że siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą rozraszającą). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze "straconą" energią mechaniczną. Okazuje się, że zostaje ona rzekształcona na energię wewnętrzną U, która objawia się wzrostem temeratury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewnętrznej ΔU jest równa rozroszonej energii mechanicznej Z równania (8.30) wynika, że ΔEk + ΔE + ΔU 0 (8.30) Prawo, zasada, twierdzenie Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii otencjalnej i energii wewnętrznej w układzie odosobnionym nie zmienia się. Mamy więc zasadę zachowania energii całkowitej. Inaczej mówiąc energia może być rzekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą. Na zakończenie uwzględnijmy jeszcze dodatkowo siłę F zew wywieraną na układ rzez czynnik zewnętrzny. Jeżeli działa taka siła to równanie (8.8) rzyjmuje ostać W zew + W + W ΔE (8.3) z nz k i w konsekwencji otrzymujemy W zew ΔEk + ΔE + ΔU (8.3) 88
Moduł II Zasada zachowania energii Praca wykonana rzez czynnik zewnętrzny równa jest sumie zmian energii kinetycznej, otencjalnej i energii wewnętrznej układu. W ten sosób uwzględniliśmy już całą energię. Zasada zachowania energii należy do najbardziej odstawowych raw fizyki. Wszystkie nasze doświadczenia okazują, że jest to rawo bezwzględnie obowiązujące; nie znamy wyjątków od tego rawa. Ćwiczenie 8.4 Piłkę uszczono swobodnie z ewnej wysokości h nad odłożem. Podczas odbicia iłka traci /3 swojej energii mechanicznej, która zamienia się na energię wewnętrzną. Oblicz na jaką wysokość wzniesie się iłka o 4-tym odbiciu i ile energii mechanicznej zamieniło się w energię wewnętrzną? Wynik zaisz oniżej. Wskazówka: Skorzystaj z zasady zachowania energii całkowitej. h 4 Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. Jak widzieliśmy na rzykładzie omawianym w ćwiczeniu owyżej, w zderzeniach nie musi być zachowana energia mechaniczna. Okazuje się jednak, że w zderzeniach sełniona jest inna zasada zachowania; zasada zachowania ędu. 89
Moduł II Zasada zachowania ędu 9 Zasada zachowania ędu 9. Środek masy Dotychczas rzedmioty traktowaliśmy jak unkty materialne, tzn. obdarzone masą cząstki bezwymiarowe (o zerowej objętości) co wystarczało w rzyadku ruchu ostęowego ciał bo ruch jednego unktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała są układami ogromnej liczby atomów, a ich ruch może być bardzo skomlikowany. Ciało może wirować lub drgać, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne ołożenie. Przykład takiego ruchu jest rzedstawiony na rysunku oniżej. Rys. 9.. Ciało wykonuje skomlikowany ruch obrotowy za wyjątkiem jednego unktu, który orusza się o linii rostej Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden unkt, który orusza się o linii rostej ze stałą rędkością. Żaden inny unkt nie orusza się w ten sosób. Ten unkt to środek masy. Sosób wyznaczania środka masy zilustrujemy nastęującym rzykładem. Przykład Rozważamy układ dwóch różnych mas m i m okazanych na rysunku 9.. Rys. 9.. Środek masy układu dwóch mas m i m Położenie środka masy tego układu definiujemy jako m x + m x x śr. m. (9.) m + m lub m m x xśr. m. x + x (9.) m + m m + m 90
Moduł II Zasada zachowania ędu Widzimy, że ołożenie środka masy układu unktów materialnych wyznaczamy jak średnią ważoną, rzy czym masa tych unktów jest czynnikiem ważącym rzy tworzeniu średniej. Przez analogię dla układu n cząstek (unktów materialnych) wsółrzędna x środka masy jest dana zależnością x śr. m. m x + m x +... + m x n n i n m + m +... + mn n i m x i m i i (9.3) gdzie suma mas m i oszczególnych unktów układu jest całkowitą masą M układu. Postęując w ten sam sosób możemy wyznaczyć ozostałe wsółrzędne y, z. W wyniku otrzymujemy trzy równania skalarne (analogiczne do 9.3), które możemy zastąić jednym równaniem wektorowym n r m r (9.4) śr. m. M i Zauważmy, że środek masy układu unktów materialnych zależy tylko od mas tych unktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zależy od wyboru układu odniesienia. Dla ciał o regularnym kształcie środek masy okrywa się ze środkiem geometrycznym. i i Ćwiczenie 9. Znajdź środek masy układu trzech cząstek o masach m kg, m kg i m 3 3 kg, umieszczonych w wierzchołkach równobocznego trójkąta o boku a m. Wynik zaisz oniżej. Wskazówka: Wybierz układu odniesienia, a nastęnie oblicz wsółrzędne x i y środka masy zgodnie z równaniem (9.3) x śr.m. y śr.m. Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy. 9. Ruch środka masy Rozważmy układ unktów materialnych o masach m, m, m 3..., m n i o stałej całkowitej masie M. Na odstawie równania (9.4) możemy naisać n. m. iri i Mr śr m (9.5) 9
Moduł II Zasada zachowania ędu Różniczkując (względem czasu) owyższe równanie otrzymujemy zgodnie z równaniami (3.) d r M d Mv d r n śr.m. i mi t i n śr. m. miv i i (9.6) a o onownym różniczkowaniu dv M Ma śr.m. dv n i mi i n śr. m. miai i (9.7) To ostatnie równanie możemy zaisać w ostaci n śr. m. Fi i Ma (9.8) Suma (wektorowa) wszystkich sił działających na oszczególne unkty materialne układu jest równa wyadkowej sile zewnętrznej więc Ma F śr. m. zew (9.9) Z równania (9.9) wynika, że Prawo, zasada, twierdzenie Środek masy układu unktów materialnych orusza się w taki sosób, jakby cała masa układu była skuiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały. Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że nawet ciała materialne będące układami złożonymi z dużej liczby unktów materialnych możemy w ewnych sytuacjach traktować jako ojedynczy unkt materialny. Tym unktem jest środek masy. To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu unktów materialnych. W szczególności układ może być ciałem o budowie ciągłej (n. ciało stałe). Wtedy rzy obliczeniach środka masy sumowanie wystęujące w równaniach (9.3), (9.4) zastęujemy całkowaniem. Układ może też być zbiorem cząstek, w którym wystęują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne n. Bardziej zaawansowany rzykład wykorzystania ojęcia środka masy (do obliczania energii kinetycznej) możesz oznać w Dodatku, na końcu modułu II. 9
Moduł II Zasada zachowania ędu 9.3 Pęd układu unktów materialnych Zdefiniowaliśmy ęd unktu materialnego jako iloczyn jego masy m i jego rędkości v. Poznaliśmy też, drugą zasadę dynamiki Newtona w ostaci d F (9.0) Jeżeli jednak zamiast ojedynczego unktu mamy do czynienia z układem, o stałej masie M, złożonym z n unktów materialnych o masach m,..., m n oraz rędkościach v,..., v n to układ jako całość będzie miał całkowity ęd P będący sumą wektorową ędów oszczególnych unktów n P (9.) Porównując tę zależność z równaniem (9.6) otrzymujemy zależność i i P Mv śr.m. (9.) Prawo, zasada, twierdzenie Całkowity ęd układu unktów materialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i rędkości jego środka masy. Zgodnie z równaniem (9.7) dv śr.m. F zew Maśr. m. M (9.3) więc druga zasada dynamiki Newtona dla układu unktów materialnych rzyjmuje ostać d P F zew (9.4) Ponownie widzimy, że nawet ciała materialne będące układami złożonymi z dużej liczby unktów materialnych możemy w ewnych sytuacjach traktować jako ojedynczy unkt materialny. Tym unktem jest środek masy. Z równania (9.4) wynika, że gdy wyadkowa siła zewnętrzna równa jest zeru F zew 0, to dla układu o stałej masie, środek masy ozostaje w soczynku lub orusza się ruchem jednostajnym rostoliniowym, rzy czym oszczególne unkty układu mogą oruszać się o różnych torach. To stwierdzenie wrowadza nas w zasadę zachowania ędu. 93
Moduł II Zasada zachowania ędu 9.4 Zasada zachowania ędu Ponownie rozatrzmy układ n unktów materialnych. Jeżeli układ jest odosobniony, to znaczy nie działają siły zewnętrzne to zgodnie z równaniem (9.4) d P 0 lub P const. (9.5) Ten warunek wyraża zasadę zachowania ędu. Prawo, zasada, twierdzenie Jeżeli wyadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to całkowity wektor ędu układu ozostaje stały. Zobaczymy teraz jak ta zasada stosuje się do wybranej sytuacji. Przykład Rozważmy dwa ciała o masach m i m ołączone nieważką srężyną umieszczone na doskonale gładkim stole (rysunku oniżej). Odciągamy od siebie te ciała na ewną odległość, a nastęnie uszczamy swobodnie. Rys. 9.3. Układ dwóch mas ołączonych srężyną Sróbujmy oisać ruch tych ciał. Jeżeli od ojęciem układ rozumiemy obie masy i srężynę to na ten układ nie działa żadna siła zewnętrzna (układ odosobniony), działają tylko siły omiędzy elementami układu. Oznacza to, że możemy do tego układu stosować zasadę zachowania ędu. Przed zwolnieniem ciał ęd układu (w odniesieniu do stołu) był równy zeru. Pęd zostaje zachowany więc ozostaje taki sam o zwolnieniu obu ciał. Chociaż oszczególne ciała oruszają się i ich ędy są różne od zera to ęd układu może być równy zeru. Pęd układu będący wielkością wektorową jest sumą ujemnego ędu ciała m (orusza się w kierunku x) i dodatniego ędu ciała m (orusza się w kierunku +x). Pęd nieważkiej srężyny jest równy zeru. Z zasady zachowania ędu wynika, że ęd oczątkowy układu jest równy ędowi w dowolnej chwili co możemy zaisać w ostaci równania 0 m v + m v (9.6) lub m v mv (9.7) 94
Moduł II Zasada zachowania ędu Przykładowo gdy m kg i m kg to v jest dwukrotnie większa od v i ma rzeciwny zwrot. Ćwiczenie 9. Sróbuj teraz zastosować te samą zasadę do oisu rozadu romieniotwórczego. Soczywające jądro uranu emituje, z rędkością 0 7 m/s, cząstkę α (jądro atomu helu ). Oblicz rędkość odrzutu owstałego w tym rozadzie jądra toru. Stosunek masy cząstki α do masy jądra toru wynosi M α /M Th 4/34. Wynik zaisz oniżej. Wskazówka: Skorzystaj z równania (9.6) v Th. Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. Analogicznie osługując się zasadą zachowania ędu można wytłumaczyć zjawisko odrzutu wystęujące rzy strzelaniu z broni alnej. Zjawisko odrzutu ma jednak ważne raktyczne znaczenie. Zostało wykorzystane w silnikach odrzutowych i rakietowych, w których wyrzucane saliny nadają samolotowi (rakiecie) rzeciwnie skierowany ęd. Zjawisko to jednak różni się od oisanych owyżej, bo w rzeciwieństwie do układów gdzie masa elementów składowych ozostawała stała masa wyrzucanych salin i masa rakiety zmieniają się. Przykład zastosowania zasad zachowania ędu dla układu o zmiennej masie (rakieta) możesz oznać w Dodatku, na końcu modułu II. Wiemy już, że jeżeli wyadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru to sełniona jest zasada zachowania ędu. W takim układzie mogą jednak działać siły wewnętrzne, na rzykład siły wystęujące rzy zderzeniach między cząsteczkami gazu. I właśnie dlatego możemy skorzystać z zasady zachowania ędu do oisu zderzeń. 95
Moduł II - Zderzenia 0 Zderzenia Termin zderzenia obejmuje w fizyce szeroką klasę zjawisk. Do tej kategorii zaliczamy na rzykład zderzenia kul bilardowych czy uderzenia iłki o ścianę. W tych rzyadkach zderzające się ciała stykają się bezośrednio i w unkcie ich zetknięcia ojawia się bardzo duża siła kontaktowa. Jednak oddziaływujące ciała nie muszą się stykać ze sobą, a i tak możemy mówić o ich zderzeniu. Dotyczy to na rzykład oddziaływania cząstek naładowanych za ośrednictwem ola elektrycznego: odychanie elektrostatyczne wływa na ruch "zderzających się" cząstek. Pod ojęcie zderzeń możemy odciągnąć również reakcje jądrowe. Przykładowo, roton w trakcie zderzenia z jądrem może wniknąć do niego. Możemy również rozszerzyć definicję zderzeń o rozady cząstek. Cechą charakterystyczną tych wszystkich zjawisk jest wystęowanie sił imulsowych, to jest sił działających rzez bardzo krótki czas. 0. Zderzenia w rzestrzeni jednowymiarowej Właśnie ze względu na krótki czas działania nie możemy na ogół zmierzyć sił działających odczas zderzenia. Wiemy jednak, że musi być sełniona zasada zachowania ędu (wystęują tylko siły wewnętrzne oddziaływania między zderzającymi się obiektami, a siły zewnętrzne są równe zeru), oraz zasada zachowania energii całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można, stosując te zasady, sróbować rzewidzieć wynik zderzenia. Definicja Gdy dwa ciała zderzają się to zderzenie może być srężyste (elastyczne) lub niesrężyste (nieelastyczne) w zależności od tego czy energia kinetyczna jest zachowana odczas tego zderzenia czy też nie. W zderzeniu srężystym całkowita energia kinetyczna jest zachowana odczas gdy w zderzeniu niesrężystym ciała tracą część energii kinetycznej. Kiedy dwa ciała o zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesrężyste. Przykład Jako rzykład rozatrzymy, zderzenie srężyste dwóch gładkich nie wirujących kul o masach m i m. Przed zderzeniem kule oruszają się wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenie centralne ) z rędkościami odowiednio v i v na rzykład tak jak na rysunku oniżej. Naszym celem jest znalezienie rędkości u i u tych kul o zderzeniu. Rys. 0.. Kule o masach m i m rzed (a) i o (b) zderzeniu 96
Moduł II - Zderzenia Z zasady zachowania ędu dla układu obu kul otrzymujemy m v v + (0.) + m mu mu Ponieważ zderzenie jest srężyste to zgodnie z definicją energia kinetyczna jest zachowana w tym zderzeniu m v mv + mu m + u (0.) Rozwiązujemy układ dwóch równań (0.) i (0.) z dwoma niewiadomymi u, u i otrzymujemy m m m u v + (0.3) m + m m + m v oraz m m m u v + (0.4) m + m m + m v Rozatrzmy teraz kilka rzyadków. W każdym z nich, osługując się zależnościami (0.3) i (0.4) obliczymy rędkości ciał o zderzeniu u i u. a) Zderzenie dwóch identycznych ciał m m m. Rozwiązanie: u v, u v. Ciała wymieniają się rędkościami i zarazem ędami. Na rzykład gdy odczas gry w bilard oruszająca się z rędkością v kula zderza się centralnie z drugą identyczną ale nieruchomą kulą to sama zatrzymuje się, a soczywająca dotychczas kula zaczyna oruszać się z rędkością v. b) Lekka cząstka zderza się centralnie z ciężkim nieruchomym jądrem lub iłka uderza o ścianę; m << m, v 0. Rozwiązanie: u v, u 0. Piłka odbija się srężyście od ściany więc rędkość zmienia znak (wektor zmienia zwrot), a ściana ozostaje nieruchoma. c) Sytuacja odwrotna, ciężka cząstka uderza w nieruchomą cząstkę lekką; m >> m oraz v 0. Rozwiązanie: u v, u v. Cząstka lekka uzyskuje rędkość dwukrotnie większą od cząstki ciężkiej, której rędkość (ęd) nie ulega zmianie. Powyższa analiza okazuje na rzykład jak dobierać materiał sowalniający neutrony w reaktorze. Neutrony muszą być sowalniane aby orzymać roces rozszczeienia. W tym celu zderza się je srężyście z jądrami (soczywającymi) sowalniacza. Gdyby w sowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie tracąc nic z rędkości (rzyadek b). Gdyby natomiast sowalniaczem były cząstki lekkie, n. elektrony, to neutrony oruszałyby się wśród nich raktycznie bez zmiany rędkości (rzyadek c). Zatem trzeba wybrać moderator (sowalniacz) o masie jąder orównywalnej z masą neutronów (rzyadek a). 97
Moduł II - Zderzenia Ćwiczenie 0. Srawdź, jaką część swej energii kinetycznej traci neutron o masie m w zderzeniu centralnym z będącym w soczynku jądrem atomowym o masie m? Obliczenia wykonaj dla jądra ołowiu m 06 m, jądra węgla i jądra wodoru m m. Wynik zaisz oniżej. Wskazówka: Skorzystaj z równania (0.3) uwzględniając, że v 0. ΔEk dla ołowiu Ek ΔEk dla węgla Ek ΔEk dla wodoru E k Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. Rozważmy teraz rzyadek zderzenia całkowicie niesrężystego. Przy zderzeniach niesrężystych energia kinetyczna nie jest zachowana. Energia będąca różnicą omiędzy oczątkową i końcową energią kinetyczną rzechodzi w inne formy energii na rzykład w cieło lub energię otencjalną związaną z deformacją ciała odczas zderzenia. Tak jest w rzyadku wahadła balistycznego, które służy do omiaru rędkości ocisków. Składa się ono z bloku drewnianego o masie M, wiszącego na dwóch sznurach. Pocisk o masie m, mający rędkość oziomą v, wbija się w klocek i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło tzn. klocek z tkwiącym w nim ociskiem wychyla się i odnosi na maksymalną wysokość h tak jak okazano na rysunku oniżej. Rys. 0.. Wahadło balistyczne Pęd rzed zderzeniem jest równy ędowi ocisku, bo klocek jest nieruchomy. Natomiast o zderzeniu klocek i ocisk oruszają się razem. Stosując zasadę zachowania ędu otrzymujemy 98
Moduł II - Zderzenia m v ( m + M ) u (0.5) gdzie u jest rędkością układu klocek - ocisk zaraz o zderzeniu. W zderzeniu, część energii kinetycznej ocisku jest tracona min. na cieło i odkształcenie klocka, w który ocisk się wbija. Pozostała część energii kinetycznej zamienia się o zderzeniu w otencjalną energię grawitacji co możemy zaisać w ostaci równania Rozwiązując ostatnie dwa równania otrzymujemy ( m + M ) u ( m + M ) gh (0.6) m + M v gh (0.7) m Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M aby móc wyznaczyć rędkość ocisku v. Ćwiczenie 0. Srawdź jaka część oczątkowej energii zostaje zachowana w tym zderzeniu. Przyjmij masę ocisku m 5 g, a masę klocka M kg. Wynik zaisz oniżej. Wskazówka: Skorzystaj z równania (0.7) i oblicz iloraz ( m + M ) u mv Rozwiązanie możesz srawdzić na końcu modułu. 0. Zderzenia na łaszczyźnie Dotychczas zajmowaliśmy się zderzeniami cząstek w rzestrzeni jednowymiarowej. Teraz rozatrzymy najrostszy rzyadek wielowymiarowy; zajmiemy się zderzeniami srężystymi na łaszczyźnie. Zaczniemy od analizy zderzenia srężystego ukośnego kuli o masie m i rędkości v ze ścianą. Naszym celem jest znalezienie rędkości kuli o zderzeniu. Ruch kuli oisujemy w układzie wsółrzędnych x i y związanym ze ścianą, oś x okazuje kierunek rostoadły do ściany, y - kierunek równoległy, a oczątek układu umieszczamy na owierzchni ściany w unkcie zderzenia. W tak wybranym układzie wsółrzędnych rozkładamy na składowe wektor rędkości v (rysunek 0.3) v v x y v cosα v sinα (0.8) 99
Moduł II - Zderzenia Na rzykładzie rzutu ukośnego (unkt 3.) okazaliśmy, że taki ruch na łaszczyźnie można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Ruch kuli w kierunku y odbywa się równolegle do ściany więc składowa v y nie ulega zmianie rzy odbiciu. Natomiast składowa rostoadła do owierzchni ściany, o zderzeniu zmienia znak na rzeciwny, kula odbija się od ściany jak w rzykładzie (b) w orzednim rozdziale. Stąd rędkość kuli o zderzeniu (odbiciu się od ściany) u v + v ( v cosα) + ( v sinα) v (0.9) x y Prędkość o odbiciu od ściany jest taka sama jak rzed odbiciem, a kąt odbicia jest równy kątowi adania (rysunek oniżej). Rys. 0.3. Srężyste zderzenie kuli ze ścianą Teraz rozatrzymy ukośne, srężyste zderzenie kuli bilardowej oruszającej się z rędkością v z drugą identyczną soczywająca kulą. Takie zagranie stosuje się, żeby skierować wybraną kulę od ewnym kątem w bok. Dzieje się tak, gdy środek kuli soczywającej nie leży na linii wzdłuż, której orusza się ierwsza kula. Takie zderzenie jest okazane na rysunku oniżej. Rys. 0.4. Zderzenia kul bilardowych 00
Moduł II - Zderzenia Zgodnie z zasadą zachowania ędu i zasadą zachowania energii m v mu + m u mu mu m v + (0.0) lub v v u + u u + u (0.) Z równań tych wynika, że wektory v, u i u tworzą boki trójkąta rostokątnego (twierdzenie Pitagorasa) tak jak na rysunku 0.5. Rys. 0.5. Prędkości kul rzed i o zderzeniu Oznacza to, że dla dowolnego kąta α (0, π/) o zderzeniu kule będą zawsze oruszały się względem siebie od kątem rostym. Wartość kąta α zależy natomiast od tak zwanego arametru zderzenia czyli odległości między ierwotnym kierunkiem ruchu kuli ierwszej, a środkiem kuli soczywającej. Ten rozdział kończy drugi moduł; możesz teraz rzejść do odsumowania i zadań testowych. 0
Moduł II - Podsumowanie Podsumowanie Praca W wykonana rzez F jest iloczynem skalarnym siły F i wektora rzesunięcia s. Praca wykonana rzez siłę stałą W F s Fs cosα, a rzez siłę zmienną W F d s. Energia kinetyczna jest definiowana jako Ek mv. dw Moc jest szybkością wykonywania racy P. Jeżeli siła F jest siłą zachowawczą to zmiana energii otencjalnej jest równa B A ΔE W F d s. Dla sił zachowawczych ta całka nie zależy od drogi od A do B, na której wykonujemy racę, a tylko od ołożenia unktów A i B. Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że dla ciała odlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i otencjalnej jest stała. Jeżeli działają siły niezachowawcze to zamieniają one energię mechaniczną na energię wewnętrznaną. Grawitacyjna energia otencjalna wynosi E ( r) G Mm r E ( r) M Potencjał ola grawitacyjnego definiujemy jako V ( r) G m r Zasada zachowania ędu w układzie odosobnionym mówi, że jeżeli wyadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to całkowity wektor ędu układu d P ozostaje stały. Fwy 0 P const. W zderzeniu srężystym całkowita energia kinetyczna jest taka sama o zderzeniu jak rzed zderzeniem odczas gdy w zderzeniu niesrężystym ciała tracą część energii kinetycznej. Kiedy dwa ciała o zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesrężyste. 0
Moduł II - Materiały dodatkowe Materiały dodatkowe do Modułu II II.. Energia kinetyczna w układzie środka masy Rozatrzmy układ, o stałej masie M, złożony z n unktów materialnych o masach m,...., m n oraz rędkościach v,..., v n. Energia kinetyczna tego układu mierzona względem środka masy jest dana wyrażeniem E k n i m v i i n i m ( v i śr.m. + v i.wzg )( v śr.m. + v i.wzg ) (II..) gdzie v śr.m. jest rędkością środka masy, a v i,wzg jest rędkością i-tego unktu mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymujemy E k n m i n i v śr. m. + v śr.m. miv i.wzg + i n i m v i i.wzg (II..) Zgodnie z równaniem (9.6) n m iv i.wzg Mv śr. m.wzg i a onieważ rędkość środka masy mierzona względem środka masy jest równa zeru v śr.m.,wzg 0 więc drugi wyraz w równaniu (II..) znika. Ostatecznie Mv śr. m. E k + E ' k (II..3) gdzie E k ' jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Zastosowanie tego równania zilustrujemy obliczając energię kinetyczną obręczy o masie m toczącej się o łaszczyźnie tak, że środek obręczy ma rędkość v (rysunek oniżej) Ponieważ w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię obrotową (rotacyjną ) więc równanie (3) rzyjmuje ostać mv mv obrot.wzg Ek + (II..4) 03
Moduł II - Materiały dodatkowe gdzie v obrot,wzg to rędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z rędkością v więc v obrot,wzg v. Stąd mv mv E k + mv (II..5) Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m oruszającego się z tą samą rędkością v (ale nie obracającego się). II.. Układy o zmiennej masie Rozatrzymy układ, który stanowi rakieta wyrzucająca ze swej dyszy gorący gaz z dużą rędkością, zmniejszając w ten sosób swoją masę i zwiększając rędkość (rysunek oniżej). Naęd odrzutowy rakiety Saliny ouszczają silnik rakiety ze stałą rędkością v s względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem rędkość salin względem rakiety v wzg jest dana zależnością v wzg v s v (II..) Jeżeli w rzedziale czasu z rakiety wyrzucona zostaje masa dm s z rędkością v s to masa rakiety maleje o dm, a jej rędkość rośnie o dv, rzy czym d m s dm (II..) Znak minus wynika stąd, że masa rakiety maleje. Obliczamy teraz zmianę ędu P układu w czasie lub dp drakiety dsalin + (II..3) skąd ostatecznie dp d( mv ) +v s dm s (II..4) 04
Moduł II - Materiały dodatkowe dp dv m dm + v + v s dm s (II..5) Równanie to uwzględnia fakt, że w rzyadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i rędkość odczas gdy saliny są wyrzucane ze stałą rędkością. Zmiana ędu układu jest zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając zależności (II..) i (II..) możemy rzekształcić równanie (II..5) do ostaci F zew dp dv m +v wzg dm s (II..6) Ostatni wyraz w równaniu (II..6) może być interretowany jako siła wywierana na układ rzez substancję (saliny), która z niego wylatuje. W rzyadku rakiety (samolotu) nosi ona nazwę siły ciągu. Przykład Samolot odrzutowy leci z rędkością 50 m/s i z taką rędkością jest wciągane do jego silnika owietrze. W każdej sekundzie silnik samolotu sala mieszankę aliwową składającą się z 75 kg owietrza i 3 kg aliwa, a rędkość wyrzucania salin wynosi 500 m/s. Siłę ciągu obliczamy zgodnie ze wzorem (II..6) rzy czym rędkość względna jest równa różnicy rędkości wyrzucania salin i wciągania owietrza v wzg 50 m/s, a masa salin wyrzucanych w jednostce czasu wynosi 78 kg/s. Stąd otrzymujemy siłę ciągu równą.95 0 4 N. Jeżeli ruch rakiety odbywa się w rzestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne F zew są do zaniedbania i wtedy zmiana ędu rakiety jest równa sile ciągu (jest sełniona zasada zachowania ędu). Natomiast gdy ruch odbywa się w obliżu Ziemi (n. tuż o starcie) to wówczas F zew rerezentuje ciężar rakiety i siłę ooru atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby rzezwyciężyć F zew. Na rzykład rakieta Saturn 5, o masie onad 3000 ton, wytwarzała rzy starcie siłę ciągu 40 MN. 05
Moduł II - Rozwiązania ćwiczeń Rozwiązania ćwiczeń z modułu II Ćwiczenie 7. Dane: F(x) kx Wykres funkcji F(x) kx jest okazany na rysunku oniżej. Zależność siły srężystości od rozciągnięcia x srężyny Pole od wykresem jest olem trójkąta o odstawie x i wysokości F(x) i wynosi S W S kx xf( x) Otrzymana wartość jest identyczna z tą daną równaniem (7.5). Na tym samym rysunku okazany jest również wykres F s (x). Zwróć uwagę, że "dodatnia" raca wykonana rzez siłę F (człowieka) jest równa co do wartości "ujemnej" racy wykonanej rzez srężynę. Ćwiczenie 8. energia otencjalna klocka m względem odłogi + energia otencjalna klocka m względem stołu raca wykonana rzez siłę grawitacji + raca wykonana rzez siłę tarcia zmiana energii otencjalnej układu zmiana energii kinetycznej klocka m + zmiana energii kinetycznej klocka m + ) Klocki (ołączone nierozciągliwą nitką) oruszają się z takim samym rzysieszeniem, więc w każdej chwili osiadają taką samą rędkość v v v, stąd ich energie kinetyczne (w dowolnej chwili) są odowiednio równe 06