BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

Podobne dokumenty
Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 2)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zagadnienie transportowe

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach

1 Problem transportowy Wstęp Metoda górnego-lewego rogu Metoda najmniejszego elementu... 11

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe

Zadanie transportowe

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

Rozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia

Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM. dr inż. Władysław Wornalkiewicz

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Metoda simpleks. Gliwice

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Wieloetapowe zagadnienia transportowe

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Programowanie celowe #1

Programowanie liniowe

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Wykład 6. Programowanie liniowe

Klasyczne zagadnienie przydziału

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

Programowanie liniowe

Ekonometria - ćwiczenia 10

3. Wykład Układy równań liniowych.

Maksymalizacja zysku

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

Zawód: technik logistyk Symbol cyfrowy zawodu: 342[04] 342[04] Numer zadanie: 1 Czas trwania egzaminu: 180 minut

Programowanie liniowe metoda sympleks

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Problem zarządzania produkcją i zapasami

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Elementy Modelowania Matematycznego

07 Model planowania sieci dostaw 2Po_1Pr_KT Zastosowanie programowania liniowego

Programowanie liniowe metoda sympleks

Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu

METODA SIŁ KRATOWNICA

Układy równań i nierówności liniowych

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Wybrane elementy badań operacyjnych

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Programowanie matematyczne

Zagadnienia transportowe

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Wstęp do analizy matematycznej

WYZNACZANIE KOSZTÓW TRANSPORTU Z WYKORZYSTANIEM OCTAVE 3.4.3

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

KOSZTY, PRZYCHODY, WYNIK EKONOMICZNY. dr Sylwia Machowska

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

Transkrypt:

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405

Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy dostarczyć od m dostawców { D 1,..,D m } do n odbiorców {O 1,,O n }. Znane są koszty jednostkowe c ij transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Znany jest również popyt a j u j-tego odbiorcy jak i podaż b i u i-tego dostawcy. Własności zadania transportowego: n zadanie nie jest sprzeczne n funkcja celu jest ograniczona n jeśli wszystkie wielkości popytu i podaży są liczbami całkowitymi, to rozwiązanie optymalne jest również całkowite. Metody rozwiązywania zadania transportowego można podzielić na dwie fazy: n wyznaczenie wstępnego planu przewozowego metoda kąta północnozachodniego, metoda minimalnego elementu, metoda VAM n poprawienie otrzymanego rozwiązania metoda potencjałów dr Adam SOJDA 2

Zagadnienie transportowe Zagadnienie nazywamy zbilansowanym, jeśli łączna podaż wszystkich dostawców jest równa łącznemu zapotrzebowaniu wszystkich odbiorców. Każde zadanie można zbilansować poprzez wprowadzenie fikcyjnego dostawcy bądź odbiorcy w zależności od potrzeb. Koszty na nowych trasach przyjmuje się równe zero. Rozwiązując zadanie transportowe posługujemy się zmiennymi bazowymi, każde rozwiązanie bazowe składa się z n + m 1 tras. Poprzez linię rozumieć będziemy wiersz albo kolumnę. dr Adam SOJDA 3

Zagadnienie transportowe Zadanie 1. Firma zajmująca się transportem dostała zamówienie na przewóz mąki z młynów do piekarń. Tabela podaje wielkości zmagazynowanej w młynach mąki, zamówienia z poszczególnych piekarni jak i również koszty jednostkowe transportu. Firma zgodziła się przewieźć towar za 500 zł. Określić ile firma może zarobić na tym zamówieniu. Wyznaczyć trasy przewozu towaru. Młyny Koszty jednostkowe transportu [zł/t] Piekarnie P1 P2 P3 Zapas [t] M1 9 4 6 15 M2 8 7 1 25 M3 2 3 5 35 Popyt [t] 20 30 25 dr Adam SOJDA 4

Zagadnienie transportowe program liniowy zadania zbilansowanego Oznaczenia: x ij ilość towaru dostarczonego z i-tego młyna do j-tej piekarni Cel: minimalizacja kosztów: 9x 11 + 4 x 12 + 6x 13 + 8x 21 + 7x 22 + 1x 23 + 2x 31 + 3x 32 + 5x 33 à min Ograniczenia: Zapas: x 11 + x 12 + x 13 = 15 x 21 + x 22 + x 23 = 25 x 31 + x 32 + x 33 = 35 Zamówienie: x 11 + x 21 + x 31 = 20 x 12 + x 22 + x 32 = 30 x 13 + x 23 + x 33 = 25 x ij 0 dr Adam SOJDA 5

Zagadnienie transportowe metoda kąta północno - zachodniego Dla danego zadania zbilansowanego wyznaczamy przewóz na trasie wysuniętej najdalej na północny zachód. Wielkość przewozu na tej trasie jest mniejszą z dwóch liczb: zaktualizowanej wielkości popytu oraz podaży. Po wyznaczeniu przewozu należy dokonać aktualizacji wielkości popytu i podaży. Co najmniej jedna z tych wielkości będzie równa 0. Linię, którą wskazuje 0 uzupełniamy 0, gdyż nie będzie już więcej przewozów na tych trasach. Jeśli dwie linie wypełniono zerami, to należy kreślić trasę z przewozem zdegenerowanym, czyli równym 0. Jest nią ta trasa, która leży najbliżej wyznaczonej oraz koszt przewozu na niej jest najmniejszy. Znów należy wyznaczyć przewóz na trasie wysuniętej najdalej na północnyzachód. W ten sposób zostają uzupełnione wielkości przewozu na wszystkich trasach dr Adam SOJDA 6

Zagadnienie transportowe metoda kąta północno - zachodniego Wyznaczenie trasy przewozów: Rozwiązanie P1 P2 P3 M1 15 0 0 15 0 M2 5 20 0 20 25 0 M3 0 10 25 35 0 20 50 30 0 25 0 Wyznaczenie początkowego kosztu: 9x15+8x5+7x20+3x10+5x25 = 470 dr Adam SOJDA 7

Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Dla i-tego dostawcy wprowadzamy zmienną u i, dla j-tego odbiorcy zmienną v j. Dla rozwiązań bazowych, czyli tras, na których ustalono przewóz wyznaczany układ n + m 1 równań o postaci: u i + v j + c ij = 0 Układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczamy jedno z nich. Na podstawie tego rozwiązania wyliczamy wskaźniki optymalności: e ij = u i + v j + c ij Warunek optymalności: jeśli wszystkie współczynniki e ij są nieujemne otrzymane rozwiązanie jest optymalne. Jeśli liczba wskaźników równych 0 jest większa niż n + m -1, wówczas istnieje rozwiązanie alternatywne. Warunek następnego kroku: najmniejsza (ujemna) wartość wskaźnika e ij wskazuje na trasę, gdzie należy wprowadzić nowy przewóz. Dokonując przemieszczeń towaru na poszczególnych trasach (analizujemy tylko nową trasę i trasy bazowe) możemy stwierdzić, że na pewnych trasach wzrasta przewóz, na pewnych przewóz maleje. Najmniejsza wielkość przewozu na trasach o przewozach malejących jest maksymalną o jaką korygowane są wielkości przewozów. Co najmniej jeden z obecnych przewozów jest równy zero. Jeśli na więcej niż jednej trasie znikł przewóz należy wprowadzić przewozy bazowe zdegenerowane. dr Adam SOJDA 8

Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. I P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u 1 15 0 0 15 M2 u 2 5 20 0 25 M3 u 3 0 10 25 35 20 30 25 Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M1 9 4 6-9 M2 8 7 1-8 M3 2 3 5-4 0 1-1 Rozw. II P1 P2 P3 M1 15 0 0 15 M2 5 0 20 25 M3 0 30 5 35 20 30 25 u 1 + v 1 + 9 = 0 u 1 = 9 v 1 = 0 u 2 + v 1 + 8 = 0 u 2 = 8 u 2 + v 2 + 7 = 0 v 2 = 1 u 3 + v 2 + 3 = 0 u 3 = 4 u 3 + v 3 + 5 = 0 v 3 = -1 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M1 0-4 -4 M2 0 0-8 M3-2 0 0 dr Adam SOJDA 9

Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. II P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u 1 15 0 0 15 M2 u 2 5 0 20 25 M3 u 3 0 30 5 35 20 30 25 Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M1 9 4 6-9 M2 8 7 1-8 M3 2 3 5-12 0 9 7 Rozw. III P1 P2 P3 M1 15 0 0 15 M2 0 0 25 25 M3 5 30 0* 35 20 30 25 u 1 + v 1 + 9 = 0 u 1 = 9 v 1 = 0 u 2 + v 1 + 8 = 0 u 2 = 8 u 2 + v 3 + 1 = 0 v 3 = 7 u 3 + v 2 + 3 = 0 v 2 = 9 u 3 + v 3 + 5 = 0 u 3 = 12 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M1 0 4 4 M2 0 8 0 M3-10 0 0 dr Adam SOJDA 10

Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. III P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u 1 15 0 0 15 M2 u 2 0 0 25 25 M3 u 3 5 30 0* 35 20 30 25 Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M1 9 4 6-7 M2 8 7 1 4 M3 2 3 5 0-2 -3-5 Rozw. IV P1 P2 P3 M1 0 15 0 15 M2 0 0 25 25 M3 20 15 0* 35 20 30 25 u 1 + v 1 + 9 = 0 u 1 = -7 u 2 + v 3 + 1 = 0 u 2 = 4 u 3 + v 1 + 2 = 0 v 1 = -2 u 3 + v 2 + 3 = 0 v 2 = -3 u 3 + v 3 + 5 = 0 u 3 = 0 v 3 = -5 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M1 0-6 -6 M2 10 8 0 M3 0 0 0 dr Adam SOJDA 11

Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. IV P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u 1 0 15 0 15 M2 u 2 0 0 25 25 M3 u 3 20 15 0* 35 20 30 25 Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 u 1 + v 2 + 4 = 0 u 1 = -1 u 2 + v 3 + 1 = 0 u 2 = 4 u 3 + v 1 + 2 = 0 v 1 = -2 u 3 + v 2 + 3 = 0 v 2 = -3 u 3 + v 3 + 5 = 0 u 3 = 0 v 3 = -5 Koszty P1 P2 P3 M1 9 4 6-1 M2 8 7 1 4 M3 2 3 5 0-2 -3-5 Otrzymane rozwiązanie jest optymalne, istnieje rozwiązanie alternatywne. Koszt = 170 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M1 6 0 0 M2 10 8 0 M3 0 0 0 dr Adam SOJDA 12

Zagadnienie transportowe metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Ustalamy przewóz na trasie, gdzie znajduje się najmniejszy koszt. Następnie wyznaczamy przewozy na linii, gdzie wartości zaktualizowane są równe zero. Czynność powtarzamy do momentu, gdy przewozy na wszystkich trasach będą ustalone. Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M1 9 4 6 15 M2 8 7 1 25 M3 2 3 5 35 Popyt 20 30 25 Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M1 0 15 0 15 0 M2 0 0 25 0 M3 20 15 0* 35 15 0 Popyt 20 0 30 15 0 0 dr Adam SOJDA 13

Zagadnienie transportowe metoda VAM Dla każdej linii znajdujemy bezwzględną wartość różnicy pomiędzy dwoma najmniejszymi kosztami jednostkowymi. Spośród tras leżących w linii odpowiadającej największej różnicy wybieramy ten, który ma najniższy koszt jednostkowy. Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M1 9 4 6 15 M2 8 7 1 25 M3 2 3 5 35 Popyt 20 30 25 Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M1 25 M2 6 M3 1 Popyt 67 1 4 Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M1 0 15 0 15 0 M2 0 0 25 0 M3 20 15 0* 15 0 Popyt 0 30 0 0 dr Adam SOJDA 14