BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach"

Transkrypt

1 BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach dr Adam Sojda Pokój A405

2 Literatura okukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN Warszawa 2007 dr Adam SOJDA 2

3 Literatura o o Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A. Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa, Kałuski J.: Podstawy teorii gier. Wydawnictwo PKJS, Gliwice o Ignasiak E.: Badania operacyjne. PWE, Warszawa o o Męczyńska A., Mularczyk A. (red.), Metody statystyczne i optymalizacyjne w arkuszu kalkulacyjnym MS Ecel. Statystyka i badania operacyjne. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice Krawczyk S.: Badania operacyjne dla menedżerów. AE Wrocław dr Adam SOJDA 3

4 Zagadnienia o Programowanie liniowe metoda graficzna, algorytm Simple o Programowanie sieciowe CPM, analiza kosztowo-czasowa o Gry dwuosobowe o sumie zero o Elementy teorii podejmowania decyzji o Zagadnienie transportowe o Programowanie nieliniowe o Programowanie dynamiczne o Programowanie wielokryterialne dr Adam SOJDA 4

5 Warunki zaliczenia o Egzamin: opo ostatnim wykładzie teoria minut o Kolokwium oostatnie ćwiczenia o Projekt zgodnie z kartą projektu oprojet opisany w pliku: projekt_badania_operacyjne.ls dr Adam SOJDA 5

6 Zagadnienie programowania liniowego Definicja Zadaniem programowania liniowego (PL) w postaci standardowej nazywamy problem znalezienia maksimum funkcji f() = c 1 1 +c c n n zwanej funkcją celu. Przy spełnieniu przez wektor następujących warunków ograniczających wyznaczających zbiór rozwiązań dopuszczalnych D. a a a 1n n b 1 a a a 2n n b 2 a m1 1 +a m a mn n b m 1,, n 0 Rozwiązanie optymalne, to rozwiązanie dopuszczalne, dla którego wartość funkcji celu jest MAX. dr Adam SOJDA 6

7 Zagadnienie programowania liniowego PL możemy zapisać jako: c T ma A b Możemy również mówić o następującej postaci 0 c T min A b 0 dr Adam SOJDA 7

8 Zagadnienie programowania liniowego Dla każdego programu liniowego (zwanego pierwotnym) można zapisać program do niego dualny. Program liniowy pierwotny Program liniowy dualny c T ma A b 0 c T min A b 0 b b T T y min A T y c y 0 y ma A T y c y 0 dr Adam SOJDA 8

9 Zagadnienie programowania liniowego o o o Dla rozwiązań optymalnych wartości funkcji celu programu liniowego pierwotnego i dualnego mają taką samą wartość. Jeżeli j-ty warunek PLD w rozwiązaniu optymalnym spełniony jest z nierównością (ostro), to odpowiadająca mu j-ta zmienna ( j ) w optymalnym rozwiązaniu PLP przyjmuje wartość zero. Spełniony jest układ równań: twierdzenie o komplementarności (a i1 1 +a i a in n - b i )y i = 0 dla i = 1,2,, m (a 1j y 1 +a 2j y 2 + +a mj y m - c j ) j = 0 dla j = 1,2,, n dr Adam SOJDA 9

10 Zagadnienie programowania liniowego Definicja Zadaniem programowania liniowego (PL) w postaci kanonicznej nazywamy problem znalezienia maksimum funkcji zwanej funkcją celu. f() = c 1 1 +c c n n Przy spełnieniu przez wektor następujących warunków ograniczających wyznaczających zbiór rozwiązań dopuszczalnych D. a a a 1n n = b 1 a a a 2n n = b 2 a m1 1 +a m a mn n = b m 1,, n 0 dr Adam SOJDA 10

11 Zagadnienie programowania liniowego Zakład produkuje dwa rodzaje wieszaków: STANDARD i SUPER. Do ich produkcji używa się dwa gatunki drewna: dąb i olchę. Na wyprodukowanie jednego wieszaka STANDARD potrzeba 0.05 kawałka dębu oraz 0.15 kawałka olchy. Do produkcji wieszaka typu SUPER potrzeba 0.15 kawałka dębu oraz 0.20 olchy. Ze względu na zainteresowanie klientów wiadomo, że należy produkować wieszaków SUPER nie więcej niż STANDARD. Zyski jednostkowe dla poszczególnych wieszaków wynoszą odpowiednio 9 dla STANDARD i 12 dla SUPER. Dostawy drewna są zagrożone, ze względu na suszę i pożary lasów ustalić produkcję maksymalizującą zysk, jeśli firma w magazynach ma 1500 kawałków dębu oraz 1750 kawałków olchy i nie będzie w najbliższym czasie nowych dostaw. dr Adam SOJDA 11

12 Zagadnienie programowania liniowego Oznaczenia: 1 ilość wyprodukowanych wieszaków STANDARD 2 ilość wyprodukowanych wieszaków SUPER CEL : MAX ZYSK: à Ma OGRANICZENIA: Dąb: Olcha: sprzedaż: 2 1 1, 2 0 dr Adam SOJDA 12

13 Zagadnienie programowania liniowego Program liniowy w postaci standardowej: f.c.: à Ma , 2 0 Program liniowy dualny f.c.d:1500y y 2 +0y 3 à min 0.05y y 2 - y y y 2 + y 3 12 y 1,y 2,y 3 0 Postać macierzowa /elementy/ c 9 = 12 = 1 2 A = b = dr Adam SOJDA 13

14 Zagadnienie programowania liniowego metoda graficzna Wyznaczenie zbioru rozwiązań dopuszczalnych: = równanie prostej Wyznaczenie punktów przez które przechodzi prosta: 1 =0 (0;10 000) 2 = 0 (30 000;0) = Wyznaczenie punktów przez które przechodzi prosta: 1 =0 (0;8 750) 2 = 0 (~11 667;0) = 0 Wyznaczenie punktów przez które przechodzi prosta: 1 =0 (0;0) 2 = 0 (0;0) przekształcenie równania 1 = 2 punkt (10 000;10 000) dr Adam SOJDA 14

15 Zagadnienie programowania liniowego metoda graficzna X (3) Niech f.c. = = (6 000;0) (0;4 500) Niech f.c. = = (12 000;0) (0;9 000) (C) ROZWIĄZANIE ZNAJDUJE SIĘ W WIERZCHOŁKU (B) (1) (A) (2) X 1 dr Adam SOJDA 15

16 Zagadnienie programowania liniowego Wystarczy znaleźć współrzędne wierzchołków, wyznaczyć dla nich wartość funkcji i wskazać optimum. A (0;0) B (~11 667;0) (1 750/0.15;0) C (2) i (3) Rozwiązujemy układ równań: = = 0 C(5 000;5 000) dr Adam SOJDA 16

17 Zagadnienie programowania liniowego WYZNACZAMY WAROŚCI FUNKCJI CELU: A(0;0) f.c.: = 0 B(11 667;0) f.c.: = C(5 000;5 000) f.c.: = B(1 750/0.15;0) f.c.: / = ROZWIĄZANIE TO ODCINEK ŁĄCZĄCY WIERZCHOŁKI B oraz C dr Adam SOJDA 17

18 Zagadnienie programowania liniowego rozwiązanie programu dualnego Wyznaczamy układ równań z twierdzenia o komplementarności ( )y 1 = 0 ( )y 2 = 0 ( )y 3 = 0 (0.05y y 2 - y 3-9) 1 = 0 (0.15y y 2 + y 3 12) 2 = 0 Znane jest rozwiązanie optymalne programu pierwotnego: 1 = 5 000, 2 = dr Adam SOJDA 18

19 Zagadnienie programowania liniowego rozwiązanie programu dualnego ( )y 1 = 0 ( )y 2 = 0 ( )y 3 = 0 (0.05y y 2 - y 3-9) = 0 (0.15y y 2 + y 3 12) = 0 Po wyliczeniu: - 500y 1 = 0 0y 2 = 0 0y 3 = y y 2 - y 3 = y y 2 + y 3 = 12 y 1 = 0 0 = 0 0 = y 2 - y 3 = y 2 + y 3 = 12 Rozwiązanie programu dualnego y 1 = 0 y 2 = 60 y 3 =0 dr Adam SOJDA 19

20 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX Algorytm SIMPLEX zagadnienia maksymalizacji funkcji celu wymaga programu liniowego w postaci kanonicznej. Z postaci standardowej w postać kanoniczną (ograniczenia są równościami) przechodzimy wprowadzając zmienne bilansujące (do każdego z ograniczeń jedna zmienna). Współczynniki funkcji celu stojące przy zmiennych bilansujących są równe zero. Zmienne bilansujące spełniają warunek nieujemności. dr Adam SOJDA 20

21 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX Postać standardowa: f.c.: à Ma , 2 0 Postać kanoniczna: f.c.: à Ma = = = 0 1, 2, 3, 4, 5 0 dr Adam SOJDA 21

22 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX Schemat algorytmu: Algorytm zatrzymuje się funkcja dąży w sposób nieograniczony do nieskończoności Najmniejsza wartość d j wskazuje na zmienną k, wprowadzaną do bazy (wybór kolumny k) nie Czy istnieją a ik dodatnie tak tak Wyznaczyć rozwiązanie bazowe i wskaźniki optymalności d j Czy istnieją ujemne d j Dla dodatnich a ik wyznacz ilorazy b i /a ik najmniejszy wskazuje na zmienną usuwaną z bazy (wybór wiersza p) nie Algorytm zatrzymuje się. Rozwiązanie bazowe jest optymalne WYKONAJ PRZEKSZTAŁCENIE MODYFIKUJĄCE BAZĘ dr Adam SOJDA 22

23 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX Zmienne bazowe tworzą kolumny w postaci wersorów (złożone są z 1 oraz 0). Miejsce w bazie wskazuje 1. Przekształcenie modyfikujące bazę tak przekształca układ równań, aby w miejscu przecięcia wybranej kolumny z wybranym wierszem była 1 a pozostałe elementy wybranej kolumny powinny być równe 0. Interesują nas rozwiązania bazowe dopuszczalne, dlatego też wszystkie operacje na wierszach wykonywane są w oparciu o wiesz, który wskazywał na zmienną usuwaną z bazy o najmniejszy ilorazie b i / a ik. W pierwszym kroku dzielimy wybrany wiersz przez element a pk, znajdujący się na przecięciu wybranego wiersza i wybranej kolumny. Otrzymany wierz umieszczamy w nowej tablicy i nazywamy głównym. Od pozostałych wierszy i odejmujemy wiersz główny pomnożony przez element a ik wyznaczony przez wiersz i oraz wybraną kolumnę. W jednym kroku algorytmu wybieramy tylko jedną kolumnę i wiersz, czyli tylko jedna zmienna jest do bazy wprowadzana i jedna jest z niej usuwana. dr Adam SOJDA 23

24 dr Adam SOJDA 24 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX ( ) ma = n c n c c f! 0, 1, 2, n m n mn m m i n in i i n n b a a a b a a a b a a a!!!! ( ) ma = + + m n n n n c c c f!! 0,,,,,, = = = m n n n m m n n mn m m i i n n in i i n n n b a a a b a a a b a a a!!!!! C j c 1 c j c n b i /a ik c b Baza b 1... j... n n+1 n+i n+m 0 n+1 b 1 a 11 a 1j. a 1n n+i b i a i1... a ij... a in n+m b m a m1 a mj a mn z j z 0 z 1 z j z n d j = z j - c j z 1 -c 1 z j - c j z n -c n 0 0 0

25 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX C j c b baza b b i /a ik z j dj = zj - cj dr Adam SOJDA 25

26 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX C j c b baza b b i /a ik z j dj = zj - cj dr Adam SOJDA 26

27 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX C j c b baza b b i /a ik z j dj = zj - cj dr Adam SOJDA 27

28 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX C j c b baza b b i /a ik z j d j = z j - c j dr Adam SOJDA 28

29 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX C j c b baza b b i /a ik nie z j d j = z j - c j dr Adam SOJDA 29

30 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX C j c b baza b b i /a ik / / / / X / / 0.35 z j d j = z j - c j dr Adam SOJDA 30

31 Zagadnienie programowania liniowego Algorytm SIMPLEX C j c b baza b X 4 5 b i /a ik / / / / / / / / / 3 1 z j d j = z j - c j Rozwiązanie programu dualnego y 1 = 0 y 2 = 60 y 3 =0 dr Adam SOJDA 31

32 Zagadnienie programowania liniowego Solver dodatek MS Ecel 1. Rezerwujemy miejsce na zmienne 1 i 2 wartości tych zmiennych pojawią się w komórkach B2 i B3 2. W komórce B5 wpisujemy formułę obliczającą wartość funkcji celu 3. W komórkach B7 do B9 wpisujemy formuły obliczające wartości po lewej stronie nierówności z ograniczeń 4. W komórkach C7 do C9 wpisujemy wartości ograniczeń znajdujące się po prawej stronie nierówności dr Adam SOJDA 32

33 Zagadnienie programowania liniowego Solver dodatek MS Ecel 1. Uruchamiany dodatek Solver i podajemy informację o zadaniu: 2. Podajemy wartość funkcji celu adres komórki B5 oraz zaznaczamy ma 3. Podajemy zakres komórek zmienianych 4. Dodajemy ograniczenia otwiera się nowe okno i wpisujemy kolejno B7 wybieramy kierunek nierówności oraz komórki C7 dodajemy kolejne, na końcu dodajemy ograniczenie, że zmienne są nieujemne. 5. Zatwierdzamy i klikamy ROZWIĄŻ dr Adam SOJDA 33

34 Zagadnienie programowania liniowego Solver dodatek MS Ecel Otrzymujemy rozwiązanie programu jest to, tylko jedno rozwiązanie. W komórkach B2 i B3 pojawiają się wartości 5000 i 5000, w komórce funkcji celu pojawia się wartość wartością funkcji celu dla tego rozwiązania dr Adam SOJDA 34

35 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy dostarczyć od m dostawców { D 1,..,D m } do n odbiorców {O 1,,O n }. Znane są koszty jednostkowe c ij transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Znany jest również popyt a j u j-tego odbiorcy jak i podaż b i u i-tego dostawcy. Własności zadania transportowego: n zadanie nie jest sprzeczne n funkcja celu jest ograniczona n jeśli wszystkie wielkości popytu i podaży są liczbami całkowitymi, to rozwiązanie optymalne jest również całkowite. Metody rozwiązywania zadania transportowego można podzielić na dwie fazy: n wyznaczenie wstępnego planu przewozowego metoda kąta północnozachodniego, metoda minimalnego elementu, metoda VAM n poprawienie otrzymanego rozwiązania metoda potencjałów dr Adam SOJDA 35

36 Zagadnienie transportowe Zagadnienie nazywamy zbilansowanym, jeśli łączna podaż wszystkich dostawców jest równa łącznemu zapotrzebowaniu wszystkich odbiorców. Każde zadanie można zbilansować poprzez wprowadzenie fikcyjnego dostawcy bądź odbiorcy w zależności od potrzeb. Koszty na nowych trasach przyjmuje się równe zero. Rozwiązując zadanie transportowe posługujemy się zmiennymi bazowymi, każde rozwiązanie bazowe składa się z n + m 1 tras. Poprzez linię rozumieć będziemy wiersz albo kolumnę. dr Adam SOJDA 36

37 Zagadnienie transportowe Zadanie 1. Firma zajmująca się transportem dostała zamówienie na przewóz mąki z młynów do piekarń. Tabela podaje wielkości zmagazynowanej w młynach mąki, zamówienia z poszczególnych piekarni jak i również koszty jednostkowe transportu. Firma zgodziła się przewieźć towar za 500 zł. Określić ile firma może zarobić na tym zamówieniu. Wyznaczyć trasy przewozu towaru. Młyny Koszty jednostkowe transportu [zł/t] Piekarnie P1 P2 P3 Zapas [t] M M M Popyt [t] dr Adam SOJDA 37

38 Zagadnienie transportowe program liniowy zadania zbilansowanego Oznaczenia: ij ilość towaru dostarczonego z i-tego młyna do j-tej piekarni Cel: minimalizacja kosztów: à min Ograniczenia: Zapas: = = = 35 Zamówienie: = = = 25 ij 0 dr Adam SOJDA 38

39 Zagadnienie transportowe metoda kąta północno - zachodniego Dla danego zadania zbilansowanego wyznaczamy przewóz na trasie wysuniętej najdalej na północny zachód. Wielkość przewozu na tej trasie jest mniejszą z dwóch liczb: zaktualizowanej wielkości popytu oraz podaży. Po wyznaczeniu przewozu należy dokonać aktualizacji wielkości popytu i podaży. Co najmniej jedna z tych wielkości będzie równa 0. Linię, którą wskazuje 0 uzupełniamy 0, gdyż nie będzie już więcej przewozów na tych trasach. Jeśli dwie linie wypełniono zerami, to należy kreślić trasę z przewozem zdegenerowanym, czyli równym 0. Jest nią ta trasa, która leży najbliżej wyznaczonej oraz koszt przewozu na niej jest najmniejszy. Znów należy wyznaczyć przewóz na trasie wysuniętej najdalej na północnyzachód. W ten sposób zostają uzupełnione wielkości przewozu na wszystkich trasach dr Adam SOJDA 39

40 Zagadnienie transportowe metoda kąta północno - zachodniego Wyznaczenie trasy przewozów: Rozwiązanie P1 P2 P3 M M M Wyznaczenie początkowego kosztu: = 470 dr Adam SOJDA 40

41 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Dla i-tego dostawcy wprowadzamy zmienną u i, dla j-tego odbiorcy zmienną v j. Dla rozwiązań bazowych, czyli tras, na których ustalono przewóz wyznaczany układ n + m 1 równań o postaci: u i + v j + c ij = 0 Układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczamy jedno z nich. Na podstawie tego rozwiązania wyliczamy wskaźniki optymalności: e ij = u i + v j + c ij Warunek optymalności: jeśli wszystkie współczynniki e ij są nieujemne otrzymane rozwiązanie jest optymalne. Jeśli liczba wskaźników równych 0 jest większa niż n + m -1, wówczas istnieje rozwiązanie alternatywne. Warunek następnego kroku: najmniejsza (ujemna) wartość wskaźnika e ij wskazuje na trasę, gdzie należy wprowadzić nowy przewóz. Dokonując przemieszczeń towaru na poszczególnych trasach (analizujemy tylko nową trasę i trasy bazowe) możemy stwierdzić, że na pewnych trasach wzrasta przewóz, na pewnych przewóz maleje. Najmniejsza wielkość przewozu na trasach o przewozach malejących jest maksymalną o jaką korygowane są wielkości przewozów. Co najmniej jeden z obecnych przewozów jest równy zero. Jeśli na więcej niż jednej trasie znikł przewóz należy wprowadzić przewozy bazowe zdegenerowane. dr Adam SOJDA 41

42 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. I P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M M M Rozw. II P1 P2 P3 M M M u 1 + v = 0 u 1 = 9 v 1 = 0 u 2 + v = 0 u 2 = 8 u 2 + v = 0 v 2 = 1 u 3 + v = 0 u 3 = 4 u 3 + v = 0 v 3 = -1 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 42

43 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. II P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M M M Rozw. III P1 P2 P3 M M M * u 1 + v = 0 u 1 = 9 v 1 = 0 u 2 + v = 0 u 2 = 8 u 2 + v = 0 v 3 = 7 u 3 + v = 0 v 2 = 9 u 3 + v = 0 u 3 = 12 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 43

44 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. III P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u * Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M M M Rozw. IV P1 P2 P3 M M M * u 1 + v = 0 u 1 = -7 u 2 + v = 0 u 2 = 4 u 3 + v = 0 v 1 = -2 u 3 + v = 0 v 2 = -3 u 3 + v = 0 u 3 = 0 v 3 = -5 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 44

45 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. IV P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u * Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 u 1 + v = 0 u 1 = -1 u 2 + v = 0 u 2 = 4 u 3 + v = 0 v 1 = -2 u 3 + v = 0 v 2 = -3 u 3 + v = 0 u 3 = 0 v 3 = -5 Koszty P1 P2 P3 M M M Otrzymane rozwiązanie jest optymalne, istnieje rozwiązanie alternatywne. Koszt = 170 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 45

46 Zagadnienie transportowe metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Ustalamy przewóz na trasie, gdzie znajduje się najmniejszy koszt. Następnie wyznaczamy przewozy na linii, gdzie wartości zaktualizowane są równe zero. Czynność powtarzamy do momentu, gdy przewozy na wszystkich trasach będą ustalone. Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M Popyt Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M * Popyt dr Adam SOJDA 46

47 Zagadnienie transportowe metoda VAM Dla każdej linii znajdujemy bezwzględną wartość różnicy pomiędzy dwoma najmniejszymi kosztami jednostkowymi. Spośród tras leżących w linii odpowiadającej największej różnicy wybieramy ten, który ma najniższy koszt jednostkowy. Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M Popyt Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M1 25 M2 6 M3 1 Popyt Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M * 15 0 Popyt dr Adam SOJDA 47

48 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Przedsięwzięcie - zorganizowanie działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego celu, zawarte w skończonym przedziale czasowym z wyróżnionym początkiem i końcem. Realizowane przez skończoną liczbę osób, środków technicznych, energii,materiałów, środków finansowych i informacji. Zdarzenie oznacza osiągniecie stanu zaawansowania prac przy realizacji przedsięwzięcia, jest to moment rozpoczęcia bądź zakończenia jednej czynności lub większej liczby czynności. Zdarzenie przedstawiamy graficznie za pomocą kółek. Każdemu zdarzeniu przyporządkowany jest numer 1,2,3,,m Czynność jest dowolnie wyodrębniona częścią przedsięwzięcia charakteryzującą się czasem trwania i zużyciem środków. Obraz graficzny strzałka. Czynność jest charakteryzowana przez parę wskaźników i k (i<k), gdzie i numer zdarzenia, w którym dana czynność się zaczyna, k numer zdarzenia, w którym dana czynność się kończy. Czynność pozorna - szczególny typ czynności, dla których charakterystyczne jest to, że nie zużywają czasu (czas jej trwania jest równy zero) ani środków, a służą jedynie do przedstawienia zależności pomiędzy czynnościami. Graficzny obraz czynności pozornej przerywana strzałka. dr Adam SOJDA 48

49 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Sieć czynności jest graficznym obrazem struktury przedsięwzięcia. Przedstawia ona tworzące to przedsięwzięcie czynności oraz powiązania pomiędzy nimi. Sieć składa się z dwóch rodzajów elementów: n n łuków oznaczających czynności węzłów zwanych zdarzeniami i oznaczającymi początek lub zakończenie jednej lub kilku czynności. Budowa sieci wymaga znajomości dla poszczególnych czynności: n n czasów ich trwania zbiorów czynności bezpośrednio je poprzedzających Prawidłowo skonstruowana sieć czynności: n łączy wszystkie węzły i łuki ( spójna ) n łuki nie tworzą obwodu zamkniętego ( acykliczna ) n n zawiera dokładnie jedno zdarzenie, w którym nie kończy się żadna czynność ( początek przedsięwzięcia ) oraz jedno zdarzenie, w którym nie rozpoczyna się żadna czynność (koniec przedsięwzięcia) dwa różne łuki nie mają tych samych zdarzeń początkowych i końcowych, w przeciwnym razie wprowadza się czynności pozorne. dr Adam SOJDA 49

50 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Najkrótszy możliwy czas realizacji przedsięwzięcia, T* jest to najkrótszy czas, w którym możliwe jest ukończenie wszystkich czynności składających się na przedsięwzięcie. Najwcześniejszy możliwy moment zajścia zdarzenia. Dla danego zdarzenia k, najwcześniejszy moment jego zajścia ( t k ) jest to moment, w którym najwcześniej zostaną ukończone wchodzące do niego czynności. k i ( t t ) t = ma + t 1 = 0 i ik Najpóźniejszy dopuszczalny moment zajścia zdarzenia. Dla danego zdarzenia i, najpóźniejszy dopuszczalny moment jego zajścia ( T i ) jest to moment, w którym najpóźniej mogą być rozpoczęte wszystkie wychodzące z niego czynności, by nie opóźnił się moment realizacji całego przedsięwzięcia (w stosunku do najkrótszego możliwego czasu). T i k ( T t ) = min = T k ik T m t m = T * T 1 = 0 dr Adam SOJDA 50

51 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Zapas czasu dla zdarzenia, to L i = T i t i Luz czasowy czynności Dla każdej czynności możemy wyznaczyć rezerwy czasu wykonywania zwane zapasami czasu. Zapas całkowity, to rezerwa czasu, która może być wykorzystana dodatkowo na wykonanie danej czynności Z c = T k t i t ik ANALIZA SIECIOWA Charakterystyki: CPM ścieżki krytycznej ( Critical Path Method ) t najwcześniejszy moment zaistnienia zdarzenia T najpóźniejszy dopuszczalny termin zaistnienia zdarzenia L zapas czasu dla zdarzenia. i numer zdarzenia t i i T i L i dr Adam SOJDA 51

52 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Pewne przedsięwzięcie można opisać za pomocą następujących czynności (tabela). Wyznaczyć najkrótszy możliwy czas realizacji całego przedsięwzięcia, wyznaczyć czynności, które determinują czas realizacji całego przedsięwzięcia budowy domu i przeprowadzki do niego. czynność Opis czynności Czynności poprzedzające A kupno działki 20 B ogrodzenie działki wstępne A 15 C wybór projektu 10 D wybór dewelopera C 15 E sadzenie drzew i krzewów B, D 30 F budowa docelowego ogrodzenia i alejek E 40 G wybór elementów wykończenia domu C 60 H budowa do stanu surowego B, D 120 I wykończenie domu G, H 90 J przeprowadzka F, I 14 Czas trwania [dni] dr Adam SOJDA 52

53 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Przedstawienie przedsięwzięcia jako sieci czynności: C A D B G E H F I J 1 A C 2 3 D B 4 G E H 5 6 I F J 7 8 dr Adam SOJDA 53

54 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Wyznaczenie ścieżki krytycznej: dr Adam SOJDA 54

55 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Analiza zapasów czasu dla poszczególnych czynności czynność i - k t ik T k t i Zc zapas czasu dla czynności A B C D E F G H I J Czynności, dla których zapas czasu jest równy zero nazywamy czynnościami krytycznymi. Tworzą on ścieżkę krytyczną i stanowi podstawę metody CPM dr Adam SOJDA 55

56 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Metoda PERT Zakładamy, że każda z czynności może być opisana trzema czasami: a najbardziej optymistycznym m modalnym najczęściej pojawiającym się przy powtarzaniu tej czynności b najbardziej pesymistycznym Pomiędzy czasami zachodzi zależność: a m b Dla każdej czynności wyznaczane są dwie wartości: oczekiwany czas realizacji czynności t e oraz wariancja czas σ 2. Zgodnie ze wzorami: a + 4m + b t e = 6 2 σ i j = b a 6 2 Czas oczekiwany jest wykorzystywany do wyznaczenia ścieżki krytycznej (CPM) oraz oczekiwanego czasu wykonania T e dr Adam SOJDA 56

57 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Jeśli pojawiające się ścieżki charakteryzują się tym, iż empiryczne czasy realizacji przedsięwzięcia nie zachodzą na siebie, wówczas można wyznaczyć za pomocą dystrybuanty rozkładu normalnego prawdopodobieństwo zakończenia przedsięwzięcia przed upływem założonego czasu dyrektywnego. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym oznaczającą czas ukończenia całego przedsięwzięcia. Φ(u) dystrybuanta rozkładu N(0,1) T e wartość oczekiwaną czasu realizacji całego przedsięwzięcia wyznaczoną na podstawie ścieżkikrytycznej, σ - odchylenie standardowe dla czasu realizacji całego przedsięwzięcia, wyznaczone jako pierwiastek z sumy wariancji czasów realizacji wszystkich czynności tworzących ścieżkę krytyczną. t d czas dyrektywny realizacji całego przedsięwzięcia. P d e d e ( X < t ) = P U < = Φ d t T σ Otrzymane wartości prawdopodobieństwa powinny znajdować się w przedziale od 0.25 do Dla wartości poniżej 0.25 termin realizacji w czasie dyrektywnym jest małoprawdopodobny, dla wartości powyżej 0.60 istnieją niewykorzystane moce produkcyjne. t T σ dr Adam SOJDA 57

58 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Dla analizowanego już zagadnienia: czynność i - k a m b t e σ 2 A B C D E F G H I J dr Adam SOJDA 58

59 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Dla analizowanego już zagadnienia: czynność i - k a m b t e σ 2 A B C D E F G H I J Oczekiwany czas realizacji całego przedsięwzięcia: T e = 259 Wariancja czasu realizacji: = 162 odchylenie standardowe σ = 12,73 dr Adam SOJDA 59

60 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Wyznaczyć prawdopodobieństwo ukończenia przedsięwzięcia w czasie 240 dni. Dane: t d = 240 T e = 259 σ = 12,73 P ( X < t ) = Φ d = P U < t d T σ e t = Φ T σ ( 1,49) = 1 Φ( 1,49) = = d e = Φ 12,73 = Wyznaczyć czas dyrektywny, w którym prawdopodobieństwo ukończenia jest równe 0.95 Dane: T e = 259 σ = 12,73 Φ(u)=0.95 zatem u=1.65 td Te 0.95 = Φ( 1.65) = Φ σ td = td = td 259 = Φ 12,73 dr Adam SOJDA 60

61 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Analiza kosztowo czasowa czynność i - k Czas normalny Czas przyspieszony Koszt normalny Koszt przyspieszony A B C D E F G H I J Gradient kosztów dr Adam SOJDA 61

62 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Analiza kosztowo czasowa czynność i - k Czas normalny Czas przyspieszony Koszt normalny Koszt przyspieszony Gradient kosztów A B C D E F ,5 G H I J dr Adam SOJDA 62

63 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Program liniowy minimalizacji kosztu przy zadanym czasie dyrektywnym Oznaczenia: i najwcześniejszy moment zaistnienia zdarzenia y A, y B,, y J - czas przyspieszenia realizacji czynności A,B,, J FUNKCJA CELU: F(y A,, y J ) = 10y A +1y B +2y C +3y D +5y E +2.5y F +6y G +10y H +6y I +2y J à min Ograniczenia: Muszą być spełnione następujące warunki: i. moment zaistnienia zdarzenia i ( i ) musi być większy bądź równy od czasu wykonania czynności, których czas zakończenia określa to zdarzenie ii. czas rozpoczęcia dowolnej czynności jest równy momentowi zaistnienia zdarzenia, określającego rozpoczęcie tej czynności iii. czas realizacji jest równy czasowi normalnemu pomniejszonemu o czas przyspieszenia iv. czasy przyspieszenia są ograniczone dr Adam SOJDA 63

64 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Spełnione muszą być warunki dla zdarzeń Moment zaistnienia zdarzenia Czas normalny realizacji czynności - Przyspieszenie czynności + Moment rozpoczęcia czynności Zdarzenie 1. 1 = 0 Zdarzenie 2. X 2 20 y A + 1 Zdarzenie 3. X 3 10 y C + 1 Zdarzenie 4. X 4 15 y B + 2 X 4 15 y D + 3 Zdarzenie 5. X 5 30 y E + 4 Zdarzenie 6. X 6 60 y G + 3 X y H + 4 Zdarzenie 7. X 7 40 y F + 5 i 0 dla i =1,2,,8 X 7 90 y I + 6 y j 0 dla j = A, B,, J Zdarzenie 8. X 8 14 y J + 7 Czas zakończenia nie może być dłuższy niż 250 zadany czas dyrektywny Możliwości przyspieszenia są ograniczone: 0 y A 5 0 y B 5 0 y C 1 0 y D 3 0 y E 2 0 y F 2 0 y G 5 0 y H 10 0 y I 5 0 y J 2 Wszystkie zmienne są nieujemne dr Adam SOJDA 64

65 Programowanie sieciowe zarządzanie projektami Przy minimalizacji czasu realizacji przedsięwzięcia przy zadanym koszcie zamiast funkcji celu z poprzedniego problemu: F(y A,, y J ) = 10y A +1y B +2y C +3y D +5y E +2.5y F +6y G +10y H +6y I +2y J à min Otrzymujemy ograniczenie dla zadanego kosztu np y A +1y B +2y C +3y D +5y E +2.5y F +6y G +10y H +6y I +2y J 300 Z ograniczenia czasu realizacji przedsięwzięcia Otrzymujemy funkcję celu 8 à min dr Adam SOJDA 65

66 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero W grze bierze udział dwóch graczy A i B. Każdy z nich jest graczem inteligentnym, ostrożnym tzn. nie podejmuje decyzji jawnie dla siebie niekorzystnych oraz stosuje (kryterium Walda) maksymalizację swoich najmniejszych wygranych. Dana jest macierz wygranych gracza A, która jest jednocześnie macierzą przegranych gracza B. Każdy z graczy ma skończoną liczbę możliwych decyzji. Wartość gry v wygrana gracza A, która jest przegraną gracza B. Mówimy, że gra posiada rozwiązanie w zbiorze strategii (decyzji) czystych jeśli maksymalna z minimalnych wygranych gracza A jest równa minimalnej z maksymalnych przegranych gracza B. Jeżeli gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych, możemy poszukać jej rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych gracz stosuje swoje strategie z określonymi częstościami. Mówimy, że pewna strategia d k jest zdominowana przez strategię d t, jeżeli niezależnie od decyzji przeciwnika wygrane gracza przy strategii d t nie są gorsze (lepsze bądź takie same) jak w przypadku zastosowania strategii d k. dr Adam SOJDA 66

67 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Zadanie GD1. Jacek i Agatka grają w następującą grę. Każde z nich ma 3 karty: Asa, Króla, Damę. Pokazują je sobie jednocześnie. Jeśli pokażą takie same karty to nikt nie wygrywa, jeśli pojawi się As i Król, to właściciel Asa wygrywa 3 zł, jeśli As i Dama, to właściciel Asa przegrywa 5 zł, jeśli Król i Dama to właściciel Króla wygrywa 4 zł. a)zapisz macierz tej gry (wygrane Jacka). b)sprawdź czy nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych c)napisz program liniowy pozwalający tą grę rozwiązać d)po pewnym czasie Agata postanowiła, że gra zostanie przyspieszona i odrzuciła Damę rozwiązać tą grę. e)po godzinie jak Agata miała jeszcze 65 zł a Jacek 95 to Jacek postanowił przyspieszyć grę i odrzucił Asa. Rozwiązać grę i określić ilu średnio wyłożeń kart potrzeba, aby jeden z graczy nie miał już pieniędzy. dr Adam SOJDA 67

68 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Jeśli pokażą takie same karty to nikt nie wygrywa, jeśli pojawi się As i Król, to właściciel Asa wygrywa 3 zł, jeśli As i Dama, to właściciel Asa przegrywa 5 zł, jeśli Król i Dama to właściciel Króla wygrywa 4 zł. Agatka Jacek As Król Dama As Król Dama MIN ZYSK MAX PRZEGRANA Gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych wyznaczone wartości się różnią. Wartość gry (wygrana Jacka) będzie od -3 do 3 dr Adam SOJDA 68

69 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Wprowadźmy oznaczenia: p i częstość stosowania przez gracza A strategii a i q j częstość stosowania przez gracza B strategii b j v - wartość gry Zakładamy dodatkowo, że v > 0, wtedy można będzie wprowadzić zmienne pomocnicze. i = p i / v dla i = 1 n y j = q j / v dla j = 1 m Zauważmy, że jeśli do każdej wygranej dodamy taką samą wartość, to wzrośnie wartość gry o tą wartość, natomiast nie ulegną zmianie częstości stosowania poszczególnych strategii. Jeśli wartość gry może być ujemna zmieniamy grę dodając do każdej z wygranej taką wartość, która pozwoli otrzymać nową grę, dla której wartość gry nie będzie mogła być liczbą ujemną. Taką grę rozwiązujemy, czyli wyznaczamy częstości stosowania poszczególnych strategii, a następnie wartość tej gry i gry pierwotnej. dr Adam SOJDA 69

70 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Ponieważ, w tej grze wartość gry v może być ujemna (-3,3) do każdej z wygranych Jacka dodajemy 4. Otrzymujemy grę: Agata Jacek As Król Dama As Król Dama MIN ZYSK MAX PRZEGRANA Nowa gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych, a wartość gry nie może być już ujemną, gdyż v (1,7) dr Adam SOJDA 70

71 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Dla gracza A (Jacek) v à ma p 1 + p 2 + p 3 = 1 b1: 4p 1 + 1p 2 + 9p 3 v b2: 7p 1 + 4p 2 + 0p 3 v b3: -1p 1 + 8p 2 + 4p 3 v p 1, p 2, p 3 0 Dla gracza B (Agatka) v à min q 1 + q 2 + q 3 = 1 a1: 4q 1 + 7q 2-1q 3 v a2: 1q 1 + 4q 2 + 8q 3 v a3: 9q 1 + 0q 2 + 4q 3 v q 1, q 2, q 3 0 Dzielimy, każdy element programu przez v>0 i odpowiednio podstawiamy, za p,g zmienne,y. v/v = = 1/v à min v/v = 1 y 1 + y 2 + y 3 = 1/v à ma b1: a1: 4y 1 + 7y 2-1y 3 1 b2: a2: 1y 1 + 4y 2 + 8y 3 1 b3: , 2, 3 0 a3: 9y 1 + 0y 2 + 4y 3 1 y 1, y 2, y 3 0 dr Adam SOJDA 71

72 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Po odrzuceniu przez Agatę Damy (b3) programy można zapisać w sposób następujący: Gra dla Jacka: = 1/v à min b1: b2: b3: 1, 2, 3 0 Gra dla Agaty: y 1 + y 2 = 1/v à ma a1: 4y 1 + 7y 2 1 a2: 1y 1 + 4y 2 1 a3: 9y 1 + 0y 2 1 y 1, y 2, y 3 0 Rozwiązanie tego programu znajdujemy z tw. o komplementarności albo w tablicy Simple Ten program można rozwiązać metodą graficzną albo algorytmem Simple. 1 = 9/63 2 =0 3 = 3/63 y 1 = 7/63 y 2 = 5/63 dr Adam SOJDA 72

73 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Dla Jacka: 1 = 9/63 2 =0 3 = 3/ = 1/v = 12/63 Zatem v = 63/12 (v = 5.25 ) Częstości stosowania strategii: p 1 = 0.75 p 2 =0 p 3 = 0.25 Dla Agaty: y 1 = 7/63 y 2 = 5/63 y 1 + y 2 = 1/v = 12/63 Zatem v = 63/12 (v = 5.25 ) Częstości stosowania strategii: q1 =7/12=0.583(3) q2 =5/12=0.416(6) Rozwiązanie pierwotnej gry: v = = 1.25 Częstości stosowania strategii: p 1 = 0.75 p 2 =0 p 3 = 0.25 Rozwiązanie pierwotnej gry: v = = 1.25 Częstości stosowania strategii: q1 =7/12=0.583(3) q2 =5/12=0.416(6) dr Adam SOJDA 73

74 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Po odrzuceniu przez Jacka Asa otrzymujemy grę 2 2 : Agatka Jacek As Król Król -3 0 Dama 5-4 MIN ZYSK -3-4 MAX PRZEGRANA 5 0 Gra ta nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych. Szukając rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych wyznaczamy je rozwiązując układ równań (tylko w przypadku gry 2 2). Nie trzeba doprowadzać, do sytuacji, kiedy wartość gry jest ujemna i rozwiązywać programu liniowego. dr Adam SOJDA 74

75 Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu gry dwuosobowe o sumie zero Dla Jacka: p 1 + p 2 =1 à p 1 = 1- p 2-3p 1 + 5p 2 = v 0p 1 4p 2 = v Dla Agaty q 1 + q 2 =1 à q 1 = 1- q 2-3q 1 + 0q 2 = v 5q 1 4q 2 = v Podstawiamy do równań 2 i 3 i porównujemy je: Podstawiamy do równań 2 i 3 i porównujemy je: -3(1-p 2 ) + 5p 2 = 0(1-p 2 ) 4p p 2 + 5p 2 = 4p 2 12p 2 = 3 p2 = 3/12=0.25 p 1 = (1-q 2 ) + 0q 2 = 5(1-q 2 ) 4q q 2 =5-5q 2 4q 2 12q 2 = 8 q 2 = 8/12=2/3=0.6(6) q 1 = 1/3=0.3(3) v = = -1 v = = -1 v = -3 1/3 = -1 v = 5 1/3-4 2/3 = -3/3 = -1 dr Adam SOJDA 75

BADANIA OPERACYJNE. dr Adam Sojda Pokój A405

BADANIA OPERACYJNE. dr Adam Sojda  Pokój A405 BADANIA OPERACYJNE dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Przedsięwzięcie - zorganizowanie działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami

Zarządzanie projektami Dr Adam Kucharski Spis treści Podstawowe pojęcia Metoda CPM 3 3 Przykład analizy metodą CPM 5 Podstawowe pojęcia Przedsięwzięcia złożone z wielu czynności spotykane są na każdym kroku. Jako przykład może

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

t i L i T i

t i L i T i Planowanie oparte na budowaniu modelu struktury przedsięwzięcia za pomocą grafu nazywa sie planowaniem sieciowym. Stosuje się do planowania i kontroli realizacji założonych przedsięwzięć gospodarczych,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1 Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały) Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Planowanie przedsięwzięć

Planowanie przedsięwzięć K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 2)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 2) ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część ) Zadanie niezbilansowane Zadanie niezbilansowane Przykład 11. 5 3 8 A 4 6 4 B 9 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy Dostawcy: A :15 B : C :6 Odbiorcy: D :8 E :3 F :4 G :5

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI

ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI WYKŁAD 5 ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI Podstawowe problemy rozwiązywane z wykorzystaniem programowania sieciowego: zagadnienia transportowe (rozdział zadań przewozowych, komiwojażer najkrótsza

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

METODA PERT. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA PERT. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA PERT Maciej Patan Programowanie sieciowe. Metoda PERT 1 WPROWADZENIE PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique) Metoda należy do sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej Parametry opisujace

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej)

Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Firma budowlana Z&Z podjęła się zadania wystawienia placu zabaw dla dzieci w terminie nie przekraczającym 20 dni. Listę czynności do wykonania zawiera

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego

Rozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie przedsięwzięć

Harmonogramowanie przedsięwzięć Harmonogramowanie przedsięwzięć Mariusz Kaleta Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska luty 2014, Warszawa Politechnika Warszawska Harmonogramowanie przedsięwzięć 1 / 25 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych e-mail: tpisula@prz.edu.pl 1 Literatura podstawowa wykorzystywana podczas zajęć wykładowych: 1. Gajda J.,

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT Maciej Patan Programowanie sieciowe. 1 WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę logiczna

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 1

Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 1 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 1 Określenie projektu Przez projekt rozumie się jednostkowy(najczęściej jednorazowy) proces złożony ze zbioru wzajemnie powiązanych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo