Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości z mojego wyk adu z Ryzyka inwestycji nansowych, g ównie w celu ustalenia oznaczeń i terminologii. Treść tego rozdzia u nie b edzie przedmiotem odrebnych pytań egzaminacyjnych, ale jej znajomość jest niezb edna do zrozumienia dalszej cz eści wyk adu. W ramach tego wyk adu rozwa zamy ryzyko kredytowe, które wynika z mo zliwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osob e lub instytucj e, której udzielono kredytu. 1.1 Podzia ryzyka kredytowego 1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez druga stron e p atności wynikajacych z kontraktu. 2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - mo zliwość zmiany wiarygodności kredytowej drugiej strony. 1.2 Przestrzeń probabilistyczna Niech b edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nastepujace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynika, ze do F nale z a zdarzenia: (zdarzenie pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). Najmniejsze -cia o zawierajace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy -cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna funkcje P : F! R spe niajac a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, 1
A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P! 1[ 1X A i = P (A i ): (1) Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójke (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. 1.3 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b edzie przestrzenia probabilistyczna. Zmienna losowa (wek- torem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Mo zna wykazać, ze X jest zmienna wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienna losowa. Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcje P X : B(R n )! R dana P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (2) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyjać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny. 1.4 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartościa oczekiwana (lub średnia) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmujacej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb e EX := X i2i x i P (X = x i ); (3) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). 2
Wartościa oczekiwana wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuja skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (4) 1.5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwana, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartościa oczekiwana zmiennej losowej X nazywamy liczb e Z EX := XdP: (5) De nicja (5) jest uogólnieniem de nicji (3). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (4) przy za o zeniu, ze wszystkie wspó rz edne maja wartość oczekiwana. Twierdzenie 1. Niech X i Y b ed a zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (6) 1.6 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b edzie zmienna losowa. Jeśli E (X EX) 2 < 1, to te liczb e nazywamy wariancja zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E (X EX) 2 : (7) Wariancj e mo zna inaczej zapisać nast epujaco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (8) Ze wzorów (7) i (3) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończona ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X P (X = x i )(x i EX) 2 : (9) i2i W asności wariancji. Jeśli X jest zmienna losowa, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. 3
(b) Var(X) = 2 Var X ( 2 R). (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (10) 1.7 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzenia probabilistyczna, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (11) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie. Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa niezale zne i maja warto sć oczekiwana, to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n X i i zachodzi równo sć! ny ny E X i = EX i : (12) Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć Var! X i = Var X i : (13) 1.8 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancja ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (14) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) wynika, ze Cov(X; Y ) = E(XY ) EX EY: (15) Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystajac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast epujac a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (16) 4
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwiazane sa zale znościa liniowa, tzn. istnieja takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (17) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb e Corr(X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (18) Z nierówności (16) wynika, ze jcorr(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi edzy zmiennymi X i Y. Z Twierdzenia 2 i z równości (15) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y sa niezale zne i maja wartość oczekiwana, to sa nieskorelowane. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuja skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane sa skończone ciagi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ciag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (19) Wówczas, korzystajac z wzoru (3) na wartość oczekiwana, mo zemy zapisać wzór (14) w postaci Cov(X; Y ) = p i (x i EX) (y i EY ) : (20) 1.9 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (13)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e, to istnieje te z wariancja sumy P n X i i zachodzi równo sć Var! X i = Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (21) Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e i sa parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (13). 1.10 Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuanta zmiennej losowej X :! R nazywamy funkcje F : R! [0; 1] określona F (t) := P (X t): (22) 5
Twierdzenie 5. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nast epujace w asno sci: (a) F jest niemalejaca. (b) F jest prawostronnie ciag a. (c) lim t! 1 F (t) = 0, lim t!+1 F (t) = 1. Twierdzenie 6. Je zeli funkcja F : R! [0; 1] spe nia warunki (a) (c) Twierdzenia 5, to jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej; jej rozk ad jest wyznaczony jednoznacznie. Twierdzenie 7. Je zeli F jest dystrybuanta zmiennej losowej X, to dla ka zdego t 2 R, P (X < t) = F (t ) := lim s!t F (s): (23) Niech X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n b edzie zmienna n-wymiarowa (wektorem losowym). Rozk ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zde niowany ogólnie (2). Rozk ad ten nazywamy rozk adem acznym wektora losowego X. Gdy znamy rozk ad aczny, to znamy tak ze rozk ad ka zdej wspó rz ednej: P (X j 2 B) = P (X 1 2 R; :::; X j 1 2 R; X j 2 B; X j+1 2 R; :::; X n 2 R): (24) Rozk ady (24) nazywamy rozk adami brzegowymi wektora losowego X. Dystrybuanta wektora losowego X nazywamy funkcje F : R n! [0; 1] określona F (t 1 ; :::; t n ) := P (X 1 t 1 ; :::; X n t n ): (25) Dystrybuantami brzegowymi F 1 ; :::; F n nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X 1 ; :::; X n. 1.11 Zmienne losowe zwiazane z ryzykiem kredytowym Ryzyko kredytowe b edziemy rozpatrywać jako ryzyko niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc e (osob e lub instytucj e). Dla banku udzielajacego wielu kredytów istotna jest tak ze ocena ryzyka jednoczesnego wystapienia wielu przypadków niewyp acalności klientów oraz badanie zale zności mi edzy tymi zdarzeniami losowymi. 1.11.1 Przypadek pojedynczego kredytobiorcy Podstawowa zmienna losowa, która tutaj rozwa zamy, jest strata, oznaczana przez L (od ang. loss). Jest ona dana L := EAD SEV Y; (26) gdzie EAD (exposure at default) maksymalna wartość, jaka mo ze być utracona w przypadku niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc e. Jest to wartość ustalona, a wiec nie jest zmienna losowa. 6
SEV (severity) zmienna losowa o wartościach w przedziale [0; 1]; podaje ona, jaki procent wartości EAD jest faktycznie tracony przy zajściu zdarzenia niedotrzymania warunków; Y zmienna losowa o wartościach w zbiorze f0; 1g; przyjmuje wartość 0, gdy kredytobiorca dotrzyma warunków, a 1 w przeciwnym przypadku. Zmienna Y nazywamy wskaźnikiem niedotrzymania warunków. Ponadto de niujemy: LGD (loss given default) strata (jako procent wartości EAD) w przypadku niedotrzymania warunków. Jest to parametr modelu, który zwykle wyznacza sie z wzoru LGD = E(SEV ): (27) P D (probability of default) prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków. Wówczas wartość oczekiwana wskaźnika niedotrzymania warunków wyra za sie EY = 1 P D + 0 (1 P D) = P D: (28) Za ó zmy, ze bank udzieli kredytu w wysokości K jednostek pieni edzy na okres 1 roku, a stopa oprocentowania tego kredytu wynosi R. W przypadku dotrzymania warunków umowy bank otrzyma po roku kwot e EAD = K(1 + R): (29) Jest to jednocześnie maksymalna kwota, jaka bank mo ze stracić w przypadku niedotrzymania warunków. W praktyce w wi ekszości przypadków bankowi udaje si e odzyskać cz eść tej kwoty. Wysokość tej odzyskanej kwoty przyjmujemy jako EAD(1 LGD). Wartość oczekiwana kwoty uzyskanej przez bank po roku wynosi zatem K(1 + R)(1 P D) + K(1 + R)(1 LGD)P D = K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D]: (30) Przyjmuje si e, ze wartość ta powinna być równa kwocie kredytu wolnej od ryzyka, tj. obliczonej dla tzw. stopy procentowej wolnej od ryzyka (risk-free rate), oznaczanej R f : K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D] = K(1 + R f ): (31) Z równości (31) mo zna otrzymać dwa inne wzory: 1) Wzór na implikowane prawdopodobieństwo niedotrzymania (implied default probability) jest to prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków umowy wynikajace z przyj etego modelu: P D = 1 1+R f 1+R LGD : (32) 2) Wzór na spread kredytowy (credit spread), czyli ró znice miedzy stopa procentowa uwzgledniajac a ryzyko a stopa wolna od ryzyka: LGD P D R R f = (1 + R f ) 1 LGD P D : (33) 7
Oczekiwana strata (expected loss) nazywamy wartość oczekiwana straty (26). Zak adaj ac niezale zność zmiennych losowych SEV i Y, otrzymujemy na mocy Twierdzenia 2 oraz (27) i (28) EL = E(EAD SEV Y ) = EAD E(SEV ) E(Y ) = EAD LGD P D: (34) Nieoczekiwana strata (unexpected loss) nazywamy odchylenie standardowe straty (26) L = p Var L = p Var(EAD SEV Y ) = EAD p Var(SEV Y ): (35) Twierdzenie 8. Je zeli zmienne losowe SEV i Y sa niezale zne, to L = EAD p Var(SEV )P D + LGD 2 P D(1 P D): (36) 1.11.2 Portfel wielu kredytów B edziemy teraz rozwa zać ryzyko portfela P z o zonego z m kredytów. Podstawowa zmienna ryzyka w tym przypadku jest strata z portfela L P określona mx mx L P := L i = EAD i SEV i Y i ; (37) gdzie wszystkie zmienne z dolnym indeksem i dotycza i-tego kredytu. Oczekiwana strata z portfela P jest równa, zgodnie z (34), mx mx E(L P ) = E(L i ) = EAD i LGD i P D i ; (38) przy za o zeniu, ze dla ka zdego i zmienne losowe SEV i i Y i sa niezale zne. Nieoczekiwana strata z portfela P nazywamy odchylenie standardowe (L P ) straty z portfela. Twierdzenie 9. v u mx (L P ) = t EAD i EAD j Cov (SEV i Y i ; SEV j Y j ): (39) i;j=1 Twierdzenie 10. Za ó zmy, ze poziom straty w przypadku niedotrzymania warunków jest sta y i jest taki sam dla wszystkich sk adników portfela: SEV i LGD i = LGD; 8i 2 f1; :::; mg: (40) Wówczas v u mx (L P ) = t EAD i EAD j LGD 2 ij qp D i (1 P D i )P D j (1 P D j ); gdzie i;j=1 (41) ij := (SEV i Y i ; SEV j Y j ) = (Y i ; Y j ): (42) 8
1.12 Warunkowa wartość oczekiwana Niech (; F; P ) b edzie przestrzenia probabilistyczna. Dla dowolnego A 2 F takiego, ze P (A) > 0, zde niujmy funkcje P A : F! R P A (B) := P (Bj A) = P (B \ A) : (43) P (A) Mo zna atwo wykazać, ze P A jest rozk adem prawdopodobieństwa na, tzn. spe nia aksjomaty (A1) (A3) de nicji prawdopodobieństwa. Dla dowolnej zmiennej losowej X :! R posiadajacej wartość oczekiwana de niujemy jej warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem zajścia zdarzenia A nastepujaco: Z E (Xj A) := XdP A : (44) Wzór podany w poni zszym twierdzeniu oznacza, ze E (Xj A) jest średnia wartościa zmiennej losowej X na zbiorze A. Twierdzenie 11. Je zeli P (A) > 0 i X jest zmienna o skończonej warto sci oczekiwanej, to E (Xj A) = 1 Z XdP: (45) P (A) A Zde niujemy teraz warunkowa wartość oczekiwana wzgl edem -cia a generowanego przez co najwy zej przeliczalna liczb e zdarzeń. Do tego potrzebne nam b edzie nastepujace oznaczenie: dla dowolnego zdarzenia A 2 F, symbol 1 A oznacza zmienna określona nastepujaco: 1 A (!) := 1 dla! 2 A; 0 dla! 2 na: (46) Niech = S i2i A i, gdzie I jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, zaś zdarzenia A i o dodatnim prawdopodobieństwie stanowia rozbicie przestrzeni. Niech G = (A i ; i 2 I) b edzie najmniejszym -cia em zawierajacym zbiory A i. Dla dowolnej zmiennej losowej X :! R posiadajacej wartość oczekiwana de niujemy jej warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem -cia a G jako zmienna E (Xj G) :! R zde niowana E (Xj G) (!) := X E (Xj A i ) 1 Ai (!);! 2 : (47) i2i Twierdzenie 12. Warunkowa warto sć oczekiwana E (Xj G) posiada nast epujace w asno sci: (a) E (Xj G) jest mierzalna wzgl edem -cia a G. (b) Je zeli B 2 G, to Z Z XdP = E (Xj G) dp: (48) B B 9
Powy zsze twierdzenie umo zliwia uogólnienie de nicji warunkowej wartości oczekiwanej na przypadek dowolnego -cia a G. Warunkowa wartościa oczekiwana zmiennej losowej X pod warunkiem -cia a G nazywamy dowolna zmienna E (Xj G) spe niajac a warunki (a) i (b) Twierdzenia 12. Twierdzenie 13. Niech G b edzie dowolnym -cia em zawartym w F i niech X :! R b edzie zmienna posiadajac a warto sć oczekiwana. Wówczas: (a) Istnieje warunkowa warto sć oczekiwana dla X pod warunkiem G i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dok adno scia do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero: je zeli Y 1 i Y 2 sa takimi warto sciami oczekiwanymi dla X, to P (Y 1 6= Y 2 ) = 0. (b) Zachodzi równo sć EX = E(E (Xj G)): (49) Je zeli X :! R jest zmienna posiadajac a wartość oczekiwana, a Y :! R n dowolnym wektorem losowym, to mo zemy zde niować warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X przy warunku zmiennej losowej Y : E (Xj Y ) := E (Xj (Y )) ; (50) gdzie (Y ) oznacza najmniejsze -cia o, przy którym zmienna losowa Y jest mierzalna. Wówczas z wzoru (49) otrzymujemy EX = E(E (Xj Y )): (51) Dla dowolnego zdarzenia B 2 F i dowolnego -cia a G F, prawdopodobieństwem warunkowym B wzgl edem G nazywamy zmienna P (Bj G) określona P (Bj G) := E (1 B j G) : (52) Analogicznie do (50), określamy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B wzgl edem zmiennej losowej Y : P (Bj Y ) := P (Bj (Y )) = E (1 B j (Y )) : (53) Funkcje h : R n! R m nazywamy borelowska, je zeli h 1 (B) 2 B(R n ) dla ka zdego B 2 B(R m ). Twierdzenie 14. Je zeli X :! R jest zmienna posiadajac a warto sć oczekiwana, a Y :! R n dowolnym wektorem losowym, to istnieje funkcja borelowska h : R n! R taka, ze E (Xj Y ) = h(y ): (54) 10