Mechanika ogóna Wykład nr 1 Pręty o osi zakrzywionej. Łuki. 1 Łuki, skepienia Łuk: : pręt o osi zakrzywionej (w stanie nieodkształconym) w płaszczyźnie działania sił i podparty na końcach w taki sposó, że podpory nie mogą się wzgędem sieie przemieszczać. Skepienie: : łuk, którego szerokość w stosunku do rozpiętości jest znaczna.
Zaety łuków (1) Jeżei podpory nie mogą się wzgędem sieie poruszać, to przy ociążeniu wyłącznie pionowym, w łuku występuje znaczna redukcja momentów zginających. Poziome siły na podporach nazywane są rozporem łuku. 3 Zaety łuków () W przeciwieństwie do eek i ram, które wykonuje się z materiałów sprężystych, przy zapewnieniu nieprzesuwności podpór wzgędem sieie, łuki nawet o dużej rozpiętości mogą yć wykonywane z materiałów kruchych (np. mur cegany u kamienny, eton niezrojony). 4
Geometria łuku (1) Wezgłowia punkty podparcia łuku; Kucz (zwornik) najwyższy punkt łuku; f Strzałka łuku: f Rozpiętość łuku: Wyniosłość - stosunek strzałki łuku do rozpiętości: 1 1 f 1 wezgłowia kucz 5 Geometria łuku () Podział ze wzgędu na wymiary łuku: Strzeiste (wyniosłe, podwyższone); Płaskie (oniżone); Wspięte (podpory na różnych poziomach). Podział ze wzgędu na wymiary przekroju: O stałym u zmiennym przekroju. Kształt osi łuku: Kołowe, paraoiczne, sinusoidane, eiptyczne. 6
Kształt osi łuku (1) Łuki paraoiczne: Równanie łuku: 4 f f y 4 f y Pochodna: dy 4 4 tg = f f d Funkcje trygonometryczne: 1 cos = 1 tg y tg sin = 1 tg ' 7 Kształt osi łuku () Łuki kołowe: Równanie łuku: y f r r dy Pochodna: tg = d r Funkcje y trygonometryczne: 1 cos = 1 tg tg sin = 1 tg / O r / f 8
Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych (1) eki zakrzywione (stosowane np. jako układy podstawowe przy rozwiązywaniu metodą sił): eka swoodnie podparta: eka wspornikowa: 9 Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych () Łuki statycznie wyznaczane: Łuk trójprzeguowy:
Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych () Łuk ze ściągiem siła rozporu przejmowana jest przez prostoiniowy rozciągany pręt: W ceu zapewnienia odpowiedniej przestrzeni pod łukiem wykonuje się także łuki o ściągach w kształcie inii łamanej. 11 Schematy statyczne konstrukcji prętowych zakrzywionych (3) Łuki statycznie niewyznaczane: Łuk z jednym przeguem: Łuk ezprzeguowy: Łuk dwuprzeguowy: Łuk ze ściągiem: 1
Rozwiązywanie łuków Wyznaczanie reakcji: Z równań równowagi z ewentuanym wykorzystaniem przeguów. Siły wewnętrzne: Na podstawie sił wewnętrznych ekowych z następujących wzorów: N sin N T N N cos T sin N N N cos T cos T T sin T T T cos N sin 13 Warunki różniczkowe (1) Warunki równowagi zapisywane w odniesieniu do zmiennej s odmierzanej wzdłuż osi łuku: qn s qs s d O s 3 sin 6 cos 1 sin d d cos d 1 M dm q n s ds N dn qs s ds T M T dt N d O 14
Warunki różniczkowe () d d S N N dncos d qs s dssin T dtsin d qn s dscos 0 dn d T qn s ds ds d d N T T dtcos d qss dscos N dnsin d qn s dssin 0 dt d N qs s ds ds N dnsin d ds cos d N dncos d ds sin d M M M dm T dt cos d dscos d T dt sin d dssin d d ds d d ds d qss dssin sin qss dscos cos d ds d d ds d qnsdssin sin qnsdscos cos 0 dm T s ds 15 Warunki różniczkowe (3) ds d dn 1 T q s n ds dt 1 N qs s ds dm T s ds Ekstremum momentu zginającego występuje w punkcie, w którym równanie siły tnącej ma miejsce zerowe. 16
Przykład 1 Wyznaczyć siły wewnętrzne w trójprzeguowym łuku paraoicznym: 4/m f=3m 5m 3m m =m f 3 17 Przykład 1 reakcje podporowe 4/m C H H f=3m V 5m 3m m =m X H H 4 3m0 m Y V V 0 V 3m M Vm8m4 3m 0 m p M V 5mH 3m3m0 C H V V H 5,667 0, 9,8 6,333 18
Przykład 1 geometria łuku 4/m ( deg V 50.19 37.65 5.1 1.55 0 1.55 5.1 37.65 H C H 5m 3m m =m 50.19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 5 f=3m V tg_fi( cos_fi( sin_fi( 4f ( 1 1 tg_fi ( ) tg_fi( 1 tg_fi( ( atan( tg_fi( ) 3 6 y 5m 5 19 Przykład 1 przekrój 1 4/m H 1 C H 3 f=3m 0;5m N N cos T sin V 5m 3m m =m V T T cos N sin N 1 ( H cos_fi( 4 m y( cos_fi( V sin_fi( N 1 ( 0m) 3.474 N 1 ( 5m) 6.333 T 1 ( V cos_fi( H sin_fi( 4 m y( sin_fi( M 1 ( V H y( T 1 ( 0m) 4.48 4 m y( y( M 1 ( 0m) 0 m T 1 ( 5m) 0. M 1 ( 5m) 1 3 m 0
Przykład 1 przekrój 4/m H 1 C H 3 f=3m 5 m;8m N N cos T sin V 5m 3m m =m V T T cos N sin N ( H cos_fi( 4 m fcos_fi( V sin_fi( N ( 5m) 6.333 N ( 8m) 5.03 T ( V cos_fi( H sin_fi( 4 m f sin_fi( M ( V H y( T ( 5m) 0. 4 m f y( f M ( 5m) 1 3 m T ( 8m) 3.863 M ( 8m) 7.441 m 1 Przykład 1 przekrój 4/m H 1 C H 3 f=3m 8 m;m N N cos T sin V 5m 3m m =m V T T cos N sin N 3 ( H cos_fi( 4 m f cos_fi( V sin_fi( sin_fi ( ) N 3 ( 8m).866 N 3 ( m) 11.583 T 3 ( V cos_fi( cos_fi( H sin_fi( 4 m f sin_fi( T 3 ( 8m) 4.53 T 3 ( m) 1.409 M 3 ( V H y( 4 m f y( f ( 8m) M 3 ( 8m) 7.441m M 3 ( m) 0m
Przykład 1 zestawienie wyników [m] y [m] tg_fi( cos_fi( sin_fi( ( [rad] ( [deg] N( [] T( [] M( [m] 0 0.000 1.00 0.640 0.768 0.876 50.194 3.474 4.48 0.000 0.5 0.570 1.080 0.679 0.734 0.84 47.03.154.61.680 1 1.080 0.960 0.71 0.693 0.765 43.831 0.833 1.077 3.988 1.5 1.530 0.840 0.766 0.643 0.699 40.030-0.476-0.138 4.89 1.90 0.70 0.81 0.584 0.64 35.754-1.750-1.014 3.908.5.50 0.600 0.857 0.514 0.540 30.964 -.961-1.543 3.16 3.50 0.480 0.90 0.433 0.448 5.641-4.065-1.79.180 3.5.730 0.360 0.941 0.339 0.346 19.799-5.0-1.591 1.65 4.880 0.40 0.97 0.33 0.36 13.496-5.738-1.171 0.53 4.5.970 0. 0.993 0.119 0.119 6.843-6.193-0.54 0.089 5 3.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000-6.333 0.00 0.001 5.5.970-0. 0.993-0.119-0.119-6.843-6.64 0.953 0.91 6.880-0.40 0.97-0.33-0.36-13.496-6.111 1.67 0.961 6.5.730-0.360 0.941-0.339-0.346-19.799-5.891.333.011 7.50-0.480 0.90-0.433-0.448-5.641-5.63.91 3.441 7.5.50-0.600 0.857-0.514-0.540-30.964-5.38 3.430 5.51 8-L 1.90-0.70 0.81-0.584-0.64-35.754-5.03 3.863 7.441 8-P 1.90-0.70 0.81-0.584-0.64-35.754 -.866-4.53 7.441 8.5 1.530-0.840 0.766-0.643-0.699-40.030-11.15-3.431 5.011 9 1.080-0.960 0.71-0.693-0.765-43.831-11.355 -.684.960 9.5 0.570-1.080 0.679-0.734-0.84-47.03-11.494 -.011 1.90 0.000-1.00 0.640-0.768-0.876-50.194-11.583-1.409 0.000 3 Przykład 1 siły normane 5 5 5 8 3.474 + N( 0 1 3 4 5 6 7 8 9 - - 5 5.03 5 6.333 N( 11.583 15 15 4
Przykład 1 siły tnące, miejsca zerowe 6 4 5 8 + + 4.48 3.863 T ( ) T ( ) 0 1 3 4 5 6 7 8 9 1.730 - - 6 4 4 4.53 4 6 6 dm1 3 T1 0.115 1,73 7,1 7 0 3 d m m m 1 1, 435m 4,868m 5 Przykład 1 momenty zginające, ekstrema 5 8 0.01 + + M ( ) M ( ) 4 4 4.95 6 6 7.4 8 0 4 6 8 8 M1 1 4, 95m M1 0,01m 6
Przykład Wyznaczyć siły wewnętrzne w trójprzeguowym łuku kołowym ze ściągiem: /m 15m 0,5m f=m f 5,5m 1m 1,5m =5m 7 Przykład reakcje podporowe /m C 15m f=m 0,5m V H,5m 1m 1,5m =5m R X H 0 Y VR,5m0 m,5m M R5m15m,5m 0 m H V R 0 0,75 4, 5 8
Przykład Równanie łuku r f r f r 8 f 5m m 5m 1 m 8 m 16 r,565m y C y D C y r r D C =3,5m E /=,5m /=,5m =5m D r-f E f=m r y f r r C 1, 797 y y m C y y D y y E 0 0 D E 0,168m 4,83m 9 Przykład siła w ściągu /m C 15m 0,5m V D H H H,5m 1m 1,5m =5m E f=m R H D H E X H H 0 D E H H H p M 15mR 1,5mH y 0,5m 0 C C D E H 6,651 30
Przykład geometria łuku /m 0,5m m ( deg V 77.3 57.99 38.66 19.33 19.33 38.66 57.99 D 0 H H =5m H,5m 1m 1,5m 15m 77.3 0 1 3 4 5.5 E f=m R tg_fi( cos_fi( sin_fi( r 1 1 tg_fi( tg_fi( 1 tg_fi( ( atan( tg_fi( ) 31 Przykład przekrój 1 /m 0,5m V D 1 3 15m 4 f=m H H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m R N N cos T sin T T cos N sin 0;0,168m N 1 ( H cos_fi( V sin_fi( m sin_fi( T 1 ( V cos_fi( m cos_fi( N 1 ( 0m) 0.73 H sin_fi( 0.376 N 1 D M 1 ( V H y( m T 1 ( 0m) 0.165 M 1 ( 0m) 0m T 1 D 0.17 0.098m M 1 D 3
Przykład przekrój /m 0,5m V D 1 H 3 15m 4 H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m f=m R 0,168 m;,5m N N cos T sin T T cos N sin N ( H cos_fi( V sin_fi( T ( V cos_fi( m cos_fi( m sin_fi( H D cos_fi( N D.381 N (.5m) 6.651 H sin_fi( H D sin_fi( M ( V H y( T D 6.4 T.5m M D m 0.098 m H D ( y( 0.5m) ( ) 4.5 M (.5m) 5.601m 33 Przykład przekrój 3 /m 0,5m V D 1 3 15m 4 f=m H H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m R N N cos T sin T T cos N sin,5 m;3,5m N 3 ( H cos_fi( V sin_fi( T 3 ( V cos_fi( m.5m cos_fi( m.5msin_fi( H D cos_fi( N 3 (.5m) 6.651 N 3 ( 3.5m) 4.465 H sin_fi( H D sin_fi( M 3 ( V H y( T 3 (.5m) 4.5 T 3 ( 3.5m) 6.509 m.5m.5m H D ( y( 0.5 m) M 3 (.5m) 5.601m M 3 ( 3.5m) 1.715 4 m 34
Przykład przekrój 4 /m 0,5m V D 1 H 3 15m 4 H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m f=m R 3,5 m; 4,83m N N cos T sin T T cos N sin N 4 ( H cos_fi( V sin_fi( m.5m sin_fi( H D cos_fi( N 4 ( 3.5m) 4.465 1.11 N 4 E T 4 ( V cos_fi( m.5m cos_fi( H sin_fi( H D sin_fi( M 4 ( V H y( T 4 ( 3.5m) 6.509 m.5m.5m M 4 ( 3.5m) 15 m 7.815 T 4 E H D ( y( 0.5 m) M 4 E 15 m 0.715m 35 Przykład przekrój 5 /m 0,5m V D 1 3 15m 4 f=m H H E 5 H,5m 1m 1,5m =5m R N N cos T sin T T cos N sin 4,83 m;5m N 5 ( H cos_fi( V sin_fi( m.5m sin_fi( H D cos_fi( H E cos_fi( 3.867 N 5 E N 5 ( 5m) 4.146 T 5 ( V cos_fi( m.5m cos_fi( H sin_fi( H D sin_fi( H E sin_fi( M 5 ( V H y( 1.76 T 5 E m.5m.5m M 5 E H D ( y( 0.5 m) 0.715m T 5 ( 5m) 0.933 15 m M 5 ( 5m) 0m H E ( y( 0.5 m) 36
Przykład zestawienie wyników [m] y [m] tg_fi( cos_fi( sin_fi( ( [rad] ( [deg] N( [] T( [] M( [m] 0 0.000 4.444 0.0 0.976 1.349 77.30-0.73 0.165 0.000 0.168-L 0.500.196 0.415 0.9 1.143 65.51-0.376 0.17 0.098 0.168-P 0.500.196 0.415 0.9 1.143 65.51.381 6.4 0.098 0.5 0.664 1.835 0.479 0.878 1.07 61.408.963 5.960 1.15 0.5 1.040 1.48 0.65 0.780 0.895 51.305 4.353 5.035 3.713 0.75 1.309 0.935 0.730 0.683 0.75 43.073 5.371 3.994 5.383 1 1.515 0.7 0.811 0.585 0.65 35.89 6.14.880 6.501 1.5 1.674 0.559 0.873 0.488 0.5 9.196 6.660 1.717 7.186 1.5 1.797 0.44 0.91 0.390 0.401.970 7.00 0.54 7.500 1.75 1.888 0.306 0.956 0.93 0.97 17.019 7.165-0.683 7.480 1.951 0.199 0.981 0.195 0.196 11.5 7.157-1.890 7.149.5 1.988 0.098 0.995 0.098 0.098 5.599 6.985-3.083 6.50.5.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 6.651-4.50 5.601.75 1.988-0.098 0.995-0.098-0.098-5.599 6.05-4.879 4.458 3 1.951-0.199 0.981-0.195-0.196-11.5 5.694-5.466 3.149 3.5 1.888-0.306 0.956-0.93-0.97-17.019 5.116-6.011 1.668 3.5-L 1.797-0.44 0.91-0.390-0.401 -.970 4.465-6.509 0.000 3.5-P 1.797-0.44 0.91-0.390-0.401 -.970 4.465-6.509 15.000 3.75 1.674-0.559 0.873-0.488-0.5-9.196 3.733-6.954 13.14 4 1.515-0.7 0.811-0.585-0.65-35.89.905-7.339 11.001 4.5 1.309-0.935 0.730-0.683-0.75-43.073 1.956-7.647 8.571 4.5 1.040-1.48 0.65-0.780-0.895-51.305 0.841-7.848 5.713 4.75 0.664-1.835 0.479-0.878-1.07-61.408-0.549-7.874.15 4.83-L 0.500 -.196 0.415-0.9-1.143-65.51-1.1-7.815 0.715 4.83-P 0.500 -.196 0.415-0.9-1.143-65.51-3.867-1.76 0.715 5 0.000-4.444 0.0-0.976-1.349-77.30-4.146-0.933 0.000 37 Przykład siły normane.5 N( 5 - + 7.18 5.381 0 0.73 1 3 4 5 - N( 4.146 5 5 38
Przykład siły tnące, miejsce zerowe.5 5 6.18 5 T( + 0 1 3 4 5 5 4.50 5 7.893 - T( 0 T 1 1, 609m 39 Przykład momenty zginające, ekstremum 0.098.5 0.715 + M( 5 5 7.531 + M( 15 15 15 0 1 3 4 5 M 1 7,531m 40
f Racjonana oś łuku (1) Oś łuku, która umożiwia uzyskanie minimanych wymiarów przekroju poprzecznego pręta łuku przy zadanym ociążeniu nazywana jest racjonaną osią łuku. Warunek jest spełniony w przypadku osiowego stanu ociążenia, tj. M=0 we wszystkich punktach łuku. 41 Racjonana oś łuku () Osią racjonaną łuku trójprzeguowego ociążonego równomiernie na całej długości w pionie jest paraoa drugiego stopnia. H V q H V V H V q H f V q 0 1 q q q f 4 8f q q q M Vq Hy y 0 8f q y0 4f 0 y y 4 f 4 f 4
Racjonana oś łuku (3) Osią racjonaną łuku ociążonego równomiernie na całej długości w kierunku prostopadłym do osi łuku jest koło. q f H H V V 43