Fale cz. 1 dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Plan wykładu Spis treści 1. Procesy falowe 1.1. Klasyfikacja fal.............................................. 1.. Równanie fali............................................... 4. Energia i fala 5.1. Przenoszenie energii........................................... 5.. Np. tsunami................................................ 6.3. Równanie falowe............................................. 8 3. Interferencja 8 3.1. Zasada superpozycji........................................... 8 3.. Fala stojąca................................................ 10 3.3. Przykłady fal stojących......................................... 1 4. Dodawanie fal o różnych częstotliwościach 14 4.1. Dudnienia................................................. 14 4.. Prędkość grupowa............................................ 14
1. Procesy falowe 1.1. Klasyfikacja fal Co nazywa się fala? Fala to zaburzenie lub zespół zaburzeń rozchodzących się w ośrodku lub przestrzeni ze skończoną prędkością i niosące ze sobą energię. Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii, a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii. Ze względu na fizyczną naturę zachodzących zjawisk rozróżnia się: Fale mechaniczne powstają w ośrodkach sprężystych. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni lub ośrodku materialnym, wywołane są zmianami rozkładu przestrzennego ładunków elektrycznych. Fale materii lub fale de Broglie a. Falę stanowi rozchodzące się w ośrodku zaburzenie, zmiany jakiejś wielkości (powtarzające się wielokrotnie i cyklicznie zmieniające swoje wychylenie). Rodzaje fal Podział fal 1. ze względu czoło fali płaskie, walcowe, kuliste (kołowe), mieszane,. ze względu na kierunek drgań fale podłużne, fale poprzeczne. Fale podłużne związane są z odkształceniem objętości ośrodka sprężystego mogą się rozchodzić w dowolnym ośrodku. Fale poprzeczne związane są z odkształceniem ścinania mogą powstawać i rozchodzić się w ośrodkach mających sprężystość postaci, tzn. w ciałach stałych. c Ireneusz Owczarek, 013
Fale mechaniczne Rozchodzenie się fal mechanicznych nie jest związane z przenoszeniem transportem substancji. Fala mechaniczna (sprężysta) to proces rozchodzenie się w ośrodku sprężystym zaburzenia stanu równowagi tego ośrodka, któremu towarzyszy przekazywanie energii pomiędzy różnymi punktami ośrodka. Poruszające się zaburzenie jest funkcją położenia i czasu ξ(x, y, z, t) = f (x, y, z, t). Jeżeli, np. t = 0, to ξ(x, t) = f (x, 0) przedstawia profil fali, to jednowymiarowa funkcja falowa fali poruszającej się z prędkością ~v ξ(x, t) = f (x vt). Równanie fali poruszającej się z prędkością ~v w dodatnim kierunku osi x ξ(x, t) = f (x vt). c Ireneusz Owczarek, 013 3
W układzie spoczywającym drgania w dowolnym punkcie, gdzie stoi obserwator są opóźnione o czas τ = x v potrzebny dla przemieszczenia fali. Wówczas równanie drgań cząstek leżących w odległości x ma postać ( f(x vt) = F x vt ) ( = F t x ). v v 1.. Równanie fali Fala płaska Najprostszym rodzajem fali jest fala harmoniczna biegnąca, rozchodząca się w ośrodku jednowymiarowym. Długość fali λ = v T. Liczba falowa Fale biegnące to fale przenoszące energię w przestrzeni. k = π λ = π T T λ = ω v. Równanie fali biegnącej przemieszczającej się w kierunku dodatnim osi x ξ(x, t) = f(x vt) = A sin k(x vt) = A sin(kx ωt) = ( x = A sin π λ t ) = T ( ) x = A sin ω v t. Prędkość fazowa Fali towarzyszą prędkości: 1. cząstek to prędkość chwilowa v ruchu cząsteczek (punktów) ośrodka sprężystego wokół ustalonych położeń równowagi,. fazowa (falowa) to prędkość v f z jaką przemieszcza się w ośrodku powierzchnia stałej fazy drgań cząsteczek ośrodka, c Ireneusz Owczarek, 013 4
3. grupowa to prędkość v g pakietu (grupy, paczki) fal, prędkość z jaką przenoszona jest przez falę sprężystą energia. Ponieważ faza zaburzenia ξ(x, t) jest stała ϕ = kx ωt = const. to prędkość przemieszczania się fazy, tzw. prędkość fazowa (czoła fali, fali) dϕ dt = k dx dt ω = 0 v f = dx dt. Prędkość propagacji fali v jest prędkością przemieszczania się fazy fali v = v f = ω k = λ T. Prędkość fazowa ma znak dodatni, gdy fala porusza się w kierunku dodatnim osi x, oraz znak ujemny, gdy porusz się w kierunku przeciwnym. W próżni (ośrodek niedyspersyjny) v f = const., tj. dv f dk = 0. Jeżeli prędkość fazowa fali zależny od jej długości dv f dk = dv f dλ 0, to występuje dyspersja prędkości fali, wówczas prędkość rozchodzenia się czoła fali, paczki fali (prędkość grupowa) jest inna niż prędkość fazowa. Prędkość fazowa światła (fali elektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni, w ośrodkach jest inna i często większa od prędkości światła w próżni.. Energia i fala.1. Przenoszenie energii Energia fali Ruch falowy związany jest z dwoma procesami: transportem energii przez ośrodek od cząsteczki do cząsteczki, z ruchem drgającym poszczególnych cząsteczek dokoła ich położenia równowagi. Nie jest natomiast związany z ruchem materii jako całości. W przypadku fali podłużnej energia kinetyczna E k = 1 ( dξ(x, y) ) ( dm 1 dξ(x, y) ). = dt ρdv dt Energia potencjalna jest przenoszona przez falę z taką samą szybkością E K = E p. Gęstość strumienia energii fali harmonicznej w = d(e ( k + E p) dξ(x, y) ) = ρ = dv dt = 1 ρω A. c Ireneusz Owczarek, 013 5
Ponieważ średnia gęstość energii ruchu falowego ɛ w = 1 T t+t t = 1 T ρa ( dξ(x, y) ) dt ρ = dt t+t = 1 T ρa ω T = t = 1 ρω A. ω sin (kx ωt)dt = Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal... Np. tsunami Czy fala przenosi energię? Tsunami (jap. tsunami fala portowa) fala oceaniczna, wywołana podwodnym trzęsieniem ziemi, wybuchem wulkanu bądź osuwiskiem ziemi. Tsunami 6 grudnia 004, największe od 40 lat trzęsienie ziemi wystąpiło na Oceanie Indyjskim (Tajlandia) pomiędzy płytami australijską i euroazjatycką. 7 lutego 010, trzęsienie ziemi w Chile. 11 marca 011 roku północno-wschodnią Japonię nawiedziło największe trzęsienie ziemi od 140 lat. Wstrząsy o sile prawie 9 w skali Richtera wywołały falę tsunami, którą osiągała wysokość nawet 10 metrów i zmiatała z powierzchni budynki oraz samochody. Prędkość i długość wędrującej fali ulegają zmianom w zależności od głębokości wody (okres fali jest stały). Ponieważ kierunek ruchu fali jest do brzegu prostopadły, to: c Ireneusz Owczarek, 013 6
gdy fala przechodzi na płytką wodę to: odległość między kolejnymi grzbietami fali (długość fali) zmniejsza się, fala zmienia kierunek ruchu, rośnie wysokość fali czyli amplituda fali. Korzystając z przybliżeń równania rozchodzenia się fali dla wody głębokiej prędkość fazowa wynosi: v = g k, i zależy od długości fali. Długie fale przemieszczają się szybciej. dla wody płytkiej prędkość fazowa wynosi: v = gd, nie zależy od jakichkolwiek parametrów fali zależy wyłącznie od głębokości d akwenu. Czym różnią się od zwykłych fal na wodzie? Fala tsunami na głębokiej wodzie mała amplituda, duża szybkość rozchodzenia się 800km/h. Fala tsunami na płytkiej wodzie mniejsza szybkość rozchodzenia się, ale duża amplituda (nawet do 30m). Podsumowanie Tsunami są falami płytkiej wody, a więc są zjawiskami objętościowymi, nie powierzchniowymi. Rodzaj fali Wysokość Długość Prędkość Tsunami na oceanie kilkadziesiąt cm > 100km > 700km/h Tsunami przy brzegu do 30m 30m kilkadziesiąt km/h Zwykła fala 3m 100m 4 8km/h c Ireneusz Owczarek, 013 7
.3. Równanie falowe Równanie różniczkowe fali Równanie fali biegnącej ξ = ξ(x vt) jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie falowe dla fali rozchodzącej się w kierunku osi x ξ x = 1 ξ v t. Rozwiązania różniczkowego równania ruchu falowego spełniają zasadę superpozycji, tzn., jeżeli ξ 1 = ξ 1(x ± vt) i ξ = ξ (x ± vt) są funkcjami falowymi spełniającymi równanie ruchu falowego to ich suma. ξ = ξ 1 + ξ też jest rozwiązaniem tego równania. Zasadę superpozycji można rozszerzyć na dowolną liczbę funkcji falowych. 3. Interferencja 3.1. Zasada superpozycji Interferencja fal Jeżeli ξ 1 = ξ 1(x vt), ξ = ξ (x vt), ξ n = ξ n(x vt) są funkcjami falowymi, to ich dowolna kombinacja liniowa też jest funkcją falową. ξ = ξ(x vt) = n ξ i(x vt), Zasada superpozycji (nakładania się) fal drganie każdego punktu jest sumą drgań pochodzących od każdej z fal. i=1 Fale spójne to fale o tej samej częstotliwości, długości, prędkości i stałej w czasie różnicy faz. Interferencja fal to superpozycja fal spójnych, w wyniku której powstawanie nowy, przestrzenny rozkład amplitudy fali (wzmocnienia i wygaszenia). Dla dwóch fal spójnych biegnących w dodatnim kierunku osi x zgodnie z zasadą superpozycji ξ 1(x, t) = a sin(ωt kx) i ξ (x, t) = a sin(ωt kx φ) ξ(x, t) = ξ 1(x, t) + ξ (x, t) = a sin(ωt kx) + a sin(ωt kx φ). c Ireneusz Owczarek, 013 8
Dla sumy dwóch kątów Wówczas sin α + sin β = sin 1 (α + β) cos 1 (α β). ξ(x, t) = a cos( φ ) sin(ωt kx φ }{{} ). amplituda Amplituda fali wypadkowej nie zależy od czasu. Dlatego cos( φ ) = 1 cos( φ ) = 0. φ = n π φ π = (n + 1). Efekt interferencji zależy od przesunięcia fazowego Interferencja całkowicie konstruktywna wzmocnienie (maksimum), gdy φ = n π Interferencja całkowicie destruktywna osłabienie (minimum), gdy φ = (n + 1) π gdzie n = 0, 1,,... c Ireneusz Owczarek, 013 9
3.. Fala stojaca Powstawanie fali stojacej Fala stojąca powstaje w wyniku interferencji dwóch fal spójnych biegnących w tym samym kierunku, ale mających przeciwne zwroty Zgodnie z zasadą superpozycji ξ 1(x, t) = a sin(ωt kx) i ξ (x, t) = a sin(ωt + kx). ξ(x, t) = ξ 1(x, t) + ξ (x, t) = a cos(kx) sin(ωt). }{{} amplituda a cos(kx) = a lub a cos(kx) = 0. Położenia węzłów strzałek x w = n + 1 x s = n λ λ Własności fali stojącej powstaje w wyniku interferencji dwóch identycznych fal biegnących w przeciwnych kierunkach, wypadkowy przepływ energii jest równy zeru (fale niosą energię w strony przeciwne), amplituda drgań pewnych punktów ośrodka jest cały czas maksymalna (tzw. strzałki), inne punkty nie drgają w ogóle (tzw. węzły), strzałki i węzły występują na przemian co λ 4 fali macierzystej, wszystkie punkty między sąsiednimi węzłami mają tę samą fazę drgań, przy przejściu przez węzeł faza zmienia się na przeciwną. c Ireneusz Owczarek, 013 10
Figury Chladniego Figury tworzone przez piasek lub opiłki korka, gromadzące się w węzłach fali stojącej na drgającej sprężystej płytce to figury Chladniego. Fale stojace słup powietrza Rura Kundta rezonator akustyczny w kształcie długiej rury z jednej strony zamkniętej, z umieszczonym źródłem drgań. c Ireneusz Owczarek, 013 11
3.3. Przykłady fal stojacych Fale stojace słup powietrza Przykład Znaleźć częstotliwości rezonansowe fali stojącej. Amplituda fali stojącej Ponieważ cos(kx) = 0 kx = n π π λ L = n π λ = L n. to f = v λ f = n v L. Częstotliwości rezonansowe f n = n v L f n = (n 1) v 4L f n = n v L. Jaką długość powinna mieć obustronnie otwarta piszczałka organowa, by jej ton podstawowy miał częstotliwość f 1 = 45Hz? L = v = 340m/s = 3, 8m. f 1 90/s c Ireneusz Owczarek, 013 1
Fala stojaca w strunie Fale wzbudzane w strunach mają ściśle określone częstotliwości, tzw. rezonansowe. Dopuszczalne są jedynie taki fale, które mieszczą się całkowicie na długości struny L λ n = L n gdzie n = 1,,... Częstotliwości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali f n = n v L gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie. Z reguły powstaje w układzie kilka fal: fala podstawowa o najniższej częstotliwości f 1 decydująca o częstotliwości dźwięku, wyższe harmoniczne o częstotliwościach będących wielokrotnością podstawowej. c Ireneusz Owczarek, 013 13
4. Dodawanie fal o różnych częstotliwościach 4.1. Dudnienia Dudnienie Dudnienie to okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań (lub fal) o zbliżonych częstotliwościach. W jednym kierunku podążają dwie fale, różniące się nieznacznie częstością (i liczbą falową): ξ 1(x, t) = a cos(ω 1t k 1x) i ξ (x, t) = a cos(ω t k x). Zgodnie z zasadą superpozycji w dowolnym punkcie x na drodze fal, wychylenie wypadkowe w chwili czasu t wynosi ξ w(x, t) = ξ 1(x, t) + ξ (x, t) = a cos(ω 1t k 1x) + a cos(ω t k x) = ( ) ( ) ω1t k 1x + ω t k x ω1t k 1x ω t + k x = a cos cos ( ) ( ) ω1 + ω k1 + k ω1 ω k1 k = a cos t x cos t x. Jeżeli wprowadzi się oznaczenia ω = ω1 ω oraz ω sr = ω1 + ω, i odpowiednio dla k1 k k1 + k k = oraz k sr =, wówczas równanie opisujące superpozycję dwóch fal biegnących ( ) ( ω ξ w(x, t) = a cos ω srt k srx cos t k ) x ( ω = a cos t k ) ( ) x cos ω srt k srx, }{{} A(x,t) gdzie A(x, t) jest obwiednią, czyli funkcją modulującą. 4.. Prędkość grupowa Maksimum funkcji A(x, t) występuje, gdy to jest przy ω t k x = 0, ω k = vgrupy. c Ireneusz Owczarek, 013 14
Jest to prędkość przemieszczania się grzbietu obwiedni czyli prędkość grupowa v g = dω dk = dx dt. Prędkość grupowa jest prędkością rozprzestrzeniania się energii. Jeżeli dla fal monochromatycznych ω jest zależne od k, (tj. ω = ω(k)), prędkość grupowa (uwzględniając, że λ = π ) określona jest w następujący sposób k v g = dω dk = d(v f k) dk ( ) dv dλ = v f + k dλ dk ( = v f + k π )( dv k dλ v g = v f λ dv dλ. = v f + k dv dk = ( ) dv dλ = v f + k dλ dk = v f + k d π λ dk ) ( = v f + k λ ) dv k dλ, ( ) dv = dλ Prędkość grupowa może być mniejsze jak i większe od prędkości fazowej v f w zależności od znaku dv. Zależność prędkości fazowej od długości fali nazywa się dyspersją. W ośrodkach dλ niedyspersyjnych, tj. gdy dv dλ = 0 prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej v g = v f. Literatura [1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 005. [] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 007. [3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984. [4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-fizyka. Podstawy fizyki. [5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/ kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. c Ireneusz Owczarek, 013 15