AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także unkcja. Dokłaając warunek cąłośc unkcj [ ] Q elmnujem ten przpaek. Jeżel to ne stneje unkcja bęąca rozwązanem problemu ale stneje unkcja spełnająca warunk zaana. Powó. W punkce ne stneje stczna ABC ająca sę rozwkłać ze wzlęu na ale aje sę rozwkłać ze wzlęu na. Intucja. Funkcja różnczkowalna w punkce zachowuje sę w otoczenu teo punktu poobne o swej lnowej aproksmacj. Twerzene o unkcj uwkłanej. Prost owó eja F. achunek różnczkow całkow. Jeżel to unkcja ma cąle pochone cząstkowe w otoczenu punktu. la każej ostateczne małej lczb ε > stneje taka lczba δ > że każej wartośc z przezału -δ δ opowaa okłane jeno rozwązane równana należące o przezału -ε ε. unkcja jest cąła w przezale -δ δ ma w nm cąłą pochoną wrażoną wzorem ' ze Przkła.. Wkorzstując wzór Talora znajź przblżene unkcj uwkłanej welomanem stopna trzeceo w otoczenu punktu. Funkcja uwkłana zaana jest równanem cos. W otoczenu punktu są spełnone założena tw. o unkcj uwkłanej węc równane cos określa w tm otoczenu unkcję prz czm. ' '' ''' r!!! 4 Kolejne pochone unkcj w punkce wlczam różnczkując równane cos[ ] [ ]
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl otrzmujem sn[ ][ ' ] '[ ] a stą la uwzlęnając że otrzmujem. óżnczkując równane otrzmujem ' cos[ ][ ' ] sn[ ][' '' ] '' a stą la uwzlęnając że ' otrzmujem ''. 8 óżnczkując równane otrzmujem 4 sn[ ][ ' ] cos[ ][ ' ][' '' ] sn[ ]['' ''' ] ''' ''' a stą la uwzlęnając że ' 7 7!!! 8 Ostateczne r4 '' 8 otrzmujem kstrema unkcj uwkłanch metoa rozwkłana oranczeń wjaśnć Przkła wprowazając Zbaać ekstrema unkcj uwkłanej określonej równanem. Zakłaam reularność unkcj tak ab wlczone ponżej pochone mał sens czl że są spełnone założena twerzena o unkcj uwkłanej. o le ma ekstremum w punkce z WK Otrzmalśm węc WK stnena ekstremum unkcj uwkłanej ozwązujem perwsz ukła ostajem punkt krtczne P WK la którch sprawzam ostatn warunek. Baane rozaju ekstremum może przebeać za pomocą baana znaku w otoczenu punktu krtczneo P lub baana znaku. Perwsz sposób jest neco kłopotlw. Nawet baane znaku orm kwaratowej wmaało specjalneo narzęza krterum Slvestera są też nne. óżnczkując ponowne otrzmam
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl w punktach krtcznch wec - tlko w punkce krtcznm P > ma w punkce mnmum lokalne właścwe kstrema warunkowe Np. otwart cąła Oznaczm { } nech czl nepust. ozpatrzm unkcję obcętą o kstremum unkcj obcętej o nazwać bęzem ekstremum warunkowm unkcj po warunkem De. Funkcja ma w punkce maksmum lokalne warunkowe właścwe S S < Jak znaleźć ekstremum warunkowe? wprowazene o meto arane a Zakłaając że równane określa unkcje uwkłaną problem sprowaza sę o szukana ekstremum unkcj jenej zmennej. Zakłaając reularność z WK stnena ekstremum otrzmujem ' a z warunku oblczam. Stą otrzmujem WK Można zauważć że równane perwsze WK jest wnkem ruowana parametru z następująceo ukłau równań ze
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl 4 ewe stron są pochonm cząstkowm unkcj WK jest węc Baane sprowaza sę o baana unkcj arane a z mnożnkem arane a. Metoę tę można uoólnć la unkcj welu zmennch. Metoa mnożnków arane a szukane ekstremum unkcj po warunkem { } Alortm Tworzm unkcję arane a Warunek koneczn P Warunek wstarczając. Traktując mnożnk jako parametr wznaczć w punktach krtcznch ruą różnczkę prz czm przrost spełnają równane Wznaczając jeen z przrostów np. jako unkcję rueo przrostu baam określoność. Przkła. Wznaczć ekstrema warunkowe unkcj prz warunku - Pokazać obe meto. W metoze arane a zwrócć szczeólną uwaę na koneczność krępowana przrostów w WW. metoa rozwkłana oranczeń - - Funkcja ma w punkce maksmum lokalne równe 4 węc unkcja ma w punkce maksmum lokalne warunkowe. Metoa arane'a
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl WK P } prz czm. Wobec teo WW lokalne warunkowe. < la wec ma w punkce maksmum Przkłaowe zaana z unkcj uwkłanch. Znaleźć ekstrema lokalne unkcj uwkłanej określonej równanem a -. b e - 4.. W ostateczne małm otoczenu punktu narsować wkres unkcj uwkłanej określonej równanem ln-ln. 5