BADANIA OPERACYJNE dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405
Przedsięwzięcie - zorganizowanie działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego celu, zawarte w skończonym przedziale czasowym z wyróżnionym początkiem i końcem. Realizowane przez skończoną liczbę osób, środków technicznych, energii,materiałów, środków finansowych i informacji. Zdarzenie oznacza osiągniecie stanu zaawansowania prac przy realizacji przedsięwzięcia, jest to moment rozpoczęcia bądź zakończenia jednej czynności lub większej liczby czynności. Zdarzenie przedstawiamy graficznie za pomocą kółek. Każdemu zdarzeniu przyporządkowany jest numer 1,2,3,,m Czynność jest dowolnie wyodrębniona częścią przedsięwzięcia charakteryzującą się czasem trwania i zużyciem środków. Obraz graficzny strzałka. Czynność jest charakteryzowana przez parę wskaźników i k (i<k), gdzie i numer zdarzenia, w którym dana czynność się zaczyna, k numer zdarzenia, w którym dana czynność się kończy. Czynność pozorna - szczególny typ czynności, dla których charakterystyczne jest to, że nie zużywają czasu (czas jej trwania jest równy zero) ani środków, a służą jedynie do przedstawienia zależności pomiędzy czynnościami. Graficzny obraz czynności pozornej przerywana strzałka. dr Adam SOJDA 2
Sieć czynności jest graficznym obrazem struktury przedsięwzięcia. Przedstawia ona tworzące to przedsięwzięcie czynności oraz powiązania pomiędzy nimi. Sieć składa się z dwóch rodzajów elementów: n n łuków oznaczających czynności węzłów zwanych zdarzeniami i oznaczającymi początek lub zakończenie jednej lub kilku czynności. Budowa sieci wymaga znajomości dla poszczególnych czynności: n n czasów ich trwania zbiorów czynności bezpośrednio je poprzedzających Prawidłowo skonstruowana sieć czynności: n łączy wszystkie węzły i łuki ( spójna ) n łuki nie tworzą obwodu zamkniętego ( acykliczna ) n n zawiera dokładnie jedno zdarzenie, w którym nie kończy się żadna czynność ( początek przedsięwzięcia ) oraz jedno zdarzenie, w którym nie rozpoczyna się żadna czynność (koniec przedsięwzięcia) dwa różne łuki nie mają tych samych zdarzeń początkowych i końcowych, w przeciwnym razie wprowadza się czynności pozorne. dr Adam SOJDA 3
Najkrótszy możliwy czas realizacji przedsięwzięcia, T* jest to najkrótszy czas, w którym możliwe jest ukończenie wszystkich czynności składających się na przedsięwzięcie. Najwcześniejszy możliwy moment zajścia zdarzenia. Dla danego zdarzenia k, najwcześniejszy moment jego zajścia ( t k ) jest to moment, w którym najwcześniej zostaną ukończone wchodzące do niego czynności. k i ( t t ) t = max + t 1 = 0 i ik Najpóźniejszy dopuszczalny moment zajścia zdarzenia. Dla danego zdarzenia i, najpóźniejszy dopuszczalny moment jego zajścia ( T i ) jest to moment, w którym najpóźniej mogą być rozpoczęte wszystkie wychodzące z niego czynności, by nie opóźnił się moment realizacji całego przedsięwzięcia (w stosunku do najkrótszego możliwego czasu). T i k ( T t ) = min = T k ik T m t m = T * T 1 = 0 dr Adam SOJDA 4
Zapas czasu dla zdarzenia, to L i = T i t i Luz czasowy czynności Dla każdej czynności możemy wyznaczyć rezerwy czasu wykonywania zwane zapasami czasu. Zapas całkowity, to rezerwa czasu, która może być wykorzystana dodatkowo na wykonanie danej czynności Z c = T k t i t ik ANALIZA SIECIOWA Charakterystyki: CPM ścieżki krytycznej ( Critical Path Method ) t najwcześniejszy moment zaistnienia zdarzenia T najpóźniejszy dopuszczalny termin zaistnienia zdarzenia L zapas czasu dla zdarzenia. i numer zdarzenia t i i T i L i dr Adam SOJDA 5
Pewne przedsięwzięcie można opisać za pomocą następujących czynności (tabela). Wyznaczyć najkrótszy możliwy czas realizacji całego przedsięwzięcia, wyznaczyć czynności, które determinują czas realizacji całego przedsięwzięcia budowy domu i przeprowadzki do niego. czynność Opis czynności Czynności poprzedzające A kupno działki 20 B ogrodzenie działki wstępne A 15 C wybór projektu 10 D wybór dewelopera C 15 E sadzenie drzew i krzewów B, D 30 F budowa docelowego ogrodzenia i alejek E 40 G wybór elementów wykończenia domu C 60 H budowa do stanu surowego B, D 120 I wykończenie domu G, H 90 J przeprowadzka F, I 14 Czas trwania [dni] dr Adam SOJDA 6
Przedstawienie przedsięwzięcia jako sieci czynności: C A D B G E H F I J 1 A C 2 3 D B 4 G E H 5 6 I F J 7 8 dr Adam SOJDA 7
Wyznaczenie ścieżki krytycznej: 20 2 20 20 0 1 0 0 0 10 15 15 4 35 35 0 5 65 205 140 30 40 120 7 245 245 0 14 8 259 259 0 3 10 20 10 60 6 155 155 0 90 dr Adam SOJDA 8
Analiza zapasów czasu dla poszczególnych czynności czynność i - k t ik T k t i Zc zapas czasu dla czynności A 1-2 20 20 0 0 B 2-4 15 35 20 0 C 1-3 10 20 0 10 D 3-4 15 35 10 10 E 4-5 30 205 35 140 F 5-7 40 245 65 140 G 3-6 60 155 10 85 H 4-6 120 155 35 0 I 6-7 90 245 155 0 J 7-8 14 259 245 0 Czynności, dla których zapas czasu jest równy zero nazywamy czynnościami krytycznymi. Tworzą on ścieżkę krytyczną i stanowi podstawę metody CPM dr Adam SOJDA 9
Metoda PERT Zakładamy, że każda z czynności może być opisana trzema czasami: a najbardziej optymistycznym m modalnym najczęściej pojawiającym się przy powtarzaniu tej czynności b najbardziej pesymistycznym Pomiędzy czasami zachodzi zależność: a m b Dla każdej czynności wyznaczane są dwie wartości: oczekiwany czas realizacji czynności t e oraz wariancja czas σ 2. Zgodnie ze wzorami: a + 4m + b t e = 6 2 σ i j = b a 6 2 Czas oczekiwany jest wykorzystywany do wyznaczenia ścieżki krytycznej (CPM) oraz oczekiwanego czasu wykonania T e dr Adam SOJDA 10
Jeśli pojawiające się ścieżki charakteryzują się tym, iż empiryczne czasy realizacji przedsięwzięcia nie zachodzą na siebie, wówczas można wyznaczyć za pomocą dystrybuanty rozkładu normalnego prawdopodobieństwo zakończenia przedsięwzięcia przed upływem założonego czasu dyrektywnego. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym oznaczającą czas ukończenia całego przedsięwzięcia. Φ(u) dystrybuanta rozkładu N(0,1) T e wartość oczekiwaną czasu realizacji całego przedsięwzięcia wyznaczoną na podstawie ścieżkikrytycznej, σ - odchylenie standardowe dla czasu realizacji całego przedsięwzięcia, wyznaczone jako pierwiastek z sumy wariancji czasów realizacji wszystkich czynności tworzących ścieżkę krytyczną. t d czas dyrektywny realizacji całego przedsięwzięcia. P d e d e ( X < t ) = P U < = Φ d t T σ Otrzymane wartości prawdopodobieństwa powinny znajdować się w przedziale od 0.25 do 0.60. Dla wartości poniżej 0.25 termin realizacji w czasie dyrektywnym jest małoprawdopodobny, dla wartości powyżej 0.60 istnieją niewykorzystane moce produkcyjne. t T σ dr Adam SOJDA 11
Dla analizowanego już zagadnienia: czynność i - k a m b t e σ 2 A 1-2 10 16 46 B 2-4 12 15 18 C 1-3 7 10 13 D 3-4 7 10 43 E 4-5 10 16 106 F 5-7 36 39 48 G 3-6 30 51 126 H 4-6 100 121 136 I 6-7 50 68 218 J 7-8 7 10 37 dr Adam SOJDA 12
Dla analizowanego już zagadnienia: czynność i - k a m b t e σ 2 A 1-2 10 16 46 20 36 B 2-4 12 15 18 15 1 C 1-3 7 10 13 10 1 D 3-4 7 10 43 15 36 E 4-5 10 16 106 30 256 F 5-7 36 39 48 40 4 G 3-6 30 51 126 60 256 H 4-6 100 121 136 120 36 I 6-7 70 88 118 90 64 J 7-8 7 10 37 14 25 Oczekiwany czas realizacji całego przedsięwzięcia: T e = 259 Wariancja czasu realizacji: 36+1+36+64+25 = 162 odchylenie standardowe σ = 12,73 dr Adam SOJDA 13
Wyznaczyć prawdopodobieństwo ukończenia przedsięwzięcia w czasie 240 dni. Dane: t d = 240 T e = 259 σ = 12,73 P ( X < t ) = Φ d = P U < t d T σ e t = Φ T σ ( 1,49) = 1 Φ( 1,49) = 1 0.9319 = 0. 0681 d e 240 259 = Φ 12,73 = Wyznaczyć czas dyrektywny, w którym prawdopodobieństwo ukończenia jest równe 0.95 Dane: T e = 259 σ = 12,73 Φ(u)=0.95 zatem u=1.65 td Te 0.95 = Φ( 1.65) = Φ σ td 259 1.65 = td = 280 12.73 td 259 = Φ 12,73 dr Adam SOJDA 14
Analiza kosztowo czasowa czynność i - k Czas normalny Czas przyspieszony Koszt normalny Koszt przyspieszony A 1-2 20 15 100 150 B 2-4 15 10 5 10 C 1-3 10 9 6 8 D 3-4 15 12 3 12 E 4-5 30 28 15 25 F 5-7 40 38 20 25 G 3-6 60 55 90 120 H 4-6 120 110 250 350 I 6-7 90 85 120 150 J 7-8 14 12 5 9 Gradient kosztów dr Adam SOJDA 15
Analiza kosztowo czasowa czynność i - k Czas normalny Czas przyspieszony Koszt normalny Koszt przyspieszony Gradient kosztów A 1-2 20 15 100 150 10 B 2-4 15 10 5 10 1 C 1-3 10 9 6 8 2 D 3-4 15 12 3 12 3 E 4-5 30 28 15 25 5 F 5-7 40 38 20 25 2,5 G 3-6 60 55 90 120 6 H 4-6 120 110 250 350 10 I 6-7 90 85 120 150 6 J 7-8 14 12 5 9 2 dr Adam SOJDA 16
Program liniowy minimalizacji kosztu przy zadanym czasie dyrektywnym Oznaczenia: x i najwcześniejszy moment zaistnienia zdarzenia y A, y B,, y J - czas przyspieszenia realizacji czynności A,B,, J FUNKCJA CELU: F(y A,, y J ) = 10y A +1y B +2y C +3y D +5y E +2.5y F +6y G +10y H +6y I +2y J à min Ograniczenia: Muszą być spełnione następujące warunki: i. moment zaistnienia zdarzenia i (x i ) musi być większy bądź równy od czasu wykonania czynności, których czas zakończenia określa to zdarzenie ii. czas rozpoczęcia dowolnej czynności jest równy momentowi zaistnienia zdarzenia, określającego rozpoczęcie tej czynności iii. czas realizacji jest równy czasowi normalnemu pomniejszonemu o czas przyspieszenia iv. czasy przyspieszenia są ograniczone dr Adam SOJDA 17
Spełnione muszą być warunki dla zdarzeń Moment zaistnienia zdarzenia Czas normalny realizacji czynności - Przyspieszenie czynności + Moment rozpoczęcia czynności Zdarzenie 1. x 1 = 0 Zdarzenie 2. X 2 20 y A +x 1 Zdarzenie 3. X 3 10 y C +x 1 Zdarzenie 4. X 4 15 y B +x 2 X 4 15 y D +x 3 Zdarzenie 5. X 5 30 y E +x 4 Zdarzenie 6. X 6 60 y G +x 3 X 6 120 y H +x 4 Zdarzenie 7. X 7 40 y F +x 5 x i 0 dla i =1,2,,8 X 7 90 y I +x 6 y j 0 dla j = A, B,, J Zdarzenie 8. X 8 14 y J +x 7 Czas zakończenia nie może być dłuższy niż 250 zadany czas dyrektywny x 8 250 Możliwości przyspieszenia są ograniczone: 0 y A 5 0 y B 5 0 y C 1 0 y D 3 0 y E 2 0 y F 2 0 y G 5 0 y H 10 0 y I 5 0 y J 2 Wszystkie zmienne są nieujemne dr Adam SOJDA 18
Przy minimalizacji czasu realizacji przedsięwzięcia przy zadanym koszcie zamiast funkcji celu z poprzedniego problemu: F(y A,, y J ) = 10y A +1y B +2y C +3y D +5y E +2.5y F +6y G +10y H +6y I +2y J à min Otrzymujemy ograniczenie dla zadanego kosztu np. 300 10y A +1y B +2y C +3y D +5y E +2.5y F +6y G +10y H +6y I +2y J 300 Z ograniczenia czasu realizacji przedsięwzięcia x 8 250 Otrzymujemy funkcję celu x 8 à min dr Adam SOJDA 19