Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń)

Transkrypt

1 Carl Adam Petri ( ) Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń) Problemy statyczne Kommunikation mit Automaten praca doktorska (1962) opis procesów współbieżnych za pomocą notacji graficznej metoda modelowania pozwalającą na przedstawianie i analizowanie procesów przebiegających równolegle Elementy sieci Petriego Zbiór wierzchołków grafu opisujących możliwe stany badanego systemu (sytuacje, warunki logiczne) Oznaczane graficznie elipsą (okręgiem) Zbiór wierzchołków grafu opisujących zdarzenia, które modyfikują stany badanego systemu Oznaczane graficznie prostokątami 1

2 Elementy grafu opisujące relacje pomiędzy stanami badanego systemu a zdarzeniami: wskazują stany, w których zdarzenie może zajść (warunki konieczne) wskazują stany, w których zdarzenie nie może zajść (blokady) wskazują zmianę stanu powodowaną przez zdarzenie Oznaczane graficznie liniami zakończonymi strzałkami (kółkami) Graf jest dwudzielny, tzn. łuki łączą wierzchołki różnych typów Łuki są skierowane Łuki mogą być wielokrotne (mogą mieć przypisane wagi) Tranzycje mogą być wykonywane natychmiast lub z pewnym opóźnieniem Łuki są trzech typów: wejściowe do tranzycji, wyjściowe z tranzycji, inhibitory tranzycji Mogą występować pętle Nierozróżnialne znaczniki występujące w miejscach, używane są do rozróżniania stanów sieci Petriego (znakowanie sieci) Dla miejsc opisujących warunki występowanie znacznika oznacza, że warunek jest spełniony (prawda), brak znacznika warunek nie jest spełniony (fałsz) Dla miejsc opisujących sytuacje liczba znaczników określa rodzaj sytuacji Pozwalają opisać dynamikę systemu Znakowanie początkowe, znakowania pośrednie i końcowe Reguły określające dynamikę sieci (reguły zmiany znakowania) Ta sama sieć z różnymi znakowaniami początkowymi opisuje różne systemy 2

3 Tranzycję t nazywamy aktywną przy oznakowaniu M gdy: wszystkie miejsca wejściowe tranzycji zawierają odpowiednią liczbę znaczników, wszystkie inhibitory tranzycji nie zawierają znaczników. Odpalenie tranzycji t, aktywnej przy oznakowaniu M, powoduje: usunięcie znaczników z każdego miejsca wejściowego, dodanie znaczników do wszystkich miejsc wyjściowych. to znaczy powoduje zmianę oznakowania na. Zależność ta jest zapisywana skrótowo. 3

4 Przykłady z różnych gałęzi transportu i tak dalej w nieskończoność 4

5 Sieć jest nazywana żywą, jeśli wszystkie jej tranzycje są żywe Tranzycja t jest żywa, jeśli dla każdego znakowania M (osiągalnego ze znakowania początkowego) istnieje takie znakowanie M, w którym tranzycja t jest aktywna Tranzycja, która nie jest żywa jest martwa Znakowanie martwe takie znakowanie, w którym żadna tranzycja nie jest aktywna Znakowanie M nazywamy osiągalnym z M, jeśli istnieje dowolny ciąg tranzycji, których odpalenie powoduje przejście ze znakowania M do znakowania M Analiza osiągalności jest kluczowa przy rozważaniu systemów transportowych pozwala np. znaleźć stany niebezpieczne, ocenić prawdopodobieństwo wypadku itp. Sieć Petriego nazywamy odwracalną, jeśli dla dowolnego znakowania M (osiągalnego ze znakowania początkowego M 0 ) istnieje sekwencja tranzycji, których odpalenie powoduje przejście do znakowania początkowego M 0. Sieć Petriego nazywamy k-ograniczoną, jeśli dla każdego osiągalnego znakowania, liczba znaczników w dowolnym miejscu sieci jest mniejsza niż k. Sieć Petriego, która jest 1-ograniczona nazywa się siecią bezpieczną Pułapka zbiór miejsc, które nigdy nie stracą znaczników. Zatrzask (blokada) zbiór miejsc, który po utracie wszystkich znaczników nie będzie nigdy znakowany ponownie pułapka zatrzask 5

6 Uogólniona sieć Petriego jest opisana piątką gdzie: P zbiór miejsc, T zbiór tranzycji, =, =,,,, I, O, H, to funkcje odpowiednio wejścia, wyjścia oraz inhibitory: Mając daną tranzycję t T, można zdefiniować: + = :,>0 zbiór wejść tranzycji t, = :,>0 zbiór wyjść tranzycji t, = :,>0 zbiór inhibitorów tranzycji t. Znakowana sieć Petriego jest opisany szóstką =,,,,, 0 gdzie =,,,, - uogólniona sieć Petriego, 0 : Z + jest znakowaniem początkowym, tzn. funkcją przypisującą każdemu z miejsc liczbę całkowitą nieujemną. Mówimy również, że znakowanie określa liczbę znaczników przypisanych każdemu z miejsc. Sieć miejsc i przejść jest to uogólniona, znakowana sieć Petriego, uzupełniona o charakterystykę miejsc interpretowaną jako ich pojemność, to znaczy maksymalną liczbę znaczników jakie może pomieścić każde z miejsc. =,,,,,!, 0 gdzie =,,,, - uogólniona sieć Petriego,!: N pojemność miejsc sieci, przy czym symbol oznacza, że miejsce ma nieograniczoną pojemność, 0 : Z + % : 0! znakowanie początkowe. Realizacja tranzycji nie jest natychmiastowa, lecz zajmuje określony czas. =,,,,, 0,( gdzie =,,,,, 0 znakowana sieć Petriego, (: R + funkcja opóźnień, określająca opóźnienie statyczne τ(t) tranzycji t. Czas związany z realizacją tranzycji: deterministyczny opisany zmienną losową o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Opóźnienie dynamiczne δ(t) - reszta czasu pozostałego do odpalenia tranzycji t. Znaczniki różnych typów. Typ znacznika nazywany jest kolorem. Każde miejsce ma przypisany zbiór kolorów, które może przechowywać. Łuki i przejścia mają przypisane wyrażenia, które pozwalają na manipulowanie różnymi typami znaczników. + = Γ,,,,,,+,-,., 0 gdzie =,,,,, 0 znakowana sieć Petriego, Г niepusty, skończony zbiór kolorów, C funkcja określająca jakiego koloru znaczniki mogą być przechowywane w danym miejscu: +: Γ, G funkcja określająca warunki, jakie muszą być spełnione, aby tranzycja mogła być odpalona; E funkcja opisująca tzw. wagi łuków, 6