Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 1

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 1"

Transkrypt

1 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 1 Określenie projektu Przez projekt rozumie się jednostkowy(najczęściej jednorazowy) proces złożony ze zbioru wzajemnie powiązanych czynności podjęty dla osiągnięcia pewnego celu zgodnego ze specyficznymi wymaganiami obejmującymi ograniczenia czasowe, kosztowe i zasobowe. Przykładami projektów to: budowa budynku, wykonanie oprogramowania komputerowego, wprowadzenie do produkcji nowego wyrobu, wykonanie studium konsultingowego, itp. Cechy wspólne projektów: Wymagają wykonania wielu różnych zadań(nazywanych również czynnościami), z których niektóre mogą być realizowane równocześnie a inne muszą być realizowane kolejno. Są limitowane czasem i kosztami(środkami budżetowymi) przeznaczonymi na ich wykonanie. Do zadań mogą być przydzielane zasoby(ludzie materiały, maszyny itp.) wpływając na czas wykonania tych zadań. Pomyślne ukończenie dużych projektów wymaga zarządzania personelem o szerokim zakresie umiejętności. Aby wykonać na czas projekt nie przekraczając ograniczeń budżetowych menedżer musi mieć właściwych ludzi, materiały, środki finansowe oraz urzadzenia dostępne we właściwym miejscu i czasie. Na tym wykładzie zajmować się będziemy tylko analizą czasową projektów(metoda CPM i PERT) oraz elementami analizy kosztów i zasobów w projektach. Podstawowe elementy analizy projektu: Dekompozycja projektu na indywidualne zadania(czynności). Przez czynność rozumieć będziemy dającą się zidentyfikować jednostkę pracy, która jest wykonywana przez pojedyńczego człowieka lub grupę osób z jasno sprecyzowanym początkiem i zakończeniem, np. malowanie zewnętrzne budynku. Określenie czynności, które muszą być ukończone zanim można będzie rozpocząć daną czynność. Proces ten nazywamy określeniem relacji poprzedzania i najlepiej wykonać go przy definiowaniu zadań projektu. Określenie czasu wykonania każdej czynności. Czas ten zależy często od nakładów finansowych lub innego typu zasobów przydzielonych do danej czynności, np. użycie większej liczby robotników może skrócić czas wykonania zadania. W metodzie CPM używa się pojęcia normalnego czasu wykonania czynności. Jest to czas wykonania czynności przy najmniejszym poziomie wykorzystania zasobów. Wyróżnia się również czas krytyczny tj. najkrótszy przy maksymalnym dopuszczalnym poziomie wykorzystania zasobów. Czas wykonania zadania może być również losowy(przy stałym poziomie wykorzystania zasobów)- wtedy szacuje się tylko pewne parametry rozkładu czasu wykonania czynności (metoda PERT). Aby przeprowadzić analizę czasowa projektu musimy najpierw skonstruować tzw. sieć projektu będącą formalnym modelem zależności technologicznych(odwzorowującą relację poprzedzania między czynnościami) w projekcie. Istnieją dwie reprezentacje sieciowe projektów: reprezentacja łukowa(sieć zdarzeń, w której łuki reprezentują czynności) i reprezentacja wierzchołkowa(węzły reprezentują czynności a łuki relację poprzedzania między parami czynności). Dla obu tych reprezentacji podamy metody wyznaczania podstawowych charakterystyk czasowych dla projektu.

2 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej Metoda ścieżki krytycznej CPM Niechprojektskładasięzezbioruczynności A,czasówichwykonania t : A R + oraz relacji bezpośredniego poprzedzania P A A. Projekt ten może być reprezentowany w postaci sieci na dwa sposoby: reprezentacja wierzchołkowa czynność w węźle oznaczana dalej jako(a-on-n) i reprezentacja łukowa czynność na łuku (A-on-A). W obydwu reprezentacjach wynikowy graf jest bezkonturowym grafem skierowanych(digrafem). W reprezentacji(a-on-n) mamy graf G = (V, E), gdzie zbiór węzłów V jest zbiorem czynności A a zbiór łuków E reprezentuje relację poprzedzania P.Włukowejreprezentacji(A-on-A)mamygraf D = (N,A),wktórym oryginalnyzbiórczynności Ajestpodzbioremzbiorułuków A,azbiór A Ajest zbiorem czynności fikcyjnych koniecznych do prawidłowej reprezentacji relacji P. Metoda CPM reprezentacja łukowa(a-on-a) Niech S = (N,A,t),będziesieciąłukowąprojektu. G = (N,A)jestgrafemskierowanym(digrafem), gdzie N = 1,,...,n}-zbiórwęzłów(zdarzeń), A-zbiórłukówsieci(A A).Łukizbioru A Anazywamypozornymi lub fikcyjnymi. Zdarzenie 1 oznacza start projektu a zdarzenie n zakończenie projektu.ponadtonumeracjawęzłówjesttaka,żejeśliłuk (i,j) A,to i < j. Dla grafu bezkonturowego taka numeracja(tzw. topologiczna) zawsze istnieje. t ij -czaswykonywaniaczynności (i,j) A(dlaczynnościfikcyjnychprzyjmujesięzerowyczaswykonania-t ij = 0). Dla każdego zdarzenia(węzła) i tej sieci definiuje się rekurencyjnie jego nawcześniejszymomentrealizacji Ti w oraznajpóźniejszymomentrealizacji T p i następująco: Ti w 0 dlai=1 = max k Γ i(tk w + t ki) dlai 1 oraz T p T w i = n dlai=n min k Γ + i(t p k t ik) dlai n. Luzczasowyzdarzenia i N: L i = T p i T w i, Zdarzenie ijestkrytyczne L i = 0. Charakterystyki czasowe czynności (i, j) A: ES(i,j) = T w i ; EF(i,j) = T w i + t ij = ES(i,j) + t ij LF(i,j) = T p j ; LS(i,j) = T p j t ij = LF(i,j) t ij, gdzie ES(i, j)- najwcześniejszy możliwy termin rozpoczęcia czynności (i, j), EF(i, j)- najwcześniejszy termin zakończenia czynności (i, j), LF(i, j)- najpóźniejszy możliwy termin zakończenia czynności (i, j), LS(i, j)- najpóźniejszy dopuszczalny termin rozpoczęcia czynności (i, j). Zapasy czasowe dla czynności (i, j) CZ(i,j) = T p j T w i t ij całkowityzapas, SZ(i,j) = T w j T w i t ij swobodnyzapas, WZ(i,j) = T p j T p i t ij warunkowyzapas, NZ(i,j) = T w j T p i t ij niezależnyzapas. Całkowity zapas czasu dla czynności (i, j) może być również liczony następująco: CZ(i, j) = LF(i, j) ES(i, j) t ij = LS(i, j) ES(i, j) = LF(i, j) EF(i, j).

3 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 3 Definicja1Czynność (i, j) Anazywamykrytycznąwtedyitylkowtedy,gdymazerowy całkowityzapasczasutj. CZ(i, j) = 0. Definicja Drogę(ścieżkę) od węzła 1 do n złożoną z czynności krytycznych nazywamy drogą(ścieżką) krytyczną. Metoda CPM reprezentacja wierzchołkowa(a-on-n) G = (V, E)- reprezentacja wierzchołkowa projektu, t(v)- czas wykonania czynności v V. Najwcześniejszyczasrozpoczęciaczynności v T n (v): T n 0 jeśli P(v) = (v) = max u P(u) (T n (u) + t(u)) jeśli P(v) gdzie P(v) = Γ (v), N(v) = Γ + (v).czaszakończeniaprojektu T: T = max (T n (v) + t(v)) v:n(v)= } Najpóźniejszyczaszakończeniaczynności v T p (v): T p T jeśli N(v) = (v) = min w N(u) (T p (w) t(w)) jeśli N(v) Zapasy czasów dla czynności: Zapas całkowity: CZ(v) = T p (v) T n (v) t(v) Czynności dla których całkowity zapas czasu jest zerowy nazywamy krytycznymi (analogicznie jak dla sieci łukowej). Jednak drogę krytyczną wyznaczamy znajdując najdłuższą drogę zaczynającą się węzłem(czynnością) nie mającym poprzedników i kończącą się węzłem nie mającym następników(nie każda droga złożona z czynności krytycznych o podanej własności jest drogą najdłuższą i tym samym krytyczną). Zapas swobodny: T T n (v) t(v) jeśli N(v) = SZ(v) = min w N(v) (T n (w)) T n (v) t(v)) jeśli N(v) Zapas warunkowy: T p (v) t(v) jeśli N(v) = WZ(v) = T p (v) t(v) max u P(v) (T p (w)) jeśli N(v) Zapas niezależny T t(v) T t(v) max NZ(v) = u P(u)} T p (v) min w N(v)} (T n (w)) t(v) min w N(v)} (T w ) t(v) max u P(v)} (T p (u)) jeśli P(v) =, N(v) = jeśli P(v), N(v) = jeśli P(v) =, N(v) jeśli P(v), N(v) Prawdziwe są następujące relacje dla zapasów czasu: oraz CZ(v) + NZ(v) = SZ(v) + WZ(v) CZ(v) maxsz(v), WZ(v)} minsz(v), WZ(v)} max0, NZ(v)}. Najczęściej w zastosowaniach używany jest całkowity zapas czasu. W reprezentacji łukowej każda droga od zdarzenia 1 do n składająca się się z czynności krytycznych jest drogą krytyczną. W reprezentacji węzłowej tak nie musi być, gdyż nie każda droga składająca się tylko z czynności krytycznych jest drogą krytyczna(jest najdłuższą).

4 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 4 Metoda PERT- przykład Projekt zadany jest następującą siecią czynności: 6 6 C A 6 E 3 5 D G 3 F J B I H Dane o czynnościach podane są w poniższej tabeli: Czynność (i, j) a ij m ij b ij t ij σ ij A B C D E F G H I J Wsiecinarysunkuczasywykonaniaposzczególnychczynnościsąrówne t ij = E(T ij) = a ij +4m ij +b ij 6,gdzie T ijjestzmiennąlosowączasuwykonaniaczynności (i, j).obliczenia metodącpmdająjednądrogękrytyczną DK = (A E H I J)o wartościśredniej m = E(DK) = (ij) DK E(Tij)i odchyleniustandardowym σ = (ij) DK D (T ij), gdzie D (T ij)jestwariancjączasuwykonaniaczynności (i, j).najwcześniejszyczas wykonaniaprojektu T 8jestzatemzmiennąlosową,októrejwmetodziePERTzakładasię,żemarozkładwprzybliżeniunormalny N(m = 17, σ = 1.9).Abyzatemwyznaczać prawdopodobieństwo ukończenia projektu w czasie np. nie dłuższym niż 18 wystarczy odczytać z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego wartość dystrybuanty Φ(0.5) = Φ( ) = P(T8 18) = Zagadnienie kosztów w metodzie CPM Rozważmyprojektzadanyłukowąsieciączynności S = (N, A, c).niechkoszt c ijrealizacji każdejczynności (i, j) Abędzienierosnącąfunkcjąjejczasurealizacji x ijokreślonąw przedziale[tg ij, tn ij],czyli c ij = c ij(x ij)dla x ij [tg ij, tn ij],gdzie tg ij-najkrótszy(graniczny)możliwyczaswykonaniaczynności (i, j), tn ij-normalnyczaswykonaniaczynności (i, j). Postać tej funkcji podano na rys.1. Dlakażdejczynnościfikcyjnej (i, j) Aprzyjmujesię,że tg ij = tn ij = 0 = c ij.mając zadanefunkcje c ijmożnasformułowaćdwanastępująceproblemyoptymalizacyjne:

5 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 5 c ij (tg ij ) c ij (tn ij ) c ij (x ij ) tg ij xij tnij Rysunek1:Wykresfunkcji c ij (x ij )dlaczynności (i,j) 1. Minimalizacja kosztów(bezpośrednich) wykonania projektu przy zadanym dyrektywnym terminie jego ukończenia.. Minimalizacja czasu wykonania projektu przy ustalonym limicie nakładów na koszty (bezpośrednie). Model pierwszego z tych problemów jest następujący: min x ij,t j (i,j) A c ij(x ij) (1) t j t i x ijdla (i, j) A () tg ij x ij tn ijdla (i, j) A (3) t n t 1 t, (4) gdzie t jest zadanym, dyrektywnym terminem zakończenia projektu. Dla danego t przez C(t) oznaczymy optymalną wartość funkcji celu zagadnienia(1-4). W powyższym sformułowaniupominiętowarunek t j 0,gdyżmającdanerozwiązanieoptymalne x 0 ij, t 0 jtego zagadnieniamożnatakzdefiniowaćnowerozwiązanie: x ij = x 0 ij, t j = t 0 j t 0 1,żebędziejuż spełniony ten warunek. Model drugiego problemu jest następujący: min x ij,t j t n t 1} (5) t j t i x ijdla (i, j) A (6) tg ij x ij tn ijdla (i, j) A (7) cij(x ij) C 0, (8) gdzie C 0jestlimitemnakładów(kosztówbezpośrednich)narealizacjęprojektu. Zajmiemy się teraz zagadnieniem rozwiązalności tych dwóch zagadnień. Oznaczmy przez tterminukończeniaprojektu,gdykażdączynność (i, j) Awykonujesięwczasie tn ij,aprzez tterminukończeniaprojektu,gdykażdączynność (i, j) Awykonuje sięwczasie tg ij.terminy titnazywamyodpowiedniogranicznyminormalnymczasem wykonania projektu. Jeśli t [t, t], to wartość funkcji C(t) dla argumentów z roważanego przedzialu daje krzywą czasowo-kosztową projektu przedstawioną na rys. 1. Dla czasów realizacji projektu t i t otrzymujemy odpowiednio maksymalny (C = C(t)) i minimalny (C = C(t)) koszt realizacji projektu, a dla t z rozpatrywanego przedziału C(t) [C, C].

6 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 6 C(t) C(t) C(t) t t t Rysunek : Wykres krzywej czasowo-kosztowej projektu Zagadnienie(5-8) ma zatem rozwiązanie, gdy C [C(t), C(t)]. Można przyjąć, że dla t [t, t] t 1 = 0oraz t n = t(tj. tjestterminemzakończeniaprojektu). Dalejrozważymytylkoprzypadekliniowejfunkcjikosztów c ij.niech c ij = c ij(x ij) = b ij a ij x ij dla x ij [tg ij, tn ij], gdzie a ij, b ij 0.Wykrestejfunkcjipodanonarys.3. Model zagadnienia(1-4) ma teraz następującą postać: min (b ij a ij x ij) (9) x ij,t j (i,j) A t j t i x ijdla (i, j) A (10) tg ij x ij tn ijdla (i, j) A (11) t n t 1 t. (1) Krzywa czasowo-kosztowa projektu jest wtedy funkcją kawałkami liniową. Zakładając, że t [t, t]mamy t 1 = 0oraz t n = t.ponadto,jeślizałożymy,że a ij > 0dlakażdejczynności realnej(nie fikcyjnej), to w rozwiązaniu optymalnym mamy: a)jeśliczynność (i, j)jestkrytyczna,to x ij = t j t i tn ij, b)jeśliczynność (i, j)niejestkrytyczna,to x ij = tn ij < t j t i. Zatem, gdy t [t, t], to dla rozwiązania optymalnego spełniony jest następujący warunek: x ij = mint j t i, tn ij}. Zdefiniujemyteraznowezmiennedecyzyjne y ij,będącewielkościąskróceniaczasuwykonaniaczynności (i, j)odjejnormalnegoczasu tn ij,tj. y ij = tn ij x ij. Wtedy problem(9-1) można sformułować następująco: min a ij y ij (13) y ij,t j (i,j) A

7 Analiza sieciowa projektów- metody: CPM, PERT. A. Kasperski, M. Kulej 7 c ij (tg ij ) c ij (x ij ) c ij (tn ij ) tg ij x ij tn ij Rysunek 3: Liniowa funkcja kosztów dla czynności (i, j) t j t i + y ij tn ijdla (i, j) A (14) 0 y ij tn ij tg ijdla (i, j) A (15) t n t 1 t, t 1 = 0. (16) y ij 0 (17)

BADANIA OPERACYJNE. dr Adam Sojda Pokój A405

BADANIA OPERACYJNE. dr Adam Sojda  Pokój A405 BADANIA OPERACYJNE dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Przedsięwzięcie - zorganizowanie działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie przedsięwzięć

Harmonogramowanie przedsięwzięć Harmonogramowanie przedsięwzięć Mariusz Kaleta Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska luty 2014, Warszawa Politechnika Warszawska Harmonogramowanie przedsięwzięć 1 / 25 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Planowanie przedsięwzięć

Planowanie przedsięwzięć K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania

Bardziej szczegółowo

METODA PERT. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA PERT. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA PERT Maciej Patan Programowanie sieciowe. Metoda PERT 1 WPROWADZENIE PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique) Metoda należy do sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej Parametry opisujace

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI

ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI WYKŁAD 5 ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI Podstawowe problemy rozwiązywane z wykorzystaniem programowania sieciowego: zagadnienia transportowe (rozdział zadań przewozowych, komiwojażer najkrótsza

Bardziej szczegółowo

Zapasy czasowe czynności

Zapasy czasowe czynności Zapasy czasowe czynności Na podstawie wyliczonych najwcześniejszych możliwych oraz najpóźniejszych dopuszczalnych momentów zajścia zdarzeń, można wyznaczyć zapasy czasu dla poszczególnych czynności przedsięwzięcia.

Bardziej szczegółowo

Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej)

Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Firma budowlana Z&Z podjęła się zadania wystawienia placu zabaw dla dzieci w terminie nie przekraczającym 20 dni. Listę czynności do wykonania zawiera

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami

Zarządzanie projektami Dr Adam Kucharski Spis treści Podstawowe pojęcia Metoda CPM 3 3 Przykład analizy metodą CPM 5 Podstawowe pojęcia Przedsięwzięcia złożone z wielu czynności spotykane są na każdym kroku. Jako przykład może

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT

PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT Maciej Patan Programowanie sieciowe. 1 WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę logiczna

Bardziej szczegółowo

Metoda CPM/PERT. dr inż. Mariusz Makuchowski

Metoda CPM/PERT. dr inż. Mariusz Makuchowski PM - wstęp PM nazwa metody pochodzi od angielskiego ritical Path Method, jest techniką bazującą na grafowej reprezentacji projektu, używana jest dla deterministycznych danych. PM - modele grafowe projektu

Bardziej szczegółowo

Modele sieciowe. Badania operacyjne Wykład 6. prof. Joanna Józefowska

Modele sieciowe. Badania operacyjne Wykład 6. prof. Joanna Józefowska Modele sieciowe Badania operacyjne Wykład 6 6-6- 6-6- Plan wykładu Zarządzanie złożonymi przedsięwzięciami Metoda ścieżki krytycznej Metoda PERT Projekty z ograniczonymi zasobami Modele z kontrolą czasu

Bardziej szczegółowo

Analiza czasowo-kosztowa

Analiza czasowo-kosztowa Analiza czasowo-kosztowa Aspekt ekonomiczny: należy rozpatrzyć techniczne możliwości skrócenia terminu wykonania całego przedsięwzięcia, w taki sposób aby koszty związane z jego realizacją były jak najniższe.

Bardziej szczegółowo

t i L i T i

t i L i T i Planowanie oparte na budowaniu modelu struktury przedsięwzięcia za pomocą grafu nazywa sie planowaniem sieciowym. Stosuje się do planowania i kontroli realizacji założonych przedsięwzięć gospodarczych,

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie czasem projektu

Zarządzanie czasem projektu Zarządzanie czasem projektu Narzędzia i techniki szacowania czasu zadań Opinia ekspertów Szacowanie przez analogię (top-down estimating) stopień wiarygodności = f(podobieństwo zadań), = f(dostęp do wszystkich

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 4. Projektowanie i harmonogramowanie produkcji metoda CPM-COST. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 4

Ćwiczenia laboratoryjne - 4. Projektowanie i harmonogramowanie produkcji metoda CPM-COST. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 4 Ćwiczenia laboratoryjne - 4 Projektowanie i harmonogramowanie produkcji metoda CPM-COST Ćw. L. 4 Metody analizy sieciowej 1) Deterministyczne czasy trwania czynności są określane jednoznacznie (jedna liczba)

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

9.4 Czasy przygotowania i dostarczenia

9.4 Czasy przygotowania i dostarczenia 140 9. PODSTAWOWE PROBLEMY JEDNOMASZYNOWE dla każdej pary (i, j) R. Odpowiednie problemy posiadają oznaczenie 1 r j,prec C max,1 prec L max oraz 1 q j,prec C max. Właściwe algorytmy rozwiązywania, o złożoności

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

LOGISTYKA DYSTRYBUCJI ćwiczenia 11 i 12 WYKORZYSTANIE METOD SIECIOWYCH W PROJEKTACH LOGISTYKI DYSTRYBUCJI. AUTOR: dr inż.

LOGISTYKA DYSTRYBUCJI ćwiczenia 11 i 12 WYKORZYSTANIE METOD SIECIOWYCH W PROJEKTACH LOGISTYKI DYSTRYBUCJI. AUTOR: dr inż. LOGISTYKA DYSTRYBUCJI ćwiczenia i WYKORZYSTANIE METOD SIECIOWYCH W PROJEKTACH LOGISTYKI DYSTRYBUCJI AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI Literatura Piotr Cyplik, Danuta Głowacka-Fertsch, Marek Fertsch Logistyka

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B),(A, D),(A, C),(B, C),...,} Ścieżki i cykle Ciag wierzchołków

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami Ćwiczenia 1. Jakub Światłowski

Zarządzanie projektami Ćwiczenia 1. Jakub Światłowski Zarządzanie projektami Ćwiczenia 1 Jakub Światłowski jakub.swiatlowski@wsl.com.pl Tematyka zajęć 1. Metoda ścieŝki krytycznej 2. Krzywa S i jej interpretacja 3. Pięć faz zarządzania projektem 4. Planowanie

Bardziej szczegółowo

Porównanie aplikacji do tworzenia harmonogramów.

Porównanie aplikacji do tworzenia harmonogramów. Porównanie aplikacji do tworzenia harmonogramów. WETI 23 lutego 2010 Plan prezentacji Harmonogram 1 Harmonogram Definicja Zależności miedzy zadaniami Wykres Gantta Diagram PERT 2 3 4 5 Prawie jak motto

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. Zarządzanie czasem w projekcie

Zarządzanie projektami. Zarządzanie czasem w projekcie Zarządzanie projektami Zarządzanie czasem w projekcie Zarządzanie czasem w projekcie PROJECT TIME MANAGEMENT Zarządzanie czasem - elementy 1. Zarządzanie harmonogramem 2. Określanie działań (określanie

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne egzamin

Badania operacyjne egzamin Imię i nazwisko:................................................... Nr indeksu:............ Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych. Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie

Bardziej szczegółowo

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i

Bardziej szczegółowo

M1 M2 M3 Jednostka produkcyjna W1 6h 3h 10h h/1000szt 2zł W2 8h 4h 5h h/100szt 25zł Max. czas pracy maszyn:

M1 M2 M3 Jednostka produkcyjna W1 6h 3h 10h h/1000szt 2zł W2 8h 4h 5h h/100szt 25zł Max. czas pracy maszyn: Zad. Programowanie liniowe Jakiś zakład produkcyjny, ma 3 różne maszyny i produkuje różne produkty. Każdy z produktów wymaga pewnych czasów każdej z 3ch maszyn (podane w tabelce niżej). Ile jakiego produktu

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Rys Wykres kosztów skrócenia pojedynczej czynności. k 2. Δk 2. k 1 pp. Δk 1 T M T B T A

Rys Wykres kosztów skrócenia pojedynczej czynności. k 2. Δk 2. k 1 pp. Δk 1 T M T B T A Ostatnim elementem przykładu jest określenie związku pomiędzy czasem trwania robót na planowanym obiekcie a kosztem jego wykonania. Związek ten określa wzrost kosztów wykonania realizacji całego przedsięwzięcia

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Zasady sporządzania modelu sieciowego (Wykład 1)

Zasady sporządzania modelu sieciowego (Wykład 1) Zasady sporządzania modelu sieciowego (Wykład 1) Metody planowania sieciowego są stosowane w budownictwie do planowania i kontroli dużych przedsięwzięć, w których z powodu wielu zależności istnieje konieczność

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

ECDL ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

ECDL ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI ECDL ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Przykładowy test egzaminacyjny Zasady oceny testu Test zawiera 32 zadania (6 teoretycznych i 26 praktycznych) za które można uzyskać maksymalnie 36 punktów. Aby zaliczyć test

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE MATEMATYCZNE SIECI DOSTAW

MODELOWANIE MATEMATYCZNE SIECI DOSTAW Piotr KISIELEWSKI, Kamil WIJAS MODELOWANIE MATEMATYCZNE SIECI DOSTAW W artykule przedstawiono na wybranych przykładach zagadnienie matematycznego modelowania sieci dostaw. WSTĘP Celem artykułu jest przedstawienie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ HARMONOGRAM PROJEKTU

ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ HARMONOGRAM PROJEKTU 1 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ HARMONOGRAM PROJEKTU AUTOR: AGENDA LEKCJI 2 CPM wprowadzenie teoretyczne Przykład rozwiązania Zadanie do samodzielnego rozwiązania 3 Critical Path Method

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe

Programowanie nieliniowe Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8

Bardziej szczegółowo

SPRAWNOŚĆ METOD OGÓLNYCH I WYSPECJALIZOWANYCH W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ

SPRAWNOŚĆ METOD OGÓLNYCH I WYSPECJALIZOWANYCH W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ Wojciech Sikora Michał Urbaniak Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu SPRAWNOŚĆ METOD OGÓLNYCH I WYSPECJALIZOWANYCH W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ Wprowadzenie W pracy rozpatrujemy klasyczny problem

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

EKONOMIKA I ORGANIZACJA BUDOWY

EKONOMIKA I ORGANIZACJA BUDOWY EKONOMIKA I ORGANIZACJA BUDOWY EMA: PROJEK ORGANIZACJI WYKONANIA PRZEDSIĘWZIĘCIA INWESYCYJNEGO (p) ćwiczenia projektowe, pracownia specjalistyczna studia niestacjonarne I stopnia, sem. VI, budownictwo

Bardziej szczegółowo

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST

ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE W metodach CPM i PERT zwraca się uwagę jedynie na analizę ilościowa Równie ważne zagadnienie aspekt ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

ECDL ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

ECDL ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI ECDL ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Przykładowy test egzaminacyjny Zasady oceny testu Test zawiera 32 zadania (6 teoretycznych i 26 praktycznych) za które można uzyskać maksymalnie 36 punktów. Aby zaliczyć test

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe

Bardziej szczegółowo

6.4 Podstawowe metody statystyczne

6.4 Podstawowe metody statystyczne 156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione

Bardziej szczegółowo

Szkolenie: Warsztaty przygotowujące do certyfikacji IPMA, poziom D

Szkolenie: Warsztaty przygotowujące do certyfikacji IPMA, poziom D Szkolenie: Warsztaty przygotowujące do certyfikacji IPMA, poziom D Temat: Szkolenie: Warsztaty przygotowujące do certyfikacji IPMA, poziom D Termin: do ustalenia Miejsce: do ustalenia Cena: PLN Opis szkolenia:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k = Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ STUDIUM PRZYPADKU

METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ STUDIUM PRZYPADKU METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ STUDIUM PRZYPADKU Celina BARTNICKA Streszczenie: W dzisiejszych czasach przedsiębiorstwa pracują w bardzo szybko zmieniających się warunkach, więc aby osiągnąć sukces, stawia

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,

Bardziej szczegółowo

1 Obliczanie modeli sieciowych w funkcji środków

1 Obliczanie modeli sieciowych w funkcji środków 1 Obliczanie modeli sieciowych w funkcji środków Przykład zaczerpnięty z mojego podręcznika Harmonogramy sieciowe w robotach inżynierskich. Wydawnictwo SGGW 001 str. 77. 1.1 Założenia analizy środków oraz

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.asp Pokój A405 Literatura okukuła K.

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM

Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA w Warszawie STUDIUM MAGISTERSKIE Kierunek: Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Karol Walędzik Nr albumu: 26353 Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem

Bardziej szczegółowo

Zastosowania informatyki w gospodarce. Projekt. dr inż. Marek WODA

Zastosowania informatyki w gospodarce. Projekt. dr inż. Marek WODA Zastosowania informatyki w gospodarce. Projekt dr inż. Marek WODA 1. Wprowadzenie Czasochłonność 2h/tydzień Ocena kursu Główny wpływ jakość techniczna projektu Błędy projektowe dyskwalifikują projekt Wartość

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy

Bardziej szczegółowo

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Ograniczenia projektu. Zakres (co?) Czas (na kiedy?) Budżet (za ile?)

Ograniczenia projektu. Zakres (co?) Czas (na kiedy?) Budżet (za ile?) Harmonogram Ograniczenia projektu Zakres (co?) Czas (na kiedy?) Budżet (za ile?) Pojęcia podstawowe Harmonogram: Daty wykonania działań Daty osiągnięcia kamieni milowych Działanie: Element składowy pakietu

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. mgr inż. Michał Adamczak

Zarządzanie projektami. mgr inż. Michał Adamczak Zarządzanie projektami mgr inż. Michał Adamczak Ćwiczenie 2 mgr inż. Michał Adamczak Agenda spotkania: 1. CPM wprowadzenie 2. Tabela czynności 3. Podstawowe elementy budowy diagramu sieciowego 4. Zasady

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja wykorzystania zasobów nieodnawialnych w projektach logistycznych

Optymalizacja wykorzystania zasobów nieodnawialnych w projektach logistycznych Iwona Łapuńka, Iwona Pisz Politechnika Opolska Optymalizacja wykorzystania zasobów nieodnawialnych w projektach logistycznych Wstęp W problemach zarządzania projektami logistycznymi istotne znaczenie mają

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytmy zachłanne

Temat: Algorytmy zachłanne Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje się w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymalną możliwość w nadziei,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo