TEORIA GRAFÓW I SIECI
|
|
- Marta Dziedzic
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 5: Sieci, drogi ekstremalne w sieciach, analiza złożonych przedsięwzięć (CPM i PERT) dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT zbigniew.tarapata@wat.edu.pl tel.: , p.225/100 Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania Decyzji Instytut Systemów Informatycznych Wydział Cybernetyki, Wojskowa Akademia Techniczna
2 Definicja sieci S G, i i1, I j j 1, J, gdzie: G=W, U, P - graf : W X, i i i 1, j : U Y j, j 1, J najczęściej: Xi=R, Yj=R I 2
3 Definicja sieci stochastycznej bez zależności ξi oraz Ψj od czasu: i : W 0,1 i 1,,I i w PrAw gdzie: Aw pewne zdarzenie losowe dotyczące wierzchołka w, np. Aw wierzchołek w jest sprawny (działa); lub (i) : U 0,1 1 j, J j u PrAu j, gdzie: Au pewne zdarzenia losowe dotyczące gałęzi u, np. Au gałąź u jest sprawna; Au długość gałęzi u wynosi lu, itp. 3
4 Definicja sieci stochastycznej Przykład stochastycznego drzewa zdarzeń (pęknięcie zbiornika z amoniakiem) z prawodobieństwami zajścia poszczególnych zdarzeń opisanymi na łukach 4
5 Definicja sieci stochastycznej z zależnością ξi oraz Ψj od czasu: : W T 0,1 1, i I i w, t Pr Aw t i, gdzie:, T R 0, Aw,t pewne zdarzenie losowe dotyczące wierzchołka w i chwili t, np. Aw,t wierzchołek w jest sprawny do chwili t, itp. T zbiór opisujący czas; Przykład: W dowolnej sieci drogowej czas przejazdu między węzłami zależny jest od chwili, w której dotrzemy do węzła (rano korek do centrum, po południu od centrum ) i jest zmienną losową (nie jest stały). 5
6 Problem drzewa (karkasu) ekonomicznego Dla danej sieci S G, l, l : U R taki karkas, wyznaczyć * * * T W, U, P grafu G W, U, P * min LT L T TT, aby gdzie: T zbiór wszystkich karkasów grafu G; L T lu - koszt karkasu. uu (T ) UWAGA! Karkas (drzewo) najtańszy (ekonomiczne) = = minimalne drzewo rozpinające 6
7 Problem drzewa (karkasu) ekonomicznego Minimalne drzewo rozpinające dla grafu miast = = najtańszy (np. najkrótszy) sposób dotarcia z dowolnego miasta do każdego innego 7
8 Problem drzewa (karkasu) ekonomicznego algorytm Prim a 1. Wybieramy dowolny xw i wśród gałęzi incydentnych z nim wybieramy gałąź u I (nie pętlę) o najmniejszej wartości l(u I ). I I I I Tworzymy podgraf częściowy G W, U, P zawierający u I i wierzchołki incydentne z u I. Podstawiamy: II I II II II I G : W W, U, P - podgraf, W : W / W. 2. Wśród gałęzi uu takich, że I II x, u, y P y, u, x P, x W, y W wybieramy gałąź o najmniejszej wartości l(u). Gałąź tą dołączamy do U I : I I II II W : W y; W : W \ y. Postępowanie kończymy, gdy W II * I =. Wówczas T : G. 8
9 Problem drzewa (karkasu) ekonomicznego algorytm Prim a 9
10 Problem drzewa (karkasu) ekonomicznego algorytm Kruskala 1. W zbiorze U wybieramy gałąź (nie pętlę) o najmniejszej wartości l(u). I I I I Tworzymy podgraf częściowy G W, U, P złożony z tej gałęzi i wierzchołków z nią incydentnych. 2. Spośród niewybranych gałęzi, nie tworzących łańcuchów cyklicznych z podgrafem G I, wybieramy gałąź o najmniejszym l(u) i dołączamy ją do G I wraz z wierzchołkami incydentnymi. Za każdym razem przy wyborze następnej, najtańszej gałęzi, wyliczamy liczbę cyklomatyczną powstającego grafu częściowego i gałąź włączamy do zbioru gałęzi karkasu wyliczona liczba cyklomatyczna jest równa zeru. Postępowanie kończymy, gdy W I * I =W. Wówczas T : G. 10
11 Problem drzewa (karkasu) ekonomicznego algorytm Kruskala 11
12 Drogi ekstremalne w sieciach skierowanych Sieć standardowa dla problemu dróg ekstremalnych: S G,, l gdzie: l : UR l(u) koszt gałęzi uu; U(μ(x p,x k )) zbiór gałęzi drogi μ(x p,x k ) z wierzchołka x p do x k ; F p k ( x, x ) lu uu ( x p x k, ) - koszt drogi μ(x p,x k ). Definicja problemu wyznaczania drogi ekstremalnej: * D x p, x k, dla której w sieci S znaleźć taką drogę F lub F gdzie x p x k * p k p k ( x, x ) min F ( x, x ) ( x p, x k ) D( x * p k p k ( x, x ) max F ( x, x ) ( x p, x k ) D( x D, - zbiór wszystkich dróg prostych w G z x p do x k. p p, x, x k k ) ) 12
13 Drogi ekstremalne w sieciach skierowanych kilka spojrzeń Sieć drogowa miasta Bloomington w stanie Indiana w USA: droga najkrótsza vs. droga najprostsza 13
14 Drogi ekstremalne w sieciach skierowanych kilka spojrzeń Droga najkrótsza vs. droga najszybsza z Wrocławia do Warszawy 14
15 Drogi ekstremalne w sieciach skierowanych kilka spojrzeń Alternatywne drogi z WAT na Politechnikę Warszawską Która najlepsza? Zależy to od kryterium wyboru: najszybsza, najkrótsza, itd. 15
16 Drogi ekstremalne w sieciach klasyfikacja problemów N S jest cykliczna? N T Rodzaj ekstremalizacji min max l 0? l0? T N T Długości dróg cykl.>=0? N T Długości dróg cykl.<=0? N T Programowanie dynamiczne Programowanie całkowitoliczbowe pełny przegląd Metoda dendrytów dróg ekstremalnych 16
17 Drogi ekstremalne w sieciach acyklicznych programowanie dynamiczne * p k x, x? w I G I I W, U, P p x k x X p k x x x, x k ; X= nie istnieje x, x k - zbiór wierzchołków osiągalnych z x p w G I ; - zbiór wierzchołków, z których w G I osiągalny jest x k ; - zbiór wierzchołków, które mogą wystąpić w ; G X, U, P - podgraf generowany przez XW; p k W0, W1,, W K - warstwy w G; x W0 ; x WK X W X i - zbiór tzw. stanów uszczalnych w i-tym etapie; i U x u U y X x u y P :,, - zbiór tzw. sterowań uszczalnych dla stanu xx; m - liczba łuków w drodze μ; graf acykliczny!!! 17
18 Drogi ekstremalne w sieciach acyklicznych programowanie dynamiczne Funkcje etapowe: F x u l u F y x, u, i 0, K 1 F i, K, i1 i x extr uu x l u F i1 przy czym yx, u y X : x, u, yx, u P u x u F x, u F x i : i, K K i y x, u. przy czym x X j ; F x 0 K ; u K x ji Interpretacja: długość drogi ekstremalnej z x do x k wyznaczana jest na podstawie długości dróg ekstremalnych z następników x do x k. Innymi słowy: droga ekstremalna składana jest z odcinków dróg ekstremalnych 18
19 Drogi ekstremalne w sieciach acyklicznych programowanie dynamiczne, algorytm 1. Wyznaczyć X dla każdego etapu i 1, K ; i 2. Dla każdego wierzchołka x określić zbiór x, i : K 1 U ; 3. Dla każdego wierzchołka x X i wyznaczyć F * (x) oraz u * (x) (są to cechy wierzchołka x). Jeżeli i=0, to przejście do pkt. 4, w przeciwnym przypadku i:=i 1 i powtórz punkt 3; 4. Koniec algorytmu. 5. Długość drogi ekstremalnej określa F * (x p ), a drogę ekstremalną wyznaczają cechy u * (x), począwszy od wierzchołka początkowego x p, zgodnie z wyrażeniem x y x, u x, s 1,2, m s 1 s s,. 19
20 Drogi ekstremalne w sieciach acyklicznych programowanie dynamiczne, algorytm PRZYKŁAD W sieci S wyznaczyć najdłuższą drogę z x p = 1 do x k = 5. S W 0 W 1 W 2 W 3 W 4 20
21 Drogi ekstremalne w sieciach acyklicznych programowanie dynamiczne, algorytm x p = 1, x k = 5, μmax(1,5) =? p x 1 1,2,3,4,5,6,7 X U U k x 5 1,2,3,4,5,6 0 X 1 5 1,2,3,4,5,6 1, X 2,4, X 6, X 3, X 5, 1 1 u 1,2, u1,3, u1,4, U 2 u 2,6, u2,3, U 3 u 3,5 4 u, u, U 5, U 6 u, u 4,3 4,5 2 Wartości poszczególnych funkcji etapowych tabela. x i- nr etapu F i x y u x - u3,5 u6,5 u2,3 u4,3 u1,2, u x x 3 F i x 6,3 4 6,5 oraz u x przedstawia 21
22 Drogi ekstremalne w sieciach acyklicznych programowanie dynamiczne, algorytm x p = 1, x k = 5, μmax(1,5) =? p x 1 1,2,3,4,5,6,7 X U U k x 5 1,2,3,4,5,6 0 X 1 5 1,2,3,4,5,6 1, X 2,4, X 6, X 3, X 5, 1 1 u 1,2, u1,3, u1,4, U 2 u 2,6, u2,3, U 3 u 3,5 4 u, u, U 5, U 6 u, u 4,3 4,5 2 Wartości poszczególnych funkcji etapowych tabela. x i- nr etapu F i x y u x - u3,5 u6,5 u2,3 u4,3 u1,2, u x x 3 F i x 6,3 4 6,5 oraz u x przedstawia 22
23 Drogi ekstremalne w sieciach acyklicznych programowanie dynamiczne, algorytm x p = 1, x k = 5, μmax(1,5) =? p x 1 1,2,3,4,5,6,7 X U U k x 5 1,2,3,4,5,6 0 X 1 5 1,2,3,4,5,6 1, X 2,4, X 6, X 3, X 5, 1 1 u 1,2, u1,3, u1,4, U 2 u 2,6, u2,3, U 3 u 3,5 4 u, u, U 5, U 6 u, u 4,3 4,5 2 Wartości poszczególnych funkcji etapowych oraz tabela. np. dla x=6 mamy x i- nr etapu * F 6 F i x max 2 u u, u y u x - u3,5 u6,5 u2,3 u4,3 u1,2, u x x 3 F i x max max 1 6,3 4 6,5 u x przedstawia * l u F y 6, u 3 6,3 6,5 * * l u F 3, lu F 5 6,3 2,4 0 4 Z przeprowadzonych w tabeli wyliczeń wynika, że długość najdłuższej drogi μmax(1,5) wynosi F max 1,5 F Droga najdłuższa jest następująca (z x p =1 do x k =5): 1 u1,2 2 u2,3 3 u3, ,5 3 23
24 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych Rozróżniamy dwa zasadnicze przypadki: I minimalizacja : l0 długość dróg cyklicznych 0, II maksymalizacja : l0 długość dróg cyklicznych 0. S jest cykliczna? N T Rodzaj ekstremalizacji min max l 0? l0? N T N T Długości dróg cykl.>=0? N T Długości dróg cykl.<=0? N T Sieć standardowa: gdzie: S=G,,l Programowanie dynamiczne G=W, U, P T=W, U I, P I - dendryt Programowanie całkowitoliczbowe pełny przegląd Metoda dendrytów dróg ekstremalnych 24
25 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych TWIERDZENIE Dendryt T o korzeniu x p, zawierający wszystkie wierzchołki osiągalne z x p w sieci S takiej, dla której zachodzi I (II), jest maksymalnym dendrytem dróg najkrótszych (najdłuższych) w tej sieci od wierzchołka x p dla każdego uu\u I zachodzi: gdzie: j i F x F x l u x i, u, x j P F(x) długość drogi od x p do x w T. x i l(u) u x j x i, u, x j P 25
26 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych Algorytm wyznaczania dendrytu dróg najkrótszych G=W, U - graf Berge a c(x)=f(x), g(x) - cechy xw, g(x) wybrany poprzednik x 1. x p cechujemy c(x p )=0,+, pozostałe wierzchołki c(x)=, +; 2. Dla każdego xw, y(x) jeżeli : F(y) F(x) l (x,y) to: F(y) : = F(x) + l(x,y); g(y) : = x; Wniosek z tezy poprzedniego Twierdzenia Postępowanie kontynuujemy óki jest to możliwe. 3. Tworzymy dendryt z łuków g(x), x. Maksymalny dendryt dróg prostych najdłuższych w S = G,, l maksymalny dendryt dróg prostych w S I = G,, -l. Antydendryt zmiana łuków na przeciwne. 26
27 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Iteracja nr 1 Przed Po - 0 > 7 stąd F(2)= = 7-0 > 16 stąd F(3) = = 16 - wierzchołek (1), którego następniki cechowane w bieżącej iteracji 27
28 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Iteracja nr 2 Przed Po - 7 > 2 stąd F(4)= = < 3 stąd F(1)=F(1) - wierzchołek (2), którego następniki cechowane w bieżącej iteracji 28
29 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Iteracja nr 3 Przed Po > 3 stąd F(3)= = 12 - wierzchołek (4), którego następniki cechowane w bieżącej iteracji - 9 > 1 stąd F(6)= 9 + 1= = 10 29
30 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Iteracja nr 4 Przed Po < 4 stąd F(3)= F(3) - wierzchołek (6), którego następniki cechowane w bieżącej iteracji 30
31 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Iteracja nr 5 Przed Po 6-12 > 12 stąd F(5)= = 24 - wierzchołek (3), którego następniki cechowane w bieżącej iteracji 31
32 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Tworzymy dendryt z łuków < g(x), x > startując z dowolnego wierzchołka. Postępowanie kontynuujemy aż do włączenia wszystkich wierzchołków, które mają lewą cechę g(x)
33 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Tworzymy dendryt z łuków < g(x), x > startując z dowolnego wierzchołka. Postępowanie kontynuujemy aż do włączenia wszystkich wierzchołków, które mają lewą cechę g(x)
34 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Tworzymy dendryt z łuków < g(x), x > startując z dowolnego wierzchołka. Postępowanie kontynuujemy aż do włączenia wszystkich wierzchołków, które mają lewą cechę g(x)
35 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Tworzymy dendryt z łuków < g(x), x > startując z dowolnego wierzchołka. Postępowanie kontynuujemy aż do włączenia wszystkich wierzchołków, które mają lewą cechę g(x)
36 Drogi ekstremalne w sieciach cyklicznych metoda dendrytu dróg ekstremalnych PRZYKŁAD (wyznaczanie dendrytu dróg najkrótszych, x p =1) Tworzymy dendryt z łuków < g(x), x > startując z dowolnego wierzchołka. Postępowanie kontynuujemy aż do włączenia wszystkich wierzchołków, które mają lewą cechę g(x)
37 Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania Decyzji Instytut Systemów Informatycznych Wydział Cybernetyki, Wojskowa Akademia Techniczna DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT zbigniew.tarapata@wat.edu.pl
TEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów Przepływy w sieciach.
Algorytmiczna teoria grafów Sieć przepływowa Siecią przepływową S = (V, E, c) nazywamy graf zorientowany G = (V,E), w którym każdy łuk (u, v) E ma określoną przepustowość c(u, v) 0. Wyróżniamy dwa wierzchołki:
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. dr Adam Sojda Pokój A405
BADANIA OPERACYJNE dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Przedsięwzięcie - zorganizowanie działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Kolorowanie grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: -8-9-, p./ Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoNiektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 18, 2003 Niektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC Roman KULESZA Zakład Automatyki, Instytut Teleinformatyki i Automatyki WAT, ul. Kaliskiego 2,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek
Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie przedsięwzięć
Harmonogramowanie przedsięwzięć Mariusz Kaleta Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska luty 2014, Warszawa Politechnika Warszawska Harmonogramowanie przedsięwzięć 1 / 25 Wstęp
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoPlanowanie przedsięwzięć
K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B),(A, D),(A, C),(B, C),...,} Ścieżki i cykle Ciag wierzchołków
Bardziej szczegółowoANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI
WYKŁAD 5 ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI Podstawowe problemy rozwiązywane z wykorzystaniem programowania sieciowego: zagadnienia transportowe (rozdział zadań przewozowych, komiwojażer najkrótsza
Bardziej szczegółowoProgramowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Bardziej szczegółowoRozdział 8 PROGRAMOWANIE SIECIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 8 PROGRAMOWANIE SIECIOWE 8.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 8.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoWykład 3. Złożoność i realizowalność algorytmów Elementarne struktury danych: stosy, kolejki, listy
Wykład 3 Złożoność i realizowalność algorytmów Elementarne struktury danych: stosy, kolejki, listy Dynamiczne struktury danych Lista jest to liniowo uporządkowany zbiór elementów, z których dowolny element
Bardziej szczegółowoDefinicja sieci. Sieć Petriego jest czwórką C = ( P, T, I, O ), gdzie: P = { p 1, p 2,, p n } T = { t 1, t 2,, t m }
Sieci Petriego Źródła wykładu: 1. http://www.ia.pw.edu.pl/~sacha/petri.html 2.M. Szpyrka: Sieci Petriego w modelowaniu i analizie systemów współbieżnych, WNT 2008 Definicja sieci Sieć Petriego jest czwórką
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowo6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoZagadnienie najkrótszej drogi w sieci
L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Bardziej szczegółowot i L i T i
Planowanie oparte na budowaniu modelu struktury przedsięwzięcia za pomocą grafu nazywa sie planowaniem sieciowym. Stosuje się do planowania i kontroli realizacji założonych przedsięwzięć gospodarczych,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowo7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie
7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Łańcuchy Markowa: zagadnienia graniczne. Ukryte modele Markowa. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ KLASYFIKACJA STANÓW Stan i jest osiągalny
Bardziej szczegółowoMetody ilościowe w badaniach ekonomicznych
prof. dr hab. Tadeusz Trzaskalik dr hab. Maciej Nowak, prof. UE Wybór portfela projektów z wykorzystaniem wielokryterialnego programowania dynamicznego Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych 19-06-2017
Bardziej szczegółowoUniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ELEMENTY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium nr 9 PRZESZUKIWANIE GRAFÓW Z
Bardziej szczegółowoMarek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i
Bardziej szczegółowoWybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoPlanowanie drogi robota, algorytm A*
Planowanie drogi robota, algorytm A* Karol Sydor 13 maja 2008 Założenia Uproszczenie przestrzeni Założenia Problem planowania trasy jest bardzo złożony i trudny. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy
Bardziej szczegółowoWykładnicze grafy przypadkowe: teoria i przykłady zastosowań do analizy rzeczywistych sieci złożonych
Gdańsk, Warsztaty pt. Układy Złożone (8 10 maja 2014) Agata Fronczak Zakład Fizyki Układów Złożonych Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Wykładnicze grafy przypadkowe: teoria i przykłady zastosowań
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami
Dr Adam Kucharski Spis treści Podstawowe pojęcia Metoda CPM 3 3 Przykład analizy metodą CPM 5 Podstawowe pojęcia Przedsięwzięcia złożone z wielu czynności spotykane są na każdym kroku. Jako przykład może
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zadań. Wykład nr 3. dr Hanna Furmańczyk
Wykład nr 3 27.10.2014 Procesory identyczne, zadania niezależne, podzielne: P pmtn C max Algorytm McNaughtona 1 Wylicz optymalną długość C max = max{ j=1,...,n p j/m, max j=1,...,n p j }, 2 Szereguj kolejno
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej
Kod przedmiotu TR.SIK306 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy aproksymacyjne i parametryzowane
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu: Badania operacyjne
Opis : Badania operacyjne Kod Nazwa Wersja TR.SIK306 Badania operacyjne 2013/14 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Bardziej szczegółowoZagadnienia optymalizacji na grafach
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej BO- Optymalizacja na sieciach 1 Zagadnienia optymalizacji na grafach Podstawowe pojęcia z teorii grafów i sieci Graf nieskierowany(symetryczny) G = (V, E) składa się
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych
BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych e-mail: tpisula@prz.edu.pl 1 Literatura podstawowa wykorzystywana podczas zajęć wykładowych: 1. Gajda J.,
Bardziej szczegółowoRozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoSprawozdanie do zadania numer 2
Sprawozdanie do zadania numer 2 Michał Pawlik 29836 Temat: Badanie efektywności algorytmów grafowych w zależności od rozmiaru instancji oraz sposobu reprezentacji grafu w pamięci komputera 1 WSTĘP W ramach
Bardziej szczegółowoMODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem
MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające (spanning tree) w grafie liczącym n wierzchołków to zbiór n-1 jego krawędzi takich, że dowolne dwa wierzchołki grafu można połączyć za pomocą krawędzi należących do
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej
Kod przedmiotu TR.NIK405 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/2016 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów
Bardziej szczegółowoProblemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych
Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoTeoria Informacji i Metody Kompresji Danych
Teoria Informacji i Metody Kompresji Danych 1 Materiały wykładowe (fragmenty) 2 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoDWA ZDANIA O TEORII GRAFÓW. przepływ informacji tylko w kierunku
DWA ZDANIA O TEORII GRAFÓW Krawędź skierowana Grafy a routing Każdą sieć przedstawić składającego przedstawiają E, inaczej węzłami). komunikacyjną można w postaci grafu G się z węzłów V (które węzły sieci)
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010
Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoIndukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3
Indukowane Reguły Decyzyjne I Wykład 3 IRD Wykład 3 Plan Powtórka Grafy Drzewa klasyfikacyjne Testy wstęp Klasyfikacja obiektów z wykorzystaniem drzewa Reguły decyzyjne generowane przez drzewo 2 Powtórzenie
Bardziej szczegółowoEgzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy zachłanne. dr inż. Urszula Gałązka
Algorytmy zachłanne dr inż. Urszula Gałązka Algorytm zachłanny O Dokonuje wyboru, który w danej chwili wydaje się najkorzystniejszy. O Mówimy, że jest to wybór lokalnie optymalny O W rzeczywistości nie
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowo