Obroty, czyli MINIMUM niezbędne każdemu fizykowi!

Obroty, czyli MINIMUM niezbędne każdemu fizykowi! Paweł Rzońca 4 września 2015 Spis treści 1 Wstęp z algebry 2 1.1 Przestrzeń liniowa (V )...................................... 2 2 Forma metryczna w przestrzeni V 3 2.1 Utożsamienie form liniowych i wektorów............................ 3 2.2 Interpretacja geometryczna wpółrzędnych ko-i kontrawariantnych.............. 4 3 Operatory liniowe 4 3.1 Postać kanoniczna operatora liniowego............................. 6 3.2 Z geometrii euklidesowej..................................... 7 4 Operator obrotu 8 4.1 Jak odczytać współrzędne pseudowektora?........................... 8 4.2 Macierz operatora obrotu zależna od współrzędnych pseudowektora n i kąta obrotu ϕ... 10 4.3 Jak znaleźć n i ϕ gdy znana jest macierz obrotu (ortogonalna i wyznacznik =1, w bazie ortonormalnej)?......................................... 11 5 Różne reprezentacje obrotów 11 5.1 Przez macierz N......................................... 11 5.2 Postać ekspotencjalna...................................... 12 5.3 Macierze K............................................ 12 5.4 Reprezentacja spinorowa..................................... 13 5.5 Twierdzenie o zmianie kierunku osi obrotu........................... 13 5.6 Kąty Eulera............................................ 14 5.7 Parametry Eulera-Rodriguesa.................................. 15 5.8 Jednorodna parametryzacja Eulera............................... 15 6 Grupa Obrotów 15 6.1 Grupa............................................... 15 6.2 Reprezentacja grupy....................................... 16 6.3 Grupa Liego............................................ 17 7 Obroty pól 19 7.1 Obrót pola skalarnego...................................... 19 7.2 Obrót pola wektorowego..................................... 20 8 Reprezentacja grupy obrotów w przestrzeni spinorów o spinie 1/2 22 8.1 Operator spinu.......................................... 22 8.2 Obrót spinora........................................... 22 1

9 Całkowanie w grupie Liego 26 9.1 Całkowanie niezmiennicze na grupie Liego........................... 26 9.2 Objętość lewostronna grupy Liego............................... 28 10 Reprezentacje grupy Liego G 28 10.1 Przestrzeń niezmiennicza względem grupy Liego operatorów liniowych........... 28 10.2 Macierze reprezentacji grupy G................................. 29 10.3 Wstawka z algebry........................................ 31 10.4 Koniec wstawki - kontynuacja o macierzach reprezentacji grupy............... 31 10.5 Lemat Schura........................................... 33 10.6 Uwagi dotyczące Lematu Schura................................ 35 10.7 Reprezentacje unitarne grupy obrotów............................. 36 11 Podsumowanie 39 2

1 Wstęp z algebry 1.1 Przestrzeń liniowa (V ) Aksjomaty: 1. a, b V c = a + b V : a) a + b = b + a b) ( a + b) + c = a + ( b + c) c) 0 V a V : 0 + a = a d) a V b V : a + b = 0 2. a i α K(= R lub C) b = α a V : a) α( a + b) = α a + α b b) (α + β) a = α a + β a c) α(β a) = β(α a) d) 1 a = a } α, β K kombinacja liniowa wektorów: a i V ; α i K ; i = 1,..., n b = α i a i V (umowa sumacyjna) Definicja 1 (zbioru wektorów liniowo zależnych). { a i, 1 = 1,..., n} - zb. wektorów liniowo zależnych : { α i, i = 1,..., n ; nie wszystie równe 0 } : α i a i = 0. Definicja 2 (zbioru wektorów liniowo niezależnych). { a i, 1 = 1,..., n} - zb. wektorów liniowo niezależnych : (α i a i = 0 i = 1,..., n : α i = 0). Definicja 3 (wymiaru przestrzeni liniowej). V jest n - wymiarowa : zb. n -liniowo niezależnych wektorów oraz każdy zbiór n + 1 - wektorów jest zbiorem wektorów liniowo zależnych. Piszemy dim V = n. Definicja 4 (bazy w przestrzeni liniowej). Bazą w przestrzeni V (dim V = n) jest każdy zbiór n - wektorów liniowo niezależnych { e i, i = 1,..., n}. Twierdzenie 1 (współrzędnych wektora w bazie). x x i K : x = x i e i. Dowód. dim V = n = { x, e 1,..., e i } - zb. wektorów liniowo zal. = λ, ξ i K( nie wszystkie równe 0 ) : λ x + ξ i e i = 0 i λ 0 ( bo e i -liniowo niezależne ) stąd x = ξi λ e i czyli x = x i e i, x i = ξ i /λ - współrzedne wektora x w bazie { e i, i = 1,..., n} 3

2 Forma metryczna w przestrzeni V Definicja 5 (formy metrycznej). Dowolnie wybrana, lecz raz na zawsze, forma biliniowa symetryczna jest nazywana formą metryczną. Ozn. g g ij det(g ij ) 0 Definicja 6 (przestrzeni euklidesowej). Niech { e i, i = 1,..., n} będzie bazą kanoniczną formy g. Czyli g( x, x) = s 1 (x 1 ) 2 + + s n (x n ) 2. Wtedy gdy: 1. s 1 = = s n = 1 to przestrzeń V nazywamy przestrzenią euklidesową, 2. s 1 = = s n = 1 to g g, 3. w pozostałych przypadkach przestrzeń nazywamy pseudoeuklidesową. Definicja 7 (iloczynu skalarnego). Iloczynem skalarnym x i y ( x, y V ) nazywamy x y := g( x, y) Wniosek 2 (o kącie między wektorami). V x, y, λ R 0 g( x + λ y, x + λ y) = g( x, x) + λ 2 g( y, y) + 2λg( x, y). Zatem 4g 2 ( x, y) 4g( x, x)g( y, y) 0 0 Zatem R ϕ 0, π : c = cos ϕ. ϕ nazywamy kątem między wektorami x i y. g 2 ( x, y) = c 1. g( x, x)g( y, y) Definicja 8 (prostopadłych wektorów). Gdy x 0 i y 0 wówczas x y : g( x, y) = 0. 2.1 Utożsamienie form liniowych i wektorów Zauważmy, iż z definicji wyznacznik det(g ij ) 0, a w przypadku przestrzeni euklidesowej det(g ij ) > 0 Ozn. (A ij ) A, (g ij ) g Od tego momentu pracujemy w przestrzeni euklidesowej. Zatem g 1 o elementach zapisywanych g ij. Zatem g ij g jk = δ i k. Twierdzenie 3 (o zmianie bazy tensora g ij ). g i j = B i i Bj j gij 4

Dowód. g i j A j j x j = g i j x j = x i = B i i x i = B i i g ij x j g i j A j j x j = B i i g ij x j /B j j g i j δ j j x j = B i i B j j gij x j g i j = B i i B j j gij Wyprowadzenie 4 (rozróżnienia współrzędnych). Zauważmy, że forma metryczna g zadaje przekształcenie V V : x i = g ij x j Zatem można utworzyć z liczb x i formę liniową f = x i e i ; e i - formy bazowe : e i ( e j ) = δ i j Zatem wektor x o współrzędnych (w wybranej bazie) x i ma przypisany zbiór liczb x j (i, j = 1,..., n) przy pomocy formy metrycznej g. Dlatego zamiast mówić oddzielnie o wektorach i formach liniowych, powiemy, że wektor jest obiektem z przestrzeni V i V równocześnie. Ma zatem współrzędne x i w bazie { e i } oraz współrzędne x j w bazie form { e j }. Ponieważ: x i = B i i xi - transformują się kontrawariantnie do wektorów bazy { e i } oraz x i = A i i x i - transformują się kowariantnie do wektorów bazy { e i } to zbiór liczb { x i, i = 1,..., n } nazywamy współrzędnymi kontrawariantnymi wektora x, natomiast zbiór liczb {x i, i = 1,..., n} współrzędnymi kowariantnymi tego wektora. 2.2 Interpretacja geometryczna wpółrzędnych ko-i kontrawariantnych Niech dim V = 2 rysunek i niekoniecznie e 1 e 2 = 0. e 1 e 1 = e 2 e 2 = 1 3 Operatory liniowe Definicja 9 (operatora liniowego). L : V V, V - przestrzeń wektorowa. L nazywamy operatorem liniowym, gdy { L( x1 + x 2 ) = L( x 1 ) + L( x 2 ) x, x 1, x 2 V, λ R L(λ x) = λl( x). Macierz operatora L w bazie {e i ; i = 1,..., n} definiujemy przez L e = L k i e k. Twierdzenie 5 (o transformacji macierzy (L k i ) przy zmianie bazy)). Z: e i = A i i e i. T: L k i = Ai i Bk k Lk i, gdzie B = A 1. 5

Dowód. Następnie Zatem ostatecznie L k i e k = Lk i Ak k e k = L e = L k i e k L k i Ak k = Lk i. L k i e i = L k i Bi i e i = L e = L k i e i L k i Bi i = L k i. L k i Ak k Bi i = L k i / B k k A i i L k i = Lk i B k k A i i. Wniosek 6 (o niezmienności wyznacznika operatora liniowego względem bazy). det(l ) = det(l). Dowód. L k i = Ai i Bk k L k i / det det(l ) = det(a) det(b) det(l) = B = A 1 = det(l) Definicja 10 (problemu własnego operatora liniowego). Problem własny operatora liniowego to Rozwiązanie problemu własnego: znalezienie λ i x. Wybieramy dowolną bazę w V, x = x i e i. Ale Stąd L x = λ x, λ R, x 0. L x = λ x = λx k e k. L x = Lx i e i = x i L e i = x i L k i e k. x i L k i = λx k x i (L k i λδ k i ) = 0. Istnieje nietrywialne rozwiązanie det(l k i λδk i ) = 0. Twierdzenie 7 (o wektorach włanych operatora liniowego). Z: { x i ; i = 1,..., k n = dim V } - zbiór wektorów własnych operatora L do wartości własnych {λ 1,..., λ 2 } oraz λ i λ j gdy i j. T: { x 1,..., x k } - zbiór wektorów liniowo niezależnych 6

Dowód przez indukcję. Niech x 1 i x 2 to wektory własne operatora L do wartości własnych λ 1 i λ 2, λ 1 λ 2. L/ C 1 x 1 + C 2 x 2 = 0 (1) C 1 λ 1 x 1 + C 2 λ 2 x 2 = 0 (2) λ 1 (1) (2) : C 2 (λ 1 λ 2 ) x 2 = 0 λ 1 λ 2 C2 = 0 = (1) C 1 = 0. Załóżmy, że { x 1,..., x s 1 } - wektory własne operatora L liniowo niezależne oraz iż x s jest również wektorem własnym operatora L. L/ C 1 x 1 + + C s 1 x s 1 + C s x s = 0 (1) C 1 λ 1 x 1 + + C s 1 λ s 1 x s 1 + C s λ s x s = 0 (2) λ s (1) (2) : C 1 (λ s λ 1 ) x 1 + + C s 1 (λ s λ s 1 ) = 0 krok ind. C 1 = = C s 1 = 0 (1) = C s = 0. 3.1 Postać kanoniczna operatora liniowego Twierdzenie 8 (o macierzy operatora liniowego). Z: Niech operator liniowy L ma n = dim V różnych i rzeczywistych wartości własnych. Czyli T: L k i = λ iδ k i - w bazie { x 1,..., x n }. W (λ) = (λ 1 λ)... (λ n λ). Dowód. L x = λ i x i oraz L x = L k i x k. Wynika z tego iż L k i x k = λ i x i Stąd (L k i λ i δ k i ) x k = 0 L k i = λ i δ k i. Wniosek 9 (o własnościach macierzy operatora liniowego). 1. Macierz operatora w bazie jego wektorów własnych do różnych wartości własnych jest diagonalna. 2. Jeżeli W (λ) ma pierwiastki wielokrotne lub zespolone to na ogół nie istnieje baza w której macierz L jest diagonalna. Definicja 11 (operatora ortogonalnego). V - przestrzeń wektorowa unormowana z iloczynem skalarnym g, euklidesowa. Θ - ortogonalny def. x, y V : g( x, y) = g(θ x, Θ y). Konsekwencje: niech { e i } - baza w V. g( e i, e k ) = g(θ e i, Θ e k ) = g(θ j i e j, Θ s k e s ) = Θ j i Θs kg( e j, e s ) czyli Θ j i Θs kg js = g ik - równanie to definiuje operator ortogonalny. 7

Załóżmy, że { e i } - otronormalna, czyli Zatem w bazie ortonormalnej dostajemy g ij = { 1 dlai = j 0 dlai j. W zapisie macierzowym mamy zatem { n 1 dlai = k = Θ s i Θ s k = 2 dlai k. s/1 ogólnie (baza niekoniecznie ortonormalna) Θ T gθ = g w bazie ortogonalnej Θ T Θ = 1 Definicja 12 (operatorów obrotu i odbicia). 1. Θ jest operatorem obrotu def det(θ) = 1 2. Θ jest operatorem odbicia def det(θ) = 1 Uwaga. podział na odbicia i obroty jest niezmienniczy względem zmiany bazy Θ i j = Aj j B i i Θ i j = det(θ ) = det(a) det(b) det(θ) = det(θ) Twierdzenie 10 (o macierzy operatora obrotu). Θ ortogonalnego( baza ortonormalna ) : macierz tego operatora ma na diagonali +1 lub -1 oraz macierze (2x2) postaci a poza tym same zera. cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 3.2 Z geometrii euklidesowej Aksjomaty geometrii euklidesowej 1. Dana jest przestrzeń punktów (zbiór) E oraz przestrzeń liniowa V euklidesowa nad ciałem R (z metryką g). 2. A, B E : (A, B) - wektor, który oznaczamy przez AB. 3. A E i a V B : a = AB. 4. A, B, C E : AB + BC = AC. Wniosek 11 (najprostsze). i) AA = 0 ii) BA = AB. Odtąd dim(v ) = 3 i { e 1, e 2, e 3 } - baza ortonormalna. Definicja 13 (bazy kartezjańskiej). O E - dowolnie wybrany ustalony punkt X E - dowolnie wybrany punkt OX - wektor wodzący punktu X { e 1, e 2, e 3 } - baza w V wtedy parę (O, { e 1, e 2, e 3 }) nazywamy bazą kartezjańską. 8

Definicja 14 (transformacja bazy kartezjańskiej (przekształcenie euklidesowe)). β - baza kartezjańska nieprimowana β - baza kartezjańska primowana Wówczas x E : x i = A i i xi + c i to przekształcenie euklidesowe. Gdy c = 0 to wtedy x i = A i i xi przekształceniem euklidesowym ortogonalnym. jest Definicja 15. det(a) = 1 det(a ) = 1 - obrót - odbicie Definicja 16. Bazy { e 1, e 2, e 3 } i { e 1, e 2, e 3 } mają tę samą (przeciwną) krętność def det(a = 1 ( 1). Definicja 17. Definiujemy w bazie ortonormalnej 1 gdy ciąg (i, j, k) jest parzystą permutacją ciągu (1, 2, 3) ɛ ijk = 1 gdy ciąg (i, j, k) jest nieparzystą permutacją ciągu (1, 2, 3) 0 gdy wskaźniki się powtarzają oraz, że ɛijk liczbowo = ɛ ijk. Twierdzenie 12 (o zmianie bazy symbolu ɛ ijk ). Można pokazać, iż przy zmianie bazy ɛ i j k = det(a 1 )A i i Aj j A k k ɛ ijk Dowód. Wynika wprost z równości L p i Lq j Lr k ɛ pqr = det(l)ɛ ijk. Wyprowadzenie 13 (zmiany bazy symbolu ɛ ijk ). ɛ i j k = g i p g j q g k r ɛ p q r = Bi i Bp p g ip B j j Bq q g jq Bk k Br r g kr det(a 1 )A p p A q q A r r ɛ pqr = = g ip g jq g kr det(a 1 )Bi i B j j Bk k ɛ pqr = det(a 1 )Bi i B j j Bk k ɛ ijk Definicja 18 (iloczynu wektorowego). a i b V wtedy c = a b, c i = ɛ ijk a j b k (c i = g ij c j ). Wyprowadzenie 14 (zmiana bazy iloczynu wektorowego). 4 Operator obrotu c i = ɛ i j k aj b k = det(a 1 )A i i Aj j A k k ɛ ijkb j j Bk k a j b k = det(a 1 )A i i c i. 4.1 Jak odczytać współrzędne pseudowektora? Wybieramy bazę ortogonalną (prawoskrętną). Baza ta wyznacza śrubę prawoskrętną. Ta śruba przyporządkowuje danemu pseudowektorowi wektor (zwrot wektora oraz pseudowektora pokazuje śróba prawoskrętna). Z definicji przyjmujemy, że współrzędne pseudowektora są równe współrzędnym wektora. 9

Twierdzenie 15. Z: c = a b. T: c a oraz c b. Dowód. g( c, a) = c i a j g ij = c j = c i g ij = c j a j = ɛ jik a i b k a j = ɛ ijk a i b k a j = i j = ɛ jik a j b k a i = 0. wyprowadzić kombinacje gdzie a i b to mogę być wektory albo pseudowetory i czym wtedy jest c - poczatek wykładu 3. Twierdzenie 16 (Pożyteczne tożsamości z symbolami ɛ ijk ). 1. ɛ ijk ɛ pqr = δ p i δq j δr k + δp k δq i δr j + δp j δq k δr i δp i δq k δr j δp k δq j δr i δp j δq i δr k 2. ɛ ijk ɛ kpq = δ p i δq j δp j δq i 3. ɛ ijk ɛ jkp = 2δ p i 4. ɛ ijk ɛ ijk = 6. Twierdzenie 17 (Eulera dla operatorów ortogonalnych). 1. Każdy obrót ma wartość własną λ = 1. 2. Każde odbicie ma wartość własną λ = 1. Dowód. Θ - op. ortogonalny, czyli Θ i j Θp qg ip = g jq. Utwórzmy wyrażenie: g kn g km {}}{{}}{ (Θ i k λδi k )g imθ m n = Θ i kθ m n g im λ δkg i im Θ m n = g kn λg km Θ m n = λg km (Θ m n 1 λ δm n ). (Θ i k λδ i k)g im Θ m n = λg km (Θ m n 1 λ δm n ) / det W (λ) det(g) det(θ) = λ 3 det(g)w ( 1 λ ). g - forma metryczna w przestrzeni euklidesowej det(g) 0 W (λ) det(θ) = λ 3 W ( 1 λ ). Dla obrotu (det(θ) = 1) sprawdzamy, czy λ = 1 jest wartością własną, czyli czy W (1) = 1. W (1) = W (1) = 0. Analogicznie dla odbicia (det(θ) = 1), λ = 1 jest wartością własną, ponieważ W ( 1) = W ( 1) = 0. 10

Spostrzeżenie. Skoro wartość własna operatora obrotu wynosi λ = 1 to w : Θ w = w, czyli istnieje wektor, którego operator obrotu nie zmienia. Wiemy, że taki wektor leży na osi obrotu. Wygodnie jest dla zadawania obrotu wybierać pseudowektor, ponieważ ma on już określone: oś obrotu i kąt obrotu ϕ 0, π. Oczywiście wektor własny operatora obrotu m jest równoległy do pseudowektora tegoż obrotu n ( m jest wyznaczany przez n regułą śruby prawoskrętnej). 4.2 Macierz operatora obrotu zależna od współrzędnych pseudowektora n i kąta obrotu ϕ. Wyprowadzenie 18 (tejże macierzy). Umowa: gdy Θ - operator obrotu to oznaczamy go przez R (od słowa rotacja) r - dowolny wektor ϕ - kąt obrotu 0, π n - jednostkowy pseudowektor obrotu Znając R znamy n = znamy oś obrotu. r = R r, R R( n, ϕ). r = r + r, gdzie r to składowa do n, a zatem r - wektor własny R. r = r + r, lecz r = r = r = r + r. Tworzymy bazę { f1 = r r f 2 = n f 1 = 1 r n r. { f 1, f 2 } - baza ortonormalna. r = r = r = r cos ϕf 1 + r sin ϕf 2 = cos ϕ r + sin ϕ n r, lecz r = r r = r = ( r n) n = r ( r n) n czyli r = [ r ( r n) n] cos ϕ + n [ r ( r n) n] sin ϕ = [ r ( r n) n] cos ϕ + n r sin ϕ. r = r + r = r + r = ( r n) n + [ r ( r n) n] cos ϕ + n r sin ϕ. Wybieramy dowolna bazę ortonormalną (prawoskrętną) r = x i e i r = y i e i n j x j n j x j {}}{{}}{ y i e i = n j x j n i e i + e i [x i n j x j n i ] cos ϕ + e i n s x j ɛsj i sin ϕ y i = x j [n i n j + (δ i j n i n j ) cos ϕ + n s ɛ i sj sin ϕ] lecz y i = Rj i xj, zatem Rj i = n i n j + (δj i n i n j ) cos ϕ + n s ɛsj i sin ϕ. { n i - współrzędne jednostkowego pseudowektora obrotu ϕ - skalar, kąt obrotu ϕ 0, π. Umowa notacyjna operator obrotu wokół osi n o kąt ϕ R( n, ϕ) R n (ϕ), gdy n OX to R x (ϕ). 11

Uwaga. 0 ϕ π = cos ϕ - różnowartościowa funkcja kąta = ϕ określony przez cos ϕ. Łatwo pokazać, że 1 0 0 cos ϕ 0 sin ϕ cos ϕ sin ϕ 0 R x (ϕ) = 0 cos ϕ sin ϕ, R y (ϕ) = 0 1 0, R z (ϕ) = sin ϕ cos ϕ 0. 0 sin ϕ cos ϕ sin ϕ 0 cos ϕ 0 0 1 4.3 Jak znaleźć n i ϕ gdy znana jest macierz obrotu (ortogonalna i wyznacznik =1, w bazie ortonormalnej)? ɛ i si = g ik ɛ sik = Tr(R) = R i i = n i n i + (δj i n i n i ) cos ϕ + n s ɛsi i sin ϕ =... ɛ sik = ɛ ski g ik = g ki = gki i k ɛ ski = k i = gik ɛ sik = 0 = 1 + (3 1) cos ϕ = 1 + 2 cos ϕ cos ϕ = 1 (Tr(R) 1). 2 Uwaga. Oczywiście operator obrotu jest określony trzema parametrami: kątem ϕ i dwiema składowymi pseudowektora n (bo n n = 1). Spostrzeżenie. Gdy δk i ɛ li k zatem Rk i ɛ li k = n i sin ϕ ɛ i R i kɛ k li = n i n k ɛ k li }{{} n i n k ɛ lik i +(δkɛli k S ij - symetryczne A ij - antysymetryczne = ɛ k lk = gks ɛ lks = 0 oraz n i n k ɛ lik = 0 sk ɛli k n i n k ɛli k ) cos ϕ + n s ɛsk i ɛli k sin ϕ. = S ij A ij = 0. }{{} ɛ i sk gkp ɛ lip = ɛ i sk gkp ɛ lpi = ɛ i sk ɛ k l i = ɛ skiɛ ki l = g lj ɛ ski ɛ ikj = 2g lj δ j s = 2g ls. R i kɛ k li = 2g ls n s sin ϕ = 2n l sin ϕ. Gdy ϕ 0, π to n l = 1 2 sin ϕ Ri k ɛ li k. Warto sprawdzić, że n jest jednostkowy. n 1 = 1 2 sin ϕ (R2 3 R3 2 ) n 2 = 1 2 sin ϕ (R3 1 R1 3 ) n 3 = 1 2 sin ϕ (R1 2 R2 1 ) n 2 = (n 1 ) 2 + (n 2 ) 2 + (n 3 ) 2 = 1 4 sin 2 ϕ 5 Różne reprezentacje obrotów 5.1 Przez macierz N Twierdzenie 19. Niech N i j = ns ɛ i sj N = 0 n 3 n 2 n 3 0 n 1. n 2 n 1 0 12

Dowód. Wyznaczymy składniki przebiegając po wskaźnikach: N1 1 = ns ɛs1 1 N2 1 = ns ɛs2 1 N3 1 = ns ɛs3 1 N1 2 = ns ɛs1 2 N2 2 = ns ɛs2 2 N3 2 = ns ɛs3 2 N1 3 = ns ɛs1 3 N2 3 = ns ɛs2 3 N3 3 = ns ɛs3 3 Twierdzenie 20. (N 2 ) i j = ni n j δ i j. Dowód. (N 2 ) i j = N i k N k j = np ɛ i pk nq ɛ k qj = n p n q g is ɛ pks g qr g jt ɛ rtk = n p n q g is g qr g jt ɛ spk ɛ krt = n p n q g is g qr g jt (δ r sδ t p δ r pδ t s) = n p n r g is g jt δ r sδ t p n p n r g is g jt δ r pδ t s = n t n s g is g jt n p n p g is g jt δ t s = n i n j δ i j. Twierdzenie 21. R = 1 + N 2 (1 cos ϕ) + N sin ϕ. Dowód. Rj i = δi j + (N2 ) i j (1 cos ϕ) + N j i sin ϕ = δi j (ni n j δj i)(1 cos ϕ) + ns ɛsj i sin ϕ = ni n j + (δj i n i n j ) cos ϕ + n s ɛsj i sin ϕ. 5.2 Postać ekspotencjalna Twierdzenie 22. N 3 = N. Dowód. (N 3 ) i j = (N2 ) i k N j k = (ni n k δk i )ns ɛsj k = n i n k n s ɛsj k n s ɛsj i = ni n k n s ɛ sjk Twierdzenie 23. R = exp(ϕn), gdzie e A def = n/0 A n n!. Dowód. Korzystając z zasady indukcji matematycznej pokażemy, że { N 2w+1 = ( 1) w N } {{ } =0 n s ɛ i sj = ns ɛ i sj = N i j. N 2w = ( 1) w+1 N 2. Sprawdzenie dla niskich: N 3 = N, N 4 = N 3 ( N) = N 2, N 5 = N 3 N 2 = N 3 = N. { N 2w+1 = ( 1) w N Założenie indukcyjne: N 2w = ( 1) w+1 N 2. { N 2w+3 = ( 1) w+1 N Krok indukcyjny, trzeba pokazać, że: N 2w+2 = ( 1) w+2 N 2..{ N 2w+3 = N 2w+1 N 2 = ( 1) w N 3 = ( 1) w+1 N N 2w+2 = N 2w N 2 = ( 1) w+1 N 2 N 2 = ( 1) w+2 N 2. Zatem powyższe wzory są prawdziwe. exp(ϕn) = w/0 ϕ w Nw w! = 1 + w/1 ϕ2w N2w (2w)! + w/0 ϕ2w+1 N2w+1 (2w+1)! = 1 N2 w/1 ϕ 2w ( 1) w (2w)! + + N w/0 ϕ 2w+1 ( 1) w (2w+1)! = 1 + N2 (1 cos ϕ) + N sin ϕ = R. 5.3 Macierze K Definicja 19. Wprowadzamy pseudowektor obrotu postaci ϕs {}}{ Wtedy (ϕn) i j = ϕ s (K s ) i j ϕn s ɛ i sj = ϕ sɛ i sj w skrócie = ϕ K, K = (K 1, K 2, K 3 ). ϕ = ϕ n, n n = 1. Wtedy R = exp ϕ K, cała informacja o obrocie tkwi w ϕ. def = ϕ s (K s ) i j. Mamy zatem 3 macierze K s, s = 1, 2, 3. 13

Wyprowadzenie 24 (komutatora macierzy K i, i = 1, 2, 3). [K i, K j ] = (K i K j ) p q (K j K i ) p q = (K i ) p s(k j ) s q (K j ) p s(k i ) s q = ɛ p is ɛ jq s ɛ p js ɛ iq s = = g pm g jr g qt ɛ ism ɛ rts g mp g ir g qt ɛ jsm ɛ rts = g mp g qt (g ir ɛ jsm ɛ rts g jr ɛ ism ɛ rts ) = = g mp g qt ( g ir (δj rδt m δmδ r j t) + g jr(δi rδt m δmδ r i t)) = gmp g qt ( g ij δm t + g im δj t + g jiδm t g jm δi t) = = g mp g qt (g im δj t g jmδi t) = gmp g }{{ im g } qj + g mp g jm g qi = g sq (δi s δ p j δs j δ p i ) = ɛ ijkɛkps g sq = ɛ k ij }{{} δ p i ɛ ijk ɛ spk = ɛij k czyli. ɛ p kq = ɛ ij k(k k) p q 5.4 Reprezentacja spinorowa } {{ } δ p j [K i, K j ] = ɛ s ij K s ɛ p k q = Definicja 20. def Wprowadzimy zamiast K i, i = 1, 2, 3 macierze hermitowskie S i = i K i = [S i, S j ] = i ɛij ks k. Jest to macierzowa reprezentacja spinu S = 1. 5.5 Twierdzenie o zmianie kierunku osi obrotu Twierdzenie 25 (o zmianie kierunku osi obrotu). Z: R( n, ϕ) oraz Θ - operatory obrotu. T: ΘR( n, ϕ)θ 1 = R(Θ n, ϕ). Dowód. Spostrzeżenie. Niech wektor u n, u u = 1, R( n, ϕ) R, zatem R u = cos ϕ u + sin ϕ n u. Wtedy: (R u) u = cos ϕ (R u) u = sin ϕ( n u) u = sin ϕ u ( u n) = sin ϕ[( u n) u ( u u) n] = sin ϕ n Lemat 26. Z: a i b - dowolne niezerowe wektory, Θ - dowolny obrót. T: Θ( a b) = (Θ a) (Θ b). Dowód. Θ a = a p Θ j p e j c = a b c i e i = ɛ i pq a p b q e i L = Θ c = ɛ i pq a p b q Θ s i e s Θ b = b q Θ k q e k Przyjmujemy, że e j e k = e s. Zatem Porównujemy obie strony P = (Θ a) (Θ b) = a p Θ j p b q Θ k q ɛ s jk e s. a p Θ j p b q Θ k q ɛ s jk e s = ɛ i pq a p b q Θ s i e s 14

Wystarczy udowodić równość 1. Z definicji wyznacznika: a p b q Θ j p Θ k q ɛjk s = ɛpq i a p b q Θ s i Θ j p Θ k q ɛ s jk Θ p i Θq j Θr kɛ pqr = det(θ)ɛ ijk. = ɛ i pq Θ s i. (1) Równość tę mnożymy obustronnie przez (Θ 1 ) k sg sl, gdzie w bazie ortonormalnej Zatem (Θ 1 ) k s = (Θ T ) k s = Θ p qg qk g ps. Θ p i Θq j (Θ 1 ) k sθ r k g sl ɛ pqr = det(θ) Θ p }{{}}{{} qg qk g ps g sl ɛ ijk δs r 1 Θ p i Θq j grl ɛ pqr = Θ p q g ps g sl ɛ q ij }{{} δp l Θ p i Θq j ɛ l pq = Θ l qɛ q ij Co jest równoważne równości 1 z dokładnością do oznaczeń, a więc równość ta jest prawdziwa. Trzeba znaleźć n i ϕ nowego operatora obrotu R ( n, ϕ ) = ΘR( n, ϕ)θ 1. Spostrzeżenie. ɛ = ±1 wtedy ɛθ n - wyznacza kierunek obrotu op. R, ponieważ R ɛθ n = ɛθrθ 1 Θ n = ɛθr n = ɛθ n. Zatem znamy oś operatora obrotu R. Weźmy dowolny wektor u Θ n i u u = 1. Zatem na podstawie pierwszego spostrzeżenia (R u) u = cos ϕ, ϕ 0, π. 0 = u(θ n) = (Θ } 1 {{ u }) n v n v lecz (R u) u = (ΘRΘ 1 u) u = (RΘ 1 u)(θ 1 u) = (R v) v = cos ϕ cos ϕ = cos ϕ = ϕ = ϕ. Z kolei (R u) u = sin ϕ n = sin ϕ n lecz Θ 1 [(R u) u] = Θ 1 [(ΘRΘ 1 u) u] = (R Θ} 1 {{ u }) (Θ } 1 {{ u }) = sin ϕ n. Stąd sin ϕθ n = sin ϕ n v v n = Θ n. 5.6 Kąty Eulera Wykonujemy trzy obroty: 1. R z (α), α π, π : y y 1. 2. R y1 (β), β 0, π : z = z 1 z 2. 3. R z2 (γ), γ π, π. Twierdzenie 27. R z (α)r y (β)r z (γ) = R z2 (γ)r y1 (β)r z (α). Dowód. 1. R y1 (β) = R z (α)r y (β)rz 1 (α). 15

2. R z2 (γ) = R y1 (β)r z (γ)r 1 y 1 (β).. P = R z (α)r y (β)rz 1 (α)r y1 (β)r z (γ)ry 1 1 (β)r y1 (β)r z (α) = L R(α, β, γ) = R z (α)r y (β)r z (γ) = cos α cos β cos γ sin α sin γ cos α cos β sin γ sin α cos γ cos α sin β sin α cos β cos γ + cos α sin γ sin α cos β sin γ + cos α cos γ sin α sin β. sin β cos γ sin β sin γ cos β Przekształcenie odwrotne R 1 (α, β, γ) = [R z (α)r y (β)r z (γ)] 1 = R 1 z (γ)r 1 y (β)rz 1 (α) = R z ( γ)r y ( β)r z ( α). wykracza poza zakres 0, π Należy odpowiedzieć na pytanie jak pseudowektor n i kąt ϕ zadają obrót. Przyjmujemy, iż z definicji ϕ 0 (ϕ < 0) gdy obrót jest zgodny (przeciwny) z zadanym pseudowektorem. R y ( β) R(ŷ, β) = R( ŷ, β) R 1 (α, β, γ) = R z ( γ)r z (π)r y (β)rz 1 (π)r z ( α) = R(π γ, β, π α). 5.7 Parametry Eulera-Rodriguesa α 0 = cos ϕ 2, α = n sin ϕ 2, n n = 1, ϕ 0, π, α2 0 + α α = 1. 5.8 Jednorodna parametryzacja Eulera β = α = ntg ϕ, n n = 1, ϕ 0, π. α 0 2 Twierdzenie 28. Gdy R( β 3 ) = R( β 2 )R( β 1 ) to Twierdzenie 29. β 1 β 2 = ϕ 3 = ϕ 1 ± ϕ 2. β 3 = β 1 + β 2 + β 2 β 1 1 β 1 β2. tutaj jeszcze zapisać macierz R poprzez składowe pseudowektora beta 6 Grupa Obrotów 6.1 Grupa Definicja 21. Zbiór G z działaniem mnożenia (składania) nazywamy grupą, wtedy gdy 1. g 1, g 2 G!g 3 G : g 3 = g 1 g 2. 2. g i, i = 1, 2, 3 zachodzi (g 1 g 2 )g 3 = g 1 (g 2 g 3 ). 3. e G g G : ge = g. 4. g G g 1 G : gg 1 = e. Uwaga. Gdy zachodzi 1. to G - grupoid, natomiast gdy 1. i 2. to G - półgrupa. 16

Twierdzenie 30. 1. gg 1 = g 1 g. 2. eg = g. 3.!e. Dowód. 1. 2. (g 1 g)g 1 = g 1 (gg 1 ) = g 1 e = g 1 /(g 1 ) 1 z prawej g 1 g = e = gg 1. eg = (gg 1 )g = ge = g. 3. Przyjmijmy, że istnieje inna jedynka - e, wtedy e = e e = ee = e. Definicja 22. Niech G i G -grupy, f : G G, wtedy 1. f - homomorfizm def g 1, g 2 G : f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ). 2. f - endomorfizm, gdy G = G oraz f - homomorfizm. 3. f - izomorfizm, gdy f -homomorfizm oraz bijekcja. 6.2 Reprezentacja grupy Niech V - przestrzeń liniowa, a V L - zbiór operatorów liniowych działających w V. Definicja 23. Reprezentacją liniową grupy G działającą w V, nazywamy homomorfizm Θ : G V. Uwaga. Θ(e) = ˆ1 - operator jednostkowy. Uwaga. Gdy g 1 i g 2 G to Θ(g 1 g 2 ) = Θ(g 1 )Θ(g 2 ). Uwaga. Gdy dana jest baza w V i dim V = n <, wtedy Θ(g) e j = Θ i j (g) e i czyli operatorowi Θ(g) w bazie { e i, i = 1,..., n} przyporządkowana jest macierz Θ i j (g) (w skrócie Θ) oraz det(θ) 0. Wniosek 31. Przy zadanej bazie Θ : G Γ(G), gdzie Γ(G) - zbiór macierzy rzędu n i z niezerowym wyznacznikiem. Wymiar przestrzeni n (= dim V ) nazywamy rzędem grupy. Θ jest homomorfizmem, ponieważ Θ(g 1 g 2 ) e i = Θ(g 1 )Θ(g 2 ) e i = Θ(g 1 )Θ j i (g 2) e j = Θ j i (g 2)Θ(g 1 ) e j = Θ j i (g 2)Θ k j (g 1 ) e k, leczθ(g 1 g 2 ) e i = Θ k i (g 1 g 2 ) e k }{{} Θ(g 1 g 2 )=Θ(g 1 )Θ(g 2 ). Uwaga. Gdy G - grypa obrotów, dim V = 3, to reprezentację macierzową stanowią macierze R( n, ϕ), gdzie R T R = RR T = 1 - macierze ortogonalne i det(r) = 1. Wtedy Γ(G) oznaczamy przez SO(3) (Specjalne - det(r) = 1, ortogonalne macierze o wymiarze 3). 17

6.3 Grupa Liego Definicja 24 (uproszczona). Odtąd przez grupę G będziemy rozumieć grupę operatorów liniowych V L, gdzie dim V = n <. 1. Niech elementy grupy g operatorów liniowych zależą od N parametrów s = (s 1,..., s N ), czyli g G s : g = g( s), g( s) - f-cja analityczna. 2. Parametry te wybrano tak, aby g( 0) = ˆ1. { g( u) = g( s)g( t) 3. Niech g( w) = g 1 ( v). Przykład 1 (grup Liego). wtedy { u = u( s, t) w = w( v) to funkcje analityczne gdy s, t, v w otoczeniu 0. 1. Grupa translacji w E 3 - przestrzeń euklidesowa 3-wymiarowa, T, t a, a - wektor V, dim V = 3. 2. SO(3), R( n, ϕ), gdzie ϕ ( π, π. 3. Grupa boostów Galileusza, g( v, a), a - wektor translacji przestrzennej, v i, a i (, ). 4. Grupa boostów Lorenza L( v, ϕ), v i (, ), n n = 1, ϕ ( π, π. 5. Grupa Poincarego P ( v, ϕ, a, τ), τ - parametr translacji czasowej, jest to grupa Liego 10-cio parametrowa. Tu WYKAZAĆ ŻĘ SĄ GRUPAMI LIEGO Definicja 25 (generatorów grupy operatorowej Liego). lub w skrócie Uwaga. Dla funkcji wielu zmiennych f( s) = n/0 J k := i g s k ( s = 0), k = 1,..., n J = i s g( s). s= 0 1 n! ( s )n f( s) = f( 0) + s f( s) +... s= 0 s= 0 Z analityczności f-cji g = g(s) (, gdzie δ s 0) wokół zera g(δ s) = g( 0) + δ s g( s) + = ˆ1 i s= 0 δ s J +... Załóżmy, że δ s J = 0 = g(δ s) = ˆ1 lecz w grupie istnieje tylko jedna jedynka g( 0). Zatem g(δ s) = g( 0) = δ s = 0 = {J i, i = 1,..., n} - liniowo niezależne. Składanie nieskończenie małych przekształceń g(δ s) = ˆ1 i δ s J, niech δ s = s/n, wtedy ( g(δ s) = lim 1 i N ) s N N J. 18

Twierdzenie 32. 1. g 1 ( s) = g( s). 2. g( s) - unitarny J i = J i (hermitowski). Dowód. Wyprowadzenie 33 (Komutatora grupy Liego). Niech s i = (s 1,..., s i,..., s n ) : i j : s j = 0. Wtedy komutator grupy ma postać C ij = g 1 ( s i )g 1 ( s j )g( s i )g( s j ) = ˆ1 s is j 2 [J i, J j ] +... Lecz C ij G = t - parametr grupy : C ij = g( t). Zatem ˆ1 i t J + = ˆ1 s is j 2 [J i, J j ] +... i t J + = s i s j [J i, J j ] +... / 1 s i s j gdy s i, s j 0 i t J + = [J i, J j ] +... s i s j ( t k ) i lim Jk. s i s j 0 s i s j Zatem przyjmujemy oznaczenie, na stałe struktury grupy Liego C k ij := k lim s i s j 0 t k s i s j wtedy [J i, J j ] = i C k ijj k, k = 1,..., n. (2) Twierdzenie 34. 1. C k ij = Ck ji. 2. C p ij C pk + C p ki C pj + C p jk C pi = 0. Dowód. Przykład 2 (dla grupy SO(3)). zatem zatem tutaj C k ij = ɛ k ij. R( n, ϕ) R( ϕ) = e i ϕ S, [S i, S j ] = i ɛij k S k S = i K, (K k ) i j = ɛkj i Zadanie! pokazać, że macierze S i w bazie wektorów własnych macierzy S 3 mają postać: S 1 = i 0 1 0 1 0 1, S 2 = i 0 i 0 i 0 i, S 1 0 0 3 = i 0 0 0. 2 0 1 0 2 0 i 0 0 0 1 19

Uwaga. Generatory grupy Liego (spełniające regułę 2) nazywamy algebrą Liego. Uwaga (o nieskończenie małych obrotach). R(δ ϕ) = ˆ1 i δ ϕ S. R(δ ϕ 1 )R(δ ϕ 2 ) = (ˆ1 i δ ϕ 1 S)(ˆ1 i δ ϕ 2 S) = ˆ1 i (δ ϕ 1 + δ ϕ 2 ) S = = δ ϕ 3 : R(δ ϕ 1 )R(δ ϕ 2 ) = R(δ ϕ 3 ) = ˆ1 i δ ϕ 3 S. stąd δ ϕ 3 = δ ϕ 1 + δ ϕ 2 = δ ϕ 2 + δ ϕ 1 (3) Wniosek 35. Nieskończenie małe obroty są przemienne = w 3 = w 1 + w 2, w - prędkość kątowa, bo dzieląc 3 przez δt (w którym te obroty nastąpiły) dostajemy powyższe. 7 Obroty pól 7.1 Obrót pola skalarnego Przykłady pól skalarnych: funkcja falowa spełniająca równanie Schrődingera. potencjał elektryczny pole gęstości Definicja 26 (pola skalarnego). Jest to funkcja E 3 p f(p) R (lubc). Załóżmy, że funkcja ta jest różniczkowalna. E 3 - przestrzeń euklidesowa 3-wymiarowa, to znaczy przestrzeń afiniczna (E, V 3 ), gdzie E - zbiór punktów, a V 3-3 wym. przestrzeń liniowa (wektorów) euklidesowa. Bazą w przestrzeni E 3 jest para (0, { e 1, e 2, e 3 }), gdzie 0 - wyróżniony punkt w E, { e 1, e 2, e 3 } - baza kartezjańska. Gdy zadana jest baza w E 3 wtedy E p = 0 + (p 0) = 0 + r = 0 + x i e i, }{{} r gdzie x i to współrzędne wektora r w tejże bazie. x 1 Wówczas przez pole skalarne można rozumieć funkcję f(x), x = x 2. x 3 Definicja 27 (obrotu funkcji skalarnej). Przez obrót funkcji rozumiem operację na f(x) : f (x ) = f(x) x = R( ϕ)x = x = R 1 ( ϕ)x f (x ) = f(r 1 ( ϕ)x ) czyli f (x) = f(r 1 ( ϕ)x) Definicja 28. Niech F - zbiór pól skalarnych różniczkowalnych i U R : F lin. F, tak, że U R f(x) = f(r 1 x) 20

Twierdzenie 36. U R tworzy grupę homomorficzną z grupą obrotów, czyli, że: Dowód. U R1 U R2 = U R1 R 2. Twierdzenie 37 (wyprowadzenie postaci operatora U R dla pól skalarnych). U R = e i ϕ ˆ L. Dowód. Zaczynamy od operatorów infinitezymalnych: Z definicji dostajemy czyli U δr, gdzie δr R(δ ϕ) = ˆ1 i δ ϕ J, δr = 1 i δ ϕ S. U δr f(x) = f(δr 1 x) = f[(1 + i δ ϕ S)x] = f(x + i δ ϕ S x) }{{} δx δx = i δ ϕ S x = i δ ϕ (i K)x = δ ϕ K x δx i = δϕ j (K j ) i sx s = δϕ i ɛ i js x s = (δ ϕ r) i. f(x + δx) = f(x) + δx i f(x) x i = f(x) (δ ϕ r) i f (0) = f(x) (δ ϕ r) (0) = x i x=0 }{{} = f(x) i δ ϕˆ Lf(x) = (1 i δ ϕˆ L)f(x). Zatem U δr = 1 i δ ϕˆ L i ˆ L gdy δ ϕ = ϕ N, N >> 1 to U R = lim (1 i ϕ ˆ L) N = e i ϕ ˆ L N N 7.2 Obrót pola wektorowego Definicja 29 (pola wektorowego). E 3 p V (p) V 3. Załóżmy, że wybieramy bazę w E 3, wtedy x - kolumna współrzędnych wektora p, A(x) - współrzędne pola wektorowego. Czyli R 3 x [V 1 (x), V 2 (x), V 3 (x)] R 3. Załóżmy, że funkcje V i (x) są różniczkowalne. Gry R - operator zadający obrót w V 3 A ( r ) = R A( r). Macierzowo A (x) = RA(x), 21

gdzie x = Rx, a inaczej x = R 1 x. opuszczamy primy A (x ) = RA(R 1 x ) A (x) = RA(R 1 x) Załóżmy, że obrotowi R odpowiada w przestrzeni f-cji (V 1 (x), V 2 (x), V 3 (x)) odpowiada operator U R taki, że U R V ( r) = R V (R 1 r). Twierdzenie 38 (wyprowadzenie postaci operatora U R dla pól wektorowych). U R = e i ϕ ˆ J. Dowód. Najpierw szukamy U δr - infinitezymalny operator rotacji. Przechodzimy do reprezentacji macierzowej δr = R(δ ϕ) = 1 i δ ϕ S macierzy δr odpowiada macierz U δr. Wtedy lecz Wtedy z transformacji funkcji skalarnej U δr A(x) = δra(δr 1 x) δr 1 i = 1 + δ ϕ S. U δr A(x) = (1 i δ ϕ S)A[(1 + i δ ϕ S)x] U δr A(x) = (1 i δ ϕ S)(1 i δ ϕ ˆ L1)A(x) = (1 i δ ϕ(1ˆ L + S }{{} ))A(x) = op. całkowitego krętu: moment orbitalny L i spinowy S = (1 i δ ϕ J)A(x). Zatem przyjmując, że δ ϕ = ϕ N i N >> 1 to otrzymamy U δr = 1 i δ ϕ J. U R = lim U n = lim (1 i δ ϕ J) N N N N = e i ϕ ˆ J. Twierdzenie 39. Dowód. [Ĵi, Ĵk] = i ɛ s ik J s. Twierdzenie 40. {U R } - zbiór operatorów w przestrzeni pól wektorowych tworzy grupę homomorficzną z grupą operatorów {R}, czyli U R1 R 2 = U R1 U R2. Dowód. 22

8 Reprezentacja grupy obrotów w przestrzeni spinorów o spinie 1/2 Definicja 30. S - 2 wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem C. Niech χ S, χ nazywamy spinorem. Oczywiście po wyborze bazy { e 1, e 2 } w S ( ) χ = χ i χ 1 e i, χ κ = Twierdzenie 41. Załóżmy, że U : S S - op. liniowy, którego macierz (w zadanej bazie) jest unitarna U U = 1 oraz det(u ) = 1. Wtedy 1. zbiór tych macierzy tworzy grupę, 2. każda macier U jest określona trzema niezależnymi parametrami. Dowód. 8.1 Operator spinu χ 2 Definicja 31 (operatora spinu). ŝ i = 2 σ i, i = 1, 2, 3 łatwo sprawdzić, że σ 1 = ( ) 0 1, σ 1 0 2 = ( ) ( ) 0 i 1 0, σ i 0 3 =. 0 1 [σ i, σ j ] = 2iɛij k σ k = [ŝ i, ŝ j ] = i ɛij k Wartości własne każdej z macierzy Pauliego to ±1 oraz dla ŝ i = ± 2. Twierdzenie 42. Niech V 3 n, n n = 1. Wtedy V 3 n, n n = 1 χ n S : nˆ sκ n = 2 κ n ( nˆ s = n 1 ŝ 1 + n 2 ŝ 2 + n 3 ŝ 3 ) Uwaga. Wektor n to wektor polaryzacji spinu. 8.2 Obrót spinora Niech wtedy n = R n, R - dowolny obrót n i = R i jn j. Niech ponadto χ - spinor spolaryzowany w kierunku n, czyli nˆ sκ n = 2 κ n. ŝ k Definicja 32. Zbiór macierzy 2 2 unitarnych i unormowanych (det = 1) tworzy grupę oznaczoną przez SU(2). 23

Twierdzenie 43. Homomorfizm SU(2) i SO(3) jest zadany relacją R i j(u)u σ i U = σ j (4) Dowód pokazujący, że to homomorfizm. = -++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Konsekwencja wzoru 4 n sκ n = 2 κ n n i ŝ i κ n = 2 κ n n j R i j(u)u ŝ i U κ n = n i s j κ n = 2 κ n n ˆ s U κ n }{{} κ n = 2 U κ n }{{} κ n n ˆ sκ n = 2 κ n Czyli przez obrócony spinor rozumiem taki spinor, który jest spolaryzowany w kierunku obróconego wektora. Do rozwiązania równania 4 korzystamy z infinitezymalnego obrotu. δr i j Ri j (δu). Załóżmy, że δr jest efektem δu. Wtedy 4 przyjmuje postać δr i jδu σ i δu = σ j (5) powyższe równanie trzeba rozwiązać dla δu, gdy znamy δrj i. Załóżmy, że SU(2) grupa Liego Skoro U - unitarna to U = e i ϕ a, gdzie ϕ = (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ), a = (a 1, a 2, a 3 ). a = a. Liczba niezależnych parametrów macierzy hermitowskiej 2 2 a ij = a ji - 4 niezależne równania = ilość niezależnych parametrów = 8 4 = 4. Zatem wybieramy bazę zbudowaną z macierzy hermitowskich { ( )} 1 0 σ i, i = 1, 2, 3 i σ 0 =. 0 1 Każdy składnik tej bazy oznaczamu jako {σ µ, i = 0, 1, 2, 3}. Oczywiście są one nieależne liniowo oraz σ µ = σ µ. Zatem Zauważmy, iż a s = α µ s σ µ, α µ s R, są to wsp. wektora (macierzy herm.) w bazie {σ µ, i = 0, 1, 2, 3}. U( ϕ) = e i ϕ a = e i ϕs α µ s σ µ = exp i (ϕs αs 0 σ 0 + ϕ s α i }{{} sσ i ) = e i c0 σ 0 exp[ i ϕs αsσ i i ]. c 0 δu = = 1 i δ ϕ a, (δri j) = 1 i δ ϕ S, (S i ) i j = i ɛ q ip. 24

Wstawiając to do równania 5 otrzymujemy (1 i δ ϕ S) i j(1 + i δ ϕ a)σ i(1 i δ ϕ a) = σ j σ j i (δ ϕ S) i jσ i + i δ ϕ aσ j i δ ϕ (σ j a) = σ j Zatem δϕ s ɛ j sj σ i = i δ ϕ[σ j, a] = i δϕs [σ j, a s ] ɛ i sj σ i = i [σ j, a s ] a s = α µ s σ µ, µ = 0, 1, 2, 3, (σ 0 = 1, σ k, k = 1, 2, 3 - macierze Pauliego.) Zatem ɛ i sj σ i = i αµ s [σ j, σ µ ] = i αk s[σ j, σ k ], k = 1, 2, 3 (bo 1 komutuje z σ j ) Macierz Pauliego są liniowo niezależne, zatem ɛ i sj σ i = 2 ɛ i jk σ i α k s. ɛ i sj = 2 ɛ i jk α k s / g ip ɛ sjp = 2 ɛ jkpα k s = 2 ɛ kjpα k s / ɛ qjp δ q s = 2 αk sδ q k = 2 αq s α q s = 2 δq s. Czyli Ostatecznie a i = α µ i σ µ = αi 0 σ 0 + }{{} 2 δj i σ j = ŝ i. =0 a = ˆ s. U ( ϕ) = e i ϕ ˆ s = e i 2 ϕ σ. Twierdzenie 44. U ( ϕ) U(ϕ, n) = cos ϕ 2 1 i sin ϕ n σ. 2 Dowód. Korzystamy z tożsamości σ i σ j = δ ij + iɛij k σ k Uwaga. ( cos ϕ U = 2 i sin ϕ 2 n 3 i sin ϕ 2 (n ) 1 in 2 ) i sin ϕ 2 (n 1 + in 2 ) cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 n 3 25

Twierdzenie 45. det(u) = 1. Dowód. det(u) = (cos ϕ 2 i sin ϕ 2 n 3)(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 n 3) sin 2 ϕ 2 (n 1 in 2 )(n 1 + in 2 )) Uwaga. 1. Równanie 4 zadaje homomorfizm grupy SU(2) na całą SO(3). 2. Równanie 4 ma dokładnie 2 rozwiązania przy tym samym R( ϕ). R i ju σ i U = σ j Równanie to spełniają dwie macierze: U i U. Wtedy R i ju σ i U = R i ju σ i U / (R 1 ) j k U / U σ i U = U σ i U / U σ k = UU σ k U U = UU σ k (UU ) = Vσ k V. Stąd σ k V = Vσ k [σ k, V] = 0. Twierdzenie 46. V = λ1 Dowód. 1 = det V = λ 2 λ = ±1. Zatem U U = λ1 = U = ±U. 3. U ( ϕ) U (ϕ, n). U(2π, n) = 1, U(4π, n) = 1. Definicja 33. Grypę powstałą z macierzy SO(2), w której utożsamiamy obroty różniące się o 4π, a te różniące się o 2π traktujemy jako różne, nazywamy grupą nakrywającą grupy obrotów SU(3) i oznaczamy ją przez SU (2). Twierdzenie 47. SU (2) U(α, β, γ) = ( e i 2 (α+γ) cos β 2 e i 2 (α γ) sin β 2 e i 2 (α γ) sin β 2 e i 2 (α+γ) cos β 2 ) Dowód. Korzystając z jawnej postaci U ( ϕ)... Uwaga. γ = γ + 2π, γ 0, 2π = U(α, β, γ ) = U(α, β, γ). 26

9 Całkowanie w grupie Liego 9.1 Całkowanie niezmiennicze na grupie Liego Definicja 34. Niech f : G R, gdzie G - grupa Liego. Elementy g G są sparametryzowane n parametrami, s = (s 1,..., s n ). Zatem funkcję f można rozumieć jako funkcję f : R n R. Niech f - całkowalna, wtedy przez całkę na grupie G f(g) = dµ(g), dµ(g) - element miary na G rozumiemy całkę G R n Ω f(s) µ(s)d n s. }{{} dµ(g) R + µ(s) µ(g) - gęstość elementów grupy w otoczeniu elementu g. Definicja 35. Całka G f(g) = dµ(g) jest lewostronnie niezmiennicza def f, f -całkowalna b G : f(ba)dµ(a) = f(a)dµ(a). Uwaga. Powyższy warunek jest spełniony gdy miara jest lewostronnie niezmiennicza, czyli gdy G b G : dµ(ba) = dµ(a). G Mianowicie G c = ba f(ba)dµ(a) = a = b 1 c G = f(c) dµ(b 1 c) = f(c)dµ(c). }{{} G dµ(c) Szukamy postaci miary lewostronnie niezmienniczej a = g(a), b = g(b), c = g(c), lecz c = ba Zatem c i = h i ( b, a) dc i = hi a j ( b, a)da j = d n c = J( b, a) {}}{ h i ( b, a) a j dn a. dn c dµ(c) dµ(ba) = dµ(a) = µ(a)d n a = J(. b, a) element a jest dowolny, zatem w celu znalezienia miary przyjmijmy, że a = e = a = 0 = c = ba = b. dµ(c) = µ(e) J( c, 0) dn c = niech µ(e) = 1 = dn c J( c, 0). Miarę prawostronnie niezmienniczą definiujemy zupełnie analogicznie. Wyprowadzenie jej postaci przebiega analogicznie dµ(c) = dn c J( 0, c). 27

Przykład 3 (kilka miar lewostronnie niezmienniczych). 1. G - grupa obrotów wokół osi OZ R z (ϕ)r z (ψ) = R z (ϕ + ψ) = h(ϕ, ψ) = ϕ + ψ h (ϕ, 0) ψ = 1 = dµ(ϕ) = dϕ. Z komutacji powyższych operatorów miara ta jest również prawostronnie niezmiennicza. 2. G - grupa translacji działająca w V 3. V 3 r T a r := r + a V 3. Zatem h = b + a = T b T b r = r + a + b = T c r. ( h i ( ) 1 0 0 b, a) = a j 0 1 0 = 1. 0 0 1 dµ( a) = d 3 a. 3. G - zbiór boostów Galileusza. Zauważmy, że h = v 1 + v 2, v 1 i v 2 - parametry każdego z dwóch boostów. J = 1 = dµ( v) = d 3 V. 4. G - zbiór boostów Lorenza wzdłuż jednego kierunku h(v1, v 2 ) = v 1 + v 2 1 + v 1v 2 c 2 = J = 1 v2 2 c 2 > 0. Inna parametryzacja boostów p = γmv. TUTAJ WYPROWADZIC TE DWA!! dµ(p) = c2 E dp. 5. Grupa G = SO(3) przy parametryzacji parametrami β = ntg ϕ 2. dµ( β) = sin 2 ϕ 2 dϕd2 n, gdzie d 2 n to element powierzchni sfery jednostkowej. Niech kierunek wektora n zadają kąty sferyczne (θ, ψ), θ (0, π, ψ 0, 2π). Wtedy WYŻSZE WYPROWADZIC d 2 n = sin θdθdψ. dµ(ϕ, θ, ψ) = sin 2 ϕ sin θdϕdθdψ. 2 Gdy SO(3) sparametryzowana kątami Eulera, to dµ(α, β, γ) = sin βdαdβdγ. 28

9.2 Objętość lewostronna grupy Liego Definicja 36. Przykład 4. donapisania V L = G dµ(g) 1. wokół z 2. grupa translacji 3. Galileusza 4. Lorenza 5. SO(3) dla beta oraz eulera Twierdzenie 48. Gdy V L < to grupa Liego jest zwarta. Twierdzenie 49. Dla grupy Liego zwartej miara lewostronnie niezmiennicza jest także miarą prawostronnie niezmienniczą. Wniosek 50. Przez zmianę normalizacji dostajemy równość obu miar. 10 Reprezentacje grupy Liego G 10.1 Przestrzeń niezmiennicza względem grupy Liego operatorów liniowych V - przestrzeń liniowa G - grupa Liego, G : V V. V U - podprzestrzeń liniowa. Definicja 37. U - niezmiennicza względem g G : u U : g u U. Definicja 38. U - niezmiennicza względem grupy Liego G : g G : U - niezmiennicza względem g. Przykład z mechaniki kwantowej Twierdzenie 51. Z: 1. V - przestrzeń Hilberta (ozn. H) stanów kwantowych 2. G - grupa Liego symetrii hemiltonianu H. Czyli g G : [g, H] = 0. T: Przestrzeń degeneracji operatora H do danej wartości własnej E jest 1. Przestrzenią liniową. 2. Przestrzenią niezmienniczą względem G. Dowód. 29

1. Niech U E = {ϕ H : Hϕ = Eϕ} oraz {ϕ i, i = 1,..., n} - zbiór wektorów liniowo niezależnych w U E. Przyjmijmy, że ψ = n i/1 c i ϕ i. Hψ = n n c i Hϕ i = E c i ϕ i = Eψ. i/1 i/1 Zatem, gdy n - liczba równa maksymalnej liczbie wektorów niezależnych należących do U E to ψ U E = U E - przestrzeń liniowa o wymiarze n. 2. Niech ϕ U E, H(gϕ) = ghϕ = geϕ = g(eϕ). Zatem gϕ - wektor własny do tej samej wartości własnej co ϕ. Zatem U E - niezmiennicza. Przykład 5 (atom wodoru). Poziomy energetyczne o E < 0 są numerowane n = 1, 2,... E n = E 0 z 2 2n 2, E 0 = m ee 4 k 2 e 2. Przestrzeń degeneracji dla danego n jest 2n 2 - wymiarowa, czyli tutaj dim U n = 2n 2. Zbiór funkcji falowych widma dyskretnego {ϕ n l m l m s ; n = 1, 2,... ; l = 0, 1,..., n 1; m l = l,..., 0,..., l; m s = 1, 1}. Zatem, każda U n - jest niezmiennicza względem grupy obrotów. Definicja 39. Elementy U : { 0} i {U} przestrzeni niezmienniczej U nazywamy podprzestrzeniami niezmienniczymi trywialnymi. Definicja 40. Niech U jest przestrzenią niezmienniczą względem G. Wtedy U nazywamy nieredukowalną gdy nie zawiera podprzestrzeni niezmienniczych innych niż trywialne. 10.2 Macierze reprezentacji grupy G Ze względu na tematykę bliższą mechanice kwantowej oznaczenia ulegają niewielkim zmianom. Niech 1. G - grupa Liego operatorów liniowych symetrii hamiltonianu Ĥ. 2. H U E - podprzestrzeń algebraiczna op. Ĥ o energii E. Wiemy, że U E niezmiennicza względem G. 3. dim U E = n <. 4. {ϕ m ; m = 1,..., n} - baza w U E, ortonormalna. Bazę zmieniamy tak: ϕ m = A mm ϕ m Jak transformują się macierze reprezentacji grupy G? gϕ m = D km (g)ϕ k gϕ m = D k m (g)ϕ k = D k m (g)a kk ϕ k ga mm ϕ m = A mm D km (g)ϕ k 30

D k m (g)a kk = A mm D km(g)/(a) 1 n k D k m (g)δ k n = (A) 1 n k D km(g)a mm D n m (g) = (A) 1 n k D km(g)a mm D (g) = A 1 D(g)A. To transformacja podobieństwa. Mówimy, że obie reprezentacje są równoważne. Twierdzenie 52. Każda reprezentacja macierzowa zwartej grupy Liego jest równoważna pewnej reprezentacji macierzowej unitarnej. Dowód. Trzeba znaleźć macierz A: Łatwo sprawdzić, że A 2 := Teraz, bez domyślnego sumowania po i A ii = G G g G : D (g) = A 1 D(g)A - unitarna. dµ(g)d(g)d (g), D(g) - macierz rep. gr. Liego G. A 2 = A 2 dµ(g)d im (g)(d ) mi (g) = G dim U=N dµ(g) m/1 D im (g) 2. Skoro D(g) - reprezentant elementu grupy g to wyznacznik det D(g) 0. Zatem A ii > 0 = wszystkie wartości własne są dodatnie. Wtedy można skonstruować macierz A = A 2. Należy: 1. Zdiagonalizować A 2 : A 2 d = diag(λ 1,..., λ N ) = UA 2 U. 2. Zdefiniować B d := diag( λ 1,..., λ N ). 3. Teraz wystarczy B = U B d U = A 2 bo B 2 = U B d U U B d U = U A 2 d U = A2. Oczywiście A = A. Spełniona jest ponadto tożsamość bo stąd g G : D(g)A 2 D (g) = A 2, [ ] D(g) dµ(g 1 )D(g 1 )D (g 1 ) D (g) = dµ(g 1 )D(g)D(g 1 )[D(g)D(g 1 )] = G G = dµ(g 1 )D(gg 1 )D (gg 1 ) = grupa jest zwarta = dµ(g)d(g)d (g) = A 2 G A 1 D(g)A AD (g)a 1 = 1. }{{} [A 1 D(g)A] bo (A 1 ) = A 1 A(A 1 ) = (A 1 A ) = (A 1 A) = 1 = 1. Zatem gdy D (g) = A 1 D(g)A to D (g)[d (g)] = 1 czyli D (g) -unitarna. Czyli znaleźliśmy bazę w której macierz reprezetacji jest unitarna. G 31

10.3 Wstawka z algebry Definicja 41 (sumy prostej przestrzeni liniowych). V - przestrzeń liniowa skończenie wymiarowa oraz V 1 i V 2 - podprzestrzenie liniowe przestrzeni V. Twierdzenie 53. Z: V = V 1 V 2 oznacza, że w V! w 1 V 1 i! w 2 V 2 : w = w 1 + w 2. a) V 1 i V 2 - podprzestrzenie liniowe przestrzeni liniowej V. b) dim V 1 + dim V 2 = dim V. c) V 1 V 2 = { 0}. T: V = V 1 V 2. Dowód. Niech { e α, α = 1,..., n 1 = dim V 1 } - baza w V 1 oraz { f β, β = 1,..., n 1 = dim V 2 } - baza w V 2, gdzie n 1 + n 2 = n = dim V. Weźmy dowolną kombinację liniową, z założenia równą zero. x α e α + y β fβ = 0 V 1 x α e α = y β fβ V 2. Zatem z c) dostajemy x α e α = 0 i y β fβ = 0 α, β : x α = y β = 0. Zatem zbiór { e α, f β, α = 1,..., n 1, β = 1,..., n 2 } - baza w V. Zatem w V : w = w α e α + u β fβ = w 1 + w 2. Sprawdzenie jednoznaczności rozkładu. Niech w = w 1 + w 2 = w 1 w 2, gdzie w 1, w 1 V 1 i w 2, w 2 V 2. Zatem V 1 w 1 w 1 = w c) 2 w 2 V 2 w 1 = w 1 i w 2 = w 2. 10.4 Koniec wstawki - kontynuacja o macierzach reprezentacji grupy Twierdzenie 54. Z: 1. G - zwarta grupa Liego. 2. U - skończenie wymiarowa, niezmiennicza przywiedlna względem G przestrzeń liniowa. T: U 1 i U 2 - niezmiennicze podprzestrzenie liniowe przestrzeni U : U 1 U 2 i U = U 1 U 2. Dowód. U - przywiedlna = U 1 U : U 1 - nietrywialna (U 1 { 0}, U 1 U) przestrzeń liniowa niezmienicza względem G. Wtedy dim U 1 = n 1 < n = dim U. Wybieramy bazę ortogonalną w U, taką, że n 1 - wektorów jest bazą w U 1 {ϕ 1,..., ϕ n1, ϕ }{{} n1+1,..., ϕ n } }{{} baza w U 1 ψ 1,...,ψ n2, n 2 =n n 1. Utwórzmy zbiór U 2 = {ψ = a m ψ m, a n C, m = 1,..., n 2 }. Spostrzeżenia 1. U 2 - przestrzeń liniowa. U 1 U 2 = { 0}, bo jeśli ϕ U 1 i ϕ U 2 to ϕ ϕ = 0 ϕ = 0. 32

2. U 2 U 1. 3. U 2 - niezmiennicza - trzeba wykazać. Niech ϕ U 1 i ϕψ U 2, U 2 niezmiennicza gdy g G : gψ U 2. Sprawdzamy, czy gψ ϕ ϕ = c ϕ gψ = α ϕ α, α = 1,..., n 1 ψ = d β ψ β, β = 1,..., n 2 = c αd β ϕ α ψ β = c α d β D αβ (g) = [ ] [ ] = D αβ (g) = Dβα(g) T = D βα (g) = c αd β D βα (g) = c α d β D βα (g) = c α d β D βα (g 1 ) =... D 1 βα (g) = D βα(g 1 ) [ ] = c α d β ϕ α g 1 ψ β = ϕ g 1 ψ = g 1 ϕ ψ = 0 bo U 1 - niezmiennicza, zatem g 1 ϕ U 1 oraz pamiętamy, że ψ U 2. Zatem ostatecznie U 2 - niezmiennicza. Stąd na mocy twierdzenia ze wstawki wynika, że U = U 1 U 2. Wniosek 55 (z powyższego twierdzenia). 1. Gdy U 1 lub U 2 - przywiedlne to można je dalej rozkładać na sumy proste zatrzymując się na przestrzeniach w końcu nieprzywiedlnych. Zatem ostatecznie U = U 1 U k, gdzie każda U i, i = 1,..., k jest nieprzywiedlna. Mówimy, że wtedy przestrzeń U jest całkowicie rozłożona. 2. Niech w tak rozłożonej przestrzeni B ni := {ϕ (i) j, j = 1,..., n i} to baza w przestrzeni U i, każda n i - wymiarowa. Wtedy w bazie B = k i/1 B ni przestrzeni U. - baza w całej Reprezentacja macierzowa grupy G ma postać blokową D (n1) (g) 0 D(g) =... 0 D (nk) (g) Ponieważ grupa obrotów jest zwartą grupą Liego to każda skończenie wymiarowa przestrzeń niezmiennicza względem tej grupy i przywiedlna jest całkowicie rozkładalna. Określenie rozkładalna i nierozkładalna (czyli inaczej przywiedlna i nieprzywiedlna) stosuje się także do macierzy reprezentacji. 33

10.5 Lemat Schura Definicja 42. Jądrem A nazywamy zbiór ker A := {ϕ U : Aϕ = 0 V }. Definicja 43. Obrazem zbioru U w zbiór V przekształcenia A nazywamy zbiór AU := {ψ V : ψ = Aϕ}. Lemat 56 (pomocniczy - o wymiarach). Z: A : U V, gdzie U i V to przestrzenie liniowe skończenie wymiarowe. T: dim(ker A) + dim(au) = dim U. Dowód. Niech {ϕ i, i = 1,..., n = dim U} - baza w U taka, że {ϕ 1,..., ϕ n1, n 1 = dim(ker A) n} - baza w ker A, bo ker A - podprzestrzeń liniowa przestrzeni U (bo gdy ϕ 1 i ϕ 2 ker A = A(c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 ) = 0 = c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 U). Niech ϕ β = ϕ n1 +β, β = 0, 1,..., n n 1. Trzeba zatem policzyć wymiar przestrzeni AU. ϕ U i ϕ = c i ϕ i. Wtedy Aϕ = c i Aϕ i = c β A ϕ β V. Trzeba wykazać, że A ϕ β, β = 0,..., n n 1 - wektory liniowo niezależne. Zatem biorę kombinację liniową wektorów U {}}{ A ϕ β : V 0 = d β A ϕ β = A d β ϕ β = d β ϕ β ker A. Zatem d β ϕ β = c α ϕ α, α = 1,..., n 1. {ϕ α, α = 1,..., n 1 } - baza w ker A. d β ϕ β c α ϕ α = 0 U. Analogicznie wszystkie wektory bazowe przestrzeni U = d β = 0(c α = 0), β = 0,..., n n 1 (α = 1,..., n 1 ). Zatem wektory A ϕ β - liniowo niezależne, β = 0,..., n n 1 = dim AU = n n 1. Stąd n }{{} 1 + n n 1 = n = dim V. }{{} dim(ker A) dim(au) Lemat 57 (Schura). Z: 1. U i V - przestrzenie liniowe niezmiennicze nieprzywiedlne względem grupy op. liniowych G 2. A : I lin. V. taki, że g G : ga = Ag. T: A = ˆ0 albo, gdy A ˆ0 to D V (g) = AD U (g)a 1, gdzie A -macierz reprezentacji operatora A, D U (g) i D V (g) - reprezentacje macierzowe grupy G w przestrzeniach U i V. Dowód. Zauważmy, iż 34

ker A U - podprzestrzeń liniowa przestrzeni U. ker A - podprzestrzeń niezmiennicza względem G, ale trzeba sprawdzić, że gdy ϕ ker A to również gϕ ker A. Lecz U nieprzywiedlna, zatem a) ker A = U albo b) ker A = { 0}. Ad a) Ad b) Agϕ komutacja = gaϕ = g 0 = g(0 0) = 0g( 0) = 0 = gϕ ker A. ker A = U ϕ UAϕ = 0 = A = ˆ0. ker A = { 0} = dim(ker A) = 0. Z tw. o wymiarach dostajemy, iż dim(au) = dim U. 1 o dim U < dim V = (tw. o wymiarach) dim(au) < dim V = AU V. Lecz AU - niezmiennicza względem G, bo ψ AU = ϕ U : ψ = Aϕ gψ = gaϕ komutacja = A gϕ = Aϕ }{{} g AU, ϕ g U czyli V AU - niezmiennicza. Lecz V - nieprzywiedlna = AU - trywialna, czyli AU = V albo AU = { 0}, lecz pierwszą możliwość wykluczamy z tego co powyżej. Zatem AU = { 0} ker A = U A = ˆ0. 2 o dim U > dim V = dim(au) > dim V. Lecz AU V = dim(au) dim V co przeczy powyższemu. Ta sprzeczność wynika z założenia, że ker A = { 0}. = ker A = U ker A = ˆ0. 3 o dim U = dim V. Pokazaliśmy powyżej, iż AU - niezmiennicza = AU = V albo AU = { 0}. }{{} A=ˆ0 Zatem, gdy AU = V - to mamy przekształcenie na cały zbiór V. Lecz zauważmy, że b) pociąga za sobą implikację niech ϕ 1 i ϕ 2 U wtedy, jeżeli Aϕ 1 = Aϕ 2 to A(ϕ 1 ϕ 2 ) = 0 b) = ϕ 1 = ϕ 2. Czyli przekształcenie A jest na zbiór V i różnowart. = bijekcja = A 1. Zatem (wobec założenia Lematu Schura) Ag = ga = AD U (g) = D V (g)a. Wobec istnienia A 1 istnieje macierz A 1. Zatem D V (g) = AD U (g)a 1. 35

10.6 Uwagi dotyczące Lematu Schura 1. Gdy dim U = dim V i A ˆ0 to można tak wybrać bazę w V, aby D U (g) = D V (g) ( ). Mianowicie, gdy zbiór {ϕ, i = 1,..., n} - baza w U wtedy a) ( ){ψ i = Aϕ, i = 1,..., n} - baza w V. b) w tej bazie mamy ( ). Dowód. Ad a) 0 = c i ψ i = c i Aϕ i = Ac i ϕ i = c i ϕ i = 0 i = 1,..., n : c i = 0. Ad b) D V,ji (g)ψ j = gψ i = gaϕ i = Agϕ i = AD U,ji (g)ϕ j = D U,ji (g)ψ j. 2. Gdy dim U = dim V i A ˆ0 wtedy ( ) - baza w V, ponadto z założenia Lematu Schura (w bazie (**)) g G : Ag = ga = D U (g) = AD U (g)a 1 g G : [D U (g), A] = 0 Macierz A jest kwadratowa = (zasadnicze tw. algebry) A ma co najmniej jedną wartość własną λ 0. Zbudujmy operator à := A λ 0ˆ1. Oczywiście [Ã, g] = L.S. ˆ0 = det à = 0 = Macierz à jest odwracalna = à = 0 A = λ 01 A = λ 0ˆ1. 3. Wniosek 58. Macierz komutująca ze wszystkimi macierzami reprezentacji nieprzywiedlnej grupy Liego G jest proporcjonalna do macierzy jednostkowej. Twierdzenie 59. Jeżeli A = λ 0 1 - jedyna macierz komutująca ze wszystkimi macierzami reprezentacji grupy G, to reprezentacja ta jest nierozkładalna. reductio ad absurdum. Załóżmy, że reprezentacja macierzowa jest przywiedlna D (n1) (g) 0 D(g) =..., 0 D (nk) (g) gdzie D (n i) (g) - macierze kwadratowe. Widać, że z każdą macierzą D(g) komutują macierze typu gdzie co najmniej dwie spośród lambd są różne. λ n1 1 0 A =..., 0 λ nk 1 Definicja 44 (operatora Casimira Ĉ). Jest to operator będąc wielomianem jednorodnym generatorów grupy Liego G, który komutuje ze wszystkimi generatorami tej grupy. 36