7. Równanie Bernouiego da płynów epkich Równanie Bernouiego obowiązuje da płynów ideanych, gdyż tyko płyny pozbawione epkości mogą przekształcać bez strat energię mechaniczną. Prostota tego równania sprawia jednak, że stosowane jest ono także i do opisu ruchu płynu epkiego, mimo iż w tym przypadku wszystkie przemiany energii będą nieodwracane, tzn. że przemiana jednej postaci energii w drugą zachodzić będzie ze sprawnością mniejszą od jedności. Oznacza to, że każdej przemianie towarzyszyć będzie strata pewnej części energii i że ta tracona iość energii nie będzie mogła być daej odzyskana. 7.. Przemiany energii w płynie epkim. Przeanaizujmy przepływ płynu epkiego przez kanał pokazany na rys. 7., w którym całkowita energia przepływu w przekroju, którą oznaczać będziemy E wynosi: p = + g z E + ρ gdzie jest średnią prędkością w przekroju, p jest ciśnieniem statycznym a z jest wysokością niweacyjną środka anaizowanego przekroju. Q z S epkosc = tarcie S z ciepło ; p ; z ; p ; z Rys.7.. Przemiany energii w przepływie płynu epkiego. Natomiast w przekroju całkowita energia mechaniczna będzie równa: p E = + + g z ρ gdzie poszczegóne oznaczenia przyjęto jak w przekroju poprzedzającym. W przepływie między przekrojami oraz płyn epki traci energię na skutek tarcia wewnętrznego (tzn. płynu o płyn) jak i tarcia płynu o ścianę kanału. Tarcie zamienia energię w ciepło i przemiana ta nazywana dysypacją energii jest nieodwracana, tzn. niemożiwa jest zamiana energii ciepnej traconej wskutek tarcia z powrotem w energię mechaniczną. Całkowita energia przepływu między koejnymi przekrojami z rys. 7. spełnia zatem nierówność: E > E (7.) i pozostaje nam teraz okreśenie, która z form energii mechanicznej ujęta w równaniu Bernouiego podega dysypacji. Równanie ciągłości da rurki prądu zapisane być może następująco: Q = S = S 4
gdzie Q jest wydatkiem płynu, a jeżei założymy, że przekrój kanału jest niezmienny, tzn.: S = S wówczas także i prędkość oraz energia kinetyczna płynu między przekrojami pozostanie niezmienna: E k = = = Ek Załóżmy również, że zgodnie z rys. 7. kanał jest poziomy, co sprawia, że wysokość niweacyjna, a co za tym idzie także i energia potencjana położenia w poszczegónych przekrojach jest niezmienna z = z Nierówność (7.) wymaga zatem, aby spełniona była reacja: p > p co oznacza, że dysypacja energii zachodząca w płynie epkim powoduje stratę energii potencjanej ciśnienia między koejnymi przekrojami. Wiemy już zatem, który z członów równania Bernouiego wymaga korekty, a sposób jej wprowadzenia najłatwiej będzie uzasadnić anaizując swobodny wypływ cieczy ze zbiornika, pokazany na rys. 7.a. hstr H H ciepło d ' Rys.7.. Swobodny wypływ cieczy ze zbiornika a) oraz iustracja wysokości traconej wskutek epkości płynu b). Mamy tu przemianę energii potencjanej położenia cieczy znajdującej się na wysokości H (przekrój ) w energię kinetyczną cieczy wypływającej z prędkością z otworu, gdzie uokowano przekrój kontrony. Jeżei rozpatrywać będziemy przepływ cieczy nieepkiej, wówczas prędkość wypływu będzie równa prędkości swobodnego spadku w próżni, tzn.: = g H (7.) a jeżei uwzgędnimy epkość, wówczas tarcie w płynie przemieszczającym się w zbiorniku spowoduje, że prędkość wypływu będzie mniejsza i dana wzorem: = α g H (7.) gdzie α jest tzw. współczynnikiem prędkości. Jeżei do zbiornika (rys. 7.b) dołączymy rurę o średnicy d identycznej ze średnicą otworu, wówczas siły tarcia spowodują na długości rurociągu stratę ciśnienia p, na pokonanie której będzie musiała być zużyta część energii potencjanej położenia. Prędkość wypływu będzie wówczas mniejsza i aby osiągnąć z powrotem prędkość teoretyczną daną wz. (7.) koniecznym będzie zwiększenie wysokości napełnienia zbiornika o h str, która zużyta zostanie zarówno na pokonanie sił tarcia płynu w zbiorniku jak i oporu tarcia powstającego przy przepływie przez rurę. Jeżei równanie Bernouiego wyrazimy w postaci (6.5), wówczas da zachowania równości energii 5
występującej po obydwu stronach równania koniecznym będzie zwiększenie prawej strony o wysokość strat, odpowiadającą energii traconej wskutek epkości. Równanie Bernouiego da przepływu między przekrojem przechodzącym przez swobodną powierzchnię i przekrojem na wyocie z rury (patrz rys. 7.b), przyjmie wówczas postać: p p + + z = + + z + hstr (7.4) g ρ g g ρ g znaną jako równanie zachowania energii da płynu epkiego. Poprawka ujmująca epką dysypację energii została wprowadzona w sposób arbitrany i datego też jej wartość nie może być wyprowadzona anaitycznie ecz musi być okreśona doświadczanie. 7.. Straty wywołane tarciem płynu Na rys. 7. pokazano, że w trakcie przepływu płynu epkiego dysypacja energii spowodowana tarciem zachodzi zarówno wewnątrz przepływu (tarcie wewnętrzne w płynie) jak i na ścianie, gdzie płyn pokonywać musi siły tarcia płynu o materiał rurociągu. Profi prędkości przepływu turbuentnego dany potęgowym prawem Prandta (wz. (.50)) oraz paraboiczny profi prędkości przepływu aminarnego dany wz. (.8) wskazują, że największy gradient prędkości w obydwu rodzajach przepływu występuje w pobiżu ściany. Prawo tarcia Newtona sugeruje zatem, że największe wartości naprężeń stycznych występować będą na ścianie kanału co oznacza z koei, że nie tarcie wewnętrzne w płynie ecz siły tarcia płynu o ścianę rurociągu są głównym źródłem oporu przy przepływie cieczy rzeczywistej przez kanały. Najpowszechniej stosowanym kształtem przekroju poprzecznego jest przekrój kołowy i datego też wszystkie zaeżności podane w tym rozdziae będą dotyczyć przepływów przez rurociągi o kołowym przekroju poprzecznym. Doświadczenie wykazało, że opór okreśony wysokością strat (patrz rys. 7.b) rośnie wraz z długością rurociągu i maeje przy zwiększaniu średnicy rury i zaeży od szorstkości materiału ściany rurociągu. Większość przepływów występujących w technice to przepływy turbuentne da których straty proporcjonane są do kwadratu prędkości i datego też da strat spowodowanych tarciem płynu o ściany rurociągu zaproponowano następujący wzór empiryczny: hstr = (7.5) d g w którym: - długość rurociągu d - średnica rurociągu - średnia prędkość przepływu przez rurociąg g - przyspieszenie ziemskie - współczynnik tarcia płynu o ścianę rurociągu. Łatwo sprawdzić, że da zachowania spójności wymiarowej tego równania winno być bezwymiarowe, a ponieważ da przepływu aminarnego znane jest rozwiązanie Hagen- Poiseuie a, stąd możiwe było okreśenie wartości współczynnika na drodze anaitycznej. Jeżei przekształcimy wz. (.40) do postaci: 8µ Q p = 4 π d i podstawimy wyrażenie na prędkość średnią: Q = πd 4 oraz stratę ciśnienia: p = hstr ρ g otrzymamy następujące wyrażenie na wysokość strat: 6
ν h str = d d g Jeżei przekształcimy ten związek w taki sposób, aby był on zgodny ze wz. (7.5) będziemy mogi zapisać: 64 hstr = (7.6) Re d g skąd wynika, iż współczynnik tarcia płynu o ściany rurociągu da przepływu aminarnego wynosi: 64 = (7.7) Re zyskanie anaogicznego rozwiązania da przepływu turbuentnego nie jest możiwe i stąd też da tego przypadku konieczne jest stosowanie wzorów empirycznych, w których wartość współczynnika musi być okreśana doświadczanie. Badania zmienności współczynnika strat tarcia wykonywano da różnych długości, średnic i szorstkości rurociągów, zmieniając prędkość przepływu w zakresie pokrywającym wszystkie możiwe w praktyce zastosowania, próbując dopasować wartość współczynnika w taki sposób, aby uzyskać zgodność z doświadczanie okreśoną wartością wysokości strat. Probem ten był przedmiotem systematycznych badań, które przez wiee at nie dawały wystarczająco dokładnego rozwiązania. Współczynnik strat zmienia się bowiem wraz z prędkością przepływu, kształtem i wysokością nierówności, ich iością przypadającą na jednostkę powierzchni oraz sposobem ich zgrupowania. Po wieu atach prób zagadnienie to doczekało się dwóch wystarczająco dokładnych rozwiązań znanych obecnie jako: - wykres Nikuradse - wzory empiryczne. Rozwiązanie pierwsze uzyskał w atach 0. J. Nikuradse który stwierdził, że rzeczywista chropowatość ścian kanału wykazuje tak dużą zmienność i zaeży od tak wieu czynników, że niemożiwe jest ich wiarygodne odtworzenie. Datego też w swoim eksperymencie Nikuradse uzyskał równomierną szorstkość pokrywając powierzchnię rury kaibrowanymi ziarnami piasku o różnych średnicach dobranych w taki sposób, aby da każdej z badanych rur możiwe było uzyskanie zmienności tzw. współczynnika chropowatości w zakresie: r / s = 5 500 gdzie: s - średnica ziaren piasku odpowiadająca wysokości chropowatości ścian rury r = d / - promień rury. Badania Nikuradse przeprowadzone były da trzech zaedwie średnic rur: d = 5, 50, 00 [ mm] ecz użyteczność ich wyników skłoniła wkrótce innych eksperymentatorów do wykonania badań uzupełniających. Otrzymany w ten sposób wykres pokazany na rys. 7., przedstawia zmienność współczynnika strat tarcia w funkcji iczby Reynodsa, a parametrem tego wykresu jest współczynnik chropowatości r / s. Zebrane tu wyniki pomiarów potwierdzają po pierwsze, że da przepływu aminarnego prawdziwy jest związek (7.7) uzyskany z rozwiązania Hagen-Poiseuie a a po drugie, że wartość tego współczynnika nie zaeży od szorstkości ścian. Po przekroczeniu I-szej krytycznej wartości iczby Reynodsa zauważyć można przejście przepływu w inny zakres i pojawienie się związku między wartością współczynnika strat a chropowatością przewodu. Linie przerywane zaznaczone w obszarze pośrednim pokazują przy tym jedynie sposób przejścia między zakresami przepływu aminarnego i turbuentnego, gdyż samo przejście jest przecież procesem utraty stabiności i zachodzi na tye gwałtownie, że nie można tu mówić o przepływie przejściowym. 7
turbuentny Rys.7.. Wykres Nikuradse. W obszarze przepływu turbuentnego da rur tzw. technicznie gładkich wartości współczynników układają się z dobrym przybiżeniem wokół zaeżności empirycznej podanej przez Basiusa: 0.6 = (7.8) 4 Re Jeżei wyiczymy wysokość strat da rur gładkich korzystając ze wzoru Basiusa, otrzymamy: 0.6 hstr = d g d 4 ν skąd wynika, że straty przepływu da rur gładkich nie są proporcjonane do kwadratu prędkości ecz do średniej prędkości przepływu w potędze: 7 / 4 h str ~ (7.9) Można stąd wnioskować, że w ruchu turbuentnym w rurach gładkich występuje w pewnej części przepływu proporcjonaność do pierwszej potęgi prędkości, charakterystyczna da ruchu aminarnego powodująca, że sumaryczny wykładnik w za. (7.9) jest mniejszy niż naeżałoby oczekiwać da przepływu turbuentnego. Obecnie wiemy, że w przepływie turbuentnym w bezpośredniej biskości ściany występuje bardzo cienka warstwa płynu o własnościach zbiżonych do przepływu aminarnego nazywana subwarstwą aminarną ub bardziej poprawnie subwarstwą epką. Linia wyznaczona na wykresie Nikuradse przez równ. (7.8) pokrywa się z danymi eksperymentanymi do iczby Reynodsa 4 Re 8 0 natomiast da mniejszych wartości r / s (tzw. większych chropowatości wzgędnych) krzywe doświadczane odchyają się od inii Basiusa przy znacznie mniejszych wartościach Re. Przyczyną jest zmniejszenie się grubości subwarstwy epkiej przy wzroście iczby Re powodujące, że nierówności powierzchni zaczynają wynurzać się z warstwy płynu zdominowanej przez epkość, czemu towarzyszy wzrost wartości współczynnika tarcia przy daszym zwiększaniu iczby Reynodsa. Jeżei wysokość nierówności powierzchni s jest 8
natomiast mniejsza od grubości subwarstwy epkiej, wówczas rurociąg jest hydrauicznie gładki, tzn. współczynnik tarcia jest identyczny jak da rury gładkiej. Warto również zauważyć, że da każdej wartości parametru chropowatości r / s istnieje pewna wartość Re, powyżej której wartość współczynnika strat tarcia stabiizuje się, co zgodnie ze wz. (7.5) oznacza proporcjonaność strat do kwadratu średniej prędkości przepływu: = idem ; hstr ~ Korzystanie z wykresu Nikuradse wymaga znajomości średniej wysokości nierówności s ściany rozpatrywanego kanału oraz średniej prędkości przepływu i wówczas da wyiczonej pary wartości: r / s ; Re z wykresu Nikuradse możemy odczytać poszukiwaną wartość współczynnika. Proces poszukiwania rozwiązania można uprościć korzystając z empirycznej zaeżności Nikuradse: = (7.0) r og +.74 s aproksymującej z dobrą dokładnością krzywe z rys. 7.. Badania Nikuradse maja dużą wartość poznawczą, gdyż uzyskane wyniki pozwoiły na poznanie tendencji i prawidłowości procesów wynikających z tarcia płynu o ściany rurociągów. Wadą wykresu Nikuradse jest natomiast przyjęcie modeowego sposobu opisu chropowatości, gdyż nierówności powierzchni spotykanych w praktyce nie są tak równomierne jak kaibrowana chropowatość piaskowa. Z tego też powodu dane zawarte na wykresie Nikuradse nie zawsze sprawdzają się w zastosowaniach praktycznych i datego też przeprowadzono bardzo wiee badań, których ceem było opracowanie formuł pozwaających na uzyskanie dokładności zadowaającej projektantów rurociągów. Dużą popuarność zdobyły wieoczłonowe wzory empiryczne o następującej strukturze: = K + K (7.) Re gdzie K, K, a - stałe wyznaczane doświadczanie, które pozwaają odtworzyć rzeczywisty przebieg współczynnika tarcia a w szczegóności asymptotyczne dążenie współczynnika do stałej wartości przy dużych wartościach iczb Reynodsa, tzn. Re ; K Przykładem takiej zaeżności jest formuła Schiera i Hermana 9 a 0. ( Re) = 0.0054 + 0.96 (7.) która z dobrą dokładnością opisuje współczynnik tarcia da rur gładkich w zakresie: 6 Re <.5 0 Da uzyskania zadowaającej dokładności współczynnika da rur o szorstkich ścianach konieczne jest stosowanie wzorów o bardziej złożonej strukturze, czego przykładem może być wzór Misesa: = 0.0096 + 4 K +. r Re (7.) gdzie: r - promień rury K - współczynnik zaeżny od rodzaju materiału ściany i jej stanu. Po przeprowadzeniu systematycznych badań Mises podał następujące wartości współczynnika K da najczęściej stosowanych materiałów: K = 8 0. 0.8 0 m Rury szkane ( ) [ ] Rury mosiężne 8 K = ( 0..0) 0 [ m] Rury staowe 8 K = (.0 50) 0 [ m]
Rury żeiwne nowe 8 K = ( 00 00) 0 [ m] Rury żeiwne skorodowane 8 K = ( 50 500) 0 [ m]. Zwraca uwagę szeroki zakres zmienności parametru K obserwowany da tego samego materiału, co sugeruje duży rozrzut wartości zmierzonych eksperymentanie i nie pozwaa oczekiwać zbyt dużej dokładności tej formuły. Jedną z najbardziej popuarnych zaeżności pozwaających na wyznaczenie współczynnika da rur o dowonej chropowatości jest formuła Coebrooke a: S.5 =.0 og + (7.4).7d Re która zapewnia dokładność ± 5% w zakresie przepływu turbuentnego ograniczonego przedziałem iczb Reynodsa: 8 4 0 < Re < 0 Zaeżność Coebrooke a przedstawia współczynnik w postaci uwikłanej i musi być ona zatem rozwiązywana numerycznie. Znacznie łatwiejsze jest natomiast korzystanie z wykresu Moody ego, który przedstawił rozwiązanie równ. (7.4) w postaci wykresu sporządzonego w sposób anaogiczny do wykresu Nikuradse. Wykres Moody ego może być używany zarówno do wyznaczania oporów tarcia w rurociągach jak też w kanałach otwartych i przepływach w warstwie przyściennej a znaeźć ten wykres można m.in. w książce F.White a. Jeszcze łatwiejszy sposób korzystania z formuły Coebrooke a zaproponował w atach osiemdziesiątych Haaand, którego formuła pozwaająca na bezpośrednie wyiczenie współczynnika tarcia ma postać:. 6.9 S =.8 og + Re.7d i aproksymuje wyniki uzyskane ze wz. (7.4) z dokładnością ± %. Reasumując dotychczasowe rozważania naeży stwierdzić, że stopień uproszczenia probematyki strat tarcia przyjęty przez Nikuradse jest na tye duży, że wykres 7. i za. (7.0) oparte o chropowatość równoważną (nazywaną również chropowatością piaskową) nie mogą być zaecane do zastosowań praktycznych. Znacznie dokładniejsze wyniki uzyskać można z zaeżności i wykresów empirycznych, które aproksymują wyniki badań oporu uzyskane w warunkach rzeczywistych. W tej grupie zaeżności najepsze wyniki dają z koei formuły oparte o wiekości fizyczne które mogą być wyznaczone w sposób jednoznaczny, takie jak np. charakterystyczna wysokość chropowatości ścian, występująca we wzorach Coebrooke a i Haaand a czy też na wykresie Moody ego. Wzory operujące biżej nie sprecyzowanymi stałymi (np. wz. Schiera i Hermanna) ub też stałymi zaeżnymi od użytego materiału (wz. Mises a) z reguły nie zapewniają pożądanej dokładności. Przekonuje o tym chociażby bardzo szeroki zakres zmienności stałych K we wz. (7.), a niefizyczność tej stałej utrudnia dodatkowo jej prawidłowy dobór. Niemożiwe jest także okreśenie a priori wartości współczynników chropowatości nawet da typowych, dostępnych w handu rur, gdyż wartość chropowatości s zaeży w znacznym stopniu od przyjętej technoogii wytwarzania. Przykładowo, w książce F.White a podane są wysokości chropowatości zmieniające się od: s = 0.005 [ mm] da rur pastikowych, do wartości: s = [ mm] da rur betonowych nie wygładzanych, ae każda z tych wartości ma przedział błędu: ± 60%. Oznacza to, że da uzyskania odpowiedniej dokładności obiczeń konieczne jest indywiduane okreśenie chropowatości anaizowanych rurociągów. 0
7.. Straty okane W przepływach przez rurociągi oprócz strat spowodowanych tarciem płynu o ściany występuje jeszcze jeden rodzaj strat, którego źródłem są zmiany kierunku i przekroju poprzecznego przepływu. W każdej instaacji montowana jest armatura taka jak zawory, koana, trójniki, fitry, zwężki pomiarowe itp., w których dochodzi do zmian kierunku czy też przekroju przepływu. Wszystkie te urządzenia są źródłem strat energii i powodują dodatkowe opory przepływu. Przekonać o tym może myśowe doświadczenie pokazane na rys. 7.4, w którym do zbiornika napełnionego do wysokości h podłączony jest prostoosiowy rurociąg o długości, przez który przepływa ciecz z prędkością. hstr ok h Rys.7.4. przepływu. Dodatkowa wysokość strat spowodowana występowaniem zmian kierunku Jeżei rurociąg ten ukształtujemy jak na rysunku, tzn. wprowadzimy cztery koana nie zmieniając przy tym całkowitej jego długości, wówczas w koanach powstaną dodatkowe straty ciśnienia i przepływ przez rurociąg będzie odbywał się z mniejszą prędkością. Da utrzymania tej samej prędkości przepływu konieczne będzie zwiększenie wysokości napełnienia zbiornika o: h str ok = strata ciśnienia spowodowana zmianą kierunku przepływu Ten typ strat nazywamy okanymi gdyż zachodzą one jedynie w ściśe okreśonych miejscach i powodują straty ciśnienia zmniejszające tę część energii potencjanej, która może być zamieniona na energię potencjaną, co zapisać można: energia energia energia strat = + potencja n a kinetyczna oka n ych Datego też wysokość strat okanych wyrażamy zazwyczaj jako pewną część wysokości prędkości: hstr = ξ (7.6) ok g gdzie ξ jest współczynnikiem strat okanych okreśonym doświadczanie ub w niektórych wypadkach także i anaitycznie. Współczynnik ten w ogónym przypadku zaeży przede
wszystkim od rodzaju przeszkody ae także i od prędkości przepływu, chociaż mechanizm powstawania tego zjawiska jest jednakowy da wszystkich typów strat okanych. We wszystkich przypadkach mamy bowiem do czynienia z powstawaniem tzw. przepływów wtórnych, których kierunek ruchu jest inny od zasadniczego kierunku przepływu. Przykład takich przepływów pokazano na rys. 7.5a i b, gdzie w obecności gwałtownej zmiany przekroju poprzecznego siły bezwładności powodują, że inie prądu nie naśadują kształtu ściany. Płyn znajdujący się w strefach, gdzie nie odbywa się przepływ jest na skutek działania sił epkości wprawiany w ruch cyrkuacyjny tworząc w ten sposób strefy przepływów wtórnych (nazywane również strefami recyrkuacji), których rozmiar decyduje o wiekości strat energii. Energia potrzebna do utrzymania ruchu w strefach recyrkuacji odbierana jest z energii kinetycznej przepływu zasadniczego a płyn krąży w nich po torach zamkniętych pokonując opory tarcia i zamienia w ciepło strumień energii odebranej od przepływu głównego. Rozmiar strefy recyrkuacji decyduje o wiekości strat i datego w przypadku przepływu w kanae rozszerzającym się (rys. 7.5a) gdzie rozmiar strefy recyrkuacji jest największy, straty są większe niż w kanae o zmniejszającym się przekroju poprzecznym (rys. 7.5b). a) przepływ wtórny b) przepływ wtórny Rys.7.5. Mechanizm powstawania strat okanych w przepływie z gwałtownym rozszerzeniem a) i przewężeniem przekroju poprzecznego b). Przykładowo, da kanału o stosunku przekrojów: S /S = 0.5 przepływ w kierunku zwiększającego się przekroju daje wartość strat okanych ξ = 0.5 podczas gdy da przepływu w kierunku przeciwnym współczynnik straty okanej jest wyraźnie mniejszy i wynosi: ξ = 0.8 Warto przy tym zauważyć, że da przepływu przez gwałtowne rozszerzenie współczynnik strat okanych może być obiczony ze stosunku przekrojów jako:
S S ξ = (7.7) gdzie: S - poe przekroju wotowego S - poe przekroju wyotowego. Zaeżność powyższa wynika z twierdzenia o zmianie pędu Bordy-Carnot a, przy czym dokładniejsze oszacowanie wysokości straty okanej da przepływu przez kanał o nagłym rozszerzeniu uzyskać można z zaeżności empirycznej: ( ) h =.098 strok g (7.8) gdzie: - prędkość w przekroju wotowym - prędkość w przekroju wyotowym..99 a) b) przekrój A -A przepływ wtórny przepływ wtórny A A Rys.7.6. Straty okane spowodowane wystąpieniem przepływów wtórnych w płaszczyźnie przepływu a) i płaszczyźnie prostopadłej do przepływu b). Znacznie bardziej złożony jest mechanizm powstawania strat okanych w kanałach zmieniających kierunek przepływu takich jak np. koano pokazane na rys. 7.6. W płaszczyźnie przepływu (rys. 7.6a) siły bezwładności powodują, że powstaje tu strefa recyrkuacji, w której tak jak poprzednio płyn krąży po zamkniętych torach i dysypuje energię pobraną od przepływu głównego. Dodatkowe straty energii przy przepływie w koanie powstają natomiast w płaszczyźnie prostopadłej do przepływu głównego (rys. 7.6a) gdzie pojawiają się dodatkowe siły bezwładności spowodowane zakrzywieniem inii prądu. W rezutacie pojawiają się dodatkowe przepływy wtórne w płaszczyźnie prostopadłej do przepływu (rys. 7.6b) i w wyniku superpozycji ruchu głównego i wtórnego eementy płynu poruszają się ruchem spiranym, czemu towarzyszą dodatkowe straty energii. Przykładowo, da koan zmieniających kierunek przepływu o 90 o wartość współczynnika oporu może wynosić: ξ = 0.5 0.5 w zaeżności od stosunku promienia krzywizny do długości boku przekroju poprzecznego kanału (zagadnienie to zostanie omówione szerzej w jednym z następnych rozdziałów). Wartości współczynników strat okanych podawane są w poradnikach projektantów i wieu podręcznikach, przy czym zgodnie z przyjętą konwencją wysokość strat okanych obicza się mnożąc wartość współczynnika strat ξ przez wysokość prędkości za przeszkodą.
Przykłady zastosowań tej konwencji pokazano na rys. 7.7 da trzech różnych przeszkód, przy czym wysokości strat w każdym przypadku winny być odniesione do prędkości za przeszkodą, tzn.: ( hstr ) = ( h ) = ( h ) = ξ (7.9) ok a strok b strok c g a) b) c) S S Rys.7.7. Iustracja sposobu obiczania wysokości strat okanych da koana a) oraz przepływu przez gwałtowne rozszerzenie b) i zwężenie kanału c). Rys.7.8. Współczynnik strat okanych w zakresie przepływu turbuentnego da zaworów zwykłych (,), zaworów z zamknięciem ukośnym (,4) oraz zasuw (5). W zakresie przepływu turbuentnego wartości współczynników strat okanych w bardzo niewiekim stopniu zaeżą od prędkości przepływu (iczby Reynodsa), czego przykład 4
pokazano na rys. 7.8 da wybranych konstrukcji zaworów. Straty pokazanych tu zaworów są praktycznie stałe w całym anaizowanym zakresie iczb Reynodsa, ecz zwraca tu uwagę bisko dziesięciokrotna różnica wartości współczynników strat zaworów o przepływie prostoiniowym (zasuwy krzywa 5) i zaworów zwykłych (krzywe,), których konstrukcja wymusza gwałtowne zmiany przekroju i kierunku przepływu. Rys.7.9. Współczynnik strat okanych w zakresie przepływu aminarnego da zasuw (,), zaworów z zamknięciem ukośnym () i zaworów zwykłych (4). W zakresie przepływu aminarnego straty tych samych typów zaworów pokazane na rys. 7.9 zaeżą sinie od iczby Reynodsa, przy czym da niższych wartości Re widoczna jest proporcjonaność wysokości strat do pierwszej potęgi prędkości powodująca spadek wartości współczynnika strat ξ (anaogia z wykresem Nikuradse rys. 7.). Także i w tym przypadku widoczna jest zaeżność współczynnika strat od konstrukcji zaworu, przy czym widać tu 5
również, że gorsze ukształtowanie przepływu przez zawory z ukośnym zamknięciem i zawory zwukłe (krzywe i 4) powoduje wcześniejsze wystąpienie przejścia aminarno-turbuentnego, czemu towarzyszy wyraźny wzrost wartości współczynnika strat okanych. 7.4. Interpretacja przemian energii w przepływie płynu rzeczywistego Poddajmy anaizie zmienność ciśnienia w instaacji pokazanej na rys. 7.0, połączonej ze zbiornikiem napełnionym do wysokości H ponad poziom odniesienia, którym jest oś poziomego rurociągu. Zbiornik modeuje tu stałe ciśnienie zasiania na wocie do rurociągu, przy czym w rzeczywistości może tu być zainstaowana pompa o wysokości podnoszenia H przy wydatku Q przepływającym przez rurociąg. Załóżmy, podobnie jak zrobiiśmy to w rozdz. 6., że wzdłuż całej długości rurociągu podłączymy pionowe, przezroczyste rurki (rurki piezometryczne), w których ciecz będzie mogła swobodnie wznosić się do wysokości równoważącej panujące w rurociągu ciśnienie statyczne. Jeżei zatkamy wyot z rurociągu, wówczas poziom cieczy we wszystkich rurkach będzie taki sam jak w zbiorniku, gdyż da cieczy nieruchomej będzie to przypadek równowagi cieczy w naczyniach połączonych. H p a p - p ρg a ξ 0 g g d g ξ g g g d g ξ g g d g g x d d d z Rys.7.0. Linia piezometryczna w przepływie płynu epkiego przez rurociąg. Jeżei odsłonimy wyot z rurociągu, wówczas ustai się w nim przepływ płynu o wydatku Q takim, że: πd πd = = πd Q = 4 4 4 Jednocześnie poziomy cieczy w rurkach ustaą się tak, że inia wykreśona przez swobodne powierzchnie utworzy pokazaną na rys. 7.0 inię piezometryczną. Spadek poziomu cieczy na wocie do rurociągu jest wywołany przemianą energii potencjanej ciśnienia nieruchomej cieczy w zbiorniku w energię kinetyczną płynu poruszającego się z prędkością w rurze o średnicy d, przy czym zmiana energii kinetycznej wynosi: (7.0) g 6
Jednocześnie płyn traci energię na skutek straty okanej na wocie, która przy wartości współczynnika strat wynoszącej ξ o jest równa: ξ o (7.) g Koejny odcinek inii piezometrycznej to spadek wysokości ciśnienia spowodowany stratami tarcia płynu o ściany, który wobec stałości średnicy d, prędkości i współczynnika strat zmienia się iniowo w funkcji długości przewodu : = f ( ) (7.) d g Spadek inii piezometrycznej występujący w miejscu przewężenia rurociągu jest wynikiem koejnej przemiany energii potencjanej ciśnienia w przyrost energii kinetycznej: (7.) g g oraz straty okanej wywołanej gwałtownym przewężeniem rurociągu, który przy wartości współczynnika ξ wynosi: ξ (7.4) g (naeży zwrócić uwagę, że odniesiony jest on do prędkości za przeszkodą). Wzdłuż odcinka rurociągu o średnicy d i długości występują straty tarcia również iniowo narastające wzdłuż rurociągu: (7.5) d g W miejscu gwałtownego rozszerzenia przekroju zmienność inii piezometrycznej jest wynikiem sumowania dwóch przeciwnych tendencji, z której pierwszą jest przyrost wysokości ciśnienia spowodowany spadkiem energii kinetycznej płynu: (7.6) g g oraz okaną stratą ciśnienia równą: ξ (7.7) g Na rys.7.0 da uzyskania większej przejrzystości anaizy naniesiono koejno przebiegi ciśnień odpowiadające przemianom opisanym wz. (7.6) i (7.7), natomiast w rzeczywistości obydwa te procesy zachodzić będą jednocześnie i inia piezometryczna połączy bezpośrednio punkty początku i końca tej przemiany. Ostatnia przemianą widoczną na inii piezometrycznej jest strata zachodząca wskutek tarcia płynu o ściany rurociągu wynosząca: (7.8) d g a ponieważ na wyocie z rurociągu panuje ciśnienie otoczenia p a, stąd też inia piezometryczna opada aż do osi rurociągu, która w naszym przypadku została przyjęta jako poziom odniesienia. Linia piezometryczna ma oczywistą interpretację fizyczną, gdyż wyznacza ona rzeczywisty poziom cieczy odpowiadającej ciśnieniu statycznemu panującemu w rurociągu. Linia ta nie tyko iustruje przebieg procesów zachodzących w przepływie cieczy epkiej przez rurociąg, ecz może mieć także ważne zastosowanie praktyczne. Jeżei przedmiotem naszej anaizy będzie np. wodociąg, wówczas inia piezometryczna wyznaczać będzie maksymaną wysokość do jakiej docierać będzie woda tłoczona tymże rurociągiem. Ograniczeniem inii piezometrycznej jest natomiast brak rozróżnienia przemian odwracanych (w których energia przekształcana jest bez strat przynajmniej da płynu ideanego) i 7
nieodwracanych, stanowiących rzeczywiste straty energii. Przykładem przemian odwracanych są procesy opisane zaeżnościami (7.0), (7.) i (7.6), w których energia przechodzi z jednej formy w drugą bez strat. Projektant rurociągu powinien dążyć do eiminacji przemian nieodwracanych, stanowiących rzeczywiste źródło strat a inia piezometryczna nie jest tutaj dobrym narzędziem anaizy. Z tego też powodu w anaizie procesów zachodzących przy przepływie cieczy rzeczywistej stosujemy równoege anaizę tzw. inii energii, która przedstawia zmienność sumy energii kinetycznej i potencjanej ciśnienia wzdłuż osi rurociągu stanowiącej poziom odniesienia, co ująć można następującą zaeżnością: g + p - p ρg a ξ 0 g p pa + g ρ g = f ( x) ξ g H g d g d ξ g g d g x Rys.7.. Linia energii w przepływie cieczy epkiej przez instaację z rys. 7.0. Zmienność inii energii da rurociągu z rys. 7.0 która pokazana jest na rys. 7. ujmuje tyko przemiany nieodwracane spowodowane stratami okanymi, które ujęte są koejno zaeżnościami (7.), (7.4), (7.7) oraz stratami na tarcie opisanymi wz. (7.), (7.5) i (7.8). Na rys. 7. pojawia się natomiast tzw. strata wyotowa równa: (7.9) g która przedstawia stratę energii kinetycznej na wyocie z rurociągu, przy czym warto zauważyć, że ta część traconej energii nie była uwidoczniona na wykresie z rys. 7.0. Zmniejszenie straty wyotowej jest oczywistym zyskiem energetycznym i w tym ceu zastosować można tzw. dyfuzor wyotowy. Reasumując, anaiza przemian energetycznych zachodzących przy przepływie płynu rzeczywistego przez rurociągi wykonana przy pomocy inii piezometrycznej i inii energii umożiwia zarówno ocenę poprawności projektu jak również minimaizację strat energii zachodzących na skutek nieodwracaności przemian. 8