Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ.. ZLEŻNOŚCI PODSTWOWE... Obliczanie naprężeń Rozważymy działanie siły poprzecznej Q z na pręt pryzmatyczny przedstawiony na rysunku.. Z równowagi tego pręta wynika, że siła poprzeczna nie może występować samodzielnie, gdyż zawsze musi jej towarzyszyć zmiana momentu zginającego o wektorze prostopadłym do wektora siły poprzecznej. Wniosek ten wypływa również z zależności różniczkowej (por. wzór (4.5)): dmy Qz =. (.) dx Rys.. W rozważanym przypadku muszą więc wystąpić zarówno naprężenia styczne τ xz, jak i normalne σ x, wynikające z działania momentu zginającego M y. Przyjmujemy zatem, że jedynymi siłami wewnętrznymi są Q z i M y i stosownie do równań definicyjnych (7.) otrzymujemy: Qz = xzd Qy = xyd= τ, τ 0, M y = σxz d, Mz = σxy d = 0, N = xd= = xz y xy z d= σ 0, M ( τ τ ) 0. Macierz naprężeń w pierwszym przybliżeniu można przedstawić następująco: (.) σx 0 τxz s = 0 0 0. (.3) τzx 0 0 Na wstępie trzeba stwierdzić, że ścisłe obliczenie współrzędnych tensora naprężenia w przypadku dowolnego kształtu przekroju pręta jest bardzo trudne. Jeśli jednak znamy rozkład naprężeń normalnych σ x, to dobre przybliżenie można uzyskać, analizując równowagę pewnych fragmentów pręta.
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ Rys.. Załóżmy, że osie y i z są głównymi osiami bezwładności przekroju i zbadajmy równowagę elementu przedstawionego na rys..c. Ułożymy równanie równowagi sił równoległych do osi x. Przyrost naprężenia normalnego dσ x musi być zrównoważony siłą poziomą wynikającą z naprężeń stycznych τ zx, działających na pole o wymiarach b dx (por. rys..c): bl (a) d σxd= τzxdydx. ' bp Symbolem ' oznaczono tutaj zakreskowaną część przekroju na rys..a. Z teorii zginania prętów pryzmatycznych podanej w p.0... wynika, że: My( x) (b) σx = σx( xz, ) = z, Jy gdzie z (z z z d ) oznacza odległość badanego włókna od osi y. Przyrost naprężenia dσ x wynikający ze zmiany współrzędnej x (c) σ d x dmy( x) z σ dx x dx J dx Q z x = = = z dx. y Jy Uzyskany wynik podstawimy do równania (a): (d) bl ( z) Q τ z zx dy dx zddx = J. y bp ( z) ' Całka występująca po prawej stronie wzoru (d) jest momentem statycznym pola ' względem osi y, przy czym jego wartość zależy od współrzędnej z. Wielkość tę oznaczymy przez S y (z): Sy() z = z d. (.4) '
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 3 Na podstawie zależności (d) otrzymujemy: bl () z Qz( x) Sy( z) τ zx dy =. Jy bp () z (.5) Rys..3 Ze wzoru (.5) nie można jednoznacznie określić naprężeń τ zx. Zazwyczaj zadowalamy się średnią wartością tego naprężenia τ zx na aktualnej szerokości przekroju b(z) (por. rys..a): bl ( z) Qz( x) Sy( z) τzx = τxz = τzxdy = bz (). (.6) Jbz () bp ( z) y Macierz naprężeń (.3), w której τ zx jest określone wzorem (.6), przedstawia w sposób ścisły stan naprężenia jedynie w pręcie liniowo-sprężystym o przekroju prostokątnym. W tym przypadku (rys..3) S z b h h h b h y () = z z z, = 3 bh Jy =, co po podstawieniu do wzoru (.6) prowadzi do rezultatu: Q (e) τzx τ z z = xz =. h bh 3 Wykres naprężeń jest paraboliczny, a największa wartość τ xz występuje w środku ciężkości przekroju *). *) Warto dodać, że wzór (e) można łatwo wyprowadzić z równań różniczkowych równowagi ośrodka ciągłego (.9) przy wykorzystaniu warunków brzegowych (.7b).
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 4 Rys..4 Wzór (.6) stosuje się również do innych kształtów przekroju. W przypadkach tych pojawiają się dodatkowe naprężenia τ xy. Wniosek ten wynika z równań na powierzchni ograniczającej pręt. Wybierzmy punkt B leżący na pobocznicy pręta o przekroju kołowym (rys..4). W punkcie tym współrzędne wektora naprężenia są równe zeru, tzn. p i = σ ji n j = 0 (i =,, 3). Wykorzystamy pierwsze z tych równań (i = ): σn + σn + σ3n3 = 0. Ponieważ n = n x = 0, n = n y = cos α 0, n 3 = n z = sinα 0,więc τ xy cosα 0 + τ xz sinα 0 = 0, skąd y τxy = τxztgα = τxz 0 0. (.7) zc z Kąt α 0 jest kątem między osią z a styczną do konturu przekroju. Wzór (.7) wskazuje na to, że wypadkowy wektor naprężenia stycznego na płaszczyźnie o normalnej współliniowej z osią z, tx = txy + txz, jest zawsze styczny do konturu przekroju. Zależność (.7) rozszerza się również na wewnętrzne punkty przekroju; dla naprężeń τ xz przyjmuje się wzór (.6), a zamiast kąta α 0 wprowadza się kąt α (por. rys..4). Wówczas QS z y() z QS z y() z y τxy = tg α =. (.8) Jy b() z Jy b() z zc z Wobec powyższego stwierdzamy, że dla przekrojów nieprostokątnych macierz naprężeń w rozważanym zadaniu ma bardziej złożoną postać: σx τxy τxz s = τ yz 0 0. τzx 0 0 Dobry pogląd na stosowane do tej pory przybliżenia daje rozwiązanie dla liniowo-sprężystego pręta pryzmatycznego o przekroju kwadratowym, podane przez Jakubowicza i Orłosia [0]. Wektor siły poprzecznej Q y pokrywa się z przekątną kwadratu (rys..5). Dokładne wartości naprężeń τxy ' ' i τxz ' ', wywołane przez składowe Qy' i Qz', można wyznaczyć ze wzoru (e). Następnie, korzysta-
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 5 jąc z zasady superpozycji i dokonując obrotu układu współrzędnych, otrzymuje się wzory na naprężenia τxy i τxz: yz (f) τxy = τ0 a, y + z (g) τxz = τ0 ( ), a gdzie a jest bokiem kwadratu, a τ 0 = 3Qz /( a )i oznacza maksymalne naprężenie styczne w przekroju prostokątnym. Wzory (f) i (g) są ścisłe. Łatwo można sprawdzić, że są spełnione zarówno równania różniczkowe równowagi i warunki na powierzchni pręta, jak i równania nierozdzielności odkształceń. Ze wzorów (f) i (g) wynika, że w narożach przekroju naprężenia są równe zeru, a na aktualnej szerokości przekroju b(z) naprężenia styczne nie są rozłożone równomiernie. Rys..5 Omówimy jeszcze inny sposób szacowania wartości naprężeń τ xy. Równanie sumy rzutów sił na oś x dla elementu zakreskowanego na rys..6 prowadzi do zależności: hd ( y) (h) dσx d= τ xy dzdx. '' h g ( y) Postępując analogicznie jak przy wyprowadzaniu wzoru (.6), otrzymujemy: (i) hd ( y) Q τ z xy dz = y J S ( y ), y hg ( y) gdzie S y (y) jest momentem statycznym pola zakreskowanego '' względem osi y. Wzór (i) może służyć do obliczenia naprężenia średniego τ xy na wysokości h(y): τ xy hd ( y) Q = τxy dz = hy ( ) J hg ( y) z y Sy ( y) hy ( ). (.9)
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 6 Zależność (.9), choć słuszna, jest bezwartościowa dla przekrojów wypukłych, których osią symetrii jest oś y. Wówczas bowiem S y (y) = 0 i średnie naprężenia τ xy są zawsze równe zeru. Przykładem takiego przekroju jest rozważany wyżej przekrój kołowy lub kwadratowy, w którym wyznaczone na innej drodze naprężenia styczne τ xy mają wartości porównywalne z naprężeniami τ xz. Rys..6 Omówiony tutaj sposób szacowania naprężeń τ xy daje jednak bardzo dobre rezultaty w przekrojach cienkościennych, powszechnie stosowanych w budownictwie metalowym. Dla ilustracji przeanalizujemy naprężenia τ xz i τ xy występujące w przekroju dwuteowym (rys..7). Do obliczenia naprężeń τ xz stosujemy wzór (.6). Wykres tych naprężeń wzdłuż osi z ma charakterystyczny kształt kapelusza (rys..7b). Półki przekroju przenoszą tylko niewielką część siły poprzecznej, ponieważ naprężenia τ xz są tam bardzo małe. Dlatego w praktyce projektowej bardzo często przyjmuje się, że całą siłę poprzeczną przenosi środnik, przy czym rozkład naprężeń τ xz jest równomierny (por. rys..7c): Q τ z xz = const. (.0) śr We wzorze (.0) śr = bh i oznacza pole środnika. Wzór ten służy również do kontroli obliczeń według wzoru (.6). Rzeczywisty rozkład naprężeń τ xz wzdłuż osi I I ilustruje rys..6c. Silne koncentracje naprężeń występują na poziomie połączenia półek ze środnikiem. Efekt spiętrzenia naprężeń można złagodzić przez zaokrąglenie wklęsłych naroży przekroju możliwie dużym promieniem krzywizny. Powierzchnie boczne przekroju dwuteowego są z reguły wolne od naprężeń stycznych. Z symetrii tensora naprężenia wynika więc, że w każdym punkcie konturu przekroju składowe naprężeń stycznych prostopadłe do konturu są równe zeru. Uzasadnione jest zatem uproszczenie polegające na całkowitym pominięciu tych składowych w obrębie całego przekroju cienkościennego.
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 7 Rys..7 Naprężenia τ xy w półkach przekroju oblicza się z równowagi elementów odciętych płaszczyzną y = const (por. rys..7a). Rozważymy jeden z tych elementów, np. element dolny. Zakładamy, że naprężenia τ xy na grubości półki są rozłożone równomiernie, i otrzymujemy wzór analogiczny do zależności (.9): d QS z y d ( y) τ xy =, (.) Jy t gdzie Sy d ( y) oznacza moment statyczny zakreskowanego pola d względem osi y. Rys..8
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 8 Wobec tego B H t (j) Sy d ( y) = t y, d skąd widać, że naprężenia τ xy są liniową funkcją współrzędnej y. Odpowiednie naprężenia w półce górnej τxy = τ xy, bo Sy g ( y) = Sy d ( y). Średnie naprężenia τ xy są, rzecz jasna, równe zeru. Wykresy na- g d prężeń τ xy przedstawiono na rys..7e. Dla b/ < y < b/ wzór (.) traci sens. Na podstawie wzorów (.6) i (.) można przekonać się, że dla dwuteowników walcowanych maksymalne naprężenia τ xy są około 3 5 razy mniejsze od największych naprężeńτ xz. Ze względu na złożony stan naprężenia występujący przy działaniu siły poprzecznej, której towarzyszy z reguły moment zginający, sprawdzaniu warunku wytrzymałościowego trzeba poświęcić nieco więcej uwagi. Pogląd na tę sprawę daje analiza wartości naprężenia zastępczego σ red w przekroju dwuteowym. Na rysunku.8 przedstawiono przebieg naprężeń stycznych i normalnych oraz wykresy naprężeń zastępczych σ red, obliczonych według hipotezy HMH. nalizując ten rysunek widzimy, że największe naprężenia występują w punktach, B, C i D oraz w miejscu połączenia środnika belki z półkami (włókna a a i b b). Ponieważ przyjęliśmy, że środnik przejmuje tylko naprężenia τ xz a półki tylko naprężeniaτ xy, więc obliczenie naprężenia zastępczego przebiega jak dla płaskiego stanu naprężenia, a warunek wytrzymałościowy ma postać: gdzieτ x oznacza w zależności od badanego punktu naprężenia τ xz lub τ xy. σred = σx + 3 τx, (.)... Obliczanie odkształceń Odkształcenia ε 3 = ε xz oraz ε = ε xy spowodowane wyłącznym działaniem siły poprzecznej Q z oblicza się bezpośrednio ze związków fizycznych dla materiału liniowo-spężystego: przy czym wyraźnie większe są tutaj odkształcenia ε xz. ε ε xz xy τ γ xz = xz =, G τ xy = γ xy =, G (.3) Macierz odkształceń dla łącznego działania siły poprzecznej Q z i momentu zginającego M y ma więc postać: Wartość ε x obliczamy ze wzorów (0.5). εx εxy εxz e = ε yx νεx 0. (.4) εzx 0 νεx
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 9..3. Obliczanie przemieszczeń Przemieszczenia wywołane przez siłę poprzeczną są na ogół bardzo małe. Ograniczymy się tutaj do określenia wpływu siły poprzecznej na ugięcie pręta. Rozważmy deformacje odcinka belki prostokątnej o długości dx, spowodowane tylko działaniem siły poprzecznej Q z. Powierzchnię tego odcinka (tzn. prostokąt BCD) podzielimy myślowo na elementarne kwadraty o boku dx. Rys..9 Największe odkształcenia postaciowe elementów, stosownie do wykresu ε xz (rys..9c), występują w sąsiedztwie osi ciężkości przekroju. W miarę oddalania się od tej osi odkształcenia ε xz maleją, by we włóknach skrajnych osiągnąć wartości zerowe, a wydzielone tam myślowo elementy są w dalszym ciągu kwadratami. Wobec powyższego stwierdzamy, że pierwotnie płaski przekrój belki wygina się w kształcie litery S (por. rys..9d). Jeżeli przyjmiemy, że po deformacji punkty B leżą nadal na linii pionowej, to w efekcie końcowym odnotowujemy względne przemieszczenia sąsiednich cięciw B i CD, określone pewnym kątem β (rys..9e). Gdyby odkształcenia ε xz na wysokości przekroju były stałe, to kąt β równałby się kątowi ε xz. W ogólnym przypadku 0 < β < ε xz. Powstaje pytanie, jak określić kąt β. Najbardziej uzasadnione jest ustalenie tego kąta na podstawie rozważań energetycznych. Zgodnie z twierdzeniem Clapeyrona dla układów liniowych przyjmiemy, że praca siły poprzecznej Q z (traktowanej jako siła zewnętrzna) na przemieszczeniu dw Q = β dx ma być równa energii sprężystej zmagazynowanej wewnątrz rozważanego odcinka belki. Żądamy więc, by: Qz β dx = ij ijddx σ ε, skąd (k) σijεij d = Qzβ. W naszym przypadku QS z y QS z y QzSy σij εij = σ ε + σ ε = τxz εxz = Jb y Jb 3 3 3 3 y G =. Jyb G Wobec tego Q S z (l) Q z y ( ) z β = d GJ. y b ( z) Ze wzoru (l) otrzymujemy wyrażenie na średni kąt ścinania:
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 0 Q β = z G k, (.5) gdzie Sy ( z) k = d J. (.6) y b ( z) Współczynnik k jest bezwymiarowy i zależy od kształtu przekroju. Dla prostokąta wynosi,, a dla przekrojów dwuteowych waha się od,4 (dla I 80) do,0 (dla I 500). Wyznaczenie wartości k dla dowolnych przekrojów dwuteowych jest dosyć kłopotliwe. Jeżeli jednak akceptujemy równomierny rozkład naprężeń τ xz w przekroju środnika, τ xz = Q z / śr, to τ (m) β = ε = xz Q xz = z Q = z. G Gśr G śr Z porównania tego rezultatu ze wzorem (.5) wnioskujemy, że (n) k =. śr Wartości obliczone ze wzoru (n) są nieco większe od wartości obliczonych z kryterium energii. W celu uwzględnienia wpływu siły poprzecznej na ugięcie skorzystamy ze wzoru (.5): dwq Q (o) β = = z dx G k. Całkowite ugięcie jest sumą ugięcia w M (x) wywołanego przez moment zginający M y oraz ugięcia w Q (x), wywołanego przez siłę poprzeczną Q z : wz ( ) = wm( x) + wq( x). (.7) Równanie różniczkowe funkcji w M (x) ma postać: M y (p) w'' M ( x ) =, EJ a na podstawie równania (o) można napisać (EJ = const): y (r) w'' Q dq ( x ) = β '( x ) = dx z k G = q( k x ) G. Po dodaniu stronami równań (p) i (r) otrzymujemy: M y q w"( x) wm( x) wq( x) EJ G k " " = + = +. (.8) y Równanie (.8) jest równaniem różniczkowym linii ugięcia pręta pryzmatycznego uwzględniającym wpływ sił poprzecznych. Wpływ ten jest na ogół niewielki; przyjmuje się, że jest on istotny jedynie dla belek grubych, gdzie stosunek wysokości belki h do jej rozpiętości l jest większy od 0,. Należy zwrócić uwagę na to, że uwzględnienie wpływu sił poprzecznych na ugięcie oznacza odstąpienie od hipotezy Bernoulliego; przekroje nadal pozostają płaskie, lecz nie są prostopadłe do wygiętej osi belki. W konsekwencji warunki brzegowe dla utwierdzenia są następujące (por. rys..0): Q k (s) w w x ( 0) ( 0) = 0, '( 0) = β ( 0) =. G Dla innych sposobów podparcia różnice w formułowaniu warunków brzegowych nie występują.
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ Rys..0 W celu zilustrowania wpływu sił poprzecznych na ugięcie rozwiążemy dwa zadania stosując metodę obciążenia krzywiznami. W pierwszym zadaniu wyznaczymy ugięcie wspornikowej belki prostokątnej o szerokości b i wysokości h (rys..a). Materiał belki charakteryzują dwie stałe sprężystości E i ν, przy czym ν = / 3. Obciążenie belki fikcyjnej odpowiada prawej stronie równania (.8): M( x) qx ( ) k q* = +. EJ G (.9) Rys.. Jako obciążenie q(x) należy rozumieć wszystkie siły (czynne i bierne) obciążające belkę, a fikcyjne schematy statyczne przyjmuje się zgodnie z rys. 0.7. Maksymalne ugięcie belki: ql ql qlk qk (t) = M *( l) = l l l l+ l l. EJ 3 8EJ 3 G G Wzór (t) ułożono z wykorzystaniem wzorów na pole i położenie środka ciężkości paraboli II stopnia (por. dodatek). Po uporządkowaniu i uwzględnieniu, że G = E /[ ( + ν )] = 3E / 8oraz k =,, otrzymujemy: 4 4 ql kej ql h (u) = + 4 = + 07,. 8EJ lg 8EJ l
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ Składnik,07 (h/l) opisuje wpływ sił poprzecznych. Jeśli na przykład h/l = 0,0, to przyrost ugięcia stanowi,07% wartości ugięcia spowodowanego przez moment zginający. Dla h/l = 0,0 wpływ ten sięga 4,8%. Drugie zadanie dotyczy belki swobodnie podpartej z rys..b. Dla przekroju prostokątnego i identycznej wartości współczynnika Poissona maksymalne ugięcie w połowie rozpiętości belki Pl l l l Pk l Pl 3 h (w) = + = + 3,. 4EJ 3 G 4 48EJ l Wpływ sił poprzecznych na ugięcie jest tutaj 3 razy większy niż w z zadaniu pierwszym...4. Zależności energetyczne Problem energii poruszono już w p...3. Zgodnie z podanymi tam wynikami można napisać, że: σijεijdv Q() s β() s ds, Q Q z. (.0) V s Jeżeli pręt jest liniowo-sprężysty, to energię sprężystą U wyraża się następującymi zależnościami: U Q() s β () s ds, s (.) Q Q UQ = ds, bo β = ( G / k) ( G / k) s (.) Uβ = ( G/ k) β ds. s (.3) Wyrażenie G/k występujące w powyższych wzorach nazywamy sztywnością ścinania przekroju. Zgodnie ze wzorem (.0) składniki wewnętrznych prac wirtualnych mają postać: σijεij dv = Q( s) β( s) ds, (.4) V s σijεij dv = Q ( s) β( s) ds. (.5) V s.. ŚCINNIE W BELKCH ZŁOŻONYCH Naprężenia styczne mają bardzo duże znaczenie w projektowaniu tzw. belek złożonych. Rozważmy najpierw belkę drewnianą. Ponieważ wymiary przekroju poprzecznego takich belek są ograniczone średnicą pnia, więc dla większych obciążeń jesteśmy zmuszeni zastosować belkę złożoną z dwóch lub trzech belek o mniejszych wysokościach (rys..). Obciążenie luźno ułożonych na sobie belek składowych wywołuje deformację układu przedstawioną na rys..b. Obie belki przylegają do siebie, jednak wzdłuż powierzchni kontaktu ulegają względnym przesunięciom. Efekt jest więc taki, jakby każda belka pracowała oddzielnie. by w pełni wykorzystać własności wytrzymałościowe celowe jest połączenie obu belek w taki sposób, by zlikwidować wzajemne przesunięcia w płaszczyźnie połączenia. W tym celu stosuje się kliny z drewna twardego umieszczone jak na rys..c. Każdy z klinów musi przejąć siłę poziomą H. Siłę tę można uważać za wypadkową naprężeń stycznych τ zx obliczonych jak dla belki jednolitej i działających na pole o wymiarach b e, przypadające na dany klin. Bardzo sugestywne jest wprowadzenie pojęcia tzw. siły rozwarstwiającej t R, czyli siły poziomej przypadającej na jednostkę długości belki wzdłuż płaszczyzny połączenia:
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 3 QS z y tr = τ zx b=. Jy (.6) Rys.. Jeśli klin "i" ma przyjmować siłę poziomą H i dla x i x x i+ (rys..c), to xi + (a) Hi = tr( x) dx. x i W rozważanym zadaniu z rysunku. siły H i są takie same dla każdego klina i wyraża je wzór: (b) H e QS z y Q = = z e, J y bh 3 gdzie h jest całkowitą wysokością belki. Wyznaczona wartość siły H jest punktem wyjścia do dalszych obliczeń belki złożonej. Trzeba tu sprawdzić wytrzymałość klina na bezpośrednie ścinanie, wytrzymałość belek składowych na docisk klinów oraz ścinanie tych belek w płaszczyźnie γ γ. Połączenie belek klinami pozwala traktować belkę złożoną jako belkę jednolitą. Trzeba jednak pamiętać, że belka złożona jest osłabiona wcięciami na kliny, co uwzględnia się przez przyjęcie w obliczeniach momentu bezwładności przekroju netto (przekrój zakreskowany na rys..e).
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 4 Rys..3 Podobne obliczenia prowadzi się dla belek złożonych wykonanych z innych materiałów, np. dla belek stalowych. Najczęściej mamy do czynienia z obliczaniem połączenia pasa ze środnikiem w blachownicach (rys..3). Jeżeli stosujemy połączenie na śruby lub nity, to największa siła rozwarstwiająca przypada na łącznik poziomy C. Przy obliczaniu tej siły należy przyjąć moment zakreskowanej części przekroju na rys..3a. Łączniki i B projektuje się, przyjmując moment statyczny pasa względem osi y (por. rys..3b)..3. STN NPRĘŻENI W BELKCH OBCIĄŻONYCH POPRZECZNIE Do tej pory przy ustalaniu stanu naprężenia przyjmowaliśmy, że obciążenie belki q(x) jest równe zeru. Wpływ tego obciążenia oszacujemy dla belki prostokątnej przedstawionej na rys..4. Jeśli belka jest nieważka, to obciążenie q(x) na powierzchni z = z g = h/ wywołuje naprężenia normalne σ z = q(x)/b, natomiast jeśli z = z d = h/, to σ z = 0. Na podstawie równania różniczkowego równowagi (a) σ ji, j = 0 oraz wzoru (.6) na naprężenie styczne σ 3 i analizy warunków brzegowych otrzymuje się zależność: σ 33 Przebieg funkcji σ z ilustruje rys..4. = σ = z 3 ( ) 3 z z. (.7) h h qx b Rys..4
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 5 Wobec powyższego macierz naprężeń przy zginaniu poprzecznym ma postać: σx τxy τxz s = τ yz 0 0 τzx 0 σz (.8) Łatwo się przekonać, że naprężenia σ z są zazwyczaj bardzo małe (około % wartości σ x ) i pominięcie ich nie wpływa w istotny sposób na warunek wytrzymałości i sztywności konstrukcji. Uwaga ta nie dotyczy obciążeń skupionych, w odniesieniu do których sposób przekazania sił na belkę wymaga odrębnej analizy. W uzupełnieniu dodamy jeszcze, że praktyczna przydatność wzoru (.7) jest znikoma. W praktyce przyjmuje się bowiem, że obciążenie q(x) jest sumą obciążeń powierzchniowych i masowych (ciężar własny belki), co nie jest zgodne z założeniem przyjętym w wyprowadzeniu wzoru (.7)..4. NPRĘŻENI GŁÓWNE W BELKCH Rozważymy belkę wspornikową o przekroju prostokątnym, poddaną działaniu obciążenia skupionego (rys..5). W przekroju α α występuje siła poprzeczna Q z = P oraz moment zginający M y = P(l x). Siła poprzeczna wywołuje naprężenia styczne τ xz, a moment zginający naprężenia normalne σ x. Stan naprężenia obrazuje macierz: (a) σx 0 τxz s = 0 0 0 τzx 0 0 gdzie M y Q S σ x = z oraz τ z y ( z) xz =. Jy J y b Rys..5 Na wysokości przekroju naprężenia te się zmieniają. Zmieniają się więc także kierunki i wartości naprężeń głównych. Ilustruje to rys..6, na którym linią ciągłą zaznaczono kierunki głównych naprężeń rozciągających, a przerywaną ściskających.
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 6 Rys..6 Jeśli wykonamy identyczne czynności dla kilku przekrojów belki, to możemy narysować tzw. linie izostatyczne. Linie te mają tę własność, że styczne do nich w dowolnym punkcie wskazują kierunek jednego z naprężeń głównych. Linie izostatyczne nazywa się również trajektoriami naprężeń głównych. Są dwie rodziny takich linii: trajektorie naprężeń rozciągających (linie ciągłe) i trajektorie naprężeń ściskających. Linie te są wzajemnie prostopadłe i nachylone pod kątem 45 do osi belki w punktach leżących na osi obojętnej. Przebieg trajektorii naprężeń głównych ilustruje jeszcze rys..7a, na którym przedstawiono belkę swobodnie podpartą, poddaną obciążeniu q(x) = const. Na podstawie tego rysunku możemy wyobrazić sobie, że zginanie odpowiada współdziałaniu ściskanego łuku (linia przerywana) i rozciąganych cięgien (linia ciągła). Spostrzeżenie to uzasadnia przebieg zbrojenia w belkach żelbetowych. Beton charakteryzuje się dużą wytrzymałością na ściskanie i brakiem wytrzymałości na rozciąganie. Dlatego w konstrukcjach zbrojonych jest następujący podział funkcji: beton przejmuje ściskanie, a pręty stalowe rozciąganie. W realnych konstrukcjach pręty te mają kształt zbliżony do kształtu trajektorii naprężeń rozciągających (por. rys..7b). Zwróćmy uwagę na odmienny sposób zbrojenia belki wspornikowej (rys..7d); zbrojenie przebiega tam nie w dolnych, lecz w górnych, rozciąganych partiach belki.
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 7 Rys.7.5. ŚRODEK ŚCINNI Z rozważań zawartych w p.. wynika, że dokładne obliczenie naprężeń stycznych τ xz i τ xy w dowolnym przekroju natrafia na duże trudności. Z tego względu nie sprawdzaliśmy do tej pory wymagania, by stosownie do zależności (.) siła poprzeczna Q y i moment skręcający M były równe zeru. W przekrojach o dwóch osiach symetrii wymaganie to jest zawsze spełnione. W zakresie przekrojów o jednej osi symetrii najlepsze przybliżenie wartości naprężeń stycznych otrzymujemy w przekrojach cienkościennych. Rozważymy więc dla przykładu przekrój ceowy poddany działaniu siły poprzecznej Q z. Naprężenia styczne wyznacza się identycznie jak w przekroju dwuteowym. Z rysunku.8a widać natychmiast, że moment skręcający względem układu osi środkowych jest różny od zera, natomiast siła poprzeczna Q y = 0. Powstaje więc pytanie, gdzie leży punkt, względem którego moment skręcający jest równy zeru. Rozkład naprężeń stycznych wskazuje, że punkt ten leży na osi symetrii przekroju. Przyjmiemy, że całą siłę poprzeczną Q z przenosi środnik. Wypadkową siłę poziomą przenoszoną przez każdą z półek oznaczymy przez H. Wówczas położenie punktu S (por. rys..8b), względem którego moment skręcający jest równy zeru, obliczamy z równania: (a) M = Q z e + H h = 0, skąd (b) e = Hh. Q z
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 8 Rys..8 Siła pozioma (rys. 4.8a, b) (c) H = b t xy 0 τ max, przy czym naprężenia τ xy max określa wzór (.): y (d) τ xy Q S max max = z. Jyt Jeżeli p = Bt b 0 t i oznacza pole przekroju półki, a śr = bh i oznacza pole przekroju środnika, to h S b t h ymax = p 0, (e) bh h h J y = 3 + b t ( p ). = + 0 6 śr Po podstawieniu tych zależności do wzorów (d) i (b) otrzymujemy: (f) e= b0 + śr 6 p Ze wzoru (f) wynika, że e< b0 / B /.. Rys..9
Część. DZIŁNIE SIŁY POPRZECZNEJ 9 Punkt S nazywa się zazwyczaj środkiem ścinania lub środkiem zginania. Ta druga nazwa wynika stąd, że jeżeli płaszczyzna obciążenia przechodzi przez ten punkt, to pręt ulega tylko zginaniu (por. rys..8d). W przeciwnym razie oprócz zginania występuje również skręcanie, a odkształcona oś pręta nie jest krzywą płaską (rys..8c). Pojęcie środka zginania ma bardzo duże znaczenie w teorii prętów cienkościennych, którą omówimy w rozdziale. Położenie środka ścinania w innych przekrojach cienkościennych ilustruje rys..9. Warto jeszcze dodać, że w przekrojach zwartych o dowolnym przekroju środek ścinania na ogół nie pokrywa się ze środkiem ciężkości, jednak z uwagi na dużą sztywność takich przekrojów wpływ dodatkowego skręcania przekroju jest w praktyce pomijany.