ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA

Sudi i Prce WNEiZ US nr 44/2 206 DOI: 0.8276/sip.206.44/2-4 Rober Kruszewski * Szkoł Główn Hndlow w Wrszwie ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA STRESZCZENIE W rykule skonsruowny będzie nieliniowy model Hicks, uwzględnijący nieliniową funkcję inwesycji i konsumpcji. Opisne zosną możliwe ypy ścieżek czsowych. Zbdny zosnie kże wpływ prmerów n dynmikę modelu. Słow kluczowe: cykl koniunkurlny, równowg, chos deerminisyczny, bifurkcj Wprowdzenie Teorie cyklu koniunkurlnego, opre n współdziłniu mnożnik i kceleror, zosły oprcowne w lch czerdziesych XX wieku. W osnim czerdziesoleciu nsępowł rozwój ych eorii, w wyniku czego powsło wiele nieliniowych modeli dynmicznych. Jes o efekem pojwieni się nowych meod bdwczych nieliniowych ukłdów dynmicznych, będących memyczną reprezencją modeli ekonomicznych. Nrzędzi e o eori bifurkcji (głównie bifurkcj Neimrk- -Scker i bifurkcj Hopf) orz zdefiniowne w połowie l siedemdziesiąych XX wieku przez Li orz Yorke pojęcie chosu deerminisycznego. Zsosownie * E-mil: rkrusz@sgh.ww.pl

92 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII bifurkcji podwjni okresu i bifurkcji Neimrk-Scker dl modeli z czsem dyskrenym orz bifurkcji Hopf dl modeli z czsem ciągłym pozwoliło n rekonsrukcję wielu wcześniejszych idei cyklu koniunkurlnego. Opisnie zjwisk chosu deerminisycznego poswiło w innym świele zgdnienie wyjśnini zjwisk flowni zmiennych ekonomicznych i przygoowywni prognoz ychże zmiennych. Chos deerminisyczny, kóry może pojwić się już w brdzo prosych modelch mkroekonomicznych (np. J.M. Keynes, J.R. Hicks, P.A. Smuelson), przedswi klsyczną eorię koniunkury orz skueczność i efekywność poliyki społeczno-gospodrczej w nowym świele. Z meodologicznego punku widzeni brdzo wżny jes fk, że oo isnieje nowy yp zchowni się szerokiej klsy nieliniowych deerminisycznych ukłdów dynmicznych, w kórych wysępuje ruch choyczny. Ruch en chrkeryzuje się wysokim sopniem skomplikowni rjekorii i loklizuje się n pewnych podzbiorch przesrzeni fzowej, zwnych rkormi. Bdnie okresowej, qusi-okresowej i choycznej dynmiki modeli cyklu koniunkurlnego, od l osiemdziesiąych XX wieku, snowi jeden z głównych nurów ekonomii memycznej. Modele Smuelson i Hicks ze względu n swą prosoę i deskrypywny chrker snowią idelną bzę do bdni różnych sposobów modelowni srumieni konsumpcji i inwesycji orz wyjśnini cech morfologicznych cyklów gospodrczych. Hommes, Sur, Vzquez i Vegs (998) bdli model Hicks z dolnym ogrniczeniem n poziom inwesycji i górnym n wielkość produku krjowego. Puu, Grdini i Sushko (2005) kże bdli model Hicks z ogrniczenimi, w kórym dolne ogrniczenie poziomu inwesycji zosło powiązne z cłkowiym zsobem kpiłu w modelownej gospodrce. Msumoo i Szidrovszky (205) rozwżli nieliniowy model mnożnik i kceleror z opóźnionym rgumenem funkcji inwesycji i konsumpcji. Anlizie modelu Hicks z nieliniową funkcją inwesycji poświęcon jes kże prc Puu i Sushko (2004). Celem niniejszej prcy jes zbdnie dynmiki nieliniowego modelu Hicks ze szczególnym uwzględnieniem rkorów okresowych i qusi-okresowych, opisnie mechnizmów prowdzących do powswni ychże rkorów orz określenie wrunków, jkie muszą zisnieć, by wysąpiło zjwisko chosu deerminisycznego. Do zbudowni i nlizy nieliniowego modelu Hicks użye będą nrzędzi ekonomii memycznej, w ym eori nieliniowych ukłdów dynmicznych z czsem dyskrenym i eori bifurkcji. Relizcji poswionych celów podporządko-

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 93 wn jes srukur rykułu. Część pierwsz zwier opis dyskrenej wersji modelu Hicks. Część drug opisuje położeni równowgi i loklne zjwisk bifurkcyjne zchodzące w bdnym modelu. Część rzeci poświęcon jes nlizie numerycznej zproponownego modelu, ze szczególnym uwzględnieniem rkorów cyklicznych, qusi-okresowych i choycznych. Konkluzje zwre są w osniej części.. Liniowy model Hicks Model Hicks opry jes n zsdzie współdziłni keynesowkiego mnożnik i zsdy kcelercji. Opisuje on dynmikę produku krjowego hipoeycznej gospodrki. Model liniowy snowić będzie odniesienie do modelu nieliniowego, kóry zosnie przedswiony w dlszej części prcy. Zkłdm, że konsumpcj w okresie bieżącym do produku krjowego z okresu poprzedniego Y : sy, 0 C C s C jes wpros proporcjonln gdzie s reprezenuje skłonność do oszczędzni, C 0 konsumpcję uonomiczną. Inwesycje I są sumą słych inwesycji uonomicznych I cons i inwesycji indukownych, kóre są proporcjonlne do zminy poziomu produku krjowego: I I v Y Y, v 0, 2 gdzie v jes kcelerorem. Produk krjowy, w kżdym okresie, przeznczny jes n konsumpcję, inwesycje i wydki rządowe G G 0, kóre są słe w kżdym okresie. Równnie bilnsowe opisujące równowgę przyjmuje posć: Y C I G Memycznym modelem opisującym dynmikę produku krjowego opisnego zleżnościmi () (3) jes równnie różnicowe liniowe drugiego rzędu: 2 Y I C G sv Y vy (4) Produk krjowy w okresie bieżącym zleży od wydków uonomicznych i wielkości produku krjowego w dwóch poprzednich okresch. Powyższe równnie różnicowe posid jedną równowgę scjonrną, kór jes punkem słym równ- () (2) (3)

94 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII ni (4) i spełni wrunek Y Y Y 2 Ye Ye I s C G. Oscylcje ścieżki czsowej będącej rozwiązniem równni (4) zleżą od pierwisków, 2, równni chrkerysycznego związnego z równniem (4): 2, gdzie s v v 0 (5) W liniowym modelu Hicks wysępują jedynie oscylcje włściwe związne z zespolonymi pierwiskmi równni (5). Oscylcje niewłściwe, związne z ujemnymi rzeczywisymi pierwiskmi równni chrkerysycznego, nie wysępują rzeczywise pierwiski równni (5) są zwsze dodnie. Oscylcje o mlejącej mpliudzie wysępują, gdy 0 v orz s v 2 v. Oscylcje o słej mpliudzie wysępują, gdy kceleror jes równy jedności, skłonność do oszczędzni przyjmuje dowolną dopuszczlną wrość. Możliwe ypy ścieżek czsowych w przedswionym modelu liniowym o: zbieżność do równowgi (monooniczn lub z gsnącymi oscylcjmi), cykliczne whni (o słej mpliudzie) wokół równowgi i oscylcje o rosnącej mpliudzie. W odpowiedzi n powyższe ogrniczeni modelu liniowego (ubog dynmik, rywilny rkor punkowy), nieliniow wersj modelu Hicks będzie przedswion w dlszej części prcy. Zminie ulegnie sposób modelowni zrówno srumieni konsumpcji, jk i srumieni inwesycji indukownych. W miejsce liniowych zleżności będą wprowdzone relcje nieliniowe. 2. Nieliniowy model Hicks W większości wersji modelu Hicks srumień konsumpcji zleży liniowo od produku krjowego w okresie poprzednim. Niekórzy bdcze uzleżniją konsumpcję w okresie bieżącym od wielkości produku krjowego w kilku poprzednich okresch (Puu, 2003). Oddzielną klsę snowią modele, w kórych opis srumieni konsumpcji opry jes n oczekiwnej wielkości produku krjowego w okresie bieżącym. W konsruownym nieliniowym modelu Hicks funkcj konsumpcji przyjmuje posć: C C ( s) Y, 0 s (6) gdzie C 0 ozncz konsumpcję uonomiczną, 0 s ozncz skłonność do oszczędzni. Prmer 0 przyjmuje wrości bliskie jedności. Przyję posć

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 95 funkcji konsumpcji pozwl bdć włsności modelu, w przypdku gdy fkyczne zchowni konsumpcyjne różnią się od przyjęych złożeń eoreycznych, związnych z liniową zleżnością od poziomu produku krjowego w okresie. Funkcj inwesycji w pierwonym modelu Hicks jes funkcją liniową zleżną od różnicy produku krjowego w okresch i 2. Ten sposób modelowni srumieni inwesycji jes dość kłopoliwy i już Hicks w 950 roku sugerowł zsąpienie funkcji liniowej funkcją kwłkmi liniową. Wiązło się o z wprowdzeniem górnego i dolnego ogrniczeni srumieni inwesycji. Goodwin (95) zproponowł modyfikcję propozycji przedswionej przez Hicks, kór poległ n sympoycznej zbieżności do ogrniczeń zproponownych przez Hicks. Ide Goodwin przekłd się n zsosownie funkcji rcusngens do modelowni srumieni inwesycji. Puu (2003) w modelowniu srumieni inwesycji uwzględni kże inwesycje rządowe i cły proces opisuje przy pomocy wielominu rzeciego sopni: I Y Y vy Y 3, v 0 I v 2 2 (7) W niniejszej prcy uwzględnione będą dodkowo inwesycje uonomiczne 0, zem I I v Y Y vy Y 3, v 0 2 2 Podswijąc równni (8) i (6) do równni bilnsowego (3) orzymujemy uonomiczne równnie różnicowe nieliniowe drugiego rzędu: Y 3 sy vy Y 2 vy Y 2 I C G kóre jes równowżne nsępującemu uonomicznemu ukłdowi dwóch równń różnicowych pierwszego rzędu: sy vy X vy X 3 Y I C G (0) X Y Powyższy ukłd równń różniczkowych jes nieliniowy i, dodkowo, nie isnieje jego nliyczne rozwiąznie opisujące zchownie się zmiennych Y, X w kżdej chwili czsu. Do nlizy ukłdu (0) zosną użye nrzędzi jkościowej eorii nieliniowych równń różnicowych. (8) (9)

96 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII 2 2 Niech F : R R będzie odwzorowniem oznczjącym prwą sronę ukłdu (0): sy vy x vy x 3 I C G F( y, x) y Pierwszym elemenem jkościowej nlizy ukłdu (0) jes wyznczenie położeni równowgi (rozwiązni scjonrnego). Równowg ukłdu (0) jes punkem słym odwzorowni F. Punk sły y *, x * odwzorowni F spełniją wrunek: kóry jes równowżny ukłdowi równń: y, x y x * * *, () F (2) s y x * * y * y * I * C G (3) Twierdzenie. Jeżeli I C G 0, o odwzorownie F posid dw punky słe 0,0 E ( s),( ). E i 2 s Dowód: Przy przyjęym złożeniu zerowych wydków uonomicznych wrunek (3) redukuje się do ukłdu równń: s y x kóry posid dw rozwiązni: 0,0 * * y*, y * E i 2 ( s),( s ) E. Twierdzenie 2. Jeżeli I C G 0 orz 0, o odwzorownie F posid jeden punk sły E y *, y * ki, że y ( ) * s. Dowód: Przy złożeniu dodnich wydków uonomicznych wrunek (3) redukuje się do równni:

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 97 s y y ( I C G ) * * kóre dl 0 posid dokłdnie jedno rozwiąznie (rys. ) spełnijące nierówność y ( ) * s. Redukownie wydków uonomicznych przesuw prosą y ( I C G ) do góry orz powoduje zbieżność z prwej srony y * do wrości grnicznej równej ( s ). Rysunek. Isnienie i jednoznczność równowgi dl 0, Źródło: obliczeni włsne. Twierdzenie 3. Złóżmy, że i y. Odwzorownie F posid dw punky słe E y, y E 2, y2 kie, że y ( ) y ( s) 2, jeśli 0 ( ) ( ) ( ) I C G s. Dl I C G ( ) ( ) odwzorownie F posid jeden punk sły ( ) s E y, y kie, że y ( ), dl ( ) ( ) ( s) ( ) I C G s odwzorownie F nie posid punków słych. Dowód: Przy złożeniu dodnich wydków uonomicznych wrunek (3) redukuje się do równni: s y y ( I C G ) * * (4)

98 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Lew sron powyższego równi jes rosnącą funkcją wypukłą. Pros y ( I C G ) może nie mieć punków wspólnych, może być syczn lub może być sieczną wykresu funkcji sy (rys. 2), co przekłd się n brk rozwiązń, jedno rozwiąznie lub dw rozwiązni równni (4). Rysunek 2. Isnienie położeń równowgi dl Źródło: obliczeni włsne. Kolejnym epem nlizy jkościowej bdnego modelu jes uslenie wrunków, jkie muszą spełnić zmienne egzogeniczne, by sny scjonrne były loklnie sympoycznie sbilne. Sbilność równowgi scjonrnej ukłdu (0) zleży od wrości włsnych mcierzy Jkobiego odwzorowni F, kór przyjmuje posć: J ( y, x) 2 s y v 3vy x v 3y x 0 2 (5) Anlizę loklnej sympoycznej sbilności punków słych (rozwiązń scjonrnych) ukłdu (0) rozpoczyn od przypdku, gdy I C G 0 i. Mcierz Jkobiego odwzorowni F w punkcie E i E 2 przyjmuje posć: v v v v J ( E ), J ( E2) 0 0

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 99 Równowg scjonrn E i ukłdu (0) jes loklnie sympoycznie sbiln, gdy moduły wrości włsnych mcierzy lineryzcji J E i są mniejsze od jedności. Wrunek en jes spełniony jeśli (Medio, Lines, 200): rj rj Ei de J Ei 0 Ei de J Ei 0 de J E 0 i (6) Pierwsze dwie nierówności wrunku (6) dl mcierzy J ( E ) są spełnione dl wszyskich dopuszczlnych wrości prmerów modelu, gdyż de J ( E) rj ( E) v 0. Trzeci wrunek jes spełniony, gdy 0 v. Drug nierówność rj E2 de J E2 dl mcierzy J ( E2) nie jes spełnion ( ) i ym smym równowg E 2 jes niesbiln. Anlizując przypdek zerowych wydków uonomicznych i 0 możn swierdzić, iż równowg E jes niesbiln, równowg E 2 jes loklnie sympoycznie sbiln, gdy 0 v. Wniosek: Jeśli I C G 0 i ( 0 ), o równowg E 2 ( E ) jes zwsze niesbiln, równowg E ( E 2 ) jes loklnie sympoycznie sbiln, gdy 0 v. Mcierz Jkobiego odwzorowni F, dl I C G 0 i, w położenich równowgi E ( i, 2 ) przyjmuje posć: i s yi J ( Ei ) v v 0 Śld i wyzncznik mcierzy lineryzcji są dodnie i równe: rj ( Ei ) s yi v, de J ( Ei ) v. Śld mcierzy Jkobiego spełni wrunek: rj ( E) v rj ( E2), gdyż y ( ) y ( s) 2, zem równowg E jes loklnie sympoycznie sbiln, jeśli 0 v, gdyż de J ( E ) v. Równowg E 2 jes niesbiln, poniewż rj E de J E v rj ( E ) 0. 2 2 2

200 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Mcierz Jkobiego odwzorowni F, dl I C G 0 i 0, w równowdze E przyjmuje posć: s y * v v J ( E) 0 Równowg E jes loklnie sympoycznie sbiln dl 0 v, gdyż wówczs wrunek (6) jes spełniony. Pierwsz nierówność w sposób rywilny (śld i wyzncznik są dodnie), drug nierówność rj E2 de J E2 jes prwdziw, gdyż y ( ) * s i 0, rzeci jes równowżn nierówności v 0. Wniosek: Jeśli I C G 0 i, o równowg E 2 jes zwsze niesbiln, równowg E jes loklnie sympoycznie sbiln, gdy 0 v. Jeśli I C G 0 i 0, o równowg E jes loklnie sympoycznie sbiln, gdy 0 v. 3. Bifurkcje, rkory i dynmik globln Jedną z fundmenlnych cech nieliniowych równń różnicowych jes duż różnorodność możliwych scenriuszy opisujących dynmiczne włsności rozwiązń. Rozwiązni mogą zbiegć do równowgi scjonrnej, rozwiązni okresowego, qusi-okresowego lub zchowywć się choycznie. Rozwiązni choyczne są wrżliwe n młe zminy wrunku począkowego. Włsność isonie ogrnicz zkres prognozy bdnej zmiennej ekonomicznej i uwypukl isoność bdni dynmiki nieliniowych modeli ekonomicznych pod kąem wysępowni zjwisk chosu deerminisycznego. By móc nlizowć rjekorie cykliczne, qusi-okresowe i choyczne w bdnym modelu, konieczne jes przekroczenie grnicy obszru sympoycznej sbilności snów scjonrnych, wyznczonych w części drugiej niniejszej prcy. Przekrcznie obszru loklnej sympoycznej sbilności wiąże się z wysępowniem zjwisk bifurkcji. W bdnym modelu wysępują dw ypy bifurkcji: bifurkcj syczn i bifurkcj Neimrk-Scker. W wyniku bifurkcji Neimrk-Scker, w ukłdzie dyn-

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 20 micznym, pojwiją się orbiy okresowe lub qusi-okresowe. W wyniku bifurkcji sycznej w bdnym modelu zmieni się liczb równowg scjonrnych. Nruszenie drugiej nierówności w wrunku (6) jes konieczne do zisnieni bifurkcji sycznej (fold bifurcion) zwnej kże bifurkcją ypu siodło-węzeł (sddle-node bifurcion). Wówczs jedn z wrości włsnych mcierzy lineryzcji jes równ. Opisny scenriusz m miejsce, gdy TrJ ( Ei ) DeJ ( Ei ) 0 orz TrJ ( E i ) (0,2) i DeJ ( E i ) (,) (pozosłe wrunki są spełnione). Ten yp bifurkcji zchodzi przy dodnich wydkch uonomicznych i. Wrz ze zwiększjącymi się wydkmi uonomicznymi równowgi E i E 2 przybliżją się do siebie i po przekroczeniu grnicznej wrości (punk bifurkcji) w bdnym modelu nie isnieją już równowgi scjonrne. Nruszenie rzeciej nierówności w wrunku (6) jes konieczne do zisnieni bifurkcji Neimrk-Scker. Wówczs mcierz lineryzcji m prę zespolonych sprzężonych wrości włsnych, kórych moduł jes równy jedności. Opisny scenriusz m miejsce, gdy DeJ ( Ei ) 0 orz pierwsze dwie nierówności są spełnione, j. TrJ ( E i ) ( 2, 2). W bdnym modelu ur sbilności przez równowgę scjonrną, w wyniku bifurkcji Neimrk-Scker, prowdzi zwsze do powsni rkorów qusi-okresowych. N rysunku 3 przedswiono dwuwymirowy digrm bifurkcyjny bdnego modelu dl prmerów s, v. Odcienimi szrości zznczono wrości prmerów, dl kórych ścieżk czsow produku krjowego zbieg do rkorów okresowych. Kolorem biłym zznczono kombincje, dl kórych w bdnym modelu isnieją rkory qusi-okresowe lub choyczne. Rozróżnienie między rkormi choycznymi i qusi okresowymi umożliwiją wykłdniki Lpunow (rys. 4). Arkory qusi-okresowe chrkeryzuje zerow wrość njwiększego wykłdnik Lpunow i ujemn wrość drugiego wykłdnik. Arkory choyczne wyróżni co njmniej jeden dodni wykłdnik Lpunow. Równowg scjonrn jes sympoycznie sbiln dl wrości kceleror mniejszych od jedności ( 0 ) i wszyskich dopuszczlnych wrości prmeru s. W przypdku ( ) o sbilności równowgi scjonrnej decyduje kże skłonność do oszczędzni. Isnieje progow wrość prmeru s, po przekroczeniu kórej równowg scjonrn będzie sympoycznie sbiln. Włsność związn jes z bifurkcją syczną wysępującą w bdnym modelu.

202 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Rysunek 3. Digrm bifurkcyjny ( 0 ) Źródło: obliczeni włsne. Rysunek 4. Wykłdniki Lpunow ( 0 ) Źródło: obliczeni włsne.

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 203 Rysunek 5. Digrm bifurkcyjny ( ) Źródło: obliczeni włsne. Rysunek 6. Digrm bifurkcyjny ( ) Źródło: obliczeni włsne.

204 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Niezleżnie od wrości prmeru, powyżej prosej v (rys. 3, 5, 6) wysępują rkory qusi-okresowe. W wyniku bifurkcji globlnych w obszrze ym pojwiją się zw. jęzory Arnold, obszry zmienności prmerów s, v, dl kórych w bdnym modelu isnieją rkory okresowe. Wrz ze wzrosem kceleror obszry e sją się corz większe i dodkowo znikją rkory qusi-okresowe orz pojwiją się rkory choyczne. Przedswione digrmy bifurkcyjne ukzują kże wpływ prmeru n długookresową dynmikę produku krjowego. W przesrzeni prmerów s, v nsępuje przesunięcie w prwo i kompresj obszrów wysępowni rkorów cyklicznych. Dodkowo dl wrunkiem isnieni jkichkolwiek rkorów jes odpowiednio wysok skłonność do oszczędzni. Rysunek 7. Arkory i ich obszry przyciągni Źródło: obliczeni włsne.

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 205 Rysunek 8. Arkor choyczny i okresowy wrz z obszrmi przyciągni Źródło: obliczeni włsne. Rysunek 9. Arkor choyczny Źródło: obliczeni włsne. Możliwe ypy rkorów wrz z ich obszrmi przyciągni przedswij one są n rysunkch 7, 8 i 9. Długookresow dynmik produku krjowego dl niezncznie różniących się wrości prmeru może być cłkowicie odmienn.

206 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII Przy uslonych wrościch pozosłych prmerów modelu rjekori produku krjowego zbieg do: rkor qusi-okresowego dl 0.97, jednego z dwóch współisniejących rkorów okresowych dl i do rkor okresowego dl.03 (rys. 7). Dodkowo dl, o zbieżności do jednego z współisniejących rkorów cyklicznych, decyduje pozycj wyjściow gospodrki. Współisnienie rkorów o różnym chrkerze jes cechą bdnego modelu. Oprócz współisniejących rkorów okresowych współisnieją kże rkory choyczne i okresowe (rys. 8). N szczególną uwgę zsługuje rkor qusi-okresowy (rys. 9). Arkor en skłd się z dziesięciu części, kóre są cyklicznie odwiedzne. W obrębie kżdej części wysępuje dynmik qusi-okresow. Podsumownie Liniowy model Hicks obrzujący współdziłnie mnożnik i kceleror jes klsycznym (obok modelu Smuelson) przykłdem modelu cyklu koniunkurlnego oprego n połączonym dziłniu efeku mnożnikowego i zsdy kcelercji. Snowi on znkomią bzę do zbdni wpływu nieliniowej funkcji inwesycji i konsumpcji n dynmikę produku krjowego. Dynmik modelu nieliniowego jes brdziej złożon, wysępuje zjwisko wielosbilności, począwszy od współisnieni rozwiązń cyklicznych o różnej częsoliwości i mpliudzie po współisnienie rkorów cyklicznych i choycznych. Równowg wysępując w liniowym modelu Hicks, jk i równowg w modelu nieliniowym jes sbiln sympoycznie, gdy kceleror jes mniejszy od jedności. Ur loklnej sbilności przez równowgę, w modelu nieliniowym, nie ozncz niesbilności modelu. Pojwiją się rkory cykliczne, qusi-okresowe i choyczne, kóre są memycznym modelem endogenicznego cyklu koniunkurlnego. Wysępownie rkorów cyklicznych związne jes z odpowiednio wysokimi wrościmi kceleror i jes o czynnik decydujący. Rol skłonności do oszczędzni jes drugorzędn. Prmer związny z funkcją konsumpcji przy uslonych wrościch prmerów v i s w sposób isony może wpływć n długookresowe włsności ścieżki czsowej produku krjowego (rys. 7). Odmienne oddziływnie prmeru uwidczniją dwuwymirowe digrmy bifurkcyjne w przesrzeni (s, v) (rys. 3, 5, 6). Chrker zmin i ich mechnizm jes niezmienny, nsępuje jedynie przesunięcie w prwo i kompresj obszrów związnych z wysępowniem rkorów okresowych. Dl przesunięcie

ROBERT KRUSZEWSKI ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA 207 w prwo jes n yle duże, że isnienie jkichkolwiek rkorów powiązne jes z odpowiednio wysoką skłonnością do oszczędzni ( s 0,5). Lierur Gllegi, M., Grdini, L., Puu, T., Sushko, I. (2003). Hicks rde cyclere visied: cycles nd bifurcions. Mhemics nd Compuers in Simulion, 63, 505 527. Goodwin, R.M. (95). The nonliner cceleror nd he persisence of business cycles. Economeric, 9, 7. Hicks, J.R. (950). A conribuion o he heory of he rde cycle. Oxford: Oxford Universiy Press. Lorenz, H.W. (992). Muliplercors, complex bsin boundries, nd rnsien moion in deerminisic economic sysems. W: G. Feichinger (red.), Dynmic economic models nd opiml conrol. Amserdm. Mnfredi, P., Fnib, L. (2004). Cycles in dynmic economic modeling. Economic Modelling, 2, 573 594. Msumoo, A., Szidrovszky, F. (205). Nonliner muliplier-cceleror model wih invesmen nd consumpion delys. Srucurl Chnge nd Economic Dynmics, 33, 9. Medio, A., Lines M. (200). Economic Dynmics. A Primer. Cmbridge: Cmbridge Universiy Press. Puu, T. (2003). Arcors, bifurcions, & chos. Berlin Heilderberg New York: Springer. Puu, T., Grdini, L., Sushko, I. (2005). A Hicksin muliplier-cceleror model wih floor deermined by cpil sock. Journl of Economic Behvior & Orgnizion, 56, 33 348. Puu, T., Sushko, I. (2004). A business cycle model wih cubic nonlineriy. Chos, Solions nd Frcls, 9, 597 62. Sur, D., Vzquez, F.J., Vegs, J.M. (998). Non-choic oscillions in some regulrized Hicks models. A resemen of he ceiling nd floor condiions. Journl of Economic Dynmics nd Conrol, 22, 66 678. Sushko, I., Grdini, L., Puu, T. (200). Regulr nd choic growh in Hicksin floor/ceiling model. Journl of Economic Behvior& Orgnizion, 75, 77 94.

208 PROBLEMY WSPÓŁCZESNEJ EKONOMII PERIODIC, QUASIPERIODIC AND CHAOTIC ATTRACTORS IN A NONLINEAR HICKS BUSINESS CYCLE MODEL Absrc We invesige he dynmics of he proposed Hicks-like business cycle model wih nonliner invesmen nd consumpion funcions. The possible long-erm behviour of he nionl income hs been described. We invesige, how he dynmics of he model depend on prmeers. Keywords: business cycle, equilibrium, chos, bifurcion, rcor JEL code: C02, C62, E32