Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Język prawdopodobeństwo jego rozkład Pojęce rozkładu prawdopodobeństwa lczby z totolotka jako zmee losowe o rozkładze skretym zmea losowa częstoścowa defcja rozkładu prawdopodobeństwa waruek uormowaa prawdopodobeństw cyfry z umerów telefoów wypadk kerowców lońskch autobusów przykład zmeej losowej o eskończoej lczbe moŝlwych wartośc strybuata skreta zmea losowa rozkład jedostajy cągła zmea losowa kostrukcja gęstośc przez podwóje przejśce gracze uormowae, strybuata rysuek rozkładu terpretacja grafcza przykład: cągły rozpad czas oczekwaa a metro rozkład, strybuata, rysuk przykład: prawo rozpadu jąder promeotwórczych rozkład, strybuata, rysuk Układ pewków rachuku prawdopodobeństwa Przykła przestrze zdarzeń elemetarych: rzucając jedokrote moetą (e koecze rzetelą, moŝemy otrzymać bądź orła bądź reszkę mamy do czyea z dwoma zdarzeam elemetarym oe budują całą przestrzeń. Jeśl wykoamy dwa koleje rzuty, przestrzeń rozrasta sę do czterech elemetów, będących param zdarzeń: (orzeł, orzeł, (orzeł, reszka, (reszka, orzeł (reszka, reszka; losując z Roczka Statystyczego dowola lczbę wyberając jej perwszą cyfrę, przestrzeń Ω zdefowaa jest przez dzewęć elemetów, zwaych,,..., 9; wyberając dowolą cyfrę z ksąŝk telefoczej, poruszamy sę w przestrze Ω dzesęcu zdarzeń elemetarych; w losowau szczęślwych umerów totolotka, kaŝda szóstka lczb spośród czterdzestu dzewęcu staow zdarzee elemetare. Przestrzeń ta składa sę z 98 86 elemetów. dom w czase burzy moŝe być trafoy przez poru jede, dwa, trzy,... razy, jak róweŝ moŝe omąć go to wydarzee. Przestrzeń zdarzeń elemetarych składa sę ze zdarzeń zadających krotość ścągęca wyładowaa atmosferyczego a wybray buek. Choć trudo am sobe wyobrazć, Ŝe dom zostae trafoy eskończoa lczbę razy, to jedak moŝemy sobe wyobrazć, Ŝe astąp to p. razy, a jeśl dopuścmy trafeń, to a pewo zgodzmy sę a, td....; lczba lat Ŝyca, jake ma przed sobą kaŝ oworodek, moŝe przyjmować wartośc,,,,.... KaŜda z tych lczb opsuje zdarzee elemetare. przestrzeń zdarzeń, jakch dośwadczamy oczekując a taksówkę. KaŜ z jej elemetów ma postać cągu, w którym występuje pewa lczba (takŝe będąca zerem zdarzeń esprzyjających, zakończoych jedym zdarzeem sprzyjającym. wek pary małŝoków opsujemy parą lczb (,j, gdze to lczba lat przeŝytych przez ą, a j to lczba lat przeŝytych przez ego. Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest tu skreta dwuwymarowa; czas oczekwaa a wyśwetlee stroy WWW moŝe być dowolą lczbą dodatą. KaŜda taka lczba prezetuje sobą zdarzee elemetare, a zdarzeń tych mamy eskończoą lczbę e są oe skrete; przy grze w strzałk, zdarzeem elemetarym jest trafee w tarczę kaŝde take zdarzee moŝemy opsać przy pomocy pary lczb p. przez podae współrzędych kartezjańskch (x,y, ale teŝ promea r kąta azymutalego ϕ w wybraym układze odesea. Zdarzea losowe: kostruujemy przy pomocy operacj teoromogoścowych, tj. praw: przemeośc: A B B A, A B B A, łączośc:, A B C A B C A B C A B C A B C A B C, de Morgaa: A B A B, A B A B, rozdzelośc: A ( B C ( A B ( A C, A ( B C ( A B ( A C. Zdarzea losowe: pewe emoŝlwe Pewk. KaŜdemu zdarzeu losowemu A przypsujemy lczbę P(A, zwaą prawdopodobeństwem tego zdarzea, która jest eujemą mejszą bądź rówą jedośc: P(A. Pewk. Prawdopodobeństwo zdarzea pewego jest rówe jedośc: P(Ω. Pewk. Prawdopodobeństwo u ekskluzywych zdarzeń losowych A oraz B, czyl takch, dla których A B, jest rówe sume prawdopodobeństw tych zdarzeń: P(A B P(A + P(B. P A P A (bo: A (e A Ω Prawo dodawaa prawdopodobeństw: Aksjomatycze podejśce e mów jak wygląda przestrzeń zdarzeń elemetarych le wyoszą prawdopodobeństwa te trzeba określć samemu Prawdopodobeństwo warukowe Trzy typy zdarzeń:
Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Wzmacae prawdopodobeństwa przez waruek: (przyjdę a wykład moje og w sal wykładowej w godze wykładu; (blo błękte oczy, ( 6 parzysta lczba oczek, (rak płuc palacz paperosów Osłabae prawdopodobeństwa przez waruek: (bruet błękte oczy, (kobeta uczeca techkum samochodowego Neutralość waruku: (ja łamę ogę studet łame ogę, ( 6 a kostce poedzałek, Rysuję kratkę moŝlwośc: wszyscy ludze (w lczbe N to: męŝczyź (w lczbe M daltośc (w lczbe M D bez tej przypadłośc (w lczbe M N oraz kobety (w lczbe K daltostk (w lczbe K D kobety bez tej przypadłośc (w lczbe K N, astępe borę studeta kaŝę mu apsać dowoly wybray przez ego stosuek dwóch lczb zterpretować go jako prawdopodobeństwo. Zwracam uwagę a rozróŝee mędzy: losowo wybraa osoba jest..., a losowo wybraa kobeta jest.... Defcja prawdopodobeństwa warukowego: P(A B P(A BP(B Zadae W McDoalld s 9% kletów zamawa hamburgera, zaś 7% kletów zamawa hamburgera frytk. Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe klet zamów frytk, jeśl zamówł hamburgera? Rozwązae P ( F H,7 4 Zdarzee: H hamburger, F frytk. Poszukujemy: P ( F H. P H,9 5 Czy z daych moŝa wyzaczyć P(H F? Zadae Grupa studetów zdaje egzam z matematyk ze statystyk. Matematykę zdało (zdarzee M 75% zaś statystykę (zdarzee S 7% studetów. Wadomo takŝe, Ŝe oba egzamy zdało 6% studetów. Wyzacz prawdopodobeństwa zdarzeń:. P(M S - studet zdał matematykę, jeśl zdał statystykę,. P(S M - studet zdał statystykę, jeśl zdał matematykę,. P(e M S - studet e zdał matematyk, jeśl zdał statystykę, 4. P(e S M - studet e zdał statystyk, jeśl zdał matematykę, 5. P(M e S - studet zdał matematykę, jeśl e zdał statystyk, 6. P(S e M - studet zdał statystykę, jeśl e zdał matematyk, 7. P(e S e M - studet e zdał statystyk, jeśl e zdał matematyk, 8. P(e M e S - studet e zdał matematyk, jeśl e zdał statystyk. Rozwązae P ( M S,6 6. P ( M S, P S,7 7. P ( S M ( S P ( M P M,6 4,,75 5 6, 7 7 P S M 4, 5 5. P ( M S P ( M S 4. P ( S M P M S P S M P M S P S M P ( S P ( S ( P ( S P M S P S M P M P S M P M,8, 75,5,7, 6 7 P M S P M S P S P M S P S 7,, 75, 5 5 P ( M P ( S P ( M P ( M P ( S ( P ( M P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,, P ( M P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,5,5 5 Prawo moŝea prawdopodobeństw: P ( A B P ( A B P ( B P ( B A P ( A Twerdzee Bayesa Wzór a prawdopodobeństwo całkowte wyweść formułę odwołując sę do zboru zdarzeń rozłączych wyczerpujących: P ( A P ( A B P ( B.
Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Zadae N zdarzee: adao bt, N zdarzee: adao bt, O zdarzee: odebrao bt, O zdarzee: odebrao bt. Prawdopodobeństwo zekształcea: ε ( P(O N P(O N, prawdopodobeństwo p ( P(N wysyłk btu. Ile wyos prawdopodobeństwo poprawego odboru? Ile wyos prawdopodobeństwo P(O odboru btu? Twerdzee Bayesa Zadae Jede z testów obecośc w krw wrusa HIV wykazuje pozytywy rezultat w 97% przypadków osób zaraŝoych tą chorobą myle wskazuje a jego obecość w krw osób zdrowych w,4% przypadków. Jake jest prawdopodobeństwo, Ŝe osoba u której wykryto tym testem obecość wrusa HIV jest faktycze chora, jeśl wadomo Ŝe,5% populacja cerp a tę chorobę? Rozwązae Nech: P(C ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest chora P(C,5, P(Z ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest zdrowa: P(Z - P(C, P(+ ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe test daje wyk pozytywy, P(+ C prawdopodobeństwo warukowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ C,97, P(+ Z prawdopodobeństwo warukowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ Z,4, Poszukujemy P(C +, czyl prawdopodobeństwo warukowe, Ŝe osoba u której test dał pozytywą odpowedź jest faktycze chora. Z twerdzea Bayesa mamy: P P C + ( + C P( C P ( + P( + C P( C, 97, 5 ( + + ( +, 97, 5 +, 4 (, 5 P C P C P Z P Z P Twerdzee Bayesa w pełej forme ( A B P ( B P B A j ( j P ( B j P A B, 55. Zdarzea ezaleŝe ezaleŝość statystycza zdarzeń prawdopodobeństwo loczyu zdarzeń ezaleŝych Zadae Day jest zbór lczb całkowtych,,,...,. Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez 7? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela zarówo przez jak przez 7? Czy zdarzee: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez jest statystycze ezaleŝe od zdarzea: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez 7? RozwaŜ to samo zadae, g zbór lczb rozszerzymy o lczbę. Zdarzea rozłącze to zdarzea statystycze zaleŝe!!! Zadae Rodza ma trójkę dzec. Wypsz 8 moŝlwych zdarzeń elemetarych, które wyczerpują wszystke kofguracje płc dzec. RozwaŜ ezaleŝość statystyczą astępujących zdarzeń: rodza ma dzec obu płc jest tam co ajwyŝej jeda dzewczyka. RozwaŜ to samo zadae dla rodzy czterodzetej. Przyjmj, Ŝe prawdopodobeństwo posadaa chłopca lub dzewczyk jest take samo wyos,5. prawdopodobeństwo sumy ezaleŝych statystycze zdarzeń Zadae II.5.7 (zdarzea ezaleŝe Prawdopodobeństwo p zestrzelea samolotu jedym strzałem z jedego dzała wyos,. Zajdź prawdopodobeństwo zestrzelea salwą ze stu ezaleŝe jedocześe strzelających dzał. Rozkła fukcj zmeych losowych przekształcee jedozacze Zadae Dyskreta zmea losowa k opsaa jest rozkładem: P(k ¼, P(k /8, P(k /8 P(k ½. Podaj rozkład zmeej losowej m k. Zmea cągła Zadae Oblcz całkę: x s x dx Rozkład prędkośc x cząsteczek gazu doskoałego (rozkład Maxwella: m mx 4π exp, f x x x π <. Jaką ma postać rozkład eerg E ketyczej tych cząsteczek? Wypszmy wyraŝee a strybuatę tego rozkładu wyraźmy ją przez eerge ketyczą
Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa 4 v v m mx e F ( v P ( x v f ( x dx 4π x exp dx e mx ; x ; dx de π m me skąd: E E m e e e 4π exp de e exp de P ( e E F ( E, π m me π g E Ogóle formale skąd ( ( df E E E exp de π. Do domu: udowodć uormowae!!! x h ( u z y w( z y dh ( (, F z f x dx u h x w x f h u du g u du P u y F y du dh w( y dx du du co często zapsujemy proścej jeśl przekształcee zapszemy w forme x x ( y df dh g ( y f ( h ( y, dx g y f x y,. Zadae Day jest układ kwadratów o boku x, który ma rozkład jedostajy w przedzale [; ]. Zajdź rozkład powerzch S tych kwadratów. Naszkcuj te rozkład. Zmea zadaa przez strybuatę. y F x x h y F y oraz Nech, gdze F ( x jest strybuatą pewego rozkładu f ( x, wte dx df g ( y f ( x ( y f ( x ( y f ( x ( y f ( x ( y. df f ( x ( y dx x F ( y Nech f ( x λ exp( λx. Wte x y F ( x λ exp ( λx ' dx ' exp( λx. Tak węc, jeśl zmea x ma rozkład wykładczy, to zmea y ma rozkład jedostajy, a tym samym odwrote, jeśl zmea y ma rozkład jedostajy, to zmea x l ( y λ będze mała rozkład wykładczy określoy parametrem λ. Zasadzk przy zamae zmeej ujema pochoda ejedozaczość rozwązań. x x dx. Oblcz całkę ( Rozwązae y x + x ( x dx x y ( y y ( y y y y. dx Day jest rozkład Wyzacz rozkład zmeej y a x. Rozwązae f ( x, x < a. a a ( x + +
Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa 5 co zapsujemy w postac dx g ( y f ( x ( y, a y ay <, dx g ( y f ( x ( y, y a ay <. Dyskreta zmea losowa k opsaa jest rozkładem: P(k ¼, P(k /8, P(k /8 P(k ½. Podaj rozkład zmeej losowe m k. Rozkład Gaussa N(x; µ, σ, parametry, uormowae. Wprowadzć pojęce rozkładu stadaryzowaego: N(z;,. Wyzaczamy rozkład zmeej losowej y x dla rozkładu stadaryzowaego N(x;,. Odwracae zaleŝośc y x prowadz as do dwóch wyraŝeń: x y, g x jest ujeme, oraz x y, g x jest dodate. G zmea x jest ujema, fukcja rozkładu przekształca sę wg formuły: dx g ( y N ( x ( y ;, N ( y;,, y y < co odwracając grace, zapszemy jako g ( y N ( y;,, y <. y Dla obszaru dodatch wartośc x mamy bez komplkacj: g ( y N ( y;,, y <. y Ostateczy wyk otrzymujemy sumując: g ( y N ( y;, + N ( y;, ( N ( y;, + N ( y;, N ( y;,. y y y y Otrzymalśmy tzw. rozkład χ o jedym stopu swobo. Wzór ogóly: dx dx dx g ( y f ( x ( y + f ( x ( y + + f ( x ( y gdze x ( y to koleje rozwązaa rówaa y h ( x.