STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Podobne dokumenty
Konspekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 2007/2008 Strona 1

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

. Wtedy E V U jest równa

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

Indukcja matematyczna

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

Podprzestrzenie macierzowe

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Statystyka Inżynierska

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Regresja REGRESJA

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

65120/ / / /200

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

Funkcja wiarogodności

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

1. Relacja preferencji

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ

System finansowy gospodarki

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

Lista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

System finansowy gospodarki

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

Teoria i metody optymalizacji

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

ZAJĘCIA NR 3. loga. i nosi nazwę entropii informacyjnej źródła informacji. p. oznacza, Ŝe to co po im występuje naleŝy sumować biorąc za i

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

n R ZałóŜmy, Ŝe istnieje d, dla którego: Metody optymalizacji Dr inŝ. Ewa Szlachcic otwarte otoczenie R n punktu x, Ŝe

Miary statystyczne. Katowice 2014

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

I. Elementy analizy matematycznej

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015

Przestrzeń probabilistyczna

Prawdopodobieństwo geometryczne

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

... MATHCAD - PRACA 1/A

Transkrypt:

Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Język prawdopodobeństwo jego rozkład Pojęce rozkładu prawdopodobeństwa lczby z totolotka jako zmee losowe o rozkładze skretym zmea losowa częstoścowa defcja rozkładu prawdopodobeństwa waruek uormowaa prawdopodobeństw cyfry z umerów telefoów wypadk kerowców lońskch autobusów przykład zmeej losowej o eskończoej lczbe moŝlwych wartośc strybuata skreta zmea losowa rozkład jedostajy cągła zmea losowa kostrukcja gęstośc przez podwóje przejśce gracze uormowae, strybuata rysuek rozkładu terpretacja grafcza przykład: cągły rozpad czas oczekwaa a metro rozkład, strybuata, rysuk przykład: prawo rozpadu jąder promeotwórczych rozkład, strybuata, rysuk Układ pewków rachuku prawdopodobeństwa Przykła przestrze zdarzeń elemetarych: rzucając jedokrote moetą (e koecze rzetelą, moŝemy otrzymać bądź orła bądź reszkę mamy do czyea z dwoma zdarzeam elemetarym oe budują całą przestrzeń. Jeśl wykoamy dwa koleje rzuty, przestrzeń rozrasta sę do czterech elemetów, będących param zdarzeń: (orzeł, orzeł, (orzeł, reszka, (reszka, orzeł (reszka, reszka; losując z Roczka Statystyczego dowola lczbę wyberając jej perwszą cyfrę, przestrzeń Ω zdefowaa jest przez dzewęć elemetów, zwaych,,..., 9; wyberając dowolą cyfrę z ksąŝk telefoczej, poruszamy sę w przestrze Ω dzesęcu zdarzeń elemetarych; w losowau szczęślwych umerów totolotka, kaŝda szóstka lczb spośród czterdzestu dzewęcu staow zdarzee elemetare. Przestrzeń ta składa sę z 98 86 elemetów. dom w czase burzy moŝe być trafoy przez poru jede, dwa, trzy,... razy, jak róweŝ moŝe omąć go to wydarzee. Przestrzeń zdarzeń elemetarych składa sę ze zdarzeń zadających krotość ścągęca wyładowaa atmosferyczego a wybray buek. Choć trudo am sobe wyobrazć, Ŝe dom zostae trafoy eskończoa lczbę razy, to jedak moŝemy sobe wyobrazć, Ŝe astąp to p. razy, a jeśl dopuścmy trafeń, to a pewo zgodzmy sę a, td....; lczba lat Ŝyca, jake ma przed sobą kaŝ oworodek, moŝe przyjmować wartośc,,,,.... KaŜda z tych lczb opsuje zdarzee elemetare. przestrzeń zdarzeń, jakch dośwadczamy oczekując a taksówkę. KaŜ z jej elemetów ma postać cągu, w którym występuje pewa lczba (takŝe będąca zerem zdarzeń esprzyjających, zakończoych jedym zdarzeem sprzyjającym. wek pary małŝoków opsujemy parą lczb (,j, gdze to lczba lat przeŝytych przez ą, a j to lczba lat przeŝytych przez ego. Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest tu skreta dwuwymarowa; czas oczekwaa a wyśwetlee stroy WWW moŝe być dowolą lczbą dodatą. KaŜda taka lczba prezetuje sobą zdarzee elemetare, a zdarzeń tych mamy eskończoą lczbę e są oe skrete; przy grze w strzałk, zdarzeem elemetarym jest trafee w tarczę kaŝde take zdarzee moŝemy opsać przy pomocy pary lczb p. przez podae współrzędych kartezjańskch (x,y, ale teŝ promea r kąta azymutalego ϕ w wybraym układze odesea. Zdarzea losowe: kostruujemy przy pomocy operacj teoromogoścowych, tj. praw: przemeośc: A B B A, A B B A, łączośc:, A B C A B C A B C A B C A B C A B C, de Morgaa: A B A B, A B A B, rozdzelośc: A ( B C ( A B ( A C, A ( B C ( A B ( A C. Zdarzea losowe: pewe emoŝlwe Pewk. KaŜdemu zdarzeu losowemu A przypsujemy lczbę P(A, zwaą prawdopodobeństwem tego zdarzea, która jest eujemą mejszą bądź rówą jedośc: P(A. Pewk. Prawdopodobeństwo zdarzea pewego jest rówe jedośc: P(Ω. Pewk. Prawdopodobeństwo u ekskluzywych zdarzeń losowych A oraz B, czyl takch, dla których A B, jest rówe sume prawdopodobeństw tych zdarzeń: P(A B P(A + P(B. P A P A (bo: A (e A Ω Prawo dodawaa prawdopodobeństw: Aksjomatycze podejśce e mów jak wygląda przestrzeń zdarzeń elemetarych le wyoszą prawdopodobeństwa te trzeba określć samemu Prawdopodobeństwo warukowe Trzy typy zdarzeń:

Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Wzmacae prawdopodobeństwa przez waruek: (przyjdę a wykład moje og w sal wykładowej w godze wykładu; (blo błękte oczy, ( 6 parzysta lczba oczek, (rak płuc palacz paperosów Osłabae prawdopodobeństwa przez waruek: (bruet błękte oczy, (kobeta uczeca techkum samochodowego Neutralość waruku: (ja łamę ogę studet łame ogę, ( 6 a kostce poedzałek, Rysuję kratkę moŝlwośc: wszyscy ludze (w lczbe N to: męŝczyź (w lczbe M daltośc (w lczbe M D bez tej przypadłośc (w lczbe M N oraz kobety (w lczbe K daltostk (w lczbe K D kobety bez tej przypadłośc (w lczbe K N, astępe borę studeta kaŝę mu apsać dowoly wybray przez ego stosuek dwóch lczb zterpretować go jako prawdopodobeństwo. Zwracam uwagę a rozróŝee mędzy: losowo wybraa osoba jest..., a losowo wybraa kobeta jest.... Defcja prawdopodobeństwa warukowego: P(A B P(A BP(B Zadae W McDoalld s 9% kletów zamawa hamburgera, zaś 7% kletów zamawa hamburgera frytk. Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe klet zamów frytk, jeśl zamówł hamburgera? Rozwązae P ( F H,7 4 Zdarzee: H hamburger, F frytk. Poszukujemy: P ( F H. P H,9 5 Czy z daych moŝa wyzaczyć P(H F? Zadae Grupa studetów zdaje egzam z matematyk ze statystyk. Matematykę zdało (zdarzee M 75% zaś statystykę (zdarzee S 7% studetów. Wadomo takŝe, Ŝe oba egzamy zdało 6% studetów. Wyzacz prawdopodobeństwa zdarzeń:. P(M S - studet zdał matematykę, jeśl zdał statystykę,. P(S M - studet zdał statystykę, jeśl zdał matematykę,. P(e M S - studet e zdał matematyk, jeśl zdał statystykę, 4. P(e S M - studet e zdał statystyk, jeśl zdał matematykę, 5. P(M e S - studet zdał matematykę, jeśl e zdał statystyk, 6. P(S e M - studet zdał statystykę, jeśl e zdał matematyk, 7. P(e S e M - studet e zdał statystyk, jeśl e zdał matematyk, 8. P(e M e S - studet e zdał matematyk, jeśl e zdał statystyk. Rozwązae P ( M S,6 6. P ( M S, P S,7 7. P ( S M ( S P ( M P M,6 4,,75 5 6, 7 7 P S M 4, 5 5. P ( M S P ( M S 4. P ( S M P M S P S M P M S P S M P ( S P ( S ( P ( S P M S P S M P M P S M P M,8, 75,5,7, 6 7 P M S P M S P S P M S P S 7,, 75, 5 5 P ( M P ( S P ( M P ( M P ( S ( P ( M P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,, P ( M P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,5,5 5 Prawo moŝea prawdopodobeństw: P ( A B P ( A B P ( B P ( B A P ( A Twerdzee Bayesa Wzór a prawdopodobeństwo całkowte wyweść formułę odwołując sę do zboru zdarzeń rozłączych wyczerpujących: P ( A P ( A B P ( B.

Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Zadae N zdarzee: adao bt, N zdarzee: adao bt, O zdarzee: odebrao bt, O zdarzee: odebrao bt. Prawdopodobeństwo zekształcea: ε ( P(O N P(O N, prawdopodobeństwo p ( P(N wysyłk btu. Ile wyos prawdopodobeństwo poprawego odboru? Ile wyos prawdopodobeństwo P(O odboru btu? Twerdzee Bayesa Zadae Jede z testów obecośc w krw wrusa HIV wykazuje pozytywy rezultat w 97% przypadków osób zaraŝoych tą chorobą myle wskazuje a jego obecość w krw osób zdrowych w,4% przypadków. Jake jest prawdopodobeństwo, Ŝe osoba u której wykryto tym testem obecość wrusa HIV jest faktycze chora, jeśl wadomo Ŝe,5% populacja cerp a tę chorobę? Rozwązae Nech: P(C ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest chora P(C,5, P(Z ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest zdrowa: P(Z - P(C, P(+ ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe test daje wyk pozytywy, P(+ C prawdopodobeństwo warukowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ C,97, P(+ Z prawdopodobeństwo warukowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ Z,4, Poszukujemy P(C +, czyl prawdopodobeństwo warukowe, Ŝe osoba u której test dał pozytywą odpowedź jest faktycze chora. Z twerdzea Bayesa mamy: P P C + ( + C P( C P ( + P( + C P( C, 97, 5 ( + + ( +, 97, 5 +, 4 (, 5 P C P C P Z P Z P Twerdzee Bayesa w pełej forme ( A B P ( B P B A j ( j P ( B j P A B, 55. Zdarzea ezaleŝe ezaleŝość statystycza zdarzeń prawdopodobeństwo loczyu zdarzeń ezaleŝych Zadae Day jest zbór lczb całkowtych,,,...,. Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez 7? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela zarówo przez jak przez 7? Czy zdarzee: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez jest statystycze ezaleŝe od zdarzea: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez 7? RozwaŜ to samo zadae, g zbór lczb rozszerzymy o lczbę. Zdarzea rozłącze to zdarzea statystycze zaleŝe!!! Zadae Rodza ma trójkę dzec. Wypsz 8 moŝlwych zdarzeń elemetarych, które wyczerpują wszystke kofguracje płc dzec. RozwaŜ ezaleŝość statystyczą astępujących zdarzeń: rodza ma dzec obu płc jest tam co ajwyŝej jeda dzewczyka. RozwaŜ to samo zadae dla rodzy czterodzetej. Przyjmj, Ŝe prawdopodobeństwo posadaa chłopca lub dzewczyk jest take samo wyos,5. prawdopodobeństwo sumy ezaleŝych statystycze zdarzeń Zadae II.5.7 (zdarzea ezaleŝe Prawdopodobeństwo p zestrzelea samolotu jedym strzałem z jedego dzała wyos,. Zajdź prawdopodobeństwo zestrzelea salwą ze stu ezaleŝe jedocześe strzelających dzał. Rozkła fukcj zmeych losowych przekształcee jedozacze Zadae Dyskreta zmea losowa k opsaa jest rozkładem: P(k ¼, P(k /8, P(k /8 P(k ½. Podaj rozkład zmeej losowej m k. Zmea cągła Zadae Oblcz całkę: x s x dx Rozkład prędkośc x cząsteczek gazu doskoałego (rozkład Maxwella: m mx 4π exp, f x x x π <. Jaką ma postać rozkład eerg E ketyczej tych cząsteczek? Wypszmy wyraŝee a strybuatę tego rozkładu wyraźmy ją przez eerge ketyczą

Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa 4 v v m mx e F ( v P ( x v f ( x dx 4π x exp dx e mx ; x ; dx de π m me skąd: E E m e e e 4π exp de e exp de P ( e E F ( E, π m me π g E Ogóle formale skąd ( ( df E E E exp de π. Do domu: udowodć uormowae!!! x h ( u z y w( z y dh ( (, F z f x dx u h x w x f h u du g u du P u y F y du dh w( y dx du du co często zapsujemy proścej jeśl przekształcee zapszemy w forme x x ( y df dh g ( y f ( h ( y, dx g y f x y,. Zadae Day jest układ kwadratów o boku x, który ma rozkład jedostajy w przedzale [; ]. Zajdź rozkład powerzch S tych kwadratów. Naszkcuj te rozkład. Zmea zadaa przez strybuatę. y F x x h y F y oraz Nech, gdze F ( x jest strybuatą pewego rozkładu f ( x, wte dx df g ( y f ( x ( y f ( x ( y f ( x ( y f ( x ( y. df f ( x ( y dx x F ( y Nech f ( x λ exp( λx. Wte x y F ( x λ exp ( λx ' dx ' exp( λx. Tak węc, jeśl zmea x ma rozkład wykładczy, to zmea y ma rozkład jedostajy, a tym samym odwrote, jeśl zmea y ma rozkład jedostajy, to zmea x l ( y λ będze mała rozkład wykładczy określoy parametrem λ. Zasadzk przy zamae zmeej ujema pochoda ejedozaczość rozwązań. x x dx. Oblcz całkę ( Rozwązae y x + x ( x dx x y ( y y ( y y y y. dx Day jest rozkład Wyzacz rozkład zmeej y a x. Rozwązae f ( x, x < a. a a ( x + +

Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa 5 co zapsujemy w postac dx g ( y f ( x ( y, a y ay <, dx g ( y f ( x ( y, y a ay <. Dyskreta zmea losowa k opsaa jest rozkładem: P(k ¼, P(k /8, P(k /8 P(k ½. Podaj rozkład zmeej losowe m k. Rozkład Gaussa N(x; µ, σ, parametry, uormowae. Wprowadzć pojęce rozkładu stadaryzowaego: N(z;,. Wyzaczamy rozkład zmeej losowej y x dla rozkładu stadaryzowaego N(x;,. Odwracae zaleŝośc y x prowadz as do dwóch wyraŝeń: x y, g x jest ujeme, oraz x y, g x jest dodate. G zmea x jest ujema, fukcja rozkładu przekształca sę wg formuły: dx g ( y N ( x ( y ;, N ( y;,, y y < co odwracając grace, zapszemy jako g ( y N ( y;,, y <. y Dla obszaru dodatch wartośc x mamy bez komplkacj: g ( y N ( y;,, y <. y Ostateczy wyk otrzymujemy sumując: g ( y N ( y;, + N ( y;, ( N ( y;, + N ( y;, N ( y;,. y y y y Otrzymalśmy tzw. rozkład χ o jedym stopu swobo. Wzór ogóly: dx dx dx g ( y f ( x ( y + f ( x ( y + + f ( x ( y gdze x ( y to koleje rozwązaa rówaa y h ( x.