1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość od punktu p = (1, 1) jest dwa razy wie ksza niż odległość od punktu q = (4, 4) 3 Znaleźć osie, ogniskowa i mimośród oraz wyznaczyć współrze dne środka i ognisk elipsy 9x 2 + 36x + 25y 2 50y 164 = 0 4 Znaleźć równania stycznych do elipsy 4x 2 +5y 2 = 120, które sa równoległe do prostej y = 2x 5 Obliczyć współrze dne wierzchołków oraz mimośród hiperboli 9x 2 + 36x 16y 2 + 96y 252 = 0 6 Napisać równania stycznych do hiperboli 4x 2 y 2 = 4 poprowadzonych z punktu p = (1, 4) 7 Znaleźć współrze dne wierzchołka oraz równanie osi symetrii paraboli y 2 10y 4x + 21 = 0 8 Napisać równanie paraboli, której ognisko jest w punkcie (2, 1) a kierownica ma równanie x y 1 = 0
2 Krzywe stożkowe jako przekroje stożka Niech dane be da dwie proste K i L przecinaja ce sie pod ka tem 0 < α < π 2 Jedna z tych prostych np K nazwiemy osia obrotu a druga L tworza Stożkiem nazywamy powierzchnie zakreślona przez tworza L podczas obrotu wokół osi K Punkt przecie cia prostych K i L nazywamy wierzchołkiem stożka Dzieli on stożek na dwie cze ści zwane powłokami Definicja 01 Krzywymi stożkowymi nazywamy krzywe, które powstaja w wyniku przecie cia stożka płaszczyzna nieprzechodza przez wierzchołek W zależności od ka ta φ, jaki tworzy oś stożka z płaszczyzna tna, otrzymana nazywamy: okre giem, gdy φ = π 2, tzn gdy płaszczyzna tna ca jest prostopadła do osi stożka; elipsa, gdy α < φ < π 2, tzn gdy płaszczyzna tna ca przecina tylko jedna powłoke stożka, ale nie jest prostopadła do osi obrotu ani równoległa do tworza cej; parabola, gdy φ = α, tzn gdy płaszczyzna tna ca jest równoległa do tworza cej; hiperbola, gdy 0 φ < α, tzn gdy płaszczyzna tna ca przecina obie powłoki stożka Krzywe stożkowe jako miejsca geometryczne punktów Niech K be dzie ustalona prosta, zaś f / K ustalonym punktem Definicja 02 Krzywa stożkowa nazywamy zbiór wszystkich punktów p na płaszczyźnie R 2, dla których stosunek odległości pf punktu p od punktu f do odległości d(p, K) punktu p od prostej K jest stały: e := pf d(p, K) Punkt f nazywamy ogniskiem krzywej stożkowej, a prosta K - jej kierowni Liczbe e nazywamy mimośrodem krzywej stożkowej Określona w Definicji?? krzywa jest okre giem dla e = 0, elipsa dla e < 1, parabola dla e = 1, hiperbola dla e > 1
3 Okra g Okra g jest zbiorem punktów p = (x, y) na płaszczyźnie R 2 położonych w stałej odległości od ustalonego punktu p 0 : {p = (x, y) R 2 pp 0 = const} (021) Punkt p 0 = (x 0, y 0 ) nazywamy środkiem, a stała const promieniem okre gu Równanie okre gu o środku w punkcie p 0 = (x 0, y 0 ) i promieniu a ma postać: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = a 2 Niech punkt p 1 = (x 1, y 1 ) należy do okre gu (??) Równanie stycznej do okre gu (??) w punkcie p 1 ma postać: Elipsa (x 1 x 0 )(x x 0 ) + (y 1 y 0 )(y y 0 ) = a 2 Elipsa jest zbiorem punktów p = (x, y) na płaszczyźnie R 2, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów q i s jest stała i wie ksza od odległości mie dzy punktami q i s (ogniska): {p = (x, y) R 2 pq + ps = const > qs } (022) Odległość 2c := qs mie dzy ogniskami nazywamy ogniskowa elipsy Elipsa ma dwie osie symetrii: jedna z nich jest prosta przechodza ca przez ogniska, a druga symetralna odcinka qs Punkt p 0 = (x 0, y 0 ) przecie cia osi symetrii elipsy nazywamy jej środkiem Osia wielka elipsy nazywamy liczbe 2a, która jest długościa odcinka ła cza cego punkty elipsy położone na jej osi przechodza cej przez ogniska Osia mała elipsy nazywamy liczbe 2b, która jest długościa odcinka ła cza cego punkty elipsy położone na jej drugiej osi Stała const = 2a Równanie elipsy o środku w punkcie p 0 = (x 0, y 0 ) oraz osiach 2a i 2b, równoległych do osi układu współrze dnych ma postać: (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (023) Jeżeli a > b, to ogniska elipsy o równaniu (??) znajduja sie w punktach (x 0 c, y 0 ) oraz (x 0 +c, y 0 ), gdzie c 2 = a 2 b 2 Jeżeli a < b, to ogniska elipsy znajduja sie w punktach (x 0, y 0 c) oraz (x 0, y 0 + c), gdzie c 2 = b 2 a 2 Elipsa o równaniu (??) ma dwie kierownice (każda odpowiada jednemu ognisku): x = x 0 a2 oraz x = x 0 + a2 c c Mimośród elipsy e = c a Niech punkt p 1 = (x 1, y 1 ) należy do elipsy (??) Równanie stycznej do elipsy (??) w punkcie p 1 ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) a 2 + (y 1 y 0 )(y y 0 ) b 2 = 1
4 Hiperbola Hiperbola jest zbiorem punktów p = (x, y) na płaszczyźnie R 2, których wartość bezwzgle dna różnicy odległości od dwóch ustalonych punktów q i s jest stała i mniejsza od odległości mie dzy punktami q i s (ogniska): {p = (x, y) R 2 pq ps = const < qs } Odległość 2c := qs mie dzy ogniskami nazywamy ogniskowa hiperboli Hiperbola składa sie z dwóch cze ści zwanych gałe ziami Hiperbola ma dwie osie symetrii: jedna z nich jest prosta przechodza ca przez ogniska, a druga symetralna odcinka qs Punkt p 0 = (x 0, y 0 ) przecie cia osi symetrii elipsy nazywamy jej środkiem Wierzchołkami hiperboli nazywamy punkty należa ce do osi symetrii zawieraja ce ogniska Odległość 2a mie dzy wierzchołkami hiperboli nazywamy osia rzeczywista Stała const = 2a Równanie hiperboli o środku w punkcie p 0 = (x 0, y 0 ), ogniskowej 2c oraz osi rzeczywistej 2a, która jest równoległa do osi Ox ma postać: (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1, (024) gdzie b 2 := c 2 a 2 Liczbe 2b nazywamy osia urojona hiperboli Hiperbola o równaniu (??) ma ogniska o współrze dnych: (x 0 c, y 0 ) i (x 0 + c, y 0 ) oraz dwie kierownice (każda odpowiada jednemu ognisku): x = x 0 a2 c oraz x = x 0 + a2 c Mimośród hiperboli e = c a Hiperbola (??) ma dwie asymptoty o równaniach: y = y 0 b a (x x 0) oraz y = y 0 + b a (x x 0) Jeżeli hiperbola ma jednakowe osie tzn a = b, to nazywamy ja równoosiowa Po obrocie hiperboli równoosiowej wokół środka o ka t π 4 jej równanie przyjmuje postać: (x x 0 )(y y 0 ) = a2 2 Asymptotami tej hiperboli sa proste x = x 0 oraz y = y 0 Niech punkt p 1 = (x 1, y 1 ) należy do hiperboli (??) Równanie stycznej do hiperboli (??) w punkcie p 1 ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) a 2 (y 1 y 0 )(y y 0 ) b 2 = 1
5 Parabola Parabola jest zbiorem punktów p = (x, y) na płaszczyźnie R 2, dla których e = 1, tzn każdy punkt paraboli jest równoodległy od ogniska i od kierownicy Niech a be dzie odległościa ogniska paraboli od jej kierownicy Liczbe a nazywamy parametrem paraboli Parabola ma jedna oś symetrii Punkt położony na osi symetrii nazywamy wierzchołkiem paraboli Równanie paraboli o wierzchołku w punkcie p 0 = (x 0, y 0 ) oraz parametrze a, której oś symetrii jest równoległa do osi Ox ma postać: (y y 0 ) 2 = 2a(x x 0 ) (025) W tym przypadku ognisko paraboli znajduje sie w punkcie (x 0 + a 2, y 0), natomiast równanie kierownicy paraboli (??) ma postać x = x 0 a 2 Równanie paraboli obróconej o ka t π 2 w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ma postać: (x x 0 ) 2 = 2a(y y 0 ) Wykres każdej funkcji postaci y = Ax 2 + Bx + C, gdzie A 0 jest parabola Niech punkt p 1 = (x 1, y 1 ) należy do paraboli (??) Równanie stycznej do paraboli (??) w punkcie p 1 ma postać: Krzywe drugiego stopnia (y 1 y 0 )(y y 0 ) = a[(x 1 x 0 ) + (x x 0 )] Każda z omówionych krzywych stożkowych jest opisana równaniem stopnia drugiego Ogólnie, każda określona równaniem postaci ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, (026) gdzie współczynniki a, b, c, d, e, f R sa takie, że a 2 + b 2 + c 2 0, nazywamy drugiego stopnia W zależności od pewnych relacji mie dzy współczynnikami równanie (??) przedstawia zawsze jeden z naste puja cych zbiorów punktów: zbiór pusty (np x 2 + y 2 + 1 = 0), punkt (np x 2 + y 2 = 0), prosta (np x 2 = 0), pare prostych (np x 2 y 2 = 0), parabole (np ax 2 2ey = 0), okra g (np ax 2 + ay 2 1 = 0, dla a > 0), elipse (np ax 2 + cy 2 ac = 0, dla a, c > 0) lub hiperbole (np ax 2 cy 2 ac = 0, dla a, c > 0)