Mosław Tomea Akadema Moska w Gdyn MODEL MATEMATCZ STATKU CBERSHIP II W lteatze tdno jest znaleźć dobe nelnowe modele matematyczne dynamk statk zaweające watośc nmeyczne, któe można byłoby wykozystać zaówno do steowana manewowego, jak po zadanych tajektoach W nnejszej pacy pzedstawono kompletny model matematyczny dynamk statk o nazwe CybeShp II Statek ten jest wykonanym w skal modelem fzycznym statk zaopatzenowego dla platfom wetnczych CybeShp II jest jednostką testową, ozwjaną w Katedze Cybenetyk Inżyneyjnej na oweskm Unwesytece ak Technolog w Tondhem w oweg WPROWADZEIE Rch poszającego sę statk odwzoowany jest pzez zbó sześc skomplkowanych ównań óżnczkowych opsjących sześć stopn swobody Modele żywane w pojektowan steowana zmenają sę w zależnośc od celów steowana Te cele steowana, w sposób najbadzej ogólny dzelone są na pozycjonowane pzy małych pędkoścach steowane pzy dżych pędkoścach Pewsze nazywane jest dynamcznym pozycjonowanem (DP) obejmje tzymywane stałej pozycj manewowane pzy małych pędkoścach Dla kładów DP model o sześc stopnach swobody edkowany jest do postszego model o tzech stopnach swobody, któy jest lnowy w częśc knetycznej Steowane pzy wyższych pędkoścach obejmje atomatyczne steowane na kse po zadanej tajekto W tych zastosowanach sły dośodkowe Coolsa waz z nelnowym efektem lepkoścowym mają domnjące znaczene dlatego też model knetyczny jest nelnowy Dla statków poszających sę ze stałym pędkoścam ozważa sę tylko pewszą apoksymację tłmena lepkoścowego dlatego też w tym wypadk mogą być stosowane lnowe apoksymacje dynamk statk [4] Hstoyczny pzegląd ozwoj model matematycznych statków można znaleźć w pacy Claka [] Obecne można zaobsewować dże zanteesowane modelam matematycznym statków, szczególne twozonych w dzedzne czas, gdyż są one wykozystywane w pojektowan kładów steowana oaz w symlacjach kompteowych Modele take można znaleźć w pacach [3, 5, 6, 7,, ] W nnejszym atykle opsano model matematyczny dynamk statk o nazwe CybeShp II, będący wykonanym w skal modelem fzycznym statk zaopatją-
M Tomea, Model matematyczny statk CybeShp II 9 cego platfomy wetncze [8,, 3] Model matematyczny statk CybeShp II ozwjany jest w Katedze Cybenetyk Inżyneyjnej na oweskm Unwesytece ak Technolog w Tondhem w oweg Model fzyczny tego statk pływa w Laboatom Cybenetyk Moskej (http://wwwtkntnno/mankyb/mclab) MODEL MAEWROW O TRZECH STOPIACH SWOBOD Rch statk opsywany jest pzy życ nelnowych ównań óżnczkowych w sześc stopnach swobody Występją ttaj tzy współzędne (x, y, z), okeślane w pzestzen tójwymaowej jako wzdłżna (x), popzeczna (y) wznosząca (z), oaz zmenne (,, ), nazywane kątem nachylena statk na lewą lb pawą btę (), kątem zanzena lb wynzena dzob statk () kątem stawena dzob statk względem kenk północnego () Zakładając, że statek jest wzdłżne popzeczne stablny występją ttaj małe ampltdy, można pomnąć dynamk chy kołyszące statek na bty (oll) zanzające lb wynzające dzób (ptch) = θ = = θ = Poza tym dla statk pływającego po powezchnach wód można pomnąć jeszcze dynamk ch wznoszący (heae) Uzyskany model opsjący ch statk w płaszczyźne hoyzontalnej staje sę modelem o tzech stopnach swobody Rch statk opsywany jest w kładze współzędnych nechomych zwązanych z zemskm kładem odnesena nazywanym ED (oth-east- Down) oaz nnym kładem współzędnych zwązanym z poszającym sę statkem (ys ) Zmenne stan opsjące ch statk zebane są w dwóch wektoach: η x, y, oaz ν,,, gdze x, y są współzędnym położena, ksem statk,, pędkoścam lnowym (wzdłżną popzeczną), pędkoścą kątową statk [3] X x x V y y Rys Układy współzędnych w tzech stopnach swobody
ZESZT AUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDI, n 6, gdzeń 9 Wekto pędkośc wyznaczany względem kład współzędnych nechomych odnoszony jest do pędkośc powązanych z chomym kładem współzędnych popzez następjącą zależność knematyczną: pzy czym η R( ) ν, () R jest macezą otacj wyznaczaną ze wzo: cos sn R ( ) sn cos () 3 CBERSHIP II Model fzyczny o nazwe CybeShp II jest eplką statk zaopatzenowego, wykonaną w skal :7 Jego masa m wynos 3,8 kg, całkowta dłgość L OA =,55 [m], natomast szeokość B =,9 [m] Model ten wyposażono w tzy ządzena napędowe a dzobe znajdje sę mały dwłopatkowy ste stmenowy steowany pędkoścą obotową, wytwazający słę popzeczną, natomast na fe znajdją sę dwa napędy steowane pędkoścą obotową ze steam płetwowym W postac ogólnej model matematyczny tego statk opsywany jest wzoem [3, 4]: M ν C( ν) ν D( ν) ν τ (3) Macez M = M RB + M A zawea paamety bezwładnośc były sztywnej M RB oaz współczynnk masy dodanej M A Współczynnk macezy M RB znajdowane są z bezpośednch pomaów głównych danych statk takch jak: jego wymay, waga, ozkład masy, objętość td m M RB m mxg (4) mx G I z Współczynnk macezy M A zwązane są z efektem powezchnowym wody wyznaczane są z egł semempycznych [] X M A (5)
M Tomea, Model matematyczny statk CybeShp II Macez Cν C ν C ν obejmje sły Coolsa dośodkowe ν RB A dzałające na statek ozpatywany jako była sztywna oaz hydodynamczne sły Coolsa dośodkowe C A ν zwązane z ceczą, w któej posza sę płynący statek Macez C RB zapsje sę jako [4]: natomast macez ν C RB m xg C RB ν m, (6) m xg m C A ν wyznaczana jest ze wzo [4]: c3ν c3ν ν c3 ν C A ν, (7) c3 pzy czym 3 ν oaz c X 3 ν c Macez tłmena Dν D D ν L L zwązana jest z hydodynamcznym słam tłmącym Macez ta składa sę z częśc lnowej D L, wyznaczanej dla pewnej małej stałej pędkośc wzdłżnej ν ν,, T [4]: X D L, (8) oaz z częśc nelnowej D L ν, pozwalającej na wyznaczene hydodynamcznych sł tłmących pzy dżych pędkoścach []: pzy czym: ν d D L ν dν d3ν, (9) d3 ν d33 ν d X X, () d, ()
ZESZT AUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDI, n 6, gdzeń 9 d3, () d3, (3) d33 (4) Wekto sł dzałających na kadłb statk zwązany jest z słam wytwazanym pzez pędnk płetwy steowe zamocowane na model fzycznym statk o nazwe CybeShp II τ th oaz słam oddzałjących zakłóceń τ w : T X,, τth τ w τ (5) Watośc lczbowe paametów występjących w pzedstawonym ttaj model matematycznym statk CybeShp II można znaleźć w pacach [8,,, 3] Paamety zależne od masy wyznaczone dla statk CybeShp II [8] Paamet Jednostka Watość Paamet Jednostka Watość Tabela L OA m,55 X kg -, m kg 3,8 I z kg m,76 = ṙ kg -, kg m, x G m,46 ṙ kg m -, Tabela Paamety statk CybeShp II okeślone na podstawe pomezonych sł momentów [] Paamet Watość Paamet Watość X -,753 -,88965 X -,374-36,4787 X -5,86643,33 3,95645
M Tomea, Model matematyczny statk CybeShp II 3 Tabela 3 Paamety statk CybeShp II okeślone z zastosowanem steowana adaptacyjnego [] Paamet Watość Paamet Watość -,85,3-7,5 -,9 -,845,8-3,45 -,75 3 Modele matematyczne pędnków płetw steowych Dla pędnków obotowych o stalonym kące stawena łopatek wytwazana sła napo jest badzej lb mnej popocjonalna do kwadat pędkośc obotowej wał Dla małych pędkośc model śba/płetwa można podzelć na dwe częśc Pewsza część opsje napó nomnalny (kąty wychylena płetw =, =, ) [8] T k k Tn Tp,,, 3 (6) Dga część dotyczy dodatkowych sł: zwot (lft) hamjącej (dag), wytwazanych pzez płetwy steowe powązane ze śbam napędowym: T L T D k k k Ln L L k k k LDn,, D L,,, (7) (8) Paamety nomnalne śb napędowych [8] Tabela 4 Paamet Jednostka Watość Paamet Jednostka Watość k Tp, k Tn, k s 3 Tp 3, 74 k 3 Tp s 4 84, k s 3 Tn 5, 5 k 3 Tn s 4 88,
4 ZESZT AUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDI, n 6, gdzeń 9 Paamety nomnalne płetw steowych [8] Tabela 5 Paamet Jednostka Watość Paamet Jednostka Watość k Ln, k s Ln, k Dn, k s 3 Dn 9,64 k L, k ad -,97 L k L, k ad - -,557 L k D, k ad -,79 D k D, k ad -,65 D Odległośc pędnków od śodka geometycznego [] Tabela 6 Paamet Jednostka Watość Paamet Jednostka Watość ( L, xt L ) yt m (-,499, -,78) ( L, xr L yr ) m (-,549, -,78) ( L, xt L yt ) m (-,499,,78) ( L, xr L yr ) m (-,549,,78) ( L, xt 3 L ) yt 3 m (,466,,) Dla tych tzech pędnków obotowych dwóch płetw steowych zyskje sę następjące sły wzdłżne popzeczne: T D,, T 3 (9) L 4, 5 Teaz można zapsać wekto sł pzykładanych do kadłba w zależnośc od ozmeszczena opsanych powyżej pędnków płetw steowych: X LyT L yt L xt 3 L xr τ T th () L xr T T gdze macez T jest macezą konfgacj pędnków, D,, D, T 3 3 L, L,, ()
M Tomea, Model matematyczny statk CybeShp II 5 x L OA L xt 3 x G y L xt L L yt yt L xr Rys Ramona momentów statk CybeShp II Zastosowane na fe statk CybeShp II płetwy steowe mają oganczena na o pędkość wychylana wynoszące ok /s W zakese z pędkość wychylana płetw pacje w lnowej częśc chaakteystyk, maksymalne wychylena płetw steowych max 35 Maksymalne pędkośc obotowe śb zamontowanych na bce wynoszą n max = n max = ob/s, natomast maksymalna pędkość obotowa ste tnelowego znajdjącego sę na dzobe wynos n 3 max wynos 35 ob/s 3 Zakłócena śodowskowe Dla statk CybeShp II analza zakłóceń śodowskowych została oganczona do zakłóceń najbadzej stotnych dla statków powezchnowych, czyl fal wytwazanych pzez wat Model, któy żyto do symlacj oddzaływana fal na statek, wypowadza sły momenty wytwazane pzez eglane moze na statek o kształce blok Fomje wekto nazywany w wx, w, w, któy bezpośedno dodawany jest do wektoa wejścowego pzy wykozystan zasady spepozycj [3]: wx ( t) gbltcos s ( t), ()
6 ZESZT AUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDI, n 6, gdzeń 9 w ( t) gblt sn s ( t), (3) L B sn w ( t) gbl s ( t), (4) 4 pzy czym: L dłgość statk, B szeokość statk, T śedne zanzene statk ozważanego jako ównoległoścan, gęstość wody, s (t) nachylene fal, kąt pomędzy ksem statk a kenkem dzałających fal (w adanach) Kąt nachylena fal s może być powązany z fnkcją gęstośc spektalnej fal S(ω ) W cel oblczena S(ω ) mogą być ozważane óżne gęstośc spektalne W tej pacy ozważono zmodyfkowaną wesję wdma Pesona-Mostkowtza [3] 3 3 4 H s 6 S ( ) exp, (5) 4 5 4 4, 7 To, 7 To pzy czym: T o okes modalny, H s wysokość znacząca fal Algoytm wyznaczana nachylena fal s (t) z dowolnego wdma fal moskch [3]: Podzelć fnkcję gęstośc wdmowej S(ω) na pzedzałów o dłgośc Δω Wybać pzypadkową częstotlwość ω z każdego pzedzał częstotlwośc oblczyć S(ω ) 3 Oblczyć ampltdę fal A S oaz lczbę falową k g, dla każdego wyznaczonego pzedzał =, 4 Oblczyć nachylene fal s pzez zastosowane zależnośc e s ( t) Ak sn t (6) Częstotlwość spotkanową ω e odpowadającą -tej składowej fal wyznacza sę z zależnośc: e Ucos, (7) g pzy czym: U wypadkowa pędkośc statk (m/s), g pzyśpeszene zemske (g = 9,8 m/s), kąt zawaty pomędzy ksem statk a kenkem dzałających fal (ad), kedy fala dzała na dzób statk =
M Tomea, Model matematyczny statk CybeShp II 7 4 UPROSZCZOE MODELE MATEMATCZE STATKU CBERSHIP II a potzeby syntezy eglatoów lnowych zapsano poszczone modele matematyczne statk CybeShp II 4 Model Dadsona Schffa Dla statk poszającego sę ze stałą pędkoścą = opsany wyżej model nelnowy statk CybeShp II można poścć do następjącej postac: b ν ν M ) (, (8) gdze: L D C ) ( ) ( (9) Z powyższego model matematycznego wydzela sę dynamkę wzdłżną, pzy założen symet lewa/pawa bta, otzymje sę model manewjący składający sę z dynamk wzdłżnej: X G mx X m X X m (3) dynamk popzeczno-kątowej: z G G I mx mx m + G mx X X m (3) Dla każdej stalonej pędkośc wzdłżnej =, dynamk pozostają lnowe Stąd taktowane jest jako paamet Równana powyższe są lnowo paametyzowanym modelem zapsanym w fome model Dadsona Schffa (946) Dalej ten model można pzekształcać do model omoto (957) opsanych pzez Clake a [] Dla statków konwencjonalnych sły stejące są zazwyczaj lnowo zależne od wychylena płetwy steowej, wedłg zależnośc τ = δ δ oaz τ = δ δ Stąd [3]: b Ax x, (3)
8 ZESZT AUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDI, n 6, gdzeń 9 pzy czym: A M, b M b (33) 4 Modele omoto Dwoma nnym altenatywnym opsam model Dadsona Schffa są modele zapoponowane pzez omoto, Tagch, Honda Hano (957) Modele te zyskje sę pzez wyelmnowane pędkośc popzecznej z ównana (3), co pozwala na zyskane tansmtancj omoto wyażającej zależność pomędzy ksem statk a wychylenem płetwy steowej : ( s) ( s) s K T3s T s T s (34) Paamety tansmtancj odnoszą sę do współczynnków hydodynamcznych na podstawe następjących zależnośc: T M T, (35) nm nm nm nm T T, (36) K R nb nb, (37) K R T 3 mb mb, (38) K K R, (39) pzy czym współczynnk m j, n j oaz b ( =, ; j =, ) są współczynnkam ównana (33) Model omoto można zedkować pzez wyznaczene zastępczej stałej czasowej wedłg zależnośc T = T + T T 3 : ( s) K ( s ) s Ts (4)
M Tomea, Model matematyczny statk CybeShp II 9 ówneż zapsany w postac następjących ównań stan: gdze d dt d dt K T T (4) 5 BADAIA SMULACJE Opsany model matematyczny statk CybeShp II został zamplementowany w śodowsk oblczenowym Matlab/Smlnk Stktę tego model pokazano na ysnk 3 Oganczena na maksymalne pędkośc obotowe maksymalne watośc wychylena płetw steowych oaz oganczena zwązane z pędkoścą wychylana płetw steowych zostały zamplementowane w postac bloków Smlnka Model matematyczny dynamk statk (3) waz z modelam matematycznym pędnków płetw steowych () oaz fal (), (3), (4) zapsano w postac S-Fnkcj (msf_cybeshp_m) Rys 3 Model matematyczny statk CybeShp II zamplementowany w postac schemat w Smlnk Pzykładowe badana symlacyjne z modelem matematycznym pzepowadzono w kładze zamknętym z eglatoem P o nastawe K p =, czyl model matematyczny objęto jednostkowym jemnym spzężenem zwotnym a ysnk
ZESZT AUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDI, n 6, gdzeń 9 4 znajdją sę wynk symlacj tego kład eglacj pzy stałej pędkośc obotowej ω = ω = 8,3 ob/s, co pzy zeowym wychylen płetw steowych na spokojnej wodze pozwala ozwnąć pędkość wzdłżną ówną,3 m/s W czase powadzonych badań symlacyjnych obydwe płetwy steowe były wychylane o ten sam kąt δ = δ = δ, któego watość zadaną zyskwano z wyjśca eglatoa P Lną pzeywaną zaznaczono pzebeg czasowe zyskane na wodze spokojnej pzy bak zakłóceń zewnętznych, lną cągłą natomast zaznaczono pzebeg czasowe w obecnośc dzałających zakłóceń falowych Symlowane fale mały znaczącą wysokość H s ówną 3 m, co odpowada stanow moza 5 w skal Beafota Poneważ statek CybeShp II jest modelem fzycznym wykonanym w skal :7, to na potzeby wzo (5) po pzeskalowan do badań symlacyjnych pzyjęto T o =,8 s, H s = 5 mm, kenek dzałających fal ψ f = º a ysnk 4 pzedstawono kolejno od góy: pędkośc wzdłżne, ksy statk, zadane wychylena płetw steowych Rys 4 Wynk badań symlacyjnych (lne pzeywane na spokojnej wodze, lne cągłe 5 o w skal Beafota) 6 UWAGI I WIOSKI a podstawe otzymanych wynków symlacj zyskanych w kładze eglacj po objęc go jednostkowym jemnym spzężenem zwotnym stwedza sę, że statek CybeShp II jest jednostką slne nelnową (ys 3) Ośodek nakowy w Tondhem zatdna badzo twóczy zespół badawczy, pblkjący cooczne dżą lczbę pac z zakes steowana statkam, w któych
M Tomea, Model matematyczny statk CybeShp II pzedstawane są óżnoodne algoytmy steowana weyfkowane właśne na model fzycznym CybeShp II Posadając ten model, można póbować powtózyć te wynk poznać oaz opanować óżne nowe algoytmy steowana statkem, od jednowymaowych począwszy, a na welowymaowych skończywszy Model ten jest badzo waygodny, gdyż welokotne był weyfkowany w Laboatom Cybenetyk Moskej w Tondhem LITERATURA Clake D, The fondatons of steeng and maneoeng, Poc IFAC Conf Manoeeng and Cont Mane Cafts, Plenay talk, IFAC, Gona, Span 3 Faltnsen OM, Sea Loads on Shps and Offshoe Stctes, Cambdge Unesty Pess 99 3 Fossen TI, Gdance and Contol of Ocean Vehcles, John Wley & Sons Ltd, England 994 4 Fossen TI, Mane Contol Systems: Gdance, agaton, and Contol of Shps, Rgs and Undewate Vehcles, Mane Cybenetcs, Tondhem, oway 5 Galbas J, Synteza kładów steowana pecyzyjnego statkem za pomocą steów stmenowych, ozpawa doktoska, Poltechnka Gdańska, Gdańsk 988 6 Gesz W, Smlaton model of the shphandlng tanng boat Ble Lady, Poc of Contol Applcatons n Mane Systems, Glasgow, Scotland, UK 7 Kallstom CG, Ottosson P, The geneaton and contol of oll moton of shps n close tns, Poc of the 4th Intenatonal Symposm Shp Opeaton and Atomaton, Genoa, Italy 98 8 Lndegaad K-P, Acceleaton Feedback n Dynamc Postonng, PhD thess, owegan Un Scence & Technology, Dept Eng Cybenetcs, Tondhem, oway 3 9 Lndegaad K-P, Fossen TI, Fel effcent dde and popelle contol allocaton fo mane caft: expements wth model shp, IEEE Tansactons on Contol Systems Technology,, ol, no 6 Skjetne R, The maneeng Poblem, PhD thess, owegan Un Scence & Technology, Dept Eng Cybenetcs, Tondhem, oway 5 Skjetne R, Smogel O, Fossen TI, A nonlnea shp maneeng model: Identfcaton and adapte contol wth expements fo a model shp, Modelng, Identfcaton and Contol, 4, ol 5, no Skjetne R, Smogel O, Fossen TI, Modelng, dentfcaton, and adapte maneeng of Cybeshp II: A complete desgn wth expements, Poc IFAC Conf Appl Mane Systems, CAMS 4, IFAC, Ancona, Italy 4 3 Seen DA, Robst and adapte tackng contol fo synchonzaton wth an ROV: pactcal mplementaton on CybeShp II, maste thess, owegan Unesty of Scence and Technology, Tondhem, oway 3
ZESZT AUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDI, n 6, gdzeń 9 THE MATHEMATICAL MODEL OF THE SHIP, CALLED CBERSHIP II Smmay Good nonlnea mathematcal models of the shp dynamc, ncldng nmecal ales, to se fo maneoeng contol and along desed path ae had to fnd Ths pape pesents a complete mathematcal model of the shp, called CybeShp II Ths shp s a scale model of an ol platfom spply shp CybeShp II s the test ehcle deeloped at the Depatment of Engneeng Cybenetcs, owegan Unesty of Scence and Technology (TU), Tondhem, oway