w dielektrykach Efekty nieliniowe

Światło w dielektrykach Efekty nieliniowe I. Nierezonansowe a) drugiego rzędu - generacja drugiej harmonicznej, - optyczne parametryczne wzmocnienie, - efekt Pockelsa, - elektro - optyczne odbicie wiązki, - prostowanie optyczne; 1

b) trzeciego rzędu - generacja trzeciej harmonicznej, - efekt Kerra - wymuszona dwójłomność, solitony optyczne, - samoogniskowanie, samoprowadzenie (ang. self - guiding), solitony przestrzenne, - samodyfrakcja, - mieszanie czterech fal, - wymuszony efekt Brillouina, - optyczne sprzężenie fazowe. II. Rezonansowe - wymuszony efekt Ramana, - nieliniowa absorpcja (ang. bleaching), - koherentna propagacja impulsów, impulsy i2, - optyczna fala uderzeniowa, - oddziaływanie światło - plazma. 2

Równanie falowe 2 E 0 0 2 E t 2 0 2 P t, 2 gdzie: P polaryzacja ośrodka na jednostkę objętości [P Nex, N gęstość atomów, x amplituda drgań elektronów]. Zjawiska liniowe Pt 0 Et, gdzie: liniowa podatność. W silnych polach P 0 E 2 E 2 3 E 3 P 1 P 2 P 3 gdzie: 2, 3, - nieliniowe współczynniki optyczne. 3

Nieliniowość drugiego rzędu Niech E E 0 sin t ograniczając się do dwóch pierwszych wyrazów P 0 E 0 sin t 2 E 2 0 sin 2 t 0 E 0 sin t 1 2 2E 0 2 1 cos2t. W ogólności Et E 1 expi 1 t E 2 expi 2 t c. c., nieliniową część polaryzacji P 2 t 0 2 E 2 t. Podstawiając P 2 t 0 2 E 2 1 expi2 1 t E 2 2 expi2 2 t 2E 1 E 2 expi 1 2 t 2E 1 E 2 expi 1 2 t c.c. 2 0 2 E 1 E 1 E 2 E 2. 4

Generacja drugiej harmonicznej Nieliniową polaryzację przedstawia wzór P 2 t 2 E 2 t. Niech pole elektryczne Et E 0 cost. Zmiana znaku pola elektrycznego w krysztale ze środkiem inwersji P 2 t 2 Et 2. Czyli 2 0 wośrodka ze środkiem inwersji. Wnisek: Druga harmoniczna nie występuje w ośrodkach ze środkiem inwersji. 5

Nieliniowość trzeciego rzędu Optyczny efekt Kerra Nieliniowość trzeciego rzędu P 3 t 0 3 E 3 t. Niech Et E 0 cost kz. to P 0 E 0 cost kz 3 E 3 0 cos 3 t kz. Stąd P 0 1 3 4 3E 0 2 E 0 cost kz 0 3 4 E 0 3 cos3t kz. Wyraz drugi zaniedbujemy P 0 1 3 4 3E 0 2 E 0 cost kz W przybliżeniu fali płaskiej I 1 2 c 0n 0 E 0 2, P 0 1 3 2 zatem 3 c 0 n 0 I E 0 cost kz. 6

P 0 n 2 1E 0 cost kz, gdzie: n 2 1 1 3 3 2 c 0 n 0 I. Po rozwinięciu w szereg Taylora n n 0 3 3 4 c 0 n I n 2 0 KI, 0 gdzie: n 2 0 1 1,a K 3 3 4 2 c 0 n 0 jest stałą Kerra. Dla CS 2 : K 2. 6 10 14 cm 2 /W. Większe K rzędu 10 14 10 7 mają domieszkowane szkła, materiały organiczne (10 10 10 8 )ipółprzewodniki (10 10 10 2 ). 7

Samomodulacja fazowa R.R. Alfano, S.L. Shapiro, Observation of Self - Phase Modulation and Small - scale Filaments in Cristals and Glasses,Phys. Rev. Lett. 24, 592 (1970); R.R. Alfano, S.L. Shapiro, Direct Distorsion of Electronic Clouds of Rare - Gas Atoms in Electric Fields,Phys. Rev. Lett. 24, 1217 (1970); A. Brodeur, S.L. Chin, J. Opt. Soc. Am. B, 16, 637, (1999). Ośrodek z normalną dyspersją t Ośrodek z normalną dyspersją Cz N t z Wpływ dyspersji materiałowej na przechodzący impuls. Cz oznacza czerwoną część widma, N - niebieską. Optyczny efektu Kerra Impuls Ez, t E 0 z, t expi 0 t kz c.c. 8

Wośrodku o długości L faza L,t L NL t 2n 0L Samomodulacja fazowa. 2KItL. a) I(t) b) 0 Czas ω Czas Obwiednia impulsu(a) oraz zmiana częstości w wyniku samomodulacji fazowej (b). Część nieliniową NL t 2KL It. Nowa częstość t 0 t 0 d dt NLt Zmianaczęstości t 2KL dit. dt Przyjmijm, że wświatłowodzie rozchodzi się impuls gaussowski 9

to It I 0 exp t 2KL t 0 2 t T 2 I 0exp, t 0 2 Dla t 0 (zbocze) przesunięcie częstotliwości jest w kierunku niebieskiej części widma. Niech wtedy a It I 0 sec h 2 NL t 2KL t 0, I 0 sec h 2 t 0, t 2KL 0 I 0 sec h 2 t 0 tgh t 0.. t Ośrodek z efektem Kerra (K>0) N Cz t z Wpływ samomodulacji fazowej na rozkład częstości w czasie przechodzącego przez ośrodek impulsu. 10

Sygnał wejściowy Sygnał wyjściowy Natężenie [j.w.] 2.3 nm 1322 1321 1320 1319 1318 1317 Długość fali [nm] Widma rozszerzonego impulsu w wyniku samomodulacji fazowej Dla światłowodu o długości 200 m. Obliczymy zmianę przez efekt Kerra. Zakładamy trójkątny impuls o podstawie 200 ps, przyi max 160 MW/cm 2. n rdzenia 1.55, K 3.18 10 20 m 2 /W. Niech 1.55 m. Jeżeli 2T będzie szerokością podstawy impulsu, to dit dt Zmiana częstotliwości I 0 T. 11

K L I 0 T 3.18 1020 200 1.6 1012 6 1.55 10 10 10 6.57 10 10 Hz. Ponieważ c, to 2 1 c, p 1.55 2 1 6.57 10 10 3 10 14 0.53 nm. Rozszerzenie ze względu na modulację impulsową a 1 1 10 10 Hz. 100 10 12 To odpowiada szerokości linii a 0.08 nm. Z dodatniej i ujemnej część trójkąta 2 a p 1.22 nm. 12

Wymuszony efekt Ramana Wymuszone rozpraszanie Ramana oddziaływanie światła z drganiami SiO 2,a ogólnie z cząsteczkami ośrodka. Częstotliwości: w obszarze stokesowskim (różnica częstotliwości) antystokesowskim (suma częstotliwości) a) b) hν 0 h( ν ν 0 R) hν 0 h( ν+ν 0 R) v = 1 v = 0 E=hν R v = 1 v = 0 E=hν R Schemat rozpraszania Ramana stokesowski (a) i antystokesowskie (b). Linie poziome reprezentują stany oscylacyjne. W widmie: linie stokesowskie, antystokesowskie i linie o częstotliwościach 0 n R. Obraz kwantowo-mechaniczny 13

Do ośrodka wchodzą dwie fale różniące się częstotliwością Stokesa. Jeśli moc fali o niższej częstotliwości (wiązki sondującej) będzie rosła kosztem mocy fali pompującej (o wyższej częstotliwości) wymuszone rozpraszanie Ramana. Zmiana faza wskutek samomodulacji fazowej 2K A PL, 0 gdzie: P moc optyczna, A przekrój wiązki, a L odległość. Podstawiając stałą Kerra 2 3 3 PL. 4 2 c 0 n 0 A 0 Można zapisać w ogólności 3 R 3 i I 3. Część zespolona z fazy expi ma charakter wzmocnienia 3 3 I c 0 n 0 2 PL A 0. Wzmocnienie jest proporcjonalne do mocy 14

optycznej P. Jesttowzmocnienie Ramana. Lasery ramanowskie Moc wiązki sondującej zależy eksponencjalnie od mocy wiązki pompującej P R L P R 0 expa R P p, gdzie: A stała zależna od długości ośrodka, stopnia pokrywania się wiązek, ich średnicy, polaryzacji światła, tłumienności ośrodka, R jest współczynnikiem wzmocnienia rozpraszania Ramana R 3 1 0. 15

Wymuszone rozpraszanie Brillouina Oddziaływanie fal elektromagnetycznych z drganiami akustycznymi. Wymuszone rozproszenie Brillouina do tyłu. Częstotliwość przesunięta o f 2nv a, gdzie: n jest współczynnikiem załamania ośrodka, v a jest prędkością fali dźwiękowej wośrodku. Za efekt Brillouina odpowiedzialny jest cały ośrodek. Elektrostrykcja Fala akustyczna może zasilać optyczną i odwrotnie. E, ω, k 1 1 1 A, Ω, ka E, ω, k 2 2 2 Schemat wymuszonego rozpraszania Brillouina. Fala akustyczna o amplitudzie A, częstości i wektorze falowym ka. Częstość stokesowska 16

2 1 B, gdzie: B częstość Brillouina. Równocześnie k 2 k1 kb. Ponieważ k i n i c to częstość Brillouina B nv c 1 2, lub B 2 nv c 1 1 nv c Ponieważ v c/n B nv c 1, natomiast k B 2k 1. Moc rozpraszana P 2 z P 2 L exp B P 1 L z, gdzie: B współczynnik wzmocnienia wymuszonego rozpraszania Brillouina. Podobne rozważania są prawdziwe dla częstotliwości antystokesowskiej.. 17

Częstotliwość Briullouina dla Si O 2 : 17000MHz, a dla H 2 O 5690 MHz. Dla szkieł optycznych ta częstotliwość zawiera się w przedziale 11000-16000 MHz. 18

Samoogniskowanie D. Stricland, P.B. Corkum, J. Opt. Soc. Am. B, 11, 492 (1994) Samopułapkowanie (ang. self trapping) utrzymanie średnicy wiązki rozchodzącej się w dielektryku na znacznych odległościach. WwynikuefektuKerra n n 0 n. Krytyczny kąt cos 0 n 0 n 0 n. Ponieważ n jest małe dlawiększości materiałów oraz 0 jest znacznie mniejsze od jedności, więc 1 1 2 0 2 1 n n 0. Stąd 0 2 n 1/2 n 0. Kąt rozbieżności dyfrakcyjnej d 0.61 n 0 d. Samopułapkowanie wystąpi, jeśli ten kąt będzie mniejszy od kąta granicznego. W 19

granicy d 0. Zatem n 1 2 n 2 0.61 0. n 0 d Jeżeli n n 0 KE 2 0 n 0 n, to krytyczną moc optyczną, odktórej samopułapkowanie może wystąpić P kr 4 d2 E 0 2 0.15 2 Kn 0. Jeśli K jest dodatnie, to w obszarze większego natężenia światła ośrodek ma większy współczynnik załamania i będzie zachowywał się jak soczewka. Zmiana ogniskowej przez zmianę mocy promieniowania f 2 n 0 KE 0 2 1/2 a, gdzie: a jest szerokością wiązki gaussowskiej. Można oszacować moc krytyczną odpowiadającą mocy promieniowania, przy 20

którym dyfrakcja dana w przybliżeniu przez wyrażenie a będzie kompensowana przez siłę skupiającą ośrodka z efektem Kerra. Dyfrakcję możemy przybliżyć efektem działania soczewki rozpraszającej o ogniskowej f d a 1 2 ka2. Zatem f f d i otrzymana w ten sposób moc krytyczna (progowa) wynosi P kr 16 c 0 0 2 K. Wynikcodorzędu jest poprawny. Dokładniejsze rozważania dają P kr 0.039c 0 0 2 K. Długość samoogniskowania l 1 4 a 2 c K P P kr, 21

gdzie: a jest promieniem wiązki gaussowskiej. Struktura włóknistą wiązki. 22

Superkontinuum R. R. Alfano, S. L. Shapiro, Emission in the region 4000-7000 angstrom via four-photon coupling in glass, Phys. Rev. Lett.24, 584 (1970). Zaobserwowana w 1970 r. Rola laserów Ti:Al 2 O 3. Odpowiedzialne - optyczne procesy nieliniowe. Płytka szafirowa Filtr spektralny Filtr przestrzenny Układ do generacji światła białego (400-1800 nm za pomocą impulsów femtosekundowych. Naczynie z mieszaniną Filtr spektralny Filtr przestrzenny 10 cm Układ do generacji światła białego za pomocą impulsów pikosekundowych. Tutaj - rozpraszania Ramana, samoogniskowania i inne procesy 23

Mieszanie czterech fal Z zasady zachowania energii wynika, że 1 2 3 4, z zasady zachowania pędu k 1 k2 k3 k4. Polaryzacja P 3 r,t 0 2 3 E 1r,tE 2r,tE 3r,t. Zapiszmy ten wynik skalarnie P 3 t 3 E 3 t. Niech w ośrodku oddziałują trzy fale o częstościach 1, 2 i 3 Et ReE 1 expi 1 t ReE 2 expi 2 t ReE 3 expi 3 t Zapiszmy pole w postaci Et 1 2 E q expi q t, q1,2,3 gdzie: q q i E q q E q. Otrzymujemy 216 wyrazów (6 3 ) 24

P 3 t 1 2 3 E q E r E l q,r,l1,2,3 expi q r l. Jeżeli 2 3 4 1, Jest sześć permutacji P 3 3 4 1 3 E 3 E 4 E 1. Może być: 4 1 2 3, 4 1 2 3, 4 1 2 3,itd. 25

Literatura 1. B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc. New York Singapore 1991. 2. W. Lauterborn, T. Kurz, W. Wiesenfeldt, Coherent Optics, Springer-Verlag, Berlin 1993. 3. M. L. Riaziat, Introduction to High Speed Electronics and Optoelectronics, John Wiley & Sons, New York 1996. 4. R. Mentzel, Photonics, Springer-Verlag, Berlin 2001. 5. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Introduction to fiber optics, Cambridge University Press, Cambridge 2000. 6. E. Rosencher, B. Vinter, Optoelectronics, Cambridge University Press, Cambridge 2002. 7. R. W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press, San Diego New York 1992. 8. M. Mansuripur, Classical Optics and its Applications, Cambridge University Press, Cambridge 2002. 26

9. F. Ratajczyk, Optyka ośrodków anizotropowych, PWN,Wraszawa 1994. 10. K. Iizuka, Elements of Photonics, Wiley and Sons, New York 2002. 11. J. Advantovic, D. Uttamchandani, Principles of modern optical system, Artech House, Norwood (MA) 1989. 12. M. Remoissenet, Waves Called Solitons, Springer-Verlag, Berlin 2003. 13. P. W. Milonni, J. H. Eberly, Lasers, John Wiley & Sons, New York 1988. 14. B. Ziętek, Optoelektronika, Wyd.UMK, Toruń 2004. 27

Prędkość fazowa i grupowa światła Fala lub Az, t A 0 expit kz, Az, t A 0 exp i t /k z. Argument jest funkcją czasu i współrzędnej t /k z. Wielkość v f k prędkość fazowa. Wpróżni v f c, wośrodku v f n c. Długość fali w ośrodku 0 n. 28

Wektor falowy k k 0 n. W ośrodku liniowym częstotliwość światła nie ulega zmianie Impuls światła paczka falowa Prędkość grupowa v g : v g d dk kk 0. Ponieważ 2/k i v f k,to v g v f dv f d. Dla fali monochromatycznej: v g v f. Prędkość grupowa może być c! Składamy dwie fale o częstościach /2 i k k/2 i takiej samej amplitudzie A 1 A 0 exp i 2 A 2 A 0 exp i 2 Wsumie t t k k 2 k k 2,. 29

A A 1 A 2 2iA 0 sin 1 t kz expit kz, 2 Część rzeczywista A ReA 2A 0 sin 1 2 Prędkość obwiedni v g k t kz sint kz. d dk. Dla nieskończenie wielu fal A expik 0 z 0 t k 0 k k 0 k Ak expik k 0 z 0 tdk. Prędkość fazowa wypadkowej fali: v f 0 /k 0. 20 10-4 -2 0 2 t 4-10 -20 Wypadkowa fala złożona z harmonicznych fal o różnych, mało różniących się częstościach, ale takich samych 30

amplitudach Dla obwiedni zadanej funkcją Gaussa 10 8 6 4 2-4 -2 0-2 2 t 4-4 -6-8 -10 Natężenie impulsu gaussowskiego 8000 6000 4000 2000 0-4 -2 2 t 4 31

Dyspersja Definicje Związek dyspersyjny k n c, Prędkość fazowa v f 1 v g c n. dk d n c c dn d 1 c n d dn. Prędkość grupowa v g c c n dn dn n 0 d 0 d gdzie: dn n g 0 n 0 0. d grupowy współczynnik załamania. c n g. 32

Dyspersja normalna dn/d 0 (dn/d 0) prędkość grupowa jest mniejsza od fazowej. Dyspersja anomalna dn/d 0, (dn/d 0) prędkość grupowa może znacznie przewyższać fazową. Manipulacja wielkością dyspersji zatrzymanie światła. Współczynnik załamania 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 Grupowy współczynnik załamania Współczynnik dyspersji Współczynnik załamania SiO 2 0.5 1.0 1.5 2.0 Długość fali [ µ m] 120 80 40 0-40 -80-120 Współczynnik dyspersji [ps/km nm] Współczynnik załamania SiO 2, grupowy współczynnik załamania i współczynnik dyspersji D kwarcu Współczynnik dyspersji D 0 c Jednostka: [ps/km nm] d 2 n 0 d 2. 33

Dyspersja średnia n 486nm n 682 nm. 2 Refrakcja n 1, Dyspersja względna stosunek dyspersji średniej do refrakcji światła żółtego ( 589nm) n f n c n d 1. Odwrotność liczba Abbego. Równanie Cauchy ego n A B 2 C 4..., gdzie: A, B i C są stałe. Klasyczna teoria dyspersji Niech: 0 i 0 D 0 E P, Równanie falowe E 1 2 E 1 2 P c 2 t 2 0 c 2 t. 2 Częstość drgań własnych elektronu 34

0 k s m. k s stała sprężystości, m masa elektronu. Równanie ruchu m d2 x ee R,t k dt 2 s x, gdzie: R wektor położenia środka masy układu elektron jądro. Zmienne w czasie pole indukuje elektryczny moment dipolowy dipola złożonego z elektronu i jądra p ex, Jeżeli: N gęstość atomów, to P Nex. Niech E z, t ee 0 cost kz, to rozwiązanie x e a wtedy ee 0 /m 0 2 2 cost kz e E, p E, 35

gdzie: polaryzowalność ośrodka. Wektor przesunięcia D D 0 E P 0 NE 0 r E, gdzie: r 1 N/ 0. Musi być spełniony warunek k 2 2 1 N c 2 0 2 c 2 n2 k 2 0 n 2, Dla Z elektronów Równanie ruchu d 2 x dt 2 Z j1 2 dx dt e 2 /m j 2 2. 0 2 x e e m E 0 expit kz, gdzie: 2 jest stałą tłumienia. 36

Rozwiązaniem jest x aexpit kz, jeśli m a e E 0. 2 0 2 2i e i p ex ee 0 expit kz. Polaryzowalność Z j1 e 2 /m j 2 2 2i i i. Czyli też n 2 n in 2. Absorpcja n Współczynnik załamania n ω Rzeczywista i urojona część zespolonego współczynnika załamania Niech E z, t ee 0 expit kz 37

i ponieważ k c n c n in, to E z,t ee 0 exp c zn exp i t c zn. Inaczej I z I 0 expz, gdzie: współczynnik absorpcji 2Ne2 0 mc j j 2 i 2 2 2 4 j 2 2. Wzór Lamberta Beera. Rzeczywista część współczynnika załamania jest związana z prędkością fazową fali, Część urojona ztłumieniem (wzmocnieniem). 38

Tak więc n 2 1 Ne 2 4 0 mc 2 z i1 i 2 2 2 i 2. Przy i Ponieważ dn d 0. 1 x m 1 mx 1 2 mm 1x2 przy x 1, otrzymujemy 2 1 2 1 i 1 i 2 2 2 i 2 2 i 2 2 Ograniczając się do pierwszych dwóch wyrazów n 1 Ne 2 4 0 mc 2 z i1 lub inaczej (wzór Newtona) n 1 A 1 B 2. Często wystarczy przyjąć, że dn d 2B. 3 2 i 1 i 2, 2 2. 39

Wzór Sellmeiera n 2 1 B i 2 2, 2 i i gdzie: B i stałe, a i parametry Zwykle wystarczy wziąc trzywyrazy Np. 3 n 2 1 i1 B i 2 2 i 2, Szkło SiO 2 SiO 2 13.5% GeO 2 B 1 0.696750 0.711040 1 0.069066 0.064270 B 2 0.408218 0.451885 2 0.115662 0.129408 B 3 0.890815 9.42547 3 9.900559 9.425478 40

Nieliniowe równanie Schrödingera Równanie 2 Ez,t 1 2 Dz,t 0, z 2 c 2 t 2 Rozwiązaniem impuls Ez,t fz,t expi 0 t 0 z, fz,t obwiednia impulsu, 0 jest stałą propagacji 0 0 0 c n 0. W szczególności: 0 k Interesuje nas obszar częstościowy i czasowy. Transformaty Fouriera gdzie: Ez,t z, 1 2 expitd, 41

z, Ez,texpitdt iprzy Dz,t Ez,t równanie falowe 2 z, 2 z 2 z, 0, gdzie: 2 2 c. 2 Niech z, z, 0 expi 0 z, gdzie: z, 0 jest widmem fourierowską transformatą amplitudy impulsu fz,t taką, że fz,t z, 0 1 2 expi 0td 0. Niech fz, t wolnozmienne 42

z, 2i 0 0 z 2 2 0 z, 0 0. Dla małej dyspersji 0 0 1 2 0 2, gdzie: 1 c n dn d 1 c n dn d n g c v 1 g, v g prędkość grupowa, n g grupowy współczynnik załamania, 2 1 2 c 2 n 1 v g 2 dv g d d2 n d 2 2c 2 Zatem z, 0 z i 0 1 2 0 2 0. 2 d2 n d 2. z, 0 43

Przejdźmy do obszaru czasowego. Pomnóżmy powyższe przez 1 2 expi 0td 0 i scałkujmy po. Ponieważ z, 0 1 2 expi 0 td 0 fz,t, 0 z, 0 1 expi 0 td 0 i t fz,t, 2 0 2 z, 0 1 expi 0 td 0 i 2 fz,t, t 2 to z fz,t i t 2 2 fz,t 0, 2 t Jeśli uwzględnimy efekt nieliniowy, wtedy z, 0 z 2 i 0 1 2 0 2 44

z, 0 0. Stąd po transformacji z t i 2 2 fz,t ifz,t. 2 t inaczej z t fz,t fz,t i 2 2 t fz,t 2 ifz, t fz,t 2 0, Jeśli nieliniowość wynika z optycznego efektu Kerra, to 0 2c K 0, a K jest stałą Kerra. Jest to nieliniowe równania Schrödingera (NRS, ang. NLS). Podstawmy t v z g t z, z. Ponieważ 45

z z z, to t f, 0, lub inaczej f, i t t, i 1 2 2 f, 2 if, f, 2 1 2 2 f, 2 f, f, 2 0. Jest to najczęściej spotykana postać NRS. 46

Ośrodek bezdyspersyjny, liniowy Rozwiązanie f, 0. f f 0 f 0 t z v g. Liniowy ośrodek bez dyspersji czas Impuls po przejściu liniowego ośrodka bezdyspersyjnego Energia f,f, f, 2 0. Również propaguje się zprędkością grupową v g. Ośrodek dyspersyjny f, i 1 2 2 f, 2 0. Rozwiązania szukamy w postaci 47

f, 2 1, 0 expi 0 d 0. Po podstawieniu i, 0 1 2 0 2, 0, orozwiązaniu, 0 0 exp i 1 2 0 2, gdzie: 0 0, 0. Rozwiązanie f, 0 exp i 0 1 2 0 2 0 widmoczęstościowe przy 0. d 48

Przykład Niech 0 0 exp 0 2. 4 na odległości, 0 0 0 expi, gdzie: n/c Niech. Rozwinięcie Taylora 0 0 1 2 0 2, gdzie: i d d 0 d 2 d 2. 0 Po przejściu drogi z rozkład widmowy impulsu, 0 expi 0 i 0 exp 1 i 4 2 0 2. Zmiana kształtu impulsu 49

ft,z 2 1, 0 e it d, czyli ft,z gdzie: z exp i 0 t z v 0 exp z t z v g 0 v f 0 0, 2, v g 0 d, d 0 1 z 1 2i z. Pierwszy wyraz przesunięcie fazy częstości centralnej o z/v f. Drugi wyraz po przejściu drogi z impuls pozostaje gaussowski, o prędkości v g. Ale v g v f 1 dn n d. 50

d 2 d d 2 0 d 1 v g 0. to z 1 2 z i z 2 1 2 z, 2 gdzie: 2. Podstawiając otrzymamy exp 1 2 z 2 t z v g 0 exp i z 1 2 z 2 t z v g 0 2 2, Liniowy ośrodek dyspersyjny Część czerwona Część niebieska czas Gaussowski impuls przechodzący przez liniowy ośrodek o nieliniowej dyspersji Impuls w ośrodkach dyspersyjnych: 1. ulega opóźnieniu, 2. zwiększa się jego FWHM, 3. porządkuje się częstotliwość (świergotanie). 51

Ośrodek nieliniowy Samomodulacja fazowa Optyczny efekt Kerra ni n 0 KIt, Zaniedbujemy dyspersję. Faza impulsu z, t 0 t k 0 n 0 KItz, Część nieliniową NL t 2KL It. 0 Częstość d dt 0 Kz dit. dt Jeśli K jest dodatnie częstość tylnej części impulsu rośnie (ponieważ diz,t/dt 0), częstość części przedniej maleje (przesunięcie ku czerwonej części widma) ponieważ diz, t/dt 0. Impuls świergoczący (ang. chirped pulse). 52

Optyczny efekt Kerra może kompensować zmiany impulsu wywoływane dyspersją ośrodka. Po przejściu światłowodu o długości L L,t L NL t 2n 0L 0 2KItL 0. Zależność częstości od czasu trwania impulsu t 0 t 0 d dt NLt. Częstość zmienia się o t 2KL dit. 0 dt Dla impulsu gaussowskiego It I 0 exp t 2 0, to t 2KL t I 2 0 exp t 2 0 0. 53

a) I(t) b) 0 Czas ω Czas Obwiednia impulsu(a) oraz zmiana częstości w wyniku samomodulacji fazowej (b) Jeśli: t 0 (czoło impulsu), to przesunięcie jest ujemne, czyli obserwuje się przesunięciu ku czerwieni. t 0 (zbocze) przesunięcie częstotliwości jest w kierunku niebieskiej części widma Załóżmy It I 0 sec h 2 t 0, wtedy NL t 2KL I 0 sec h 2 t 0, a 54

t 2KL 0 I 0 sec h 2 t 0 tgh t 0. t Ośrodek z efektem Kerra (K>0) N Cz t z Wpływ samomodulacji fazowej na rozkład częstości w czasie przechodzącego przez ośrodek impulsu Sygnał wejściowy Sygnał wyjściowy Natężenie [j.w.] 2.3 nm 1322 1321 1320 1319 1318 1317 Długość fali [nm] Widma rozszerzonego impulsu w wyniku samomodulacji fazowej (za [11]) Dyspersja prędkości grupowej rozszerzenie impulsu w czasie przy zachowanym składzie spektralnym Samomodulacja fazowa 55

rozszerza widmo przy zachowanym kształcie impulsu w czasie impuls świergoczący. Impuls światła w obecności optycznego efektu Kerra Założenia: braku dyspersji, obecności nieliniowości. Otrzymamy impuls o rozszerzonym widmie, ale bez zmiany obwiedni. W poruszającym się układzie współrzędnych i f, f 2 f, 0. Mnożymy przez f,asprzężone przez f,a następnie dodajemy i otrzymamy f 2 0, orozwiązaniu f 2 F F t v z g. Szukamy rozwiązania f, f 0 expi,, 56

gdzie: f 0 i, są rzeczywistymi funkcjami. Łatwo sprawdzić, że, f 0 2, stąd, 0 f 0 2, gdzie: 0 T,0. Jeśli 0 0, to f, f 0 exp i f 0 2. Wniosek: nieliniowość prowadzi do fazowej modulacji samomodulacja fazowa Ez,t f t v z g exp i 0 t f 0 t v z g 2 z 0 z. Zmiana częstości z f 0 t z 2 t v g. Jak widać: nieliniowość pozostawia kształt obwiedni impulsu 57

przy modulacji częstościowej. Powtarzamy: dyspersjaprędkości grupowej prowadzi do poszerzenia impulsu w czasie przy zachowanym widmie, nieliniowość ośrodka wynikająca z optycznego efektu Kerra powoduje rozszerzenie spektralne impulsu bez zmiany kształtu impulsu w czasie. Ośrodek nieliniowy z dyspersją. Solitony W układzie poruszającym i f, 1 2 f, 2 f 2 f, 0. 2 Niech f, E 0 expi, rzeczywistą funkcją kształtu (obwiednia impulsu). To 58

d d E 0 1 d 2 E 2 0 E 3 d 2 0 3 0, albo d d 1 2 1 d 2 E 2 d 2 0 2 1 2 K. Jest to równanie z rozdzielonymi zmiennymi. Zatem 1 2 K. i d 2 2E 2 d 2 0 3 K 0. Pomnóżmy to równanie przez 2d/d 2 d d d d E 0 2 4 K 2 0, astąd d d 2 E 0 2 4 K 2 C. Dla zlokalizowanego impulsu stała całkowania C 0. Przyjmijmy, że 59

max E 0 1, i tym samym d 0. d Stąd w maksimum awięc Czyli gdzie: d d E 0 2 K 0, K E 0 2. 1 2, 1/2 K 1/2E 0. Całkujemy d d 1 2 przez podstawienie sec h. Zatem d, 60

sec h sec h. Otrzymujemy solitonowe rozwiązanie gdzie: f, t E 0 sec h t v g e ig, g 1 2 2 1 2 E 0 2. Dla 0 wejściowy soliton ma postać f, t E 0 sec ht. FWHM wyznaczamy przyjmując stąd s 2t 0 2 sec h 2 t 0 1 2, ln 1 2 1.7627. Solitony II (inna postać NRS) Podstawmy 0,, L D, N f,, P 0 gdzie: N 2 P 0 2 0 /, 0 czas trwania 61

impulsu wejściowego, P 0 mocw maksimum, L D 0 / długości dyspersji. NRS i 1 2 2 2 2 0. gdzie:, jeśli 0, a 0. Dla obszaru dyspersji ujemnej i 1 2 2 2 2 0. Załóżmy, żerozwiązaniem jest, exp i 2. Podstawiając 1 2 1 d 2 2 3 d 2 0 Pomnóżmy równanie przez 2d d d i scałkujmy w przedziale, 1. 0, 2. impuls powinien mieć maksimum w 0, d0/d 0, czyli 62

Zatem d d 0 1. d 2 d 2 d 2 d d 3 d d 2 d d, 1 2 2 1 d 2 2 1 d 2 2 4, wreszcie d 2 2 2 1 2. d 2 Całkujemy od 0 do (od maksimum po stronie opadającej impulsu, czyli wybieramy ujemny pierwiastek). Więc astąd 1 d 1 2 1/2 0 d, 63

1 1 2 1/2 ln czyli sec h Rozwiązanie, z, sec h exp i 2 z soliton podstawowy Właściwości: 1. porusza się zprędkością v g, bez zmiany kształtu. 2. powierzchnia pod obwiednią nie zależy od 0 S d sec h d 2tan 1 exp, 3. znormalizowana energia 64

d sec h 2 d tan 2. 4. w punkcie z 0 amplituda E0,t E 0 sec h t 0. Soliton Czas Nieliniowy ośrodek dyspersyjny Czas Kompensacja świergotania przez dyspersję ośrodka Można pokazać, że funkcja w postaci 1 Asec hexp i A2 2 też jest rozwiązaniem. Rozwiązaniem jest też funkcja 2 z, 1 u z exp i 1 u 2u z Solitony wyższych rzędów Nsech, gdzie: N rząd solitonu. Właściwości:. 65

Moc szczytowa potrzebna do wzbudzenia solitonu N tego rzędu jest proporcjonalna do N 2. są funkcjami okresowymi z okresem /2. soliton trzeciego rzędu zmniejsza okresowo swój czas trwania możliwość wykorzystania dokompresji. Solitony ciemne Ciemne solitony są rozwiązaniami równania i 1 2 2 2 2 0. Najprostsze rozwiązanie z, tgh expiz. Soliton szary. Okazuje się, że faza solitonów ciemnych nie jest jednakowa na całej długości impulsu. W jego środku ulega gwałtownej zmianie o. W przypadku szarych solitonów ta zmiana jest stopniowa i mniejsza. Ciemne solitony nie są periodyczne i nie dążą do zachowań asymptotycznych. Ciemne są stabilniejsze niż ich jasne. 66

Literatura 1. B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc. New York Singapore 1991. 2. W. Lauterborn, T. Kurz, W. Wiesenfeldt, Coherent Optics, Springer-Verlag, Berlin 1993. 3. M. L. Riaziat, Introduction to High Speed Electronics and Optoelectronics, John Wiley & Sons, New York 1996. 4. R. Mentzel, Photonics, Springer-Verlag, Berlin 2001. 5. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Introduction to fiber optics, Cambridge University Press, Cambridge 2000. 6. E. Rosencher, B. Vinter, Optoelectronics, Cambridge University Press, Cambridge 2002. 7. R. W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press, San Diego New York 1992. 8. M. Mansuripur, Classical Optics and its 67

Applications, Cambridge University Press, Cambridge 2002. 9. F. Ratajczyk, Optyka ośrodków anizotropowych, PWN,Wraszawa 1994. 10. K. Iizuka, Elements of Photonics, Wiley and Sons, New York 2002. 11. J. Advantovic, D. Uttamchandani, Principles of modern optical system, Artech House, Norwood (MA) 1989. 12. M. Remoissenet, Waves Called Solitons, Springer-Verlag, Berlin 2003. 13. P.W.Miloni,J.H.Eberly,Lasers, John Wiley & Sons, New York 1988. 14. Femtosecond Laser Pulses, ed. C. Rullière, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1998. 15. E. F. Schubert, Light-Emitting Diodes, Cambridge University Press, Cambridge 2003. 68

Solitony w światłowodach Możemy teraz oszacować szczytową moc solitonu w ośrodku ograniczonym (za [5]). Niech to będzie światłowód. Moc szczytowa wprowadzonego do rdzenia promieniowania wynosi P 0 1 2 0n 0 c E 0 2 A ef, gdzie: A ef jest efektywną powierzchnią rdzenia. 69

Zatem P 0 0.776 0 3 D A ef, 2 ck s gdzie: s jest szerokością połówkową solitonu, a D 0 d 2 n c 2 d 0 jest współczynnikiem dyspersji. Załóżmy, że gaussowski impuls rozchodzi się w światłowodzie kwarcowym o n 0 1.5. Wielkość dyspersji 2c 2 2 d2 n d. 2 Dla światłowodu kwarcowego 0 dla 1.27m i dla takiego światłowodu przybliżona wartość czynnika dyspersyjnego ma postać (długość fali w m) 2 d2 n f 5.3 10 2 1 1.27. d 2 0 Odpowiada to wyborze światłowodu o dyspersji zerowej dla 1.27 m. Jeśli 1.3m, to znajdziemy się w obszarze ujemnej dyspersji 2.81 10 29 s 2 /cm i f 1.223 10 3. Niech 70

K 1.2 10 22 m 2 /V 2. Można pokazać, że w takich warunkach, by wytworzyć soliton o czasie trwania 1 ps wystarczy światło o mocy 1 W skupione na powierzchni o promieniu 5 m, ponieważ wtedy wymagana maksymalna moc wynosi P max 0.76 p 2 W cm 2. Optyczne solitony znajdują już zastosowanie w szybkiej telekomunikacji światłowodowej. Zwykłe elektroniczne systemy posiadają graniczną częstotliwość 40 GHz, a graniczna częstotliwość optyczna w obszarze 1.3 m może sięgnąć 40 Hz. Rozważmy jeszcze jeden przykład transmisji światła wewłóknie w obecności samomodulacji fazowej. Znajdziemy moc, dla której nastąpi zrównoważenie dyspersji prędkości grupowej i samomodulacji fazowej, a impuls będzie się rozprzestrzeniał w postaci solitonu (za [10]). Dla 1.55m współczynnik dyspersji wynosi D 17 ps/kmnm, L 100 km. Stąd rozszerzenie 71

D L. Przy założeniu impulsu trójkąta, przy 100 ps narastaniu impulsu 100 1710 2, czyli 5.9 10 2 nm. Rozszerzenie z jednej strony wynosi /2, co w jednostkach częstości p c 3 1014 2 2 1.55 2.95 2 105 3.7 1 drugiej strony p KL di dt. Zatem I 0 p KL 3.7 1.55 109 106 10 10 18 3.18 10 20 10 5 Przekrój rdzenia wynosi A 6 106 2 2.8 10 4 11 m 2. Stąd szczytowa moc optyczna, która trzeba wprowadzić do światłowodu, by uzyskać transmisję solitonową P I 0 A 180 10 6 2. 8 10 11 1.0 mw, 72

lub energia w impulsie 0.5200 10 12 5.0 10 3 0.5 pj. Jednak straty tak długiego włókna powodują konieczność prowadzenia znacznie większych mocy. Solitony przestrzenne Podobnie jak wyżej, przyjmijmy, że przez ośrodek przechodzi impuls tak silny, że wywołuje efekt Kerra. Równanie Helmholtza możemy zapisać w postaci 2 n 2 Ik 0 2 E 0 z,x 0, # gdzie: ni n 0 KIt. Załóżmy, że kształt obwiedni fali E 0 z,x wolnozmieniasię ze współrzędną z inie zależy ody. Dla uproszczenia równania Helmholtza zastosujemy przybliżenie wolno zmiennej obwiedni. Przybliżenie wolno zmiennej obwiedni E 0 r jest uzasadnione, jeśli na długości z zmiany amplitudy są bardzo małe wstosunkudowielkości amplitudy: E 0 E 0. Dotyczy to zarówno części rzeczywistej, jak i urojonej amplitudy w ogólności zespolonej. Przyjmiemy rozwiązanie () w postaci 73

Er E 0 r expikz. Zatem z E 0 expikz expikz z E 0 ike 0 expikz, oraz 2 z E 2 0 expikz expikz 2 z E 2 0 2ikE 0 expik Ale E 0 E 0 z z, czyli E 0 E 0 2E 0 ke z z 2 0. To w przybliżeniu wolnozmiennej obwiedni 2 E 0 k E 0 k z 2 z 2 E 0, otrzymujemy następującą przybliżoną relację 2 z E 2 0 expikz 2ik E 0 k z 2 E 0 expikz, i wtedy z równanie Helmholtza ma postać 2 E 0 2ik E 0 k x 2 z 2 0 n 2 I n 2 0 E 0 0. Dalej, z faktu, że 74

n 2 I n 2 0 ni n 0 ni n 0 KI 2n 0. Związek między natężeniem optycznym, a natężeniem pola elektrycznego fali możemy zapisać w postaci I E 0 2 2, gdzie: 0 / 0 /n 0 0 /n 0. Zatem otrzymujemy następujące równanie opisujące ewolucję amplitudy fali w przestrzeni 2 E 0 2ik E 0 k x 2 z 2 K 0 E 0 2 E 0 0. # Równanie () jest nieliniowym równaniem Schrödingera, a jednym z rozwiązań jest fala o amplitudzie E 0 x, z A 0 sec h x w0 exp i z, 4z 0 gdzie: w 0 jest stałą, A 0 spełnia następujące równanie K A 0 2 1 2 0 k 2 w, 2 0 a 75

z 0 1 2 kw 0 w 0 2 jest nazywane odległością Rayleigha. Rozkład natężenia promieniowania wyraża się zatem wzorem Ix, z E 0x,z 2 A 2 0 sec h 2 0 2 2 x 0 w 0. # Wynika z niego, że rozkład poprzeczny promieniowania () nie zależy od drogi przebywanej przez światło. Współczynnik załamania ma teraz postać n 0 ki n 0 1 1 k 2 w sec 2 h2 w x 0. 0 Fala będzie się poruszała zprędkością fazową v f c 1 2 /8 2 w. 2 0 Wynika stąd, że prędkość będzie najmniejsza gdy w 0 będzie najmniejsze, będzie zbliżało się do prędkości światła dla dużych wartości w 0. Uzupełnienia Superkontinuum 76

Generacja superkontinuum, tj. widma koherentnego promieniowania o niezwykle szerokim widmie od UV do IR zachodząca w nieliniowym ośrodku dielektrycznym przy przejściu promieniowania laserowego o dużym natężeniu przez dielektryk po raz pierwszy została zaobserwowana w 1970 r. Opanowanie techniki generacji impulsów femtosekundowych za pomocą laserów Ti:Al 2 O 3 znacznie ułatwiło generację światła białego. Za powstanie światła białego odpowiedzialne są optyczne procesy nieliniowe, które prowadzą do konwersji częstotliwości, aczkolwiek tej pory nie ma pełnej teorii zjawiska. Od czasu odkrycia znaleziono różne materiały, w których zachodzi ten efekt i wskazano na różne zastosowania, np. w metrologii, telekomunikacji i spektroskopii. Zwłaszcza w telekomunikacji w technice WDM wymaga się szerokiego pasma źródła światła. Wykorzystanie szerokiego pasma superkontinuum w systemach DWDM, umożliwi zbudowanie układów o wielkiej pojemności iszybkości transmisji, jeśli tylko zapewni się odpowiednio mało stratny 77

materiał na światłowody oraz transmisję solitonową, najlepiej przy detekcji heterodynowej. Inne zastosowanie już z naszego podwórka częstotliwościowe OCT. Tutaj wystarcza widmo o szerokości rzędu 200300 nm. Typowa aparatura do generacji superkontinuum jest przedstawiona na rys. 12. Płytka szafirowa Filtr spektralny Filtr przestrzenny Rys. 12. Układ do generacji światła białego za pomocą impulsów femtosekundowych (za [4]) Na cienką płytkę szafirową pada impuls femtosekundowy. Po starannej filtracji widmowej za pomocą filtru interferencyjnego lub dielektrycznego zwierciadła i przestrzennej za pomocą układu soczewka przesłona uzyskuje się widmo o czasie trwania nie dłuższym (a nawet krótszym) niż czas impulsu wejściowego oraz o szerokości spektralnej 400 1800 nm. 78

Naczynie z mieszaniną Filtr spektralny Filtr przestrzenny 10 cm Rys. 13. Układ do generacji światła białego za pomocą impulsów pikosekundowych (za [4]) Zastosowanie impulsów pikosekundowych do generacji światła białego wymaga dłuższej drogi oddziaływań. W prezentowanej na rys. 13 wersji zastosowano naczynie z cieczą idzięki temu konwekcja usuwa z obszaru oddziaływania uszkodzone cząsteczki. Pokazano, że w tego typu ośrodkach wytworzenie białego światła jest skutkiem rozpraszania Ramana, samoogniskowania i innych procesów Coraz częściej do generacji superkontinuum wykorzystuje się światłowody z kryształów fotonicznych. Kryształy fotoniczne używane do generacji superkontinuum mają rdzeń z czystego kwarcu otoczony otworami wzdłuż osi. Duża różnica współczynników załamania między rdzeniem, a otoczeniem wypełnionych powietrzem otworów umożliwia skoncentrowanie promieniowania 79

lasera w małym przekroju, co z kolei zwiększa udział efektów nieliniowych. Również szerokie pasmo promieniowania ma udział wdużej dyspersji prędkości grupowej i tym samym w światłowodzie na krysztale fotonicznym występuje niezwykle duża dyspersja chromatyczna. Te czynniki powodują, że do uzyskania superkontinuum wystarcza wiązka femtosekundowego lasera Ti:Al 2 O 3 bez wzmacniania, czy innych zabiegów kształtujących impulsy. Spolaryzowane promieniowanie w zakresie od 500 nm do 1200 nm uzyskano w światłowodzie o rdzeniu eliptycznym w płaszczu z powietrza. Ostatnio do generacji superkontinuum użyto włókna z fotonicznych kryształów silnie dwójłomnych wzbudzanych femtosekundowymi impulsami z lasera Ti:Al 2 O 3. Otrzymuje się spolaryzowane promieniowanie w szerokim zakresie (400 nm 1750 nm). Badania sugerują, że w tym przypadku podstawową rolę w generacji superkontinuum odgrywa rozpraszanie Ramana, w wyniku którego powstają w rdzeniu solitony wyższych rzędów pokrywając duży zakres spektralny. 80

Liczba generowanych solitonów liniowo zależy od czasu trwania impulsu laserowego: N P p 2 T FWHM 1.665, gdzie: jest nieliniowym współczynnikiem włókna, P p jest mocą wejściową, at FWHM całkowitą szerokością połówkową impulsu wejściowego, 2 współczynnikiem dyspersji. Pokazano też, przy odpowiedniej konstrukcji kryształu fotonicznego możliwe jest wyprodukowanie światła białego przy użyciu impulsów pikosekundowych. W tym przypadku uważa się, że odpowiedzialne za powstanie szerokiego pasma promieniowania jest, w zależności od konstrukcji włókna, wymuszony efekt Ramana, Brillouina i parametryczne mieszanie czterech fal przy niewielkim udziale samomodulacji. Z drugiej strony, pokazano, że ten ostatni efekt jest odpowiedzialny za generację superkontinuum w powietrzu w obszarze od 300 nm do 4.5 m. Z kolei, powstała w 81

1998 r. teoria generacji superkontinuum zakłada, w powiązaniu z liniowymi efektami, dominację takich nieliniowych efektów jak: samoogniskowanie Kerra, wielofotonową jonizację i generację plazmy. Teorię z powodzeniem zastosowano do symulacji generacji superkontinuum w wodzie i powietrzu. Literatura 1. B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc. New York Singapore 1991. 2. W. Lauterborn, T. Kurz, W. Wiesenfeldt, Coherent Optics, Springer-Verlag, Berlin 1993. 3. M. L. Riaziat, Introduction to High Speed Electronics and Optoelectronics, John Wiley & Sons, New York 1996. 4. R. Mentzel, Photonics, Springer-Verlag, Berlin 2001. 5. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Introduction to fiber optics, Cambridge University Press, Cambridge 2000. 6. E. Rosencher, B. Vinter, 82

Optoelectronics, Cambridge University Press, Cambridge 2002. 7. R. W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press, San Diego New York 1992. 8. M. Mansuripur, Classical Optics and its Applications, Cambridge University Press, Cambridge 2002. 9. F. Ratajczyk, Optyka ośrodków anizotropowych, PWN,Wraszawa 1994. 10. K. Iizuka, Elements of Photonics, Wiley and Sons, New York 2002. 11. J. Advantovic, D. Uttamchandani, Principles of modern optical system, Artech House, Norwood (MA) 1989. 12. M. Remoissenet, Waves Called Solitons, Springer-Verlag, Berlin 2003. 13. P.W.Miloni,J.H.Eberly,Lasers, John Wiley & Sons, New York 1988. 14. Femtosecond Laser Pulses, ed. C. Rullière, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1998. 15. E. F. Schubert, Light-Emitting Diodes, Cambridge University Press, Cambridge 2003. 83