NOWA MATURA 005 Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązaia zadań 9 maja 005 ZADANIE ( pkt) Wyzacz dziedzię fukcji f ( x) log ( x x x ) postaci sumy przedziałów liczbowych = + i zapisz ją w x ROZWIĄZANIE Wyzaczamy dziedzię fukcji f: Liczba logarytmowaa większa od zera, podstawa logarytmu większa od zera i róża od jede x + x x > 0 x > 0 x Z pierwszej ierówości, mamy: ( ) ( ) x x x Zatem: + + > 0, ( x )( x ) 0 0 0 0 ++ +++ + + + + + + + + >, ( x )( x )( x ) x + + > 0 x (, ) (, + ) Rozwiązujemy drugą ierówość: ( x )( x ) + > 0 i x x Zatem (, ) (, ) x + i x x Zatem wyzaczamy część wspólą wszystkich rozwiązań: x Ostateczie: Odp x (, ) (, ) (,) (, + ) CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa
ZADANIE ( pkt) Daa jest fukcja: f ( x) = cosx si x, x R a) Naszkicuj wykres fukcji f b) Rozwiąż rówaie: f ( x ) = ROZWIĄZANIE Mamy: f ( x) = cosx six = cosx six cos60 ( 0 cosx si60 0 si x) = = π π π = cos cosx si six= cosx+ Zatem y π 6 π π 5 6 π π π π π 7 6 π 6 π 5 π π π π 6 π π x b) Rozwiązujemy rówaie: π π π π cosx+ =, cosx+ =, cosx+ = cos, stąd π π π π x+ = + kπ x+ = + kπ Odp x= kπ x = + kπ, gdzie k = 0, ±, ±, CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa
ZADANIE ( pkt) Rzucamy razy dwiema symetryczymi sześcieymi kostkami do gry Oblicz, dla jakich prawdopodobieństwo otrzymaia co ajmiej raz tej samej liczby oczek a obu kostkach jest miejsze od 67 96 ROZWIĄZANIE W pojedyczym rzucie wylosowaie różej liczby oczek jest rówe: 6 5 q = = 6 6 W rzutach wylosowaie różej liczby oczek, wyosi: q 5 = 6 Poieważ, mamy co ajmiej raz tą samą liczbę oczek, więc poprzez prawdopodobieństwo przeciwe, mamy: 67 p <, 96 5 67 <, 6 96 5 65 >, 6 96 5 5 > 6 6 Stąd a podstawie mootoiczości fukcji wykładiczej, mamy < Zatem: Odp {,,} ZADANIE (5 pkt) Oblicz: ROZWIĄZANIE ( ) ( ) + + 7+ + lim 5 + 7 + 9 + + + Liczik wyrażeia jest sumą ciągu arytmetyczego, w którym a =, a = Miaowik wyrażeia jest sumą ciągu arytmetyczego, w którym a = 5, a = + Zatem: + + + 7+ + ( ) lim = lim = lim 5+ 7+ 9+ + ( + ) 5+ + + 8 W ostatiej graicy występuje symbol ieozaczoy, zatem każdy wyraz wyrażeia dzielimy przez : 0 lim = lim = + 8 8 + 0 CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa
ZADANIE 5 W dowolym trójkącie ABC pukty M i N są odpowiedio środkami boków AC i BC (Rys) C M N A B Zapozaj się uważie z astępującym rozumowaiem Korzystając z własości wektorów i działań a wektorach, zapisujemy rówości: MN = MA+ AB+ BN () oraz MN = MC+ CN () Po dodaiu rówości () i () stroami otrzymujemy: MN = MA+ MC+ AB+ BN + CN Poieważ MC = MA oraz CN = BN, więc: MN = MA MA+ AB+ BN BN, MN = 0+ AB + 0, MN = AB Wykorzystując własości iloczyu wektora przez liczbę, ostatią rówość moża ziterpretować astępująco: odciek łączący środki dwóch boków dowolego trójkąta jest rówoległy do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest rówa połowie długości tego boku Przeprowadzając aalogicze rozumowaie, ustal związek pomiędzy wektorem MN oraz wektorami AB i DC, wiedząc, ze czworokąt ABCD jest dowolym trapezem, zaś pukty M i N są odpowiedio środkami ramio AD i BC tego trapezu (Rys ) CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa
D C M N A B ROZWIĄZANIE Korzystając z własości wektorów i działań a wektorach, zapisujemy rówości: MN = MA+ AB+ BN () oraz MN = MD+ DC+ CN () Po dodaiu rówości () i () stroami otrzymujemy: MN = MA+ MD + AB+ DC+ BN + CN 0 0 MN = AB+ DC, AB+ DC MN =, Poieważ AB DC mają te sam zwrot stąd AB + DC MN = Odciek łączący środki dowolych ierówoległych boków trapezu jest rówoległy do jego podstaw i długość tego odcika jest rówa średiej arytmetyczej boków CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa 5
ZADANIE 6 (5 pkt) Sześcia o krawędzi długości a przecięto płaszczyzą przechodzącą przez π przekątą podstawy i achyloą do płaszczyzy podstawy pod kątem Sporządź odpowiedi rysuek Oblicz pole otrzymaego przekroju ROZWIĄZANIE D B A R a D R π C Q A B Z trójkąta RRQ, mamy: a RQ Zatem π a = tg, RQ =, a RQ = a a a a DR = DQ RQ = =, Poadto z tego samego trójkąta, mamy: a RQ π = si, a RQ =, a RQ = Zauważmy, że AR = DR, stąd AB = DR Poieważ DR = DR, oraz a a DR= DQ RQ = Zatem: AB a a a = = a CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa 6
a a + a a S =, a a ( 6 ) S = = Odp S a ( 6 ) = ZADANIE 7 (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 5 + 7 5 7 jest liczbą całkowitą ROZWIĄZANIE Zauważmy, że: ( + ) = + 6+ +, stąd ( ) oraz ( ) = 6+, stąd ( ) Zatem: ( ) ( ) ( ) ( ) + = 5 + 7, = 5 7 5 + 7 5 7 = + 6+ + 6+ = = + = + = Odp 5 + 7 5 7 = CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa 7
ZADANIE 8 (8 pkt) Pary liczb ( x, y ) spełiające układ rówań: + + + = x y y 0 x + y + = 0 są współrzędymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD a) Wyzacz współrzęde puktów: A, B, C, D b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem róworamieym c) Wyzacz rówaie okręgu opisaego a czworokącie ABCD ROZWIĄZANIEZ drugiego rówaia, mamy: x = y+ Wstawiając do pierwszego, otrzymujemy: ( ) y+ + y + y+ = 0, y 6+ y + y+ = 0, y y 5= 0 Stąd y =, y = 5 Zatem: y = y = 5 x = x = 9 Otrzymujemy, więc pukty: (, ), (,5 ), (, ), (,5) Ozaczmy współrzęde wierzchołków czworokąta: (, ), (, ), (,5 ), (,5) A B C D CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa 8
D ( x, sy) S s y C ( x, py) P p x Zauważmy, że AB = [,0 ], CD = [ 6,0] Poieważ AB CD, więc czworokąt jest trapezem Pukty A i B oraz C i D są symetrycze względem osi Oy, a więc trapez jest róworamiey Szukamy symetralej boku BC B (, ), C(,5) A B Zatem środek odcika BC: + + 5 P,, stąd (,) Współczyik kierukowy prostej BC wyosi: m y y 5+ 8 BC = = = = x x Zatem współczyik kierukowy symetralej, wyosi: m s = (jako prosta prostopadła do BC) Zatem symetrala ma rówaie: = ( ), a więc y ( x ) y y m x x 0 0 P = - symetrala boku BC Poieważ środek okręgu opisaego a trapezie jest w pukcie przecięcia się symetralych Zatem 0 Mamy więc: y =, x =, a więc ( ) S = 0,, C,5 A więc ( ) y = + = 9 6+ 9 85 R= SC = + 5 = 9+ = = Zatem rówaie okręgu: 85 + y = ( x 0) CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa 9
9 85 x + y y+ = 0 Odp x y y + 9= 0 ZADANIE 9 (0pkt) Dae jest rówaie ( ) x + m 5 x+ m + m+ = 0 Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosuek sumy pierwiastków rzeczywistych rówaia do ich iloczyu przyjmuje wartość ajmiejszą Wyzacz tę wartość ROZWIĄZANIE Niech: y x + x xx = Stosując wzory Vite a, mamy: y b x + x a b m 5 5 m = = = = = xx c c a m + m+ m+ Zauważmy, że pierwiastki fukcji kwadratowej istieją, gdy 0 Zatem: = ( m 5) m + m+ = m m+ = ( m+ 6) m 0 Stąd 6 m Wyzaczamy miimum fukcji: 5 m = m+ ( ) y m gdzie dziedzia: Wyzaczamy pochodą fukcji y: D = 6,, CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa 0
( 5 ) m+ m m+ m 0+ m m y = = = m+ m+ m+ Wyzaczamy zak pochodej: y > 0 m m+ > 0 i m D 6 ++++++ y ( m) m Zauważmy, że pomimo tego, że w pukcie m= pochoda zmieia zak, to ie ma w tym pukcie ekstremum, gdyż ie ależy do dziedziy ( m= jest asymptotą pioową tej fukcji), atomiast w pukcie (ie ależy do dziedziy D) Poieważ m= pochoda się zeruje, ale wartość ta ie spełia waruków zadaia m= D, więc wyzaczamy jeszcze wartości fukcji a końcach dziedziy: y ( 6) = =, 5 6 y = = = = + 6 Wyzaczamy wartość ajmiejszą (miimum globale) tej fukcji: mi y( m) = mi, = = y( 6) m D ymi = Odp ( 6) Cetrum Kształceia Akademickiego CKA, Gliwice 005 Pełe rozwiązaia zadań opracował zespół Cetrum Kształceia Akademickiego CKA Nie są to oficjale rozwiązaia prezetowae przez Cetralą Komisję Egzamiacyją Nieautoryzowae rozpowszechiaie całości lub fragmetów rozwiązań zadań w jakiejkolwiek postaci jest zabroioe bez zgody CKA Wykoywaie kopii metodą kserograficzą, fotograficzą a także kopiowaie a ośiku filmowym, magetyczym lub iym powoduje aruszeie praw autorskich iiejszej publikacji CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa
Wydawictwo CKA poleca do maturzystów Matematyka owa matura - zagadieia teoretycze wraz z przykładami cz jest książką przezaczoą dla ucziów przygotowujących się do egzamiu maturalego z matematyki a poziomie podstawowym i rozszerzoym Zawiera opracowaie zagadień teoretyczych zgodych z wymagaiami programu auczaia Zawarty materiał przedstawioy jest sposób zwięzły, zobrazoway liczymi przykładami Książka obejmuje wszystkie zagadieia obowiązujące a egzamiie maturalym z matematyki tj podstawowe działaia (procety, średie, wykresy i diagramy), fukcja liiowa i kwadratowa, wielomiay, rówaia i ierówości algebraicze, fukcja wykładicza, fukcja logarytmicza, fukcje trygoometrycze, fukcje cyklometrycze, idukcja matematycza, dwumia Newtoa, ciągi liczbowe, fukcja i rachuek różiczkowy, plaimetria, stereometria, geometria aalitycza, kombiatoryka, rachuek prawdopodobieństwa i zmiea losowa oraz elemety statystyki Doskoałym uzupełieiem tej pozycji jest książka aszego wydawictwa Matematyka owa matura 00 zadań z pełymi rozwiązaiami i kometarzami Matematyka owa matura - 00 zadań z pełymi rozwiązaiami i kometarzami czii Książka zawiera 00 zadań z pełymi rozwiązaiami i kometarzami Jest to jedya taka publikacja a ryku, zawierająca tak ogromą bazę zadań przezaczoą do przygotowaia się do owej matury z matematyki Zadaia zostały ułożoe działami matematyki i obejmują poziom podstawowy i rozszerzoy Doskoałym uzupełieiem drugiej części książki jest Matematyka owa matura - zagadieia teoretycze wraz z przykładami cz gdzie zawarta jest teoria iezbęda do rozwiązywaia zadań Obydwie książki staowią itegralą całość ale zakupić je moża osobo Autorzy obu pozycji z matematyki są przekoai, że dzięki tym obu książkom maturzysta abędzie umiejętości rozumieia i rozwiązywaia zadań z tej, całkiem przyjemej, dziedziy, jaką jest matematyka A co ajważiejsze skuteczie przygotuje się do egzamiu maturalego Przykładowe zadaia z książki Matematyka owa matura - zagadieia teoretycze wraz z przykładami cz oraz Matematyka owa matura 00 zadań z pełymi rozwiązaiami i kometarzami cz II CKA 005 są dostępe a aszej stroie iteretowej do bezpłatego pobraia wwwckapl lub wwwzadaiapl CKA 005 Plik pobray ze stroy wwwmaturyoetpl - Matematyka rozwiązaiai treści zadań Arkusz II stroa