ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15
Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 26 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 29 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon 34 10 Kongruencje wy»szych stopni 38 11 Liczby pseudopierwsze 44 12 Pierwiastki pierwotne 49 13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 53 14 Logarytm dyskretny 58 15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2
Wykªad 6 Twierdzenie Eulera Jak ju» zauwa»yli±my (tw. 3.5), liczba a jest odwracalna modulo n wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Funkcja ϕ, która przyporz dkowuje ka»dej liczbie naturalnej n, ilo± dodatnich i niewi kszych od n liczb odwracalnych modulo n nazywamy funkcj Eulera. Zatem ϕ(n) = # {0 < x n : NWD(x, n) = 1}. 6.1 Przykªad. ϕ(8) = 4, poniewa» tylko liczby nieparzyste s wzgl dnie pierwsze z 8 oraz 8 nie ma dzielników nieparzystych. Je±li p jest liczb pierwsz, to ϕ(p) = p 1, gdy» ka»da liczba dodatnia mniejsza od p jest wzgl dnie pierwsza z p. Je»eli p r jest pot g liczby pierwszej, to jedynymi liczbami, które nie s wzgl dnie pierwsze z p r, s wielokrotno±ci p, czyli liczby p, 2p, 3p,..., (p r 1 1)p. Tych liczb jest w sumie p r 1 1, zatem ( ϕ(p r ) = p r 1 (p r 1 1) = p r p r 1 = p r 1 1 ). (6.1) p Poka»emy,»e przy pewnym zaªo»eniu, ϕ jest funkcj multyplikatywn. Pozwoli nam to wyprowadzi do± por czny wzór na warto±ci ϕ uogólniaj cy (6.1). 6.2 Twierdzenie. Je±li NWD(m, n) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Dowód. Zauwa»my najpierw,»e je±li jedna z liczb m, n jest równa 1, to teza jest prawdziwa. Mo»emy zatem zaªo»y,»e m > 1 i n > 1. Wypiszmy 23
wszystkie liczby niewi ksze od mn w nast puj cy sposób: 1, 2,..., r,..., n, n + 1, n + 2,..., n + r,..., 2n, 2n + 1, 2n + 2,..., 2n + r,..., 3n,.............,.............,...,............,...,..., (m 1)n + 1, (m 1)n + 2,..., (m 1)n + r,..., mn. (6.2) Zauwa»my,»e liczby ka»dej z kolumn tablicy (6.2) ró»ni si modulo m od liczb 1, 2,..., m 1 tylko porz dkiem. Istotnie, je±li istniej liczby q 1, q 2, oraz r, takie»e q 1 n + r q 2 n + r (mod m), to poniewa» m i n s wzgl dnie pierwsze, wi c z ostatniej kongruencji wynika q 1 q 2 (mod m) (tw. 3.1). Ale poniewa» q 1 i q 2 s nieujemnymi liczbami mniejszymi od m, wi c q 1 = q 2. Znacznie ªatwiej jest zauwa»y,»e w ka»dym wierszu tablicy (6.2) mamy liczby przystaj ce modulo n, odpowiednio, do 1, 2,..., n 1, 0. Tak wi c w ka»dym wierszu jest ϕ(n) liczb wzgl dnie pierwszych z n, a w ka»dej kolumnie jest ϕ(m) liczb wzgl dnie pierwszych z m. Co wi cej, zauwa»my,»e je»eli w pewnej kolumnie (6.2) mamy liczb, która nie jest wzgl dnie pierwsza z n, to wszystkie liczby tej kolumny nie s wzgl dnie pierwsze z n. Z drugiej strony, je±li jaka± liczba jest wzgl dnie pierwsza z mn, to jest ona wzgl dnie pierwsza z m i wzgl dnie pierwsza z n. Wykre±lmy zatem z (6.2) wszystkie liczby, które nie s wzgl dnie pierwsze z mn. Wówczas w ka»dym wierszu pozostanie nam ϕ(n) liczb, przy czym wykre±limy caªe kolumny. Pozostanie wi c ϕ(n) kolumn z ϕ(m) liczb w ka»dej z nich. Zatem ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m). Rozwa»my liczb n = k pα i i. Poniewa» wszystkie czynniki w tym iloczynie s parami wzgl dnie pierwsze, wi c po zastosowaniu twierdzenia 6.2, dostajemy ϕ(n) = = = n k k ϕ (p α i i ) p α i i (1 1pi ) k ) (1 1pi Udowodnili±my wi c nast puj cy wniosek. 24
6.3 Wniosek. Je±li n = k pα i i U»ywaj c wniosku 6.3, dostajemy, to ϕ(n) = n ) k (1 1pi. ϕ(29 5 2 ) = (29 1)(25 5) = 560. Poniewa» ró»nica p k p k 1 jest liczb parzyst, z wyj tkiem przypadku gdy p = 2 oraz k = 1, wi c jedyn nieparzyst warto±ci funkcji ϕ jest 1, która jest przyjmowana dla argumentów 1 oraz 2. Dla liczb wi kszych od 3, funkcja Eulera przyjmuje tylko warto±ci parzyste. Co wi cej, je±li w rozkªadzie liczby n wyst puje dokªadnie k pot g liczb pierwszych, to 2 k 1 ϕ(n). 6.4 Przykªad. Znajdziemy wszystkie liczby n, dla których ϕ(n) = 6. W tym celu rozwa»ymy kilka przypadków. n = p α. Zatem 6 = p α 1 (p 1). Rozwa»aj c kolejne liczby pierwsze, zauwa»amy,»e n = 3 2 = 9, lub n = 7. n = p α q β. Wówczas 6 = (p α p α 1 )(q β q β 1 ). Zauwa»my,»e ró»nica dwóch kolejnych pot g»adnej liczby pierwszej nie jest równa 3, wi c jedna z liczb p α p α 1, q β q β 1 musi by równa 1, czyli p = 2, a druga 6. Rozwa»aj c kolejne liczby pierwsze jako kandydatki na q, otrzymujemy n = 2 3 2 = 18 lub n = 2 7 = 14. Z uwagi umieszczonej tu» przed przykªadem, wynika,»e n nie mo»e by iloczynem wi cej ni» dwóch pot g liczb pierwszych. U»ywaj c funkcji Eulera ϕ, sformuªujemy i udowodnimy uogólnienie Ma- ªego Twierdzenia Fermata. Zauwa»my przy tym,»e je±li NWD(a, n) 1, to a k 1 (mod n) dla»adnego k > 1. Istotnie, gdyby tak byªo, to n byªaby dzielnikiem a k 1, czyli istniaªaby liczba caªkowita x, taka»e xn+a a k 1 = 1. Z lematu 3.4 wynika zatem,»e NWD(a, n) = 1, sk d sprzeczno±. Tak wi c, aby otrzyma kongruencj, w której pot ga a przystaje do 1, nale»y rozwa»a tylko te liczby a, które s wzgl dnie pierwsze z n. Je±li n jest liczb pierwsz, to sprowadza si to do liczb, które nie s podzielne przez n, st d zaªo»enia drugiej cz ±ci MTF. Zauwa»my,»e owa druga cz ± MTF jest zawarta w nast puj cym twierdzeniu. 6.5 Twierdzenie (Eulera). Przypu± my,»e NWD(a, n) = 1 dla liczby caªkowitej a oraz n > 2. Wówczas a ϕ(n) 1 (mod n) (6.3) 25
Dowód. Wypiszmy wszystkie elementy odwracalne modulo n, które s dodatnie i mniejsze od n. S to r 1, r 2..., r ϕ(n). Skoro a jest odwracalna modulo n, wi c tak»e elementy ar 1, ar 2..., ar ϕ(n) s odwracalne modulo n, oraz»adne dwa z nich nie s równe. Zatem r 1 r 2... r ϕ(n) ar 1 ar 2... ar ϕ(n) (mod n). Korzystaj c z prawa przemienno±ci mno»enia dostajemy a ϕ(n) (r 1 r 2... r ϕ(n) ) (r 1 r 2... r ϕ(n) ) (mod n). Ostatnia kongruencja implikuje (6.3). Dla przykªadu, znajdziemy ostatni cyfr liczby 3 1234 w ukªadzie szestnastkowym. Mamy tu ϕ(16) = 8, a 1234 2 (mod 8). Zatem 3 1234 9 (mod 16) i ostatni cyfr jest 9. Okazuje si,»e najni»sza pot ga liczby a w Twierdzeniu Eulera jest cz sto mniejsza ni» ϕ(n). Na przykªad ϕ(105) = 48, ale dla a wzgl dnie pierwszych ze 105 mamy a 12 1 (mod 105). Istotnie, 105 = 3 5 7 oraz a 6 1 a 12 1 a 4 a 12 1 a 2 1 a 12 1, wi c z Maªego Twierdzenia Fermata, 105 a 12 1. pokazuje jak ulepszy pot g a. Poni»sze twierdzenie 6.6 Twierdzenie. Przypu± my,»e m = p α 1 1 p α 2 2... p α k k, gdzie wszystkie liczby pierwsze p i s ró»ne i p α i i jest najwi ksz poteg liczby p i, która dzieli m. Niech n = NWW(ϕ (p α 1 1 ), ϕ (p α 2 2 ),..., ϕ (p α k k )). Wtedy mamy an 1 (mod m) dla ka»dego a wzgl dnie pierwszego z m. Dowód. Z twierdzenia Eulera wynika a ϕ(pα i i ) 1 (mod p α i i ) dla ka»dego i {1, 2,..., k}. Mno» c t kongruencj stronami przez siebie n/ϕ(p α i i ) razy otrzymujemy a n 1 (mod p α i i ) dla ka»dego i. St d bezpo±rednio wynika,»e dla dowolnego i mamy p α i i a n 1. Zatem i m a n 1, a to nam daje tez. Wracaj c do uwagi przed twierdzeniem 6.6, zauwa»my,»e 105 = 3 5 7 oraz 12 = NWW(ϕ(3), ϕ(5), ϕ(7)) = NWW(2, 4, 6). 26