. Całkowita liczba modów podłużnych. Dobroć rezonatora. Związek między szerokością linii emisji wymuszonej a dobrocią rezonatora Gdy na ośrodek czynny, który nie znajduje się w rezonatorze optycznym, pada promieniowanie monochromatyczne, wówczas wyemitowane światło jest zawsze niemonochromatyczne i rozchodzi się we wszystkich kierunkach (rys..1a). Linia emisyjna (rys..1b) jest szeroka i odpowiada emisji spontanicznej (fluorescencji). Gdy jednak ten sam ośrodek czynny umieścimy w rezonatorze optycznym (rys..1c) i wzbudzimy go za pomocą promieniowania monochromatycznego bądź niemonochromatycznego (np. z lampy błyskowej), wtedy wygenerowane światło ma własności charakterystyczne dla emisji wymuszonej - jest silnie monochromatyczne, zaś linia emisji wymuszonej jest wyraźnie węższa (rys..1d) niż widmo odpowiadające wzbudzeniu niemonochromatycznemu.
a) emisja spontaniczna b) wzbudzenie I wzbudzenie monochromatyczne emisja spontaniczna c) d) I emisja wymuszona emisja wymuszona wzbudzenie Z 1 Z Rys..1. Schemat ilustrujący różnice między własnościami emisji spontanicznej (fluorescencji) i emisji wymuszonej w rezonatorze optycznym Wynika to, jak już wiemy, z faktu, że wzmocnieniu w rezonatorze ulegają tylko te długości fal, które spełniają warunek fali stojącej: n = L, (.1) gdzie n jest liczbą całkowitą. Warunek (.1) oznacza, że w rezonatorze optycznym o długości L może powstać fala stojąca o długości, gdy mieści się w nim całkowita wielokrotność połówek długości fali. Zazwyczaj światło lasera nie jest całkowicie monochromatyczne, warunek (.1) bowiem jest spełniony dla różnych długości fali. Fala stojąca powstająca wzdłuż osi rezonatora, charakteryzowana przez długości i liczbę całkowitą n nosi nazwę modu podłużnego n. Dwa kolejne mody podłużne spełniają równania: n n = L, ( n 1) n 1 = L, (.) + + a więc ich częstości ν (ν = c/) różnią się o wielkość ν: ( n + 1)c nc c ν = ν n+ 1 ν n = =, (.3) L L L która jest równa odwrotności czasu dwukrotnego przebiegu światła przez rezonator optyczny. Całkowita liczba modów podłużnych zależy od szerokości linii emisji spontanicznej oraz od zakresu widmowego. Rzeczywiście, załóżmy, że akcja laserowa 3
zachodzi na przejściu kwantowym a b, któremu odpowiada linia emisji spontanicznej o szerokości połówkowej δ (rys..). Niech wartość progowa, przy której rozpoczyna się akcja laserowa, odpowiada połowie natężenia linii fluorescencyjnej w maksimum. Rys... Schemat ilustrujący liczbę modów podłużnych Oznacza to, że mody podłużne określone przez największą n max i najmniejszą n min liczbę całkowitą spełniają warunek: nmax ( σ ) = L, (.4) nmin ( + σ ) = L. Stąd całkowita liczba modów N mieszcząca się w szerokości linii emisji spontanicznej wynosi 1 1 N = nmax nmin = L δ δ + (.5) L 4Lδ = [( + δ) ( δ) ]. δ W równaniu (.5) pominięto w mianowniku δ, gdyż >> δ. Z równania (.5) wynika, że całkowita liczba modów podłużnych zależy od szerokości linii emisji spontanicznej δ, długości rezonatora L oraz zakresu widmowego (). Im szersza linia i im dłuższy rezonator, tym więcej modów podłużnych powstaje w rezonatorze. Oznacza to, iż światło emitowane z lasera staje coraz bardziej niemonochromatyczne. Wydawać by się mogło, że jest to efekt niekorzystny. Zobaczymy jednak później, że 4
duża liczba modów jest warunkiem generowania bardzo krótkich impulsów laserowych, które oddają nieocenione usługi w spektroskopii rozdzielczej w czasie oraz w wielu zastosowaniach praktycznych. Dotychczas mówiliśmy o szerokości linii emisji spontanicznej (fluorescencji). Zastanówmy się teraz, jakie czynniki powodują poszerzenie linii emisji wymuszonej. Z rysunku. widać, że całkowita szerokość linii emisji wymuszonej zależy od liczby modów podłużnych N, dla których zachodzi akcja laserowa (czyli takich, których natężenie przekroczyło wartość progową). Ale pojedyncza linia modu ma również pewną szerokość, która jest większa od szerokości wynikającej z zasady nieoznaczoności. Co jest przyczyną poszerzenia pojedynczej linii emisji wymuszonej las? Zależy ona od trzech głównych czynników: a) dobroci rezonatora Q, b) stopnia inwersji obsadzeń, c) mocy lasera pompującego P, i opisana jest wzorem πhν ν rez N las =, (.6) P g N N1 g1 gdzie: ν jest częstością modu podłużnego, ν rez = ν / Q, N 1 i N są liczbami obsadzeń poziomów 1 i, g 1 i g zaś są stopniami degeneracji poziomów 1 i, pomiędzy którymi zachodzi akcja laserowa. Gdyby jednak z tego wzoru policzyć szerokość linii emisji wymuszonej, to dla lasera rubinowego wynosiłaby ona zaledwie 9 1,3 1 Hz. W rzeczywistości jest ona dużo większa, co wynika między innymi stąd, że: a) dobroć rezonatora Q jest zazwyczaj dużo mniejsza niż oszacowana teoretycznie wartość na skutek strat energii promienistej spowodowanej niedoskonałością ośrodka czynnego oraz dyfrakcji, b) ogrzewanie ośrodka wskutek silnego pompowania optycznego powoduje rozszerzanie materiału czynnego, c) istnieją niestabilności mechaniczne rezonatora (drgania, rozszerzanie rezonatora). Najważniejszym czynnikiem wpływającym na poszerzenie pojedynczej linii emisji wymuszonej jest dobroć rezonatora Q. Dobroć układu jest pojęciem często używanym w elektronice oraz w fizyce do opisu układów drgających. Dobroć jest miarą strat energii w układzie. Im mniejsze straty w układzie, tym większa dobroć. Rozważmy przykład zaczerpnięty z fizyki drgań. Porównajmy oscylator harmoniczny drgający z częstością kołową ω i oscylator tłumiony (rys..3.) opisany równaniem m & x = kx γx&, (.7) gdzie: x & i& x są odpowiednio pierwszą i drugą pochodną po czasie współrzędnej x charakteryzującej wychylenie oscylatora, m jest masą oscylatora, k stałą siłową, γ współczynnikiem tłumienia. 5
Rys..3. Wykres drgań oscylatora harmonicznego (a) i tłumionego (b) Dobroć układu Q zdefiniowana jest następująco: energia zgromadzona w układzie Q = π energia stracona w ciągu 1 okresu, (.8) czyli A Q = π βt, (.9) A Ae gdzie A jest amplitudą drgań oscylatora harmonicznego. Przedstawiony wyżej model można zastosować do opisu zjawisk zachodzących w rezonatorze optycznym, w którym generowana jest określona ilość energii. Na skutek dyfrakcji, odbić i innych niedoskonałości układu rezonator optyczny traci zgromadzoną energię, a fala stojąca nie zachowuje stałej amplitudy lecz zanika w czasie. Jaki jest związek między dobrocią rezonatora Q a szerokością pojedynczej linii emisji wymuszonej las? Intuicyjnie czujemy, że im wyższa dobroć rezonatora, tym mniejsza 6
szerokość linii emitowanej, czyli tym lepsza monochromatyczność wiązki. Spróbujmy to udowodnić. Skorzystajmy z definicji dobroci rezonatora Q (.9) A π Q = π = β T T / τ. (.1) A A e 1 e We wzorze (.1) skorzystaliśmy z faktu, że współczynnik tłumienia β i czas τ, po upływie którego amplituda A oscylatora tłumionego zmniejsza się e razy (rys..3), / τ związane są zależnością β τ = 1. Zakładając, że T << τ, możemy e T rozwinąć w szereg T / τ e = 1 T / τ +... (.11) Podstawiając (.11) do (.1), otrzymujemy: ω Q = π τ = πν τ = ω τ =. (.1) T β Ze wzoru (.1) wynika, że im większy współczynnik tłumienia β, tym mniejsza dobroć rezonatora Q. Chcemy jednak wiedzieć, jaki jest związek dobroci Q z szerokością widmową las pojedynczego modu? Pokażemy, że las jest wprost proporcjonalne do współczynnika tłumienia rezonatora β, czyli odwrotnie proporcjonalne do dobroci rezonatora Q ω las = πβ = π. (.13) Q Opis zmian amplitudy oscylatora tłumionego w czasie, czyli opis w domenie czasowej związany jest z opisem w domenie częstości, która przedstawia widmo częstości oscylatora poprzez transformatę Fouriera. Z analizy matematycznej wiadomo, że każdą funkcję zależną od czasu f(t) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera lub całki f ( t) = Σf (ω )sin ωt (.14) ( iω t d f t ) = Re f ( ω )e t, (.15) gdzie Re oznacza część rzeczywistą funkcji. Relacja (.15) nosi nazwę transformaty Fouriera. Relacja ta jest wykorzystywana na przykład w elektronice w teorii obwodów rezonansowych oraz w spektroskopii molekularnej do opisu procesów relaksacyjnych. Związek między domeną czasową i domeną częstości ilustruje rysunek..4 dla przypadku, gdy funkcja f(t) jest funkcją typu kosinus (jak w przypadku oscylatora harmonicznego). Z rysunku.4 wynika, że funkcji zmieniającej się w czasie jak kosinusoida odpowiada widmo częstości o profilu wąskiej igły, zwanej deltą Diraca. 7
Rys.4. Ilustracja domeny czasowej i domeny częstości Delta Diraca δ(ω-ω ) jest zdefiniowana następująco: ω ω δ( ω) = { ω = ω (.16) δ ω ( ω ω ) f ( ω)dω = f ( ) Sprawdźmy, czy funkcje f(t) i f(ω) na rys..4 są związane przez transformatę Fouriera. Rzeczywiście, podstawiając f(ω)=δ(ω-ω ) do wzoru (.15) i wykorzystując ostatnią z właściwości funkcji delty Diraca we wzorze (.16), otrzymujemy iωt iωt Re σ ( ω ω )e dt = Ree = cosωt. (.17) Zajmijmy się teraz oscylatorem tłumionym. Gdy zachowanie oscylatora tłumionego w t / τ domenie czasowej opiszemy funkcją typu f ( t) = cosωt e, wówczas można pokazać, iż jej transformata Fouriera wyraża się wzorem: sin[ ( ω ω ) τ / ] f ( ω) =. (.18) ( ω ω ) τ / [ ] Funkcja opisana wzorem (.18) jest funkcją typu dyfrakcyjnego, opisuje bowiem zjawiska zachodzące podczas dyfrakcji światła i przedstawiono ją na rys..5. 8
Rys..5. Związek między domeną czasową i domeną częstości dla drgań tłumionych Funkcja f(ω) opisana wzorem (.18) ma maksimum dla x = (ω-ω )τ/ =, czyli sinx (sinx)' ω = ω, bo lim = lim = lim cosx = 1. x x x x' x Szerokość linii pojedynczego modu las (rys..5) można oszacować przyjmując, że jest ona równa odległości między pierwszymi minimami pobocznymi występującymi π dla ω 1 i ω. Pierwsze minima poboczne występują dla x = ±, czyli π ω1 ω = τ π ω ω ; = τ. (.19) Z równania (.19) otrzymujemy ω1 ω = π τ = πβ, (.) czyli las ω = πβ = π. Q (.1) Udowodniliśmy więc, że szerokość linii pojedynczego modu las maleje wraz ze wzrostem dobroci rezonatora optycznego. Podsumowując, całkowita szerokość linii emisji wymuszonej jest superpozycją szerokości pochodzących od pojedynczych modów podłużnych. Ich liczba zależy od szerokości linii emisji spontanicznej 4Lδ N =. Można dodać, że poszerzenie linii emisji spontanicznej zależy w ogólności od procesów relaksacyjnych T 1 i T oraz od poszerzenia niejednorodnego. Procesy relaksacyjne T 1 charakteryzują czas powrotu do 9
równowagowego obsadzania poziomów energetycznych, zaburzonego promieniowaniem, procesy T zaś opisują rozfazowanie częstości przejść kwantowych. Procesy te opiszemy bardziej szczegółowo w rozdziale 7 i 8. Poszerzenie niejednorodne pochodzi z niejednorodności wewnętrznej próbki. Dla laserów gazowych poszerzenie niejednorodne wynika z efektu Dopplera. W laserach na ciele stałym niejednorodności wewnątrz krystalicznego pola elektrycznego prowadzą do zróżnicowania wartości starkowskiego przesunięcia częstotliwości centrów emisji znajdujących się w różnych miejscach próbki krystalicznej. Ponadto, w rozdziale tym pokazaliśmy, że szerokość linii emisji wymuszonej pojedynczego modu zależy od dobroci rezonatora Q, inwersji obsadzeń, oraz mocy lasera. 3