Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Podobne dokumenty
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Równania i nierówności trygonometryczne

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

1 Funkcje elementarne

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie Zaoczne, Sieradz WDAM

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz.

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Geometria analityczna

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Teoria. a, jeśli a < 0.

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Suriekcja, iniekcja, bijekcja. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Przykładowe zadania z teorii liczb

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

3.Funkcje elementarne - przypomnienie

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Wstęp do analizy matematycznej

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Układy równań i równania wyższych rzędów

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

CIĄGI wiadomości podstawowe

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wykład z równań różnicowych

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

In the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

Logarytmy. Historia. Definicja

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

FUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

7. Funkcje elementarne i ich własności.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Od autorów... 7 Zamiast wstępu zrozumieć symbolikę... 9 Zdania Liczby rzeczywiste i ich zbiory... 15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Transkrypt:

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego podstawowe własności. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę x spełniającą równanie a x = b. Piszemy wtedy x = log a b. Twierdzenie. Dla dowolnych a, b, c R +, a, mamy: (a) log a = 0, (b) log a a b = b, (c) a log a b = b, (d) log a (b c) = log a b + log a c, b (e) log a c = log a b log a c, (f) log a b k = k log a b dla dowolnego k R, (g) log a b = log c b log c a, c. Zadania obowiązkowe Szanowni Państwo, zgodnie z sugestiami w zadaniach i dodałem po jednym łatwym przykładzie (podpunkty a). Zdaję sobie sprawę, że w związku z ilością godzin przeznaczonych w repetytorium na równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne, zadań obowiązkowych może być za dużo. Z drugiej strony każde z nich jest inne, wymaga zastosowania innej metody postępowania (nie byłem tutaj zbyt oryginalny i częściowo wykorzystałem materiały ze starego repetytorium), więc nie chciałbym żadnego z nich wyrzucać. Proponuję zatem, aby do słowa obowiązkowe podeszli Państwo w tym przypadku z pewnym dystansem i ilość rozwiązanych na zajęciach zadań obowiązkowych uzależnili od swojego wyczucia, możliwości grupy itd. itp. Zadanie. Rozwiąż równania: a) x+ = 8 b) 8 x 5 0, 5 ( c) 6 x 7 x = 8, ) 6 5x = 0, d) ( + ) x = ( ) x, e) 5 x+ = x 5 x. Wskazówka: W podpunkcie a) zapisz 8 jako, w podpunkcie b) sprowadź potęgi w równaniu do tych samych podstaw, z kolei w podpunkcie c) jako wspólną podstawę przyjmij i podstaw t = x, w podpunkcie d) kluczową rolę odgrywa tożsamość ( + )( ) =, na koniec w podpunkcie e) zapisz liczbę 5 jako 5 i rozdziel potęgi o podstawie i o podstawie 5. Szkic rozwiązania. a) Mamy x+ = i wykorzystując różnowartościowość funkcji f (x) = x, dostajemy x =. b) Sprowadzając potęgi w równaniu do tych samych podstaw otrzymujemy ( ) 6 5x (x 5) =,

skąd 9x 5 = 7,5x. Ponieważ funkcja wykładnicza f (x) = x jest różnowartościowa, dostajemy 9x 5 = 7, 5x, skąd ostatecznie x =. c) Przyjmując w tym równaniu jako wspólną podstawę liczbę mamy Podstawiając t = x dostajemy ( x ) 7 x + 8 = 0. t 7t + 8 = 0. W konsekwencji t = lub t = 8 i ostatecznie x = lub x =. d) Kluczowa dla rozwiązania kolejnego równania jest równość ( + )( ) =, skąd dostajemy = + = ( + ). Zatem nasze równanie przybiera postać ( + ) x = ( + ) x. Po porównaniu wykładników otrzymujemy x = 5. Stąd e) W tym przypadku mamy Mnożąc stronami przez 5 x dostajemy 5 x+ x+ = x 5 x. x = 5 x 8 = (5 ) x =, ( ) x. 5 co zachodzi gdy x = 0, czyli x =. Odpowiedź: a) x =, b) x =, c) x = lub x =, d) x = 5, e) x =. Zadanie. Rozwiąż równania: a) log (x 5) = b) log x (x ) =, c) log 5 (x ) log 5 (x + ) =, d) x log x = 8, e) 5 log x log 9 x =. Wskazówka: Uwaga ogólna: pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania. Ponadto, w podpunktach a) i b) skorzystaj z definicji logarytmu, podobnie w podpunkcie c) korzystając najpierw ze wzoru e) z Twierdzenia, w podpunkcie d) zlogarytmuj obie strony równania przy podstawie, dwa razy wykorzystaj wzór f) z Twierdzenia i w końcu podstaw t = log x, w podpunkcie e) wykorzystaj wzór g) z Twierdzenia Szkic rozwiązania. a) Dziedziną tego równania jest przedział (5, ). Z definicji logarytmu mamy x 5 =, skąd dostajemy x =

b) Dziedziną tego równania jest zbiór (, )\{} (x ((, ) (, )) (, )). Z definicji logarytmu możemy dane równanie zapisać w postaci lub równoważnie x = (x ), x x = 0. Rozwiązaniami równania kwadratowego są x = oraz x = +. Ponieważ <, ostatecznie otrzymujemy x = +. c) Dziedziną tego równania jest przedział (, ) (muszą być jednocześnie spełnione warunki x > 0 oraz x + > 0). Korzystając z własności logarytmu mamy lub równoważnie log 5 x x + =, log 5 (x ) = log 5 5, skąd (korzystając z faktu, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa) x = 5. Zatem rozwiązaniem równania jest x = 6 (należy do dziedziny). d) Dziedziną tego równania jest zbiór R + \{}. Zlogarytmujmy obie strony równania przy podstawie log x log x = log 8. Dalej mamy ( log x ) log x =. Podstawiając t = log x, otrzymujemy równanie t t = 0, którego rozwiązaniami są t = lub t =. Stąd x = lub x = 8 (oba rozwiązania należą do dziedziny równania). e) Dziedziną tego równania jest zbiór R +. Korzystając z równości log 9 x = log x log 9 = log x dostajemy log x =. W konsekwencji log x =, czyli x = 7. Odpowiedź: a) x =, b) x = +, c) x = 6, d) x = lub x = 8, e) x = 7. Zadanie. Rozwiąż nierówności: a) ( ) x < 6, b) x+ 5 x >, c) log 7 log (x + ) > 0, d) log x ( x x). Wskazówka: Uwaga ogólna: pamiętaj, że funkcje f (x) = a x oraz g(x) = log a x są rosnące dla a > oraz malejące kiedy a (0, ). W podpunkcie a) sprowadź potęgi do tej samej podstawy, w b) podstaw t = x, w c) skorzystaj dwukrotnie z definicji logarytmu, a w d) rozważ dwa przypadki w zależności od x. Oczywiście, w podpunktach c) i d) wyznacz najpierw dziedziny nierówności. Szkic rozwiązania. a) Sprowadzając obie strony nierówności do tej samej podstawy otrzymujemy ( ) x ( ) <.

Ponieważ funkcja wykładnicza przy podstawie mniejszej od jest malejąca, dostajemy x >, skąd ostatecznie x (, ). b) W nierówności (x+ ) 5 x > podstawiamy t = x. Mamy t > 0. Rozwiązaniem nierówności kwadratowej t 5t + > 0 jest zbiór (, ) (, ), skąd wobec faktu, że t > 0, dostajemy (0, ) (, ). Ostatecznie x (, ) (, ). c) Dziedziną nierówności jest przedział (, 0) (muszą być jednocześnie spełnione warunki x + > 0 oraz log (x + ) > 0). Mamy log 7 log (x + ) > log 7, skąd po opuszczeniu logarytmu zewnętrznego o podstawie większej niż otrzymamy log (x + ) > = log Ponownie możemy opuścić logarytm, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny (podstawa logarytmu jest mniejsza od ). Mamy zatem x + <, czyli x < 0. Po uwzględnieniu dziedziny, dostaniemy, że zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (, 0 ). d) Dziedziną nierówności jest zbiór (, )\{} (x x > 0, x > 0, x ). Po opuszczeniu logarytmów w nierówności ( log x x ) x log x x, zwrot otrzymanej nierówności zależy od wartości x. Zatem musimy rozważyć dwa przypadki. o < x <. Mamy x x x, czyli x 5 x 0, zatem x [ 5, 0] [ 5, ]. Ponieważ < x <, w rozważanym przypadku otrzymamy pusty zbiór rozwiązań. o x >. Rozwiązaniem nierówności x x x jest zbiór [, 5 ] [0, 5 ]. Ponieważ x >, dostajemy x (, 5 ]. Rozwiązaniem danej nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków czyli przedział (, 5 ]. Odpowiedź: a) x (, ), b) x (, ) (, ), c) x (, 0 ), d) x (, 5 ].. Zadanie. Rozwiąż równania: a) 8 7x+5 ( ) 9 x = 0, b) (0, 5) x ( ( ) x ) x+ =, c) x+ 5 x+ + = 0, d) x+ = 0 x+ 6, e) ( 7) x = 5 5x, f) x+ + 5 x = 5 x+ x. Zadania dodatkowe

Wskazówka: Powyższe równania można rozwiązać analogicznie jak odpowiednie równania z Zadania Odpowiedź: a) x = 7 65, b) x = 5, c) x = lub x =, d) x = lub x = 58, e) x =, f) x =. Zadanie 5. Rozwiąż równanie x + x +... = x+ 8. Wskazówka: Najpierw wyrażenie po lewej stronie przekształcamy wykorzystując wzór na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego nieskończonego, potem podnosimy obie strony równania do kwadratu i w końcu rozwiązujemy równanie postępując analogicznie jak w Zadaniu b). Uwagi metodologiczne. Część absolwentów szkół średnich może nie znać wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego nieskończonego. Rozwiązując to zadanie należy ten wzór wyprowadzić ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego nieskończonego. Odpowiedź: x = lub x =. Zadanie 6. Rozwiąż równania: a) log x+5 9 =, b) log [log (log x)] = 0, c) log x 5 + log x = log 0, d) log(x + 6) = log(x ) log 5, e) x log x = 00x, f) log 6 x + log x + log x = 7. Wskazówka: Powyższe równania można rozwiązać analogicznie jak odpowiednie równania z Zadania. Odpowiedź: a) x =, b) x = 8, c) x = 6, d) x = 6 lub x =, e) x = 0, lub x = 00, f) x=6. Zadanie 7. Rozwiąż równania: a) log x log x =, x b) log + x +... = log(x 5). Wskazówka: W pierwszym równaniu należy najpierw opuścić znaki wartości bezwzględnej i rozważyć odpowiednie przypadki, natomiast w równaniu drugim należy najpierw skorzystać ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego nieskończonego. Szkic rozwiązania. W pierwszym równaniu należy najpierw opuścić znaki wartości bezwzględnej i rozważyć odpowiednie przypadki, natomiast w równaniu drugim należy najpierw skorzystać ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego nieskończonego. Odpowiedź: x = 7 8 lub x =, b) x = 5. Zadanie 8. Rozwiąż nierówności: a) 0, 5 x x+, b) 9 x 8 x + 9 0, c)log 8 log x, d) log (x ) log (x + ) <, 5

e) log x+ x >. Wskazówka: Powyższe nierówności można rozwiązać analogicznie jak odpowiednie nierówności z Zadania. Odpowiedź: a) x [, ], b) x [, ], c) x (0, 9], d) x ( 5, ), e) x ( + 5, ). Zadanie 9. Rozwiąż nierówność log x + log x + 8 log x +... < log x. Wskazówka: Aby tradycji stało się zadość, także w tym zadaniu należy wykorzystać wzór na sumę zbieżnego szeregu ( ) geometrycznego nieskończonego. Odpowiedź: a) x,. 0 Zadanie 0. Rozwiąż równania: a) ( x ( ) ) x = 9 6, b) 5 x + = 5 x, c) x+ + 9 x+ = 80, d) 0x +0 x 0 x 0 x = 5, e) x 7 x = x+, Zadania domowe f) 6 x+ = x x+8. Odpowiedź: a) x = lub x = +, b) x = lub x =, c) x =, d) x = log 0, e) x =, f) x =. Zadanie. Rozwiąż równania: a) log x (x + x ) = b) log x log x + = 0 c) log(log x) log(log x ) = d) log ( x + ) = log log x e) log cos x (9 x ) = 0, f) x + log(5 x+ ) x log 5 log = 0. Odpowiedź: a) x = lub x =, b) x = lub x = 9, c) brak rozwiązań, d) x =, e) brak rozwiązań, f) x = lub x =. Zadanie. Rozwiąż nierówności: a) 5 x+ x > 5, b) x + x+ x < 0 c) log (x + ) log (x ) log 8 d) log x x >. 6

Odpowiedź: a) x (, ) (0, ), b) x (, 0), c) x (, ) [5, ), d) x (, ). Literatura (a) N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla klasy III i IV liceum ogólnokształcącego, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 97; (b) R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Matematyka dla studentów i kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 0; (c) W. Leksiński, B. Macukow, W. Żakowski, Matematyka w zadaniach. Dla kandydatów na wyższe uczelnie, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 987; (d) J. Uryga, Nowa matura. Matematyka. Rozwiązywanie zadań, ParkEdukacja Nauka bez tajemnic, 008. 7