Analiza i pognozowanie szeegów czasowych
Pojęcie szeegu czasowego Szeeg czasowy (chonologiczny, dynamiczny, ozwojowy) pezenuje ozwój wybanego zjawiska w czasie; zawiea waości zjawiska y w jednoskach czasu,, 2,..., n. Czas Poziom zjawiska y y 2 y2 : : n yn 2
Pzykłady szeegów czasowych 3
Zwolnienia lekaskie iczba dni niepzepacowanych z powodu chooby wśód pacujących na achunek własny w laach 99-95 (w ys.; dane kwaalne) 28 95_4 26 93_4 94_4 24 92_4 95_ 22 9_4 93_ 94_ 95_2 20 9_ 92_ 93_2 94_2 94_3 95_3 8 9_2 92_2 93_3 6 9_3 92_3 4 9_ 9_2 9_3 9_4 92_ 92_2 92_3 92_4 93_ 93_2 93_3 93_4 94_ 94_2 94_3 94_4 95_ 95_2 95_3 95_4 4
Skup mleka Wielkość skupu mleka w Polsce w laach 2002-2009 (w mln l; dane miesięczne) 5
Zużycie enegii elekycznej Zużycie enegii elekycznej w Łodzi w laach 993-95 (w MW; dane dzienne) 6
oy pasażeskie iczba pasażeów międzynaodowej linii loniczej w laach 949-960 (w ys.; dane miesięczne) 7
Huowa spzedaż poduku B Wielkość huowej spzedaży poduku B (dane dzienne ze 80 kolejnych dni). 8
Ceny sea Ceny skupu sea w laach 2000-203 (w zł/kg; dane miesięczne) 9
Ceny wołowiny Ceny wołowiny-żywca w laach 2000-203 (w zł/kg; dane miesięczne) 0
Aykuł piekaniczy Spzedaż aykułu w dniach 2-30..203. 2 000 0 000 8 000 6 000 w. ś. czw. p. sob. pon. w. ś. czw. p. sob. pon. w. ś. czw. p. sob. 4 000 2 000 niedz. niedz. 0 w. ś. c z w. p. s o b. n ie d z. p o n. w. ś. c z w. p. s o b. n ie d z. p o n. w. ś. c z w. p. s o b.
Aykuł piekaniczy Spzedaż aykułu w dniach.05.202-5.0.203. 6 000 4 000 2 000 0 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 2 2-05-0 2-05-5 2-05-29 2-06-2 2-06-26 2-07-0 2-07-24 2-08-07 2-08-2 2-09-04 2-09-8 2-0-02 2-0-6 2-0-30 2--3 2--27 2-2- 2-2-25 3-0-08 3-0-22 3-02-05 3-02-9 3-03-05 3-03-9 3-04-02 3-04-6 3-04-30 3-05-4 3-05-28 3-06- 3-06-25 3-07-09 3-07-23 3-08-06 3-08-20 3-09-03 3-09-7 3-0-0 3-0-5
35 000 30 000 25 000 20 000 5 000 0 000 5 000 0 Aykuł piekaniczy Spzedaż aykułu w dniach.2.2007-30..203. 3 07-2-0 08-02-0 08-04-0 08-06-0 08-08-0 08-0-0 08-2-0 09-02-0 09-04-0 09-06-0 09-08-0 09-0-0 09-2-0 0-02-0 0-04-0 0-06-0 0-08-0 0-0-0 0-2-0-02-0-04-0-06-0-08-0-0-0-2-0 2-02-0 2-04-0 2-06-0 2-08-0 2-0-0 2-2-0 3-02-0 3-04-0 3-06-0 3-08-0 3-0-0
Modele szeegu czasowego 4
Model z endem, bez sezonowości Model zawieający end (bez wahań sezonowych) ( ) z y f Oznaczenia: y poziom zjawiska w jednosce czasu f() funkcja endu z składnik losowy 5
Modele z endem i sezonowością Model z sezonowością - addyywny ( ) g ( ) z i y f Model z sezonowością muliplikaywny y f ( ) g ( ) z i Oznaczenia: gi() funkcja chaakeyzująca wahania sezonowe Uwaga. Sosuje się akże modele mieszane 6
Pzykład hu. spzedaży pod. B Model dopasowany pzez pof. A. Sokołowskiego dla spzedaży poduku B; źódło: www.sasof.pl Bˆ 0670,58 6,3 0,27 2 0,49B 0,20B 5 0,27 B 6 0,9B 8 2034,94RMIN 933,98RPUS 2 7
Pzykład hu. spzedaży pod. B cd. Wykesy szeegu piewonego i waości eoeycznych wyznaczonych wg modelu dla spzedaży poduku B (źódło: www.sasof.pl) 8
Ocena modelu 9
Ocena modelu Ocena modelu opiea się na miaach dopasowania waości wyznaczonych pzez model do danych empiycznych. Czas Poziom zjawiska y Waość z modelu ŷ y 2 y2 2 : : ŷ ŷ n yn ŷ n 20
błąd: (eo) Miay dopasowania modelu E y yˆ y ˆ y błąd pocenowy: PE 00 % y (pecenage eo) błąd śedni: ME ( y ) yˆ (mean eo) śedni błąd pocenowy: (mean pecenage eo) n MPE n n n PE 2
Miay dopasowania modelu cd. śedni błąd bezwzględny: (mean absolue eo) MAE n n y yˆ śedni bezwzględny błąd pocenowy: (mean absolue pecenage eo) n MAPE n y y yˆ 00% błąd śedniokwadaowy: MSE ( y ) yˆ (mean squae eo) n n 2 22
Pzykład hu. spzedaży pod. B Poównanie pognoz w pzykładzie o huowej spzedaży poduku B (www.sasof.pl) Błędy pognozy ex pos 23
Modele wygładzania wykładniczego Modele wygładzania (wyównywania) wykładniczego należą do modeli adapacyjnych. Nie ma w nich założeń o posaci analiycznej mechanizmu opisującego zjawisko, a paamey modeli dososowują się do zmian w czasie. Tzy podsawowe modele: - dla danych sacjonanych (bez endu i wahań sezonowych) - dla danych z endem - dla danych z endem i sezonowością 24
Posy model wygładzania wykładniczego Posy model wygładzania wykładniczego (Bowna) dla zjawisk bez endu i bez wahań sezonowych. Poceduę wyównywania wykładniczego można ozpocząć od pzyjmując ˆ ˆ α α ˆ ( 0; ) ( α) 2, 3,, n sała wygładzania Równanie na pognozę ˆ h α ˆ K ( α) 2, 3,, n K Pognoza wyznaczona na piewszy okes jes akże pognozą na okesy dalsze. 25
26 Uwaga Waość wyównaną można pzedsawić w posaci: ( ) ( ) ( ) n, 3, 2, α α α α α α ˆ 2 2 K Ŷ jes śednią ważoną obsewacji z piewonego szeegu czasowego z wagami malejącymi w posępie geomeycznym pzy pzechodzeniu do coaz saszych obsewacji.
27 Model Hola Model Hola dla zjawisk z endem i bez wahań sezonowych: ( )( ) ( ) ( ) h ht T β β T T ˆ α α gdzie: poziom zjawiska w czasie, α sała do wygładzania poziomu zjawiska, T end w czasie, β sała do wygładzania zmian endu; ( ) 0, β α, Waości saowe ( ) ( ) 3 2 3 3 / 2 / T T
28 Model Hola z endem gasnącym Model Hola zmodyfikowany pzez dodanie czynnika ψ łumiącego end: ( )( ) ( ) ( ) ( ) h h T ψ ψ ψ ψ ψt β β T ψt α α K 3 2 ˆ gdzie: ψ sała łumiąca end, ( ) 0,, ψ β α, Waości saowe jak w modelu bez sałej ψ.
29 Model Hola-Winesa z endem gasnącym (/2) Model Hola ozszezony o wahania sezonowe powadzi do modelu Hola-Winesa ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h S T ψ ψ ψ ψ S γ ψt γ S ψt β β T ψt α S α K 3 2 ˆ gdzie: S sezonowy komponen w czasie γ sała wygładzania wahań sezonowych okes wahań sezonowych
30 Model Hola-Winesa z endem gasnącym (2/2) Waości saowe ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) S T T i i i 2 2 2 2 2 2 K K K K i, 2,...
3
32
33