ε = dw dq. (25.1) Rys Obwód o jednym oczku

XXV. OBWODY ELEKTRYCZNE 25.1. Obwody elektyczne o jednym oczku Aby wytwozyć stały pzepływ ładunku, jest potzebne uządzenie, któe wykonując pacę nad nośnikami ładunku, utzymuje óżnicę potencjałów między paą swych zacisków. Uządzenie takie nazywamy źódłem siły elektomotoycznej (źódłem SEM). Powszechnie stosowanym źódłem SEM jest ogniwo elektyczne (bateia elektyczna). Źódło SEM wykonuje pacę nad ładunkami. Jeśli pzez dw oznaczymy pacę wykonaną pzez źódło pzy pzesuwaniu dodatniego ładunku dq od ujemnego do dodatniego bieguna, to siła elektomotoyczna źódła jest okeślona wzoem ε = dw dq. (25.1) Doskonałym źódłem SEM jest źódło, któe nie ma żadnego opou wewnętznego podczas uchu ładunku pzez ogniwo. Różnica potencjałów między biegunami doskonałego źódła SEM jest ówna SEM źódła. Rzeczywiste źódło SEM ma opó wewnętzny. Różnica potencjałów między biegunami źódła jest ówna SEM tylko wtedy, gdy nie płynie pzez nie pąd. Rys. 25.1. Obwód o jednym oczku Zgodnie ze wzoem P = I 2 R, w pzedziale czasu w oponiku z ys. 25.1 zamienia się w enegię temiczną. W tym samym czasie ładunek o watości dq = I pzepłynie pzez bateię B i paca wykonana pzez bateię nad tym ładunkiem wynosi (zgodnie ze wzoem (25.1)) dw = dq = I ε ε. Z zasady zachowania enegii wynika, że paca wykonana pzez bateię musi być ówna enegii temicznej wytwozonej w oponiku, czyli

25.1. Obwody elektyczne o jednym oczku 177 εi = I 2 R, skąd ε = IR. (25.2) Wielkość IR jest enegią pzypadającą na jednostkę ładunku, pzekazaną w oponiku pzez pouszające się ładunki na zecz enegii wewnętznej. Zmiana potencjału pzy pzechodzeniu pzez oponik R w kieunku pzepływu pądu wynosi!ir, a w pzeciwnym kieunku +IR. Jest to tzw. eguła opou. Z kolei zmiana potencjału pzy pzechodzeniu pzez doskonałe źódło SEM w kieunku stzałki SEM (od! do +) wynosi +g, a w pzeciwnym!g. Sfomułowanie to jest znane pod nazwą eguła SEM. Z obwodami elektycznymi są związane dwa pawa Kidhhoffa, Z zasady zachowania enegii wynika dugie pawo Kichhoffa. Dugie pawo Kichhoffa. Algebaiczna suma zmian potencjałów pzy pełnym obejściu dowolnego oczka musi być ówna zeu. Z zasady zachowania ładunku wynika piewsze pawo Kichhoffa Piewsze pawo Kichhoffa. Suma natężeń pądów wpływających do dowolnego węzła musi być ówna sumie natężeń pądów wypływających z tego węzła. Rozważmy oponiki połączone szeegowo tak, jak pzedstawiono na ys. 25.2. Różnica potencjałów między punktami a i b jest utzymywana pzez źódło pądu. Różnice potencjałów, któe istnieją na opoach w szeegu wytwazaj nich pądy o jednakowym natężeniu. Rys. 25.2. Tzy oponiki połączone szeegowo

178 XXV. Obwody elektyczne Jeżeli óżnica potencjałów U jest pzyłożona do oponików połączonych szeegowo, to pzez oponiki płyną pądy o jednakowym natężeniu I. Suma óżnic potencjałów na oponikach jest ówna pzyłożonej óżnicy potencjałów U. Oponiki połączone szeegowo można zastąpić ównoważnym oponikiem R w, w któym płynie pąd o takim samym natężeniu I pzy takiej samej całkowitej óżnicy potencjałów U, jak w ozważanych oponikach. Aby wypowadzić wzó na opó R w, zastosujemy dugie pawo Kichhoffa i wzó (25.2). Na ys. 25.2 a), zaczynając od punktu a i pzechodząc zgodnie z uchem wskazówek zegaa wokół obwodu, otzymujemy ε IR1 IR2 IR3 = 0, czyli I = R + R + R Na ys. 25.2 b) w obwodzie, w któym tzy oponiki zastąpiono jednym ównoważnym oponikiem R w, mamy ε IR w = 0, czyli Poównanie wzoów (25.3) i (25.4) powadzi do zależności Rw = R1 + R2 + R3, któą można uogólnić na pzypadek n oponików następująco: I ε 1 2 3. (25.3) ε =. (25.4) R w R w = n i = 1 R. i Jeśli bateia (lub inne źódło SEM) wykonuje pacę nad nośnikami ładunku, wytwazając pąd o natężeniu I, to pzekazuje nośnikom ładunku enegię ze źódła enegii. Rzeczywiste źódło SEM ma opó wewnętzny, a więc enegia jest w nim także zamieniana na wewnętzną enegię temiczną, czyli ulega ozposzeniu na opoze wewnętznym. Połączymy te zmiany enegii. Jak pamiętamy (zob. p. 24.3), wypadkowa szybkość P (moc) pocesu pzekazywania enegii ze źódła SEM nośnikom ładunku jest dana wzoem P = IU, (25.6) gdzie U oznacza óżnicę potencjałów między biegunami źódła SEM. Dla zeczywistej bateii mamy U = ε I, gdzie oznacza opó wewnętzny bateii. Podstawiając tę wielkość do wzou (25.6) otzymujemy P = I( I) = I I. ε ε 2 Człon I 2 w tym wzoze jest szybkością zamiany enegii na enegię temiczną w źódle SEM: P = I 2,

25.2. Obwody elektyczne o wielu oczkach 179 a człon Ig jest mocą P SEM pzekazu enegii pzez źódło zaówno nośnikom ładunku, jak i na zecz wewnętznej enegii temicznej, czyli PSEM = I ε. 25.2. Obwody elektyczne o wielu oczkach Rozpatzmy oponiki połączone ównolegle, jak na ys. 25.3, któe są podłączone do doskonałego źódła o SEM ównej g. Różnica potencjałów U jest pzyłożona do każdej pay połączonych końcówek, a więc na wszystkich tzech oponikach mamy taką samą óżnicę potencjałów U, któa wytwaza pąd w każdym z oponików. Oponiki połączone ównolegle można zastąpić ównoważnym oponikiem R w, do któego końców jest pzyłożona taka sama óżnica potencjałów U i pzez któy pzepływa pąd o natężeniu I ównym sumie natężeń pądów w oponikach połączonych ównolegle. Rys. 25.3. Tzy oponiki połączone ównolegle Aby wypowadzić wzó na opó R w, zapiszmy najpiew watości natężeń pądu w każdym z oponików. Mamy I 1 U U U =, I 2 =, I 3 =, R R R 1 gdzie U oznacza óżnicę potencjałów między punktami a i b. Jeżeli zastosujemy piewsze pawo Kichhoffa w punkcie a z ys. 25.3 a) i podstawimy te watości, to otzymamy Gdybyśmy zastąpili oponiki połączone ównolegle oponikiem ównoważnym R w (jak na ys. 25.3 b)), to mielibyśmy 2 1 1 1 I = I1 + I2 + I3 = U + +. (25.7) R R R 1 2 3 3

180 XXV. Obwody elektyczne Pzez poównanie wzoów (25.7) i (25.8) otzymujemy Uogólnienie tego wzou na pzypadek n oponików ma postać U I =. (25.8) R w 1 1 1 1 = + +. R R R R w 1 2 3 1 R w n = Ri. i = 1 Do pomiaów w obwodach elektycznych można wykozystać tzy pzyządy:! ampeomiez, któy służy do pomiay natężenia pądu,! woltomiez stosowany do pomiau napięcia, czyli óżnicy potencjałów,! multimet, któy stosuje się do pomiau natężenia pądu, napięcia i opou. 25.3. Obwody RC Dotychczas zajmowaliśmy się obwodami, w któych płyną pądy stałe, czyli pądy o natężeniach nie ulegających zmianie w czasie. Rozważmy teaz pądy zmienne. Kondensato o pojemności C na ys. 25.4 jest początkowo nienaładowany. Aby go naładować, należ klucz S pzesunąć do punktu a. Powstaje wówczas obwód szeegowy RC, któy składa się z kondensatoa, doskonałego źódła o SEM ównej g i oponika o opoze R. Rys. 25.4. Obwód szeegowy RC Z chwilą zamknięcia obwodu zaczyna pzepływać ładunek między okładką kondensatoa i biegunem bateii po każdej stonie kondensatoa. Ten pąd zwiększa ładunek q na okładkach i óżnicę potencjałów U C = q / C na kondensatoze. Gdy ta óżnica potencjałów stanie się ówna óżnicy potencjałów na źódle (ównej tu SEM o watości g), natężenie pądu stanie się ówne zeu. Zgodnie ze wzoem q = CU stacjonany (końcowy) ładunek na całkowicie wtedy naładowanym kondensatoze wynosi Cg.

25.3. Obwody RC 181 Chcemy zbadać poces ładowania, czyli wiedzieć, jak podczas tego pocesu zmieniają się w czasie: ładunek q(t) na okładkach kondensatoa, óżnica potencjałów U C (t) na kondensatoze i natężenie pądu I(t) w obwodzie. Z dugiego pawa Kichhoffa, pzechodząc w kieunku zgodnym z uchem wskazówek zegaa (od ujemnego bieguna bateii) otzymujemy Ostatni wyaz po lewej stonie ównania pzedstawia óżnicę potencjałów na kondensatoze. Wyaz ten jest ujemny, ponieważ góna okładka kondensatoa, połączona z dodatnim biegunem bateii, ma większy potencjał niż okładka dolna. Zmienne I oaz q są ze sobą powiązane zależnością dq I =. Po podstawieniu tego wyażenia do wzou (25.9) otzymujemy ównanie któego ozwiązaniem jest ε = IR q C R dq 0. (25.9) + 1 C q = ε, (25.10) t/ RC q = Cε( 1 e ). (25.11) Funkcja q = q(t) dana wzoem (25.11) okeśla ładowanie kondensato. W chwili t = 0 wyaz e!t/rc ma watość 1 i otzymujemy wówczas q = 0. Pzy t 6 4 mamy e!t/rc 6 0 i wzó (25.11) daje popawną watość końcowego (stacjonanego) ładunku na kondensatoze q = Cg. Pochodna funkcji q(t) względem czasu jest ówna natężeniu pądu I(t) ładującego kondensato. Mamy dq t RC I = = ε e /. R Ze wzou tego wynika, że watość początkowa natężenia pądu wynosi g / R i że natężenie maleje do zea, gdy kondensato zostanie całkowicie naładowany. Ze wzoów q = CU i (25.11) możemy wyznaczyć óżnicę potencjałów U C (t) na kondensatoze podczas ładowania. Otzymamy U C q t/ RC = = ε( 1 e ) C Ze wzou tego widać, że U C = 0 dla t = 0 oaz U C 6 g pzy t 6 4, czyli gdy kondensato zostanie całkowicie naładowany. Iloczyn RC występujący w podanych wzoach ma wymia czasu (bo 1 S @ 1 F = 1 s). Nazywamy go pojemnościową stałą czasową obwodu i oznaczamy symbolem J. Załóżmy teaz, że kondensato na ys. 25.4 jest całkowicie naładowany do óżnicy potencjałów U 0 ównej SEM o watości g źódła i w chwili t = 0 klucz S pzestawiamy z punktu a do punktu b. Kondensato może więc ozładowywać się pzez oponik R. Równanie óżniczkowe opisujące funkcję q(t) jest identyczne z ównaniem (25.10), lecz z powodu baku źódła należy pzyjąć g = 0, czyli mamy

182 Rozwiązaniem tego ównania jest R dq + 1 C q = 0. t RC XXV. Obwody elektyczne q = q0e /, (25.12) gdzie q 0 = CU 0 oznacza początkowy ładunek na kondensatoze. Ze wzou (25.12) wynika, że ładunek q maleje wykładniczo w czasie z szybkością zależną od pojemnościowej stałej czasowej J = RC. Zauważmy, że większa stała J oznacza dłuższy czas ozładowywania. Jeżeli zóżniczkujemy funkcję q(t) daną wzoem (25.12) względem czasu, to otzymamy natężenie pądu I(t): dq q t RC I = = 0 e /. RC Ze wzou tego wynika, że natężenie pądu także maleje wykładniczo w czasie z szybkością okeśloną pzez pojemnościową stałą czasową J. Znak minus oznacza, że pąd ozładowania kondensatoa płynie w kieunku pzeciwnym niż pąd jego ładowania. Zadania 1. Siły elektomotoyczne doskonałych źódeł na ys. 25.5 wynoszą g 1 = 12 V i g 2 = 6 V. Znaleźć: a) natężenie pądu w obwodzie, moc, z jaką enegia jest zamieniana na enegię temiczną w b) oponiku 1 (4 S), c) oponiku 2 (8 S), d) moc źódła 1, e) moc źódła 2. Czy enegia jest dostaczana, czy absobowana pzez f) źódło 1, g) źódło 2? Rys. 25.5. Zadanie 1 2. Akumulato samochodowy o SEM ównej 12 V i opoze wewnętznym 0,04 S jest ładowany pądem o natężeniu 50 A. a) Ile wynosi óżnica potencjałów na jego biegunach?

25.3. Obwody RC 183 b) Ile wynosi moc P, z jaką emegia zmienia się na enegię temiczną w akumulatoze? c) Ile wynosi moc P SEM pzekształcania enegii elektycznej w enegię chemiczną? 3. Pzewodnik o opoze 5 S jest połączony ze źódłem, któego SEM wynosi 2 V, a opó wewnętzny 1 S. a) Ile enegii pzekształca się z chemicznej w elektyczną w ciągu 2 minut? b) Ile enegii wydziela się w pzewodniku w postaci enegii temicznej w tym samym czasie? 4. Dołączając do oponika o opoze R = 12 S oponik o nieznanym opoze, chcemy uzyskać opó zastępczy, któy wynosi 3 S. a) Ile musi wynosić opó tego nieznanego oponika? b) Czy oponik powinien być połączony szeegowo, czy ównolegle? 5. Cztey oponiki o opoach 18 S połączono ównolegle i dołączono do doskonałego źódła o SEM ównej 25 V. Ile wynosi natężenie pądu płynącego pzez źódło? 6. Na ys. 25.6 mamy R 1 = 100 S, R 2 = 50 S, g 1 = 6 V, g 2 = 5 V i g 3 = 4 V. Znaleźć: a) natężenie pądu płynącego pzez oponik 1, b) natężenie pądu płynącego pzez oponik 2, c) óżnicę potencjałów między punktami a i b. Rys. 25.6. Zadanie 6 7. Pzełącznik S na ys. 25.7 jest w chwili t = 0 zamknięty, aby ozpocząć ładowanie początkowo ozładowanego kondensatoa o pojemności C = 15 :F pzez oponik o opoze R = 20 S. Po jakim czasie óżnica potencjałów na okładkach kondensatoa będzie ówna óżnicy potencjałów na końcach oponika? Rys. 25.7. Zadanie 7

184 XXV. Obwody elektyczne 8. Jaką wielokotnością pojemnościowej stałej czasowej J jest czas, po jakim początkowo nienaładowany kondensato w szeegowym obwodzie RC naładuje się do 99 % swojego końcowego ładunku? 9. Oponik o opoze 15 ks i kondensato zostały połączone szeegowo i następnie nagle pzyłożono do nich óżnicę potencjałów 12 V. Różnica potencjałów na kondensatoze wzosła do 5 V w ciągu 1,3 :s. a) Obliczyć pojemnościową stałą czasową obwodu. b) Znaleźć pojemność kondensatoa. 10. Na ys. 25.8 mamy R 1 = 10 ks, R 2 = 15 ks, C = 0,4 :F, a SEM doskonałej bateii wynosi g = 20 V. Na początku pzełącznik był badzo długo zamknięty, aż osiągnięto stan ównowagi. Następnie w chwili t = 0 pzełącznik został otwaty. Jakie było natężenie pądu płynącego pzez oponik 2 w chwili t = 4 :s? Rys. 25.8. Zadanie 10

XXVI. POLE MAGNETYCZNE 26.1. Pole magnetyczne i definicja indukcji magnetycznej Jak już wiemy, pole elektyczne jest wytwazane pzez ładunek elektyczny. Można by oczekiwać, że pole magnetyczne jest wytwazane pzez ładunek magnetyczny, ale istnienie takich ładunków nie zostało jeszcze potwiedzone. Pole magnetyczne można wytwozyć dwoma sposobami. Piewszy sposób polega na użyciu pouszających się cząstek naładowanych elektycznie do zbudowania elektomagnesu. Dugi sposób wykozystuje pewną właściwość cząstek elementanych, takich jak elekton, któe mają wewnętzne właściwości magnetyczne i wytwazają wokół siebie pole magnetyczne. Pola magnetyczne elektonów w niektóych mateiałach sumują się i wytwazają wokół nich wypadkowe pole magnetyczne. Takie zjawisko występuje w magnesach twałych. Wielkością chaakteystyczną pola magnetycznego jest wekto B, któy nazywa się indukcją magnetyczną danego pola. Jest on skieowany wzdłuż osi odpowiadającej kieunkowi pędkości cząstek, dla któych siła na nie działająca jest ówna zeu. Mieząc watość tej siły F B, gdy we- kto pędkości v jest skieowany postopadle do wspomnianej osi, możemy zdefiniować watość bezwzględną B: FB B =, qv gdzie q oznacza ładunek cząstki. Podane wyniki mogą być zebane w postaci ównania wektoowego FB = qv B, (26.1) zgodnie z któym siła F B działająca na cząstkę jest ówna ładunkowi cząstki pomnożonemu pzez iloczyn wektoowy jej pędkości v i indukcji magnetycznej B. Z okeślenia iloczynu we- ktoowego można zapisać watość siły jako F B FB = q vb sin φ, gdzie N oznacza kąt między kieunkami wektoów pędkości v i indukcji magnetycznej B. Niezależnie od znaku ładunku siła F B działająca na naładowaną cząstkę, któa pousza się z pędkością v w polu magnetycznym o indukcji B, jest zawsze postopadła do wektoów v i B. Siła ta nie ma nigdy składowej ównoległej do wektoa v, co oznacza, że siła F B nie może zmienić watości pędkości v cząstki (siła ta może zmienić tylko kieunek pędkości cząstki). Jednostką indukcji magnetycznej B w układzie SI jest niuton na kolumb azy met na sekun- dę. Jednostkę tę nazwano teslą (T): N N N 1T = 1 = 1 = 1. C ( m/ s) ( C/ s) m A m

186 XXVI. Pole magnetyczne Staszą, ale wciąż jeszcze używaną jednostką indukcji magnetycznej (spoza układu SI) jest gaus (Gs), pzy czym 1T= 10 4 Gs. Pole magnetyczne można zilustować za pomocą linii pola, podobnie jak pole elektyczne. Obowiązują pzy tym podobne zasady: kieunek stycznej do linii pola magnetycznego jest kieunkiem indukcji magnetycznej B w tym punkcie oaz odległość między liniami okeśla watość tego wektoa pole magnetyczne jest silniejsze tam, gdzie linie pzebiegają bliżej siebie. Zamknięte linie pola są skieowane do magnesu z jednego końca i od magnesu z dugiego końca. Koniec magnesu, z któego linie wychodzą nazywa się biegunem północnym, a koniec, do któego linie wchodzą nazywa się biegunem południowym. Ponieważ magnes ma dwa bieguny, mówimy, że jest on dipolem magnetycznym. Należy pamiętać, że óżnoimienne bieguny magnetyczne pzyciągają się, a jednoimienne bieguny magnetyczne odpychają się. 26.2. Ruch cząstek naładowanych po okęgu w polu magnetycznym Cząstka naładowana o masie m i ładunku q pouszająca się z pędkością v postopadłą do jednoodnego pola magnetycznego B będzie pouszać się po okęgu. Z dugiej zasady dynamiki Newtona zastosowanej do jednostajnego uchu po okęgu wynika, że q vb = mv 2, skąd można wyznaczyć pomień okęgu mv =. q B Częstotliwość <, częstotliwość kołowa T i okes T uchu po okęgu spełniają związki ω 1 ν = = = 2π T q B 2πm. Ruch cząstek po okęgu w polu magnetycznym został wykozystany w cyklotonie, gdzie cząstki są pzyspieszane siłami elektycznymi. Aby pzyspieszać cząstki do pędkości zbliżonych do pędkości światła, kozysta się z synchotonów (opis tych uządzeń pomijamy). 26.3. Siła magnetyczna działająca na pzewodnik z pądem Na postoliniowy pzewodnik z pądem o długości L i o natężeniu I znajdujący się w jednoodnym polu magnetycznym działa skieowana postopadle do pzewodnika siła FB = IL B. (26.2) Siła działająca na element dl pzewodnika z pądem ma postać df = IdL B. B

26.4. Moment siły działający na amkę z pądem 187 Wektoy L i dl opisujące ustawienie pzewodnika z pądem są skieowane zgodnie z kieun- kiem pzepływu pądu. 26.4. Moment siły działający na amkę z pądem Większość pacy na świecie wykonują silniki elektyczne. Siły, dzięki któym ta paca jest wykonywana, to siły magnetyczne, czyli siły działające na pzewodnik z pądem umieszczony w polu magnetycznym. Posty silnik, składający się z pojedynczej amki z pądem umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B, pzedstawiono na ys. 26.1. Dwie siły magnetyczne F i F wytwazają moment siły, któy działa na amkę, usiłując ją obócić wokół osi. Rys. 26.1. Części składowe silnika elektycznego Rys. 26.2. Postokątna amka, w któej płynie pąd, umieszczona w jednoodnym polu magnetycznym Na ys. 26.2 a) pzedstawiono w zucie postokątnym amkę o bokach a i b, w któej płynie pąd o natężeniu I. Ramka jest umieszczona w jednoodnym polu magnetycznym o indukcji B w taki sposób, że jej dłuższe boki, oznaczone jako 1 i 3, są postopadłe do kieunku wektoa indukcji. Do okeślenia ustawienia amki w polu magnetycznym używamy wektoa nomalnego n, któy jest postopadły do płaszczyzny amki. Jego kieunek ustalamy na podstawie eguły

188 XXVI. Pole magnetyczne pawej dłoni, w któej palce ustawiamy w kieunku płynięcia pądu (zob. ys. 26.2 b)). Na ys. 26.2 c) pzedstawiono amkę, któej wekto nomalny jest skieowany pod pewnym kątem 2 do kieunku wektoa indukcji magnetycznej B i dla takiego ustawienia amki wyznaczamy wy- padkową siłę i wypadkowy moment siły, któe działają na amkę. Wypadkowa siła działająca na amkę jest sumą wektoową sił działających na jej cztey boki. Dla boku 2 kieunek wektoa L w ównaniu (26.2) jest zgodny z kieunkiem pzepływu pądu, a jego długość wynosi b. Kąt między wektoami L i B wynosi 90! 2, a więc watość siły działającej na ten bok jest ówna F2 = IbBsin( 90 θ) = IbBcos θ. Siła F 4 działająca na bok 4 ma taką samą watość, jak siła F2, ale jest pzeciwnie skieowana. Zatem siły F2 i F4 ównoważą się, co oznacza, że ich wypadkowa jest ówna zeu. Działają one wzdłuż tej samej postej pzechodzącej pzez śodek amki i dlatego związany z nimi wypadkowy moment siły jest ówny zeu. W pzypadku boków 1 i 3 jest inaczej. Wekto L jest tu postopadły do wektoa B, a siły F1 i F3 mają taką samą watość IaB. Siły te są skieowane pzeciwnie, a więc nie powodują pzesunięcia amki ani w góę, ani w dół. Jednak siły te nie działają wzdłuż tej samej postej (zob. ys. 26.2 c)), co powoduje, że powstaje wypadkowy moment siły. Moment ten usiłuje obócić amkę tak, by ustawić jej wekto nomalny n wzdłuż kieunku wektoa indukcji magne- tycznej B. Ramiona tych sił względem osi obotu amki wynoszą (b / 2)sin 2. Watość momentu siły M wywołanego działaniem sił F i F wynosi zatem 1 3 = + M IaB b sinθ IaB b sinθ = IabB sin θ. 2 2 Jeśli pojedynczą amkę zastąpimy cewką złożoną z N zwojów, to powyższy moment siły działa na każdy zwój i mamy M = NM = NIabBsin θ = ( NIS) Bsin θ, (26.3) gdzie S = ab oznacza pole powiezchni objętej pzez cewkę. Wielkości w nawiasach (NIS) występują azem, bo opisują właściwości cewki: liczbę zwojów, natężenie pądu i pole powiezchni. Równanie (26.3) jest słuszne dla wszystkich płaskich cewek pod waunkiem, że pole magnetyczne jest jednoodne. Na pzykład dla cewki o pzekoju kołowym i pomieniu mamy M = ( NIπ ) Bsin θ. 2 26.5. Dipolowy moment magnetyczny Moment siły działający na cewkę w polu magnetycznym można wyazić wpowadzając pojęcie magnetycznego momentu dipolowego cewki, któy będziemy oznaczać µ. Kieunek tego wektoa wybieamy zgodnie z kieunkiem wektoa nomalnego n postopadłego do płaszczyzny cewki, a jego watość definiujemy jako µ = NIS, gdzie N oznacza liczbę zwojów cewki, I natężenie pądu płynącego pzez cewkę, a S pole powiezchni objętej pzez każdy zwój cewki. Ze wzou tego wynika, że jednostką momentu magnetycznego jest ampe azy met kwadatowy (A @ m 2 ).

26.5. Dipolowy moment magnetyczny 189 Za pomocą dipolowego momentu magnetycznego ównanie (26.3) można zapisać w postaci M = µ Bsin θ, gdzie 2 oznacza kąt między wektoami µ i B. Równanie to można zapisać także w postaci we- ktoowej: M = µ B, któe pzypomina ównanie dla momentu siły wywieanego pzez pole elektyczne na dipol elektyczny, czyli ównanie M = p E. Dipol magnetyczny ma w zewnętznym polu magnetycznym pewną enegię, któa zależy od ustawienia dipola w polu magnetycznym. Pzez analogię do odpowiedniego wzou dla dipola elektycznego definiujemy tzw. enegię oientacji dipola magnetycznego następująco: Ep ( θ ) = µ B (26.4) (dla dipola elektycznego wzó ma postać Ep ( θ ) = p E). Jeśli siły zewnętzne powodują obót dipola magnetycznego, zmieniając jego początkową oientację opisaną kątem 2 pocz na oientację opisaną kątem 2 konc, to paca sił zewnętznych wykonana nad tym dipolem jest ówna W = E = E E, zewn p p konc p pocz gdzie obie enegie są wyznaczone z ównania (26.4). Zadania 1. Na poton, któy pousza się pod kątem 23 do kieunku wektoa indukcji o watości 2,6 mt, działa siła magnetyczna o watości 6,5 @ 10!17 N. Obliczyć: a) pędkość potonu, b) jego enegię kinetyczną w elektonowoltach. 2. W wyniku niektóych eakcji jądowych powstają cząstki " składające się z dwóch potonów i dwóch elektonów. Mają one ładunek +2e i masę 4,00 :, gdzie : oznacza jednostkę masy atomowej ówną 1,661 @ 10!27 kg. Dla cząstki " pouszającej się po okęgu o pomieniu 4,5 cm w jednoodnym polu magnetycznym o indukcji B = 1,2 T obliczyć: a) pędkość cząstki, b) okes w uchu po okęgu, c) enegię kinetyczną w elektonowoltach, d) óżnicę potencjałów, któa pzyspieszyłaby cząstkę aż do osiągnięcia pzez nią takiej samej enegii, jak w pzypadku uchu po okęgu. 3. Elekton o enegii kinetycznej 1,2 kev kąży w płaszczyźnie postopadłej do kieunku wektoa indukcji w jednoodnym polu magnetycznym. Pomień obity jest ówny 25 cm. Obliczyć: a) pędkość elektonu, b) indukcję magnetyczną, c) częstotliwość,

190 XXVI. Pole magnetyczne d) okes uchu po okęgu. 4. Jaka powinna być watość indukcji jednoodnego pola magnetycznego pzyłożonego postopadle do wiązki elektonów, któe pouszają się z pędkością 1,3 @ 10 6 m / s, aby elektony kążyły po łuku okęgu o pomieniu 0,35 m? 5. W poziomej linii pzesyłowej płynie z południa na północ pąd o natężeniu 5000 A. Ziemskie pole magnetyczne (60 :T) jest skieowane na północ i nachylone w dół pod kątem 70 do poziomu. Wyznaczyć: a) watość, b) kieunek siły magnetycznej, któa działa na 100 m pzewodu linii w ziemskim polu magnetycznym. 6. Pojedyncza amka, pzez któą płynie pąd o natężeniu 4 A, ma kształt tójkąta postokątnego o bokach 50, 120 i 130 cm. Ramka znajduje się w jednoodnym polu magnetycznym o indukcji 75 mt, a kieunek wektoa indukcji jest ównoległy do kieunku pądu w boku amki o długości 130 cm. Jaka jest watość siły magnetycznej działającej na: a) bok o długości 130 cm, b) bok o długości 50 cm, c) bok o długości 120 cm? d) Jaka jest watość wypadkowej siły działającej na amkę? 7. Okągła cewka o 160 zwojach ma pomień 1,9 cm. a) Obliczyć natężenie pądu, któy wytwaza dipolowy moment magnetyczny o watości 2,3 A @ m 2. b) Obliczyć watość maksymalnego momentu siły działającej na cewkę, w któej płynie pąd o tym natężeniu w jednoodnym polu magnetycznym o indukcji 35 mt. 8. Ramka, pzez któą płynie pąd o natężeniu 5 A, ma kształt tójkąta postokątnego o bokach 30, 40 i 50 cm. Ramka znajduje się w jednoodnym polu magnetycznym o indukcji 80 mt, któej kieunek jest ównoległy do kieunku pądu pzepływającego pzez bok tójkąta o długości 50 cm. Wyznaczyć watości: a) dipolowego momentu magnetycznego amki, b) momentu siły działającego na amkę.

XXVII. POLE MAGNETYCZNE WYWOŁANE PRZEPŁYWEM PRĄDU 27.1. Pole magnetyczne wywołane pzepływem pądu Pole magnetyczne wytwazane w otoczeniu pzewodu, w któym płynie pąd, może być wyznaczone na podstawie pawa Biota-Savata. Pawo to stwiedza, że pzyczynek db do indukcji magnetycznej wytwazany pzez element pądu Ids w punkcie P w odległości od tego elementu jest ówny µ 0 Ids $ db = 4π 2. We wzoze tym $ oznacza wekto jednostkowy wyznaczający kieunek od elementu pądu do punktu P. Wielkość : 0 nzywa się pzenikalnością magnetyczną póżni i ma watość 7 6 4π 10 Tm / A 1, 26 10 Tm / A. Dla długiego postoliniowego pzewodu, pzez któy płynie pąd, pawo Biota-Savata pozwala wyznaczyć watość indukcji magnetycznej w punkcie, któego odległość od pzewodu jest ówna R: I B = µ 0 2 πr. (27.1) Watość indukcji magnetycznej w wiezchołku łuku o kącie śodkowym N i pomieniu R utwozonego pzez pzewód, pzez któy płynie pąd o natężeniu I, wynosi (pomijamy wypowadzenie tego wzou) I B = µ 0 φ. 4πR 27.2. Siły działające między dwoma ównoległymi pzewodami z pądem Dwa ównoległe pzewody, w któych płyną pądy, działają na siebie siłami. Załóżmy, że pzewody te, oznaczone pzez a i b, są odległe od siebie o d i niech w nich płyną pądy o natężeniach I a i I b. Pąd płynący w pzewodzie a wytwaza pole magnetyczne o indukcji B a i pole to powoduje powstanie siły działającej na pzewód b. Aby wyznaczyć siłę, musimy znać watość i kieunek wektoa indukcji B a w miejscu, w któym znajduje się pzewód b. Ze wzou (27.1) wynika, że watość w każdym punkcie pzewodu b jest ówna B a B a I a = µ 0. 2πd

192 XXVII. Pole magnetyczne wywołane pzepływem pądu Zgodnie ze wzoem (26.2) siła F ba wytwozona pzez zewnętzne pole o indukcji Ba i dzia- łająca na odcinek pzewodu b o długości L jest ówna Fba = Ib L Ba, gdzie L oznacza wekto długości pzewodu. Wektoy L i są postopadłe, więc µ LI aib Fba = Ib LBa sin 90 = 0. 2πd Z eguły pawej dłoni zastosowanej do wektoów L i B a wynika, że wekto F ba jest skieowa- ny w stonę pzewodu a. Odnotujmy, że pzewody, w któych płyną pądy ównoległe pzyciągają się, a te, w któych płyną pądy antyównoległe, odpychają się. B a 27.3 Pawo Ampèe a Pawo Ampèe a ma postać Bds = µ 0 I p, gdzie I p oznacza wypadkowe natężenie pądu pzepływającego pzez powiezchnię oganiczoną kontuem całkowania, a ds element kontuu (iloczyn skalany B ds ma być całkowany wzdłuż zamkniętego kontuu). Zadania 1. Geodeta używa kompasu w miejscu znajdującym się 6,1 m poniżej linii enegetycznej, w któej płynie pąd o natężeniu 100 A. a) Jakie pole magnetyczne wytwaza linia enegetyczna w miejscu, w któym znajduje się geodeta? b) Czy to pole będzie w sposób istotny zakłócało wskazania kompasu? Pozioma składowa indukcji magnetycznej ziemskiego pola w tym miejscu jest ówna 20 :T. 2. W pewnym miejscu na Filipinach ziemskie pole magnetyczne o indukcji 39 :T jest poziome i skieowane na północ. Pzypuśćmy, że wypadkowa indukcja pola jest ówna zeu dokładnie 8 cm nad długim, postoliniowym i poziomym pzewodem, w któym płynie pąd stały. Wyznaczyć: a) natężenie pądu, b) kieunek pądu. 3. Na ys. 27.1 pzedstawiono pzekój popzeczny pzez układ składający się z dwóch długich postoliniowych pzewodów z pądem. Pzez pzewód 1, leżący w odległości d 1 = 2,4 cm od pewnej płaszczyzny, płynie pąd o natężeniu 4 ma skieowany pzed płaszczyznę ysunku. Pzez pzewód 2, ównoległy do pzewodu 1 i leżący na tej płaszczyźnie w odległości d 2 = 5 cm od zutu postopadłego pzewodu 1 na płaszczyznę, płynie pąd o natężeniu 6,8 ma skieowany za płaszczyznę ysunku. Wyznaczyć składową x siły magnetycznej działającej na pzewód 2 wskutek pzepływu pądu w pzewodzie 1.

27.3. Pawo Ampèe a 193 Rys. 27.1. Zadanie 3 4. Na ys. 27.2 pzedstawiono pzekój popzeczny długiego walcowego pzewodnika o pomieniu a = 2 cm, w któym płynie pąd o natężeniu 170 A. Wyznaczyć watość indukcji pola magnetycznego a) na osi walca, w odległości b) 1 cm od osi walca, c) 2 cm od osi walca (czyli na jego powiezchni), d) 4 cm od osi walca. Rys. 27.2. Zadanie 4

XXVIII. ZJAWISKO INDUKCYJNOŚCI I INDUKCYJNOŚĆ 28.1. Pawo Faadaya i eguła Lenza Wiemy już, że pzepływ pądu wytwaza pole magnetyczne. Okazuje się, że pole magnetyczne może być źódłem pola elektycznego powodującego pzepływ pądu. Związek między polem magnetycznym i wytwazanym (czyli indukowanym) pzez nie polem elektycznym jest opisany pzez pawo Faadaya. O wytwazaniu pądu pzez pole magnetyczne można pzekonać się za pomocą postego doświadczenia. Jeżeli utwozymy pzewodzącą pętlę połączoną z czułym ampeomiezem, to po pzesunięciu magnesu sztabkowego w kieunku pętli w obwodzie pojawi się pąd (zob. ys. 28.1). Pąd znika, gdy magnes pzestaje pouszać się. Pzy odsuwaniu magnesu pąd znowu popłynie, ale w pzeciwnym kieunku. Z podobną sytuacją będziemy mieć do czynienia, gdy obok pętli z ampeomiezem ustawimy obwód, pzez któy płynie pąd (będzie on wytwazać pole magnetyczne). Rys. 28.1. Wzbudzanie pądu pzez pzesuwanie magnesu Aby zdefiniować pawo Faadaya, musimy obliczyć ilość pola magnetycznego pzechodzącego pzez pętlę. W podobny sposób, jak zdefiniowaliśmy stumień elektyczny (zob. p. 21.1), definiujemy stumień magnetyczny: Φ B = BdS, (28.1) gdzie ds oznacza wekto o watości ds i kieunku postopadłym do elementu powiezchni ds, a B oznacza indukcję pola magnetycznego. Jeśli pętla leży w pewnej płaszczyźnie, a linie pola

28.2. Zjawisko indukcji i pzekazywanie enegii 195 magnetycznego są postopadłe do tej płaszczyzny, to iloczyn skalany w tym ównaniu jest ówny BdS cos 0 = BdS. Ponao, gdy pole magnetyczne jest jednoodne, to wielkość B można wyłączyć pzed znak całki i wówczas pozostała całka pzedstawia pole powiezchni S pętli. W tym pzypadku mamy zatem Φ B = BS. (28.2) Z ównania tego, a także z ównania (28.1) wynika, że w układzie SI jednostką stumienia jest tesla azy met kwadatowy. Jednostkę tę nazwano webeem (Wb): 1Wb = 1T m. Stosując pojęcie stumienia magnetycznego, pawo Faadaya można sfomułować następująco: watość SEM indukowanej w pzewodzącej pętli jest ówna szybkości, z jaką stumień magnetyczny pzechodzący pzez tę pętlę zmienia się w czasie, czyli gdzie znak minus oznacza pzeciwdziałanie. Jeżeli zmieniamy stumień pola magnetycznego w cewce złożonej z N zwojów, to indukowana SEM pojawia się w każdym zwoju. Wówczas Po odkyciu pzez Faadaya pawa indukcji Lenz sfomułował egułę umożliwiającą wyznaczenie kieunku pądu indukowanego w obwodzie. Reguła ta mówi, że pąd indukowany płynie w takim kieunku, że pole magnetyczne wytwozone pzez ten pąd pzeciwdziała zmianie stumienia pola magnetycznego, któa ten pąd indukuje. Ponao kieunek indukowanej SEM jest taki sam, jak kieunek pądu indukowanego. 2 ε = d Φ B, (28.3) ε = N d Φ B. 28.2. Zjawisko indukcji i pzekazywanie enegii Występowanie pądów indukowanych wskutek zmiany stumienia magnetycznego oznacza, że takiemu pądowi jest pzekazywana pewna enegia. Enegia ta może następnie pzybać inne fomy, na pzykład może zostać pzekształcona w enegię temiczną. Jeżeli zamkniętą amkę będziemy pzesuwać ze stałą pędkością v w polu magnetycznym, to należy do niej pzyłożyć siłę F, któa będzie pzeciwstawiała się sile magnetycznej o takiej samej watości działającej w pzeciwnym kieunku. Szybkość, z jaką wykonywana jest paca, czyli moc, jest ówna P = Fv, gdzie F oznacza watość pzyłożonej siły. Naszym celem jest znalezienie wyażenia opisującego moc P w zależności od watości indukcji magnetycznej B, ozmiau amki L (jej szeokości) i opou R stawianego pądowi. Jeżeli pzez x oznaczymy długość tej części amki, któa wciąż znajduje się w polu magnetycznym, to pole powiezchni tej części jest ówne Lx. Zgodnie z ównaniem (28.2) mamy Φ B = BS = BLx.

196 XXVIII. Zjawisko indukcyjności i indukcyjność Gdy watość x maleje, to maleje ównież stumień magnetyczny. Zgodnie z pawem Faadaya zmniejszenie się stumienia indukuje SEM w pętli. Pomijając znak minus w ównaniu (28.3), możemy zapisać dφ ε = B d = ( BLx) = BL dx = BLv, (28.4) gdzie v oznacza pędkość pouszania się amki. Aby wyznaczyć natężenie pądu indukowanego, stosujemy ównanie I = g / R, skąd po uwzględnieniu zależności (28.4) mamy I BLv =. (28.5) R Rys. 28.2. Ramka w polu magnetycznym Tzy odcinki amki (zob. ys. 28.2), pzez któe płynie pąd, znajdują się w polu magnetycznym, więc na odcinki te będą działały siły do nich postopadłe. Siły te mogą być zapisane w postaci (zob. wzó (26.2)) FB = IL B. (28.6) Na ys. 28.2 siły te są oznaczone jako F1, F2 i F3. Siły F2 i F3 mają jednakowe watości i są pzeciwnie skieowane, a więc ównoważą się. Pozostaje tylko siła F 1, któa jest skieowana pzeciwnie do siły F, z jaką działamy na amkę, czyli mamy F = F 1. Kąt między wektoem B i wektoem długości L jest ówny 90 dla odcinka po lewej stonie amki. Posługując się ównaniem (28.6) do wyznaczenia watości siły F 1, mamy F = F1 = ILB sin 90 = ILB. Podstawiając do tej zależności ównanie (28.5), otzymujemy F = 2 2 B L v R.

28.4. Cewki i indukcyjność 197 Ponieważ wielkości B, L i R są stałymi, więc pędkość v te będzie stała, o ile watość siły, z jaką działamy na amkę, będzie też stała. Jeżeli ostatnie ównanie podstawimy do piewotnej zależności P = Fv, to otzymamy P = 2 2 2 B L v R Szybkość wydzielania się enegii temicznej w amce podczas wyciągania jej ze stałą pędkością z obszau pola magnetycznego obliczymy z ównania P = I 2 R. Mamy 2 2 2 2 BLv P = R B L v =, R R czyli dokładnie takie samo wyażenie. Oznacza to, że paca wykonywana podczas pzesuwania amki w polu magnetycznym ulega w całości pzekształceniu w enegię temiczną w amce.. 28.3. Indukowane pole elektyczne Zmiana stumienia magnetycznego indukuje SEM nawet wtedy, gdy powiezchnia, dla któej wyznaczamy stumień, nie jest oganiczona pętlą pzewodzącą, ale dowolną linią. Zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektyczne E w każdym punkcie takiej linii, a indukowana SEM jest związana z polem E zależnością ε = E ds. Używając pola elektycznego, pawo Faadaya można zapisać w ogólnej postaci następująco: dφ E ds = i kótko wyazić je zdaniem: zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektyczne E. B 28.4. Cewki i indukcyjność Cewka jest uządzeniem pozwalającym na wytwozenie ustalonego pola magnetycznego w okeślonym obszaze pzestzeni. Gdy pzez każdy z N zwojów cewki płynie pąd o natężeniu I, to pąd wytwozy stumień magnetyczny M B. Indukcyjność cewki definiujemy wówczas za pomocą tego stumienia wzoem NΦ B L =. I Jednostką indukcyjności jest hen (H) okeślany jako 1H = 1T m / A. Jeśli pzez cewkę płynie pąd o zmiennym w czasie natężeniu I, to w cewce pojawia się SEM samoindukcji ówna 2

198 XXVIII. Zjawisko indukcyjności i indukcyjność ε L = L di, (28.7) gdzie L oznacza indukcyjność cewki. Kieunek tej siły można wyznaczyć z eguły Lenza: SEM samoindukcji pzeciwdziała zmianom, w wyniku któych powstaje. 28.5. Obwody RL Jak już wiemy (po. p. 25.3.), jeśli nagle pzyłożymy SEM o watości g do obwodu o jednym oczku, któy zawiea oponik R i kondensato C, to ładunek będzie zmiezał do watości Cg w stanie ównowagi w sposób wykładniczy. Szybkość gomadzenia się ładunku jest okeślona pojemnościową stałą czasową J C. Podobnie, gdy nagle odłączymy od tego pzewodu SEM, to ładunek nie zniknie natychmiast, ale będzie zmiezał do zea także w sposób wykładniczy. Podobne opóźnienie wzostu (lub spadku) natężenia pądu pojawi się podczas włączania (lub wyłączania) SEM o watości g w obwodzie o jednym oczku, któy zawiea oponik R i cewkę L. Rozważmy ys. 28.3 gdy klucz S zamyka obwód w punkcie a, natężenie pądu w oponiku zaczyna osnąć. Gdyby nie było cewki, natężenie pądu badzo szybko wzosłoby do stałej watości g / R. Jednak ze względu na obecność cewki, w obwodzie pojawi się SEM samoindukcji g L. Zgodnie z egułą Lenza będzie ona pzeciwstawiała się wzostowi natężenia, co oznacza, że jest pzeciwnie skieowana niż SEM źódła. Zaobsewujemy, że początkowo cewka pzeciwdziała zmianom natężenia płynącego pzez nią pądu, a po dłuższym czasie cewka działa jak zwykły pzewód łączący elementy obwodu. Rys. 28.3. Obwód RL Jeżeli klucz na ys. 28.3 zamyka obwód w punkcie a, to obwód jest ównoważny obwodowi pzedstawionemu na ys. 28.4. Zastosujemy do tego obwodu dugie pawo Kichhoffa (algebaiczna suma zmian potencjałów napotkanych pzy pełnym obejściu dowolnego oczka jest ówna zeu), wychodząc od punktu x na ysunku i pouszając się zgodnie z kieunkiem pądu o natężeniu I. Pzechodząc pzez oponik R, potencjał maleje o wielkość IR. Między punktami x i y jest więc óżnica potencjałów!ir. W cewce L natężenie pądu I ulega zmianie, więc pojawia się w niej SEM samoindukcji g L. Z ównania (28.7) moemy obliczyć jej watość. Ponieważ siła ta pzeciwdziała kieunkowi pądu, więc między punktami y i z obsewujemy zmianę potencjału

28.5. Obwody RL 199 ówną!l di /. Po powocie do punktu x obsewujemy zmianę potencjału ówną +g. Zatem z dugiego pawa Kichhoffa wynika, że czyli IR L di + ε = 0, L di + RI =ε. (28.8) Rys. 28.4. Obwód z ys. 28.3 z kluczem w pozycji a Równanie (28.8) jest ównaniem óżniczkowym. Aby je ozwiązać, poszukujemy takiej funkcji I(t), któa spełnia to ównanie i waunek początkowy I(0) = 0. Rozwiązanie ma postać ε I = ( Rt / 1 e L ), R co można też zapisać w postaci L I = ( 1 e ), R gdzie J L oznacza indukcyjną stałą czasową ówną Jeżeli klucz S zamykający obwód pzedstawiony na ys. 28.3 znajduje się w punkcie a dostatecznie długo, to natężenie pądu osiągnie stan ustalony g / R. Gdy pzestawimy teaz klucz w położenie b, to źódło zostanie odłączone od obwodu. Bez źódła natężenie pądu płynącego pzez oponik będzie zmniejszało się. Równanie opisujące to zmniejszanie się można wypowadzić z ównania (28.8) podstawiając g = 0. Mamy wówczas t / τ Pzy waunku początkowym I(0) = I 0 = g / R ozwiązaniem tego ównania jest ε τ L L di L =. R + IR = 0. I ε t/ τ t/ τ L 0e L = e = I R.

200 XXVIII. Zjawisko indukcyjności i indukcyjność Jeżeli obie stony ównania (28.8) pomnożymy pzez I, to otzymamy Równanie to ma następującą intepetację fizyczną dotyczącą pacy i enegii:! jeżeli ładunek dq pzepływa pzez źódło SEM o watości g w czasie, to źódło wykonuje nad tym ładunkiem pacę gdq, a to oznacza, że szybkość, z jaką źódło wykonuje pacę, wynosi (gdq) /, tj. gi, czyli lewa stona ównania wyaża szybkość, z jaką źódło SEM dostacza enegię do pozostałych części obwodu,! ostatni składnik po pawej stonie ównania wyaża szybkość, z jaką enegia wydziela się na oponiku w postaci enegii temicznej,! z zasady zachowania enegii wynika, że enegia, któa jest dostaczona do obwodu, ale nie wydziela się w postaci enegii temicznej, musi być zmagazynowana w polu magnetycznym cewki, a to oznacza, że piewszy składnik po pawej stonie ównania wyaża szybkość de B /, z jaką enegia magnetyczna E B jest gomadzona w polu magnetycznym. Mamy zatem de B = LI di. Równanie to możemy zapisać w postaci skąd po scałkowaniu otzymujemy czyli εi = LI di + I 2 R. E E de B = LIdI, B de B 0 0 B = = LIdI, Jest to wyażenie okeślające całkowitą enegię zmagazynowaną w cewce L, w któej płynie pąd o natężeniu I. 2 I LI 2. (28.9) Zadania 1. Kołowa amka o śednicy 10 cm (widziana z boku na ys. 28.5) jest umieszczona w taki sposób, że wekto N nomalny do płaszczyzny amki twozy z nią kąt 2 = 30 z kieun- kiem jednoodnego pola magnetycznego o watości indukcji 0,5 T. Ramka jest obacana w taki sposób, że wekto N zakeśla powiezchnię stożka wokół kieunku pola ze stałą szybkością 100 obotów / min, kąt 2 pozostaje zaś stały podczas tego uchu. Jaka jest SEM indukowana w amce? 2. Na ys. 28.6 pzedstawiono zamkniętą pzewodzącą amkę w kształcie okęgu o pomieniu R = 2 m. Ramka ma opó 4 S, a śodek okęgu znajduje się w punkcie, pzez któy pzechodzi długi posty izolowany pzewód. W chwili t = 0 pąd w pzewodzie płynie w pawo, a jego natężenie jest ówne 5 A. Później natężenie pądu zmienia się zgodnie z zależnością I = 5 A! (2 A / s 2 ) t 2. Jakie jest natężenie pądu indukowanego w amce dla t > 0?

28.5. Obwody RL 201 Rys. 28.5. Zadanie 1 Rys. 28.6. Zadanie 2 3. Na ys. 28.7 pzedstawiono metalowy pęt pzesuwany z pędkością v po dwóch metalo- wych szynach połączonych na jednym końcu metalowym paskiem. Pole magnetyczne o watości indukcji B = 0,35 T jest skieowane pzed płaszczyznę ysunku. a) Jaka SEM jest indukowana w obwodzie, jeśli szyny są oddalone o 25 cm, a pędkość pęta jest ówna 55 cm / s? b) Ile wynosi natężenie pądu płynącego w pęcie, jeśli ma on opó 18 S, a opó szyn i paska jest znikomo mały? c) Z jaką szybkością enegia jest pzekształcana w enegię temiczną? Rys. 28.7. Zadanie 3 4. Odcinek dutu miedzianego o długości 50 cm i śednicy 1 mm twozy kołową amkę umieszczoną postopadle do kieunku wektoa indukcji, któego watość ośnie ze stałą szybkością 10 mt / s. Z jaką szybkością wydziela się w amce enegia temiczna? 5. Okągła cewka o pomieniu 10 cm składa się z 30 ciasno nawiniętych zwojów. Zewnętzne pole magnetyczne o watości indukcji 2,6 mt jest skieowane postopadle do płaszczyzny cewki. a) Jaki stumień magnetyczny pzenika pzez zwoje cewki, jeżeli nie płynie w niej pąd?

202 XXVIII. Zjawisko indukcyjności i indukcyjność b) Gdy w cewce płynie w pewnym kieunku pąd o natężeniu 3,8 A, to wypadkowy stumień pzenikający pzez cewkę jest ówny zeu. Ile wynosi indukcyjność cewki? 6. Na ys. 28.8 pzedstawiono obwód składający się z tzech identycznych oponików o opoze R = 9 S, dwóch identycznych cewek o indukcyjności L = 2 mh i źódła doskonałego o SEM o watości g = 18 V. a) Jakie będzie natężenie pądu I, któy popłynie pzez źódło tuż po zamknięciu klucza? b) Jakie będzie natężenie pądu I płynącego pzez źódło po długim czasie od zamknięcia klucza? Rys. 28.8. Zadanie 6 7. Natężenie pądu w obwodzie RL zmniejsza się od 1 A do 10 ma w ciągu piewszej sekundy po odłączeniu źódła od obwodu. Obliczyć opó R w obwodzie jeśli indukcyjność L jest ówna 10 H. 8. W chwili t = 0 do szeegowego obwodu RL podłączono źódło pądu. Wyznaczyć, po jakim czasie wyażonym pzez wielokotność indukcyjnej stałej czasowej J C pąd płynący w obwodzie będzie o 0,1 % mniejszy od watości w stanie ustalonym.

XXIX. DRGANIA ELEKTROMAGNETYCZNE I PRĄD ZMIENNY 29.1. Dgania elektomagnetyczne w obwodach LC Spośód dwuelementowych obwodów elektycznych ozważyliśmy połączenie szeegowe RC oaz RL. Okazało się, że watości ładunku, natężenia pądu i óżnicy potencjałów występujących w tych obwodach osną lub maleją wykładniczo. W tym punkcie zbadamy kombinację LC. Okaże się, że ładunek, natężenie pądu i óżnica potencjałów zmieniają się w tym pzypadku sinusoidalnie. Powstające w wyniku tego dgania pola elektycznego w kondensatoze i pola magnetycznego w cewce nazywamy dganiami elektomagnetycznymi, a obwód elektyczny LC nazywa się obwodem dgającym. Rys. 29. Osiem faz jednego cyklu dgań w obwodzie LC Na ys. 29 pzedstawiono kolejne fazy dgań w postym układzie LC. Enegia zmagazynowana w polu elektycznym kondensatoa w dowolnej chwili jest ówna (zob. p. 23.3)

204 XXIX. Dgania elektomagnetyczne i pąd zmienny E E = 2 q 2 C, (29.1) gdzie q oznacza ładunek, a enegia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki wynosi (zob. wzó (28.9)) 2 LI E B = 2, (29.2) gdzie I oznacza natężenie pądu płynącego pzez cewkę. Całkowita enegia E = E E + E B pozostaje stała. Oznacza to, że pochodna de / musi ównać się zeu, co powadzi do zależności de d 2 2 LI q LI di q dq = + 2 2C = + C = 0. Ponieważ I = dq / oaz di / = d 2 q / 2, więc z powyższego ównania otzymujemy ównanie óżniczkowe postaci L d 2 q 1 + C q = 0. (29.3) 2 Rozwiązanie ogólne ównania (29.3) ma postać gdzie q max oznacza amplitudę zmian ładunku, T częstość kołową dgań elektomagnetycznych, a N fazę początkową. Różniczkując to ównanie względem czasu, otzymujemy wyażenie opisujące natężenie pądu Amplituda I max zmieniającego się sinusoidalnie natężenia pądu wynosi i możemy ównanie (29.5) pzepisać w postaci I = Imax sin( ωt+ φ). Pzez podstawienie wyażenia (29.4) i jego pochodnej dugiego zędu względem czasu do ównania (29.3) otzymujemy skąd po skóceniu i postych pzekształceniach dostajemy q = q cos( ω t+ φ ), (29.4) max dq I = = ωqmax sin( ωt+ φ). (29.5) I max = ωq 2 1 Zatem częstość kołowa ma stałą watość. Faza początkowa N jest okeślona pzez waunki, któe występują w pewnej chwili, np. t = 0. Z ównań (29.1) i (29.4) wynika, że enegia elektyczna zmagazynowana w obwodzie LC w dowolnej chwili t jest ówna max L ω qmax cos( ω t+ φ ) + + = C q max cos( ωt φ ) 0, ω = 1 LC. (29.6)

29.2. Dgania tłumione w obwodzie RLC 205 2 2 q q E E = = max 2 t + 2C 2C cos ( ω φ ). Z kolei z ównań (29.2) i (29.5) dla enegii magnetycznej mamy 2 2 2 LI Lω q E B = = max 2 ωt + φ 2 2 sin ( ), skąd po uwzględnieniu zależności (29.6) otzymujemy 2 q E B = max t C sin 2 ( ω 2 + φ ). Zauważmy, że: 2! watości maksymalne enegii E E i E B są jednakowe i wynoszą qmax / 2C, 2! w dowolnej chwili suma enegii E E i E B ma stałą watość qmax / 2C,! gdy enegia elektyczna E E osiąga maksymalną watość, to enegia magnetyczna E B jest ówna zeu i na odwót. 29.2. Dgania tłumione w obwodzie RLC Jeśli do obwodu LC dołączymy ozpaszający enegię opó R, to dgania w takim obwodzie są tłumione. Zachodzi wówczas ównanie któego ozwiązaniem jest 2 L d q R dq 1 + + C q = 0, 2 gdzie Rt / 2 L q = q e cos( ω t + φ), max ω = ω 2 ( R/ 2L) 2. Dgania w obwodzie RLC nie będą zanikać, jeśli zewnętzne źódło SEM dostaczy dostatecznie dużo enegii, aby uzupełnić staty spowodowane ozpaszaniem enegii w oponiku R. Instalacje elektyczne w mieszkaniach, biuach i fabykach, zawieające niezliczone obwody RLC, pobieają enegię z lokalnych elektowni. Enegia ta jest dostaczana pzy użyciu napięć i pądów zmieniających się w czasie taki pąd nazywamy pądem zmiennym. Te zmienne napięcia i natężenia pądu zależą sinusoidalnie od czasu, zmieniając kieunek (w Euopie 100 azy na sekundę, co odpowiada częstotliwości 50 Hz; w Ameyce Północnej częstotliwość zmian napięcia i natężenia pądu w sieci elektycznej wynosi 60 Hz). Podstawową kozyścią ze stosowania pądu zmiennego jest to, że zmiany natężenia pądu powodują zmiany pola magnetycznego otaczającego pzewodnik. Dzięki temu jest możliwe zastosowanie pawa indukcji Faadaya, co oznacza między innymi, że możemy dowolnie podwyższać (zwiększać) lub obniżać (zmniejszać) amplitudę napięcia zmiennego, kozystając z uządzenia zwanego tansfomatoem. Dodatkową kozyści jest to, że pąd zmienny jest łatwiejszy do stosowania w obotowych uządzeniach elektycznych, takich jak pądnice i silniki.

206 XXIX. Dgania elektomagnetyczne i pąd zmienny Zadania 1. Obwód dgający LC składa się z cewki o indukcyjności 75 mh i kondensatoa o pojemności 3,6 :F. Obliczyć: a) całkowitą enegię w obwodzie, b) maksymalne natężenie pądu, jeśli maksymalny ładunek na okładkach kondensatoa jest ówny 2,9 :C. 2. W pewnym obwodzie LC enegia zmienia się z enegii elektycznej na kondensatoze na enegię magnetyczną w cewce w ciągu 1,5 :s. Ile wynoszą: a) okes dgań, b) częstotliwość dgań. c) Po jakim czasie od chwili, w któej enegia magnetyczna miała watość maksymalną, osiągnie ona znów maksimum? 3. W obwodzie dgającym LC mamy L = 1,1 mh i C = 4 :F. Maksymalny ładunek na okładkach kondensatoa jest ówny 3 :C. Oblicz maksymalną watość natężenia pądu. 4. W obwodzie dgającym LC zawieającym cewkę o indukcyjności 1,25 H enegia jest ówna 5,7 :J. Maksymalny ładunek na okładkach kondensatoa wynosi 175 :C. Dla układu klocek-spężyna o tym samym okesie dgań i maksymalnej pędkości klocka ównej 3,02 mm / s obliczyć: a) masę klocka, b) współczynnik spężystości spężyny, c) maksymalne pzemieszczenie. 5. W obwodzie dgającym LC zawieającym L = 50 mh i C = 4 :F w chwili początkowej natężenie pądu ma maksymalną watość. Po jakim czasie kondensato zostanie po az piewszy naładowany? 6. Jaki opó R należy połączyć szeegowo z indukcyjnością L = 220 mh i pojemnością C = 12 :F, aby maksymalny ładunek na kondensatoze zmniejszył się do 99 % swojej początkowej watości w czasie 50 cykli dgań (pzyjąć ω ω).

XXX. RÓWNANIA MAXWELLA Wszystkie pawa fizyki podane w popzednich jedenastu ozdziałach (XIX XXIX) można zebać w postaci zaledwie czteech ównań Maxwella. Zanim je podamy, pzedstawimy uogólnione pawo Ampèe a. W ozdziale XXVIII dowiedzieliśmy się, że zmienny stumień magnetyczny indukuje pole elektyczne i zapisaliśmy pawo Faadaya w postaci (zob. p. 28.3) dφ B E ds =. Wekto E oznacza tutaj natężenie pola elektycznego indukowanego wzdłuż zamkniętego kon- tuu pzez zmienny stumień magnetyczny M B objęty tym kontuem. Z kolei zmienny stumień pola elektycznego wytwaza pole magnetyczne B. Odpowiednie pawo możemy zapisać w po- staci dφ E Bds = µε 0 0, (30.1) gdzie : 0 oznacza pzenikalność magnetyczną póżni (stałą magnetyczną), a g 0 pzenikalność elektyczną póżni (stałą elektyczną). Wekto B oznacza w tym wzoze indukcję pola magne- tycznego, któe jest indukowane wzdłuż zamkniętego kontuu pzez zmienny stumień elektyczny M E objęty tym kontuem. Całka występująca w ównaniu (30.1) pojawiła się ównież w pawie Ampèe a Bds = µ 0 I p, (30.2) w któym I p oznacza natężenie pądu objętego kontuem całkowania. Równania (30.1) i (30.2) można połączyć i napisać azem w postaci dφ E Bds = µε 0 0 + µ 0I p. Gdy istnieje pąd, a nie ma zmiany stumienia elektycznego, piewszy składnik po pawej stonie jest ówny zeu. Gdy zmienia się stumień elektyczny, ale nie płynie pąd, dugi składnik po pawej stonie jest ówny zeu. Równanie (30.3) jest ostatnim spośód czteech podstawowych ównań elektomagnetyzmu, nazywanych ównaniami Maxwella. Zostały one zebane w tabeli 30 pzy założeniu, że nie występują mateiały dielektyczne i magnetyczne.

208 XXX. Równania Maxwella Tabela 30. Równania Maxwella Nazwa Równanie Znaczenie Pawo Gaussa dla elektyczności wiąże wypadkowy stumień E ds = q wewn / ε 0 elektyczny z wypadkowym ładunkiem elektycznym objętym powiezchnią Gaussa Pawo Gaussa dla magnetyzmu wiąże wypadkowy stumień BdS = 0 magnetyczny z wypadkowym ładunkiem magnetycznym objętym powiezchnią Gaussa Pawo Faadaya dφ wiąże indukowane pole B E ds = elektyczne ze zmiennym stumieniem magnetycznym Uogólnione pawo Ampèe a dφ wiąże indukowane pole E Bds = µε 0 0 + µ 0I p magnetyczne ze zmiennym stumieniem elektycznym oaz z pądem