WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO

PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 64 Transpor 28 Tomasz AMBROZIAK, Konrad LEWCZUK Wydzał Transporu Polechnk Warszawske Zakład Logsyk Sysemów Transporowych ul. Koszykowa 75, -662 Warszawa am@.pw.edu.pl; kle@.pw.edu.pl WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO Sreszczene Refera ma na celu przedsawene wybranych zagadneń harmonogramowana procesu przepływu maerałów w obekach magazynowych. Zaprezenowane są podsawowe zasady konsruowana harmonogramów pracy urządzeń ludz w obekach magazynowych. W druge częśc referau przedsawono meodę programowana nelnowego opymalzac harmonogramu procesu przepływu maerałów ze względu na koszy realzac procesu dla wybranych założeń echnologcznych. Meoda zosała zobrazowana przykładem. Słowa kluczowe: harmonogram, harmonogramowane, proces magazynowy, modelowane. WPROWADZENIE Zgodne z defncą [7] harmonogramowane es przewdywanem usalanem posępu prac poprzez przydzelane środków pracy do zadań usalane momenów rozpoczęca wykonywana ych zadań. Składowym problemu harmonogramowana są: zadana do wykonana, poencalne ogranczena, środk pracy oraz funkca kryerum. Problem wnen zosać rozwązany ak, aby funkca kryerum osągała warość opymalną. Taka defnca sugerue możlwość zasosowana meod opymalzacynych przy wyznaczanu harmonogramów. Harmonogramowane es przydzelenem dla każdego z zadań pewne lczby odcnków czasowych oraz ednego lub węce ypów urządzena realzuącego. Harmonogram może zosać przedsawony w posac wykresu Gan a zorenowanego na urządzene lub na czynność (rys. ). [2][4] a) urządzene czynn. czynn. 2 czynność urządz. urządz. urządzene 2 czynn. 4 czynn. 3 czynn. 5 czynność 2 urządz. 3 urządz. 2 urządz. 3 czas Rys.. Przykład harmonogramu: a) zorenowanego na urządzene, zorenowanego na czynność. Źródło: opracowane własne. czas

6 Tomasz Ambrozak, Konrad Lewczuk Umescowene harmonogramowana w procedurze proekowana obeku magazynowego prezenue rysunek 2: Ieracyna pęla proekowa KSZTAŁTOWANIE WYMIAROWANIE (ze wzgl. na ) paramery OCENA dobór echnolog przesrzene przesrzene echnologa wydanośc organzaca koszy lczba urządzeń usalane kryerów mernk oblczane wskaźnków ZADANIE LOGISTYCZNE pracochłonność harmonogram Rys. 2. Procedura proekowa obeku magazynowego. Źródło: opracowane własne. Z proekowego punku wdzena ogranczena czasowe procesu magazynowego maą charaker perwony względem proekowanego sysemu, są ramam czasowym wynkaącym z zewnęrznego zadana logsycznego magazynu (np. lczba zman roboczych, sałe godzny dosaw odborów d.). Ukszałowany pod względem: ) echnologcznym, 2) przesrzennym proces magazynowy zosane 3) zorganzowany w czase za pomocą harmonogramu z uwzględnenem powyższych ogranczeń. Ukszałowany proces wymarue sę ze względu na wydaność (lczbę urządzeń) na podsawe harmonogramu a co za ym dze ze względu na nakłady koszy realzac. Jeżel zwymarowany proces ne spełna oczekwań, należy w pęl eracyne proekowana powracać do eapów ) lub 2) ponowne kszałować proces (rys. 2), [2],[3]. Lczba erac może zosać zredukowana przez zasosowane meody zaprezenowane w punkce 2. Harmonogramowane zadana mogą być rozparywane w dwóch aspekach, []:. Operaca (zadane) es czynnoścą o charakerze ednorazowym necyklcznym. Isone są momen rozpoczęca zakończena wykonywana e czynnośc. Wykonane czynnośc w całośc es warunkem rozpoczęca kolenego zadana (np. murowane ścan można rozpocząć dopero po wylanu fundamenów rys.3a). 2. Operaca (zadane) składa sę z czynnośc maących charaker powarzalny cyklczny, sona es lczba powórzeń czynnośc czas e rwana. Wykonywane kolenych operac w procese może rozpocząć sę po wykonanu określone lczby powórzeń czynnośc w operac poprzedzaące (np. opróżnane bufora może rozpocząć sę dopero po poawenu sę w nm określone lczby ednosek rys.3. a) Wykonane fundamenów Murowane ścan Napełnane bufora łp Transpor łp do srefy składowana 2 3 Wykonano prace geodezyne Fundameny wykonane Wymurowano ścany Podsawono naczepę z łp 2 W buforze poawła sę określona lczba łp 3 łp w srefe składowana Rys. 3. Odwzorowane procesu: a) poedyncze czynnośc, czynnośc welokrone. Źródło: opracowane własne.

Wybrane aspeky harmonogramowana procesu magazynowego 7 Operace magazynowe wykazuą cechy druge grupy,. składaą sę z pewne lczby powórzeń edne, przeważne króke czynnośc. Z ego powodu możlwe es przesunęce akcenu z konecznośc przydzelana konkrenego egzemplarza urządzena do konkrene operac (poedyncze czynnośc) na przydzelane grupy urządzeń danego ypu do czynnośc welokrone. Podeśce ake pozwala na wykorzysane harmonogramu do wymarowana procesu ze względu na wydaność, [2]. Harmonogramowane operac w procese magazynowym służy określenu czasu, w kórym dane operace magazynowe mogą być wykonywane, czyl zw. czasu dysponowanego bruo z dla ych operac. Czas en pomneszony przez wskaźnk wykorzysana czasu pracy φ będze czasem dysponowanym neo, kóry posłuży do wyznaczena lczby urządzeń -ego ypu realzuących -ą operacę [3]: D U RU D D n = przy czym: R U = λ U U (), (2) z ϕ I D gdze: R U pracochłonność dobowa wynkaącą z wykorzysana urządz. -ego ypu [r.h]. D λ U dobowa lczba powórzeń -e operac, U czas wykonana ednego powórzena -e operac [mn]. Na podsawe zadana logsycznego, realzowanego w syseme, można wyznaczyć D dobową lczbę powórzeń -e operac λ U. Proces magazynowy można ocenać przy pomocy syneycznego parameru, zw. pracochłonnośc sprowadzone procesu, kóry pozwala na dodawane pracochłonnośc rzeczywsych czynnośc realzowanych przez urządzena różnych ypów. Pracochłonność sprowadzoną wyznacza sę przez wyważene pracochłonnośc rzeczywse koszem pracy urządzena. Taka welkość może być dodawana zapsana w posac wykresu ogólnego dla całego harmonogramu (rys. 6d). D D D k R U = RU (3) k I J gdze: R U dobowa pracochłonność sprowadzona procesu, [roboczo.h]. k kosz godzny pracy urządzena -ego ypu, [zł/h], k B kosz bazowy godzny pracy, sały dla wszyskch urządzeń w procese [zł/h]. Opymalzac procesu magazynowego można dokonywać poprzez wygładzane wykresu pracochłonnośc sprowadzone (zn. równomerne wykorzysane zansalowanych echnolog; mnmalzowane pola fgury wypełnone kolorem szarym rys. 6d, wzór (2)) oraz w drodze mnmalzowana warośc maksymalnych naężena pracochłonnośc sprowadzone (zn. ake zorganzowane procesu w czase, kóre wymaga zansalowana mnesze lczby urządzeń, bądź nsalowane urządzeń ańszych, wzór ()). Wyznaczena lczby urządzeń nezbędnych do realzac procesu dokonue sę równeż poprzez bezpośredne odczyane z harmonogramu maksymalne warośc pracochłonnośc h* h* h R R U = max R. godznowe procesu z harmonogramu (rys. 6c): n U = U, przy czym { U } B h T

8 Tomasz Ambrozak, Konrad Lewczuk 2. MODEL OPTYMALIZACYJNY HARMONOGRAMU PROCESU MAGAZYNOWEGO Dane weścowe Dysponuemy zborem I zadań (operac, czynnośc) I, I = {, 2,...,,...,I }, kóre maą zosać zorganzowane w czase. Każde zadane ma przypsany yp urządzena J ze zboru ypów urządzeń J = {, 2,...,,...,J }, kórym będze realzowany. W zwązku z powyższym I es zborem ypów zadań wykonywanych przez urządzene -ego ypu, przy czym I D I. Każde -e zadane ma znaną pracochłonność dobową RU wynkaącą z lczby powórzeń dane czynnośc oraz czasu wykonana ednego powórzena (2). Praca będze organzowana poprzez przydzelane do każde -e czynnośc pewne lczby odcnków czasowych T ze zboru odcnków czasu T = {, 2,...,,...,T }. Lczba elemenów zboru wynka z żądane dokładnośc harmonogramu. Przeważne odcnk czasowe odpowedne dla czynnośc magazynowych są ne krósze nż 3 mn, co przy 8-godznne zmane robocze dae 6 odcnków czasu. Założena budowy modelu opymalzacynego dana es pracochłonność dobowa realzac -ego zadana, usala sę długość czasu pracy l (czas, dla kórego wykonue sę harmonogram) określa na ego podsawe lczbę odcnków czasu, ypu rządzeń są na sałe przypsane do ypów zadań, dana es (opconalne) lczba urządzeń -ego ypu n U ako ogranczene, dane są koszy godzny pracy urządzena -ego ypu k, przydzelone do -ego zadana odcnk czasu sanową czas dysponowany d dla wykonywana ego zadana, czas wykonana ednego powórzena -ego zadana es znacząco mneszy od czasu dysponowanego dla ego zadana (ako pewne lczby powórzeń czynnośc) U << d. wszyske -e zadana muszą zosać wykonane w czase T. naężene pracochłonnośc na wykrese (rys.6) es równomerne wynka z (). Zmenne decyzyne Praca będze organzowana poprzez przydzelane do każdego -ego rodzau zadana odcnków czasowych T ze zboru odcnków czasu T = {, 2,...,,...,T }. Wszyske zadana muszą meć przypsany czas dysponowany w posac odpowedne lczby odcnków czasowych (umescowonych na os czasu zgodne z ogranczenam). x,, Wprowadźmy do rozważań zmenne decyzyne x bnarne o nerpreac:, eżel -e zadane ma być realzowane urządzenem -ego ypu w -ym odcnku czasu, =, w przecwnym wypadku., =. Zmenne decyzyne worzą macerz X [ x ] I J T Ogranczena nakładane na zmenne decyzyne. Nawcześneszy/napóźneszy momen rozpoczęca/zakończena wykonywana zadana. Usalany es poprzez defnowane zborów odcnków czasu T dozwolonych dla -ego ypu zadana (rys. 4):

Wybrane aspeky harmonogramowana procesu magazynowego 9 T * * * {,,,...,T }, T T, T T = + + 2 I (4) 2. Wyłączene przedzałów czasu (np. ze względów echnologcznych). Dokonywane es poprzez wyzerowane odpowednch zmennych decyzynych (rys. 4):, x ** *** T : < < = I J (5) = 2 3 4 5 6 7 8 T * ** x,5 = *** T T Rys. 4. Ogranczena ze względu na rozpęość czasu dysponowanego dla zadań. Źródło: opracowane własne. 3. Mnmalny czas dysponowany d zadana,. mnmalna lczba odcnków czasowych, kóre należy przydzelć do -ego ypu zadana ze względów echnologcznych: T, x d,, x T d I 4. Lczba urządzeń -ego ypu realzuących zadane -ego ypu [wynka z ()]: D, RU x a) max n [ ] U T,s l I x g ϕ T s T T l ϕ D, RU x,s g I x s T U n J (6) J (7) J (8) D gdze: R U pracochłonność dobowa wynkaąca z realzac -ego zadana przez urządzene -ego ypu [r.h], T lczność zboru odcnków czasowych; lczba -ych odcnków czasu, l długość zmany robocze [h], ϕ g współczynnk wykorzysana czasu pracy przez urządzene -ego ypu, n U lczba urządzeń -ego ypu. 5. Zarnsość harmonogramu. Przy względne duże lczbe odcnków czasowych, czasy dysponowane dla -ych zadań będą usalane w sposób eksremalzuący funkcę celu, ednak neefekywny ze względów echnologcznych (np. uruchamane ln produkcyne na mn). W ym celu wprowadzono ogranczene na mnmalną lczbę c odcnków czasowych, kóre muszą worzyć neprzerwany cąg dla -ego zadana (rys. 5): α mn ( α ) { T,c } + z mn{ T, c },s x z= mn s= + z,s x z= s= + + c = { T,c } + z mn{ T, c } + z,s,s x x z= s= z= s= + I I T : < T (9) T : < T ()

Tomasz Ambrozak, Konrad Lewczuk gdze: c mn. długość poedynczego odcnka czasu (edynego, lub ednego z klku) wchodzącego w skład czasu dysponowanego -ego zadana [odcnków], α zmenna pomocncza (bnarna) odcnek czasu mus meć długość mnmalną c = 4 Α, α, = [ α ] I Α warunkuąca wykonane ogranczena w edne z dwóch posac: (9) lub (). Zmenna a ma nerpreacę:, eżel dla -e czynnośc, w odcnku czasu realzowane es ogr. (9), α =, eżel dla -e czynnośc, w odcnku czasu eżel realzowane es ogr. (). Rys. 5. Przykład rozłożena -ego zadana w czase a) bez zachowana ogranczeń (9), (), z zachowanem ogranczeń (9), (). Źródło: opracowane własne. Funkca celu Zadane opymalzacyne może zosać rozwązane względem dowolne funkc kryerum określaące akość rozwązana. Proponowane funkce są określone na: a) Mnmalne chwlowe pracochłonnośc sprowadzone procesu magazynowego. Pracochłonność rzeczywsa procesu po rozłożenu e w czase dysponowanym es wyważana za pomocą koszu godzny pracy urządzena. Take pracochłonnośc dla całego procesu można dodawać uzyskuąc wykres naężena pracochłonnośc procesu w poszczególnych chwlach. Mnmalzowane nawększe z chwlowych warośc pracochłonnośc sprowadzone oznacza ulepszane rozłożena zadań w czase. Maksymalnym wykorzysanu zansalowanego poencału echnologcznego. Lczba zansalowanych urządzeń (poencał echnologczny) wynka z okresowego szczyu naężena pracochłonnośc procesu. W pozosałych okresach część zansalowanego poencału pozosae newykorzysana (szare pole na rys. 6d). Mnmalzowane welkośc ego pola oznacza lepsze wykorzysane urządzeń unkane sra zwązanych z przesoam [4]. D, RU x T k a) F( X ) = max mn [ T ] () [ X ] I,s x l ϕg kb s T F( X ) a) D, D R U x k RU k = max mn [ T ] T [ X ] I I,s x kb kb s T gdze: k kosz godzny pracy urządzena -ego ypu [zł/h], k B kosz bazowy dla wylczana warośc pracochłonnośc sprowadzone, przy czym: k B = mn k [zł/h], { } [ J ] pozosałe symbole /w. -y odcnek przydzelony T -y odcnek neprzydzelony NIE (nepoprawne) TAK (poprawne) (2)

Wybrane aspeky harmonogramowana procesu magazynowego 3. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Rozważono prosy proces magazynowy składaący sę z rzech ypów zadań: = (rozładunek naczep wypełnane bufora weścowego, wykonywany przez wózk = ypu), =2 (odsawene maerałów do srefy składowana, wykonywane przez urządzene =2 ypu) oraz =3 (przewezene maerałów do srefy komsonowana, wykonywane równeż przez urządzene = ypu). Znana es pracochłonność dobowa każdego zadana R D =4 [r.h], R D 2=3 [r.h], R D 3=5 [r.h]. Przyęo, że mnmalna ednoska czasu na harmonograme wynos h (sąd T=8 dla edne zmany robocze). Kosz godzny pracy urządzeń usalono na: k = [zł/h], k 2 =5 [zł/h]. a), 3, 4 x =, x = 2 3 4 5 6 7 8 D =, =, R = 4 [r.h] D2 =2, =2, R 2 = 3 [r.h] D =3, =, R 5 [r.h] 3 = c) 5 2,5 8 =, = =, = =2, =2 =3, = 6 R h = 4 / 4 [r.h] = 2 R h = 3 / 5 6 [r.h] 2 = R h = 5 / 6 = 2 5 [r.h] 3,,5 d) 9,5 5 7 6 max R max R R D h h2 =, 5 nu 2 = 6 nu = = 6 ( ) 4 ( 5 ) 45 ( ) 5 = 4 / = 2 R D 2 = 3 / = R D 3 = 5 / = [r.h] [r.h] [r.h],5,5 R h R h = 4 / 5 = 8[r.h] 2 = 45 / 5 = 9[r.h] 3, R h = 5 / 6 = 2 5 [r.h] Rys. 6. Przykład oblczenowy: a) harmonogram rozłożena zadań, 2 3 w czase, wykres pracochłonnośc rzeczywse realzac czynnośc, c) wykres pracochłonnośc rzeczywse realzac czynnośc ze względu na ypy urządzeń, d) wykres sumaryczny pracochłonnośc sprowadzone realzac procesu. Źródło: opracowane własne.

2 Tomasz Ambrozak, Konrad Lewczuk Nałożono nasępuące ogranczena (zgodne z numeracą z rozdzału 2): Ogranczene nr : oznaczono na rys.6a kolorem szarym dla każdego zadana. Ogranczene nr 2: (ne obowązue). Ogranczene nr 3: mnmalny czas dysponowany: d 5, d 2 5, d 3 3. Ogranczene nr 4: dana es lczba urządzeń n U = 2 ; n 2 U =. Ogranczene nr 5: mnmalny cągły odcnek czasu c = 2 dla wszyskch zadań. Zadane zosało zamplemenowane w środowsku programu LINGO 9.. Na podsawe danych przykładowych wyznaczono cąg zmennych reprezenuących przydzał odcnków czasu dla każdego zadana (rys. 6a) przy warośc funkc kryerum F ( X ) = 9, 5 [r.h]. 3. PODSUMOWANIE Zaprezenowany model opymalzacyny es próbą odwzorowana procesu magazynowego od srony organzacyne. Wspomaga on analzę procesów sneących (kedy znane są ogranczena zwązane z lczbą urządzeń d.) oraz proponowane zman w procese (poprzez zmanę danych wyścowych ogranczeń) oraz proekowane nowych rozwązań. Formalny zaps modelu maemaycznego umożlwa zasosowane podanego algorymu ako składowe narzędz nformaycznych wspomagaących proekowane obeków magazynowych. LITERATURA [] Ambrozak T.: Meody narzędza harmonogramowana w ransporce, Bbloeka Problemów eksploaac. Wydawncwo Insyuu Technolog Eksploaac PIB, Warszawa 27. [2] Fałkowsk J.: Transpor wewnęrzny w sysemach logsycznych, Wybrane zagadnena. OWPW, Warszawa 23. [3] Fałkowsk J.: Technologa magazynowana. Wybrane zagadnena, OWPW, Warszawa 995r. [4] Fałkowsk J., Czynnk koszów w wymarowanu procesów przepływu ładunków w sysemach logsycznych, maerały konferencyne XI Konferenc Logsyk Sosowane "Toal Logsc Managemen", Zakopane 27. [5] Bruckner P.: Schedulng Algorhms, (5-e wyd.), Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, 27r. [6] Błażewcz J., Ecker K., Pesch E., Schmd G., Węglarz J.: Handbook on Schedulng, From Theory o Applcaons, Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, 27r. [7] T knd V., J.-C. Bllau.: Mulcrera Schedulng, Theory, Models and Algorhms, (2-ge wyd.), Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, 26r. SOME ASPECTS OF SCHEDULING WAREHOUSE OPERATIONAL PROCESS Absrac The paper presens seleced problems of schedulng nernal maeral flow n warehouse obecs. The basc rules of consrucng schedules for equpmen usage and people engagemen are presened. The second par of paper provdes a non-lnear programmng mehod of opmzng schedule of nernal maeral flow accordng o generaed coss n reference o model consrans and echnologcal assumpons. The mehod was suppored by a numercal example. Key words: schedule, schedulng, warehouse process, modelng Recenzenc: Maranna Jacyna, Janusz Fałkowsk