Składowe odpowiedzi zasowej. Wyznazanie maierzy podstawowej Analizowany układ przedstawia rys.. q (t A q 2, q 2 przepływy laminarne: h(t q 2 (t q 2 h, q 2 2 h 2 ( Przykładowe dane: A, 2, 2 2 (2 h2(t q 2 (t Rysunek. Układ dwóh zbiorników. Opis matematyzny równania stanu, transmitanja.. Równania stanu Szukany jest opis obiektu z rys. w postai układu równań: gdzie zastosowano następująe oznazenia: Warunek pozątkowy: x(t h(t ẋ(t Ax(t + Bu(t (3 y(t Cx(t + Du(t, (4 h (t, u(t q h 2 (t (t, y(t h 2 (t (5 x( h( { h ( h h 2 ( h 2. (6 Stan ustalony: ẋ(t {ḣ (t ḣ 2 (t (7 Opis matematyzny układu (równania bilansu: V (t q q 2, V (t A h (t (8 V 2 (t q 2 q 2, V 2 (t h 2 (t (9
Równania stanu układu dwóh zbiorników z rys. : Maierze i wektory mają zatem postać: A A Wartośi lizbowe dla danyh (2: a a 2 a 22 ḣ (t A h + A q ( ḣ 2 (t h h 2 (, B A b, C, D (2 a 2, a 2, a 22, b,. (3 Rozwiązanie równania różnizkowego (3 ma postać: x(t e At x( + t e A(t τ Bu(τdτ. (4 Zastosowanie przekształenia Laplae a do równania (3 a następnie wykonanie przekształenia odwrotnego prowadzi do: x(t L {(si A }x( + L {(si A BU(s}. (5 W rozwiązaniu (4 wyróżnić można składową swobodną x s (t i wymuszoną x w (t: x(t x s (t + x w (t (6 Wyznazenie postai składowy x s (t, x w (t wymaga wylizenia maierzy podstawowej e At..2. Transmitaja Dokonują przekształenia Laplae a dla układu równań (-( zapisanego w postai: otrzymuje się: A ḣ (t h (t + q (t (7 ḣ 2 (t h (t h 2 (t (8 A sh (s H (s + Q (s (9 sh 2 (s H (s H 2 (s (2 Zakładają sygnał wejśiowy jako przepływ Q (s a sygnał wyjśiowy w postai poziomu iezy w drugim zbiorniku, po przekształeniah otrzymuje się poszukiwaną transmitanję: K(s H 2(s Q (s k ( + T s( + s (2 gdzie: k 2 ; T A ; 2 (22 2
2. Wyznazanie maierzy podstawowej 2.. Przekształenie Laplae a Z (4 i (5 wynika zależność na maierz podstawową z wykorzystaniem przekształenia Laplae a: e At L {(si A } (23 Oblizenia: (si A (si A Rozkład a 2 (s a (s a 22 ( s s A s a a 2 s a 22 s a22 (s a (s a 22 a 2 s a na ułamki proste: adj (si A det (si A s a a 2 (s a (s a 22 s a 22 (24 (25 a 2 (s a (s a 22 (s a + 2 (s a 22 gdzie a 2 (a a 22, 2 a 2 (a 22 a (26 Dla danyh (2 z zadania:, 2. Ostateznie : e At e a t e at + 2 e a 22t e a 22t e At e 2t e 2t + e t e t Z (27 wynika, że T A,5s, 2.2. Postać kanonizna s. e t T e t T + e t Wyznazanie e At przez sprowadzenie równania stanu (3 do postai kanoniznej: e t. (27 ẋ (t P AP x (t + P Bu(t (28 Oznazają wartośi własne maierzy A przez λ i, a wektory własne przez p i (gdzie i, 2,... n, dim {A}n oraz: P p p 2... p n Λ diag{λ, λ 2,..., λ n } (29 zahodzi: Ap i λ i p i, AP P Λ (3 det (λi A λ i (3 Dla danyh (2 z zadania i uwzględniają (2-(3 jest : 2 A. (32 Szukane: Oblizenia: p λ, λ 2 ; p p p 2, p 2 2 p 2 2 det (λi A (λ + 2(λ + Λ e at s a lub e at s+a 3 2 e Λt e 2t e t (33 (34
Ostateznie: p Ap λ p p dowolne np.: p, (35 Ap 2 λ 2 p 2 p 2, (36 e At P e Λt P P P e 2t e t e 2t e 2t + e t e t (37 (38 Wynik jak w (27. 2.3. Rozwinięie w szereg Rozwinięie w szereg nieskońzony: e At I +! At + 2! A2 t 2 + 3! A3 t 3 +..., (39 można wykorzystać do znajdowania przybliżonej wartośi funkji eksponenjalnej (23, przez wykorzystanie tylko kilku pierwszyh złonów tego rozwinięia. 3. Wyznazanie odpowiedzi zasowej x(t x s (t + x w (t Rozwiązanie (4 równania różnizkowego (3 zgodnie z (6 posiada dwie składowe:. swobodną x s (t brak wymuszenia (u(t, obliza się postać zasową rozładowania warunku pozątkowego x(, 2. wymuszoną x w (t zerowe warunki pozątkowe x( przy nie zerowym wymuszeniu np.: u(t (t Możliwa jest kombinaja przypadków i 2. Każdą ze składowyh wyznazyć można bezpośrednio z równania stanu lub z transmitanji. 3.. Składowa swobodna x s (t Rozładowanie warunku pozątkowego (x( h(, u(t : h s (t x(t x s (t h s (t e At x s ( (4 h (t e 2t h 2 (t e 2t + e t e t h s (t h e t T 3.2. Składowa wymuszona x w (t e h( 2t h h e 2t + h e t + h 2 e t e t T h + h e t + h 2 e t (4 (42 Odpowiedź na wymuszenie skokowe u(t (t (przy zerowyh warunkah pozątkowyh x( : x(t x w (t h w (t L {(si A BU(s} (43 u(t (t s (44 4
h w (t L {(si A BU(s} L { s a a 2 (s a (s a 22 L { Uwzględniają (26 (oraz a A, a 2, a 22 : h w (t L { s a s a + 2 s a 22 s a 22 L A A s(s+ A A + 2 s(s+ A A s s a 22 BU(s } s a a 2 (s a (s a 22 } L { A s(s a s(s+ L s a 22 + 2 A s(s a A s(s a 22 T s(s+ T T + 2 s(s+ A T A } s(s+ } s (45 (46 ostateznie 2 : t T ( e h w (t ( e t T + A t 2 2 ( e A (t,5( e t T,5( e t T +,( e t (t (47 4. Wyznazanie odpowiedzi swobodnej y s (t z transmitanji W prezentowanym przykładzie na podstawie (5 i (2 sygnałem wyjśiowym z obiektu jest poziom h 2 (t: y(t Cx(t y(t h 2 (t. (48 Należy wię wyznazyć odpowiedź swobodną zmiennej h 2 (t wykorzystują transmitanję operatorową K(s H 2 (s/q (s. Obiekt z rys. opisany jest układem równań: ẋ(t Ax(t + Bu(t (49 y(t Cx(t, (5 z danymi: A 2, B,, C oraz u(t q (t, y(t h 2 (t (5 Transformata Laplae a układu równań (49-(5: sx(s AX(s + BU(s (52 Y (s CX(s, (53 Transmitanja układu (49-(5 wykorzystują (52-(53 (dla zerowyh warunków pozątkowyh: K(s Y (s U(s C(sI A B (54 Stosują dane (5 otrzymuje się: K(s H 2(s Q (s, (s + 2(s + (55 2 ( e at a s(s+a 5
Szukana jest odpowiedź swobodna h 2 (t, przy niezerowyh warunkah pozątkowyh: x( h( h 2 ( oraz zakłada się: ḣ2(, ḧ2( (56 i zerowym wymuszeniu u(t q (t z wykorzystaniem transmitanji. Przekształenie (55 i zastosowanie przekształenia odwrotnego Laplae a: prowadzi do opisu: Zakładają brak wymuszenia (u(t q (t : H 2 (s(s 2 + 3s + 2,Q (s /L (57 ḧ 2 (t + 3ḣ2(t + 2h 2 (t,q (t (58 ḧ 2 (t + 3ḣ2(t + 2h 2 (t, (59 przehodzi się z powrotem na opis operatorowy, przy niezerowyh warunkah pozątkowyh (56, korzystają z własnosi transformaty pohodnej: Otrzymuje się: L{y(t} Y (s; L{ẏ(t} sy (s y( ; L{ÿ(t} s 2 Y (s sy( ẏ( s 2 H 2 (s sh 2 ( ḣ2( + 3sH 2 (t 3h 2 ( + 2H 2 (s (6 H 2 (s(s 2 + 3s + 2 sh 2 + ḣ2 + 3h 2 (6 Wartośi h 2, ḣ2, h 2 wyznaza się na podstawie modelu (-(. Uwzględnienie danyh (2 prowadzi do (5. Z pierwszego równania stanu ( jest: natomiast z drugiego (: Wstawiają (63 do (6 i przekształają otrzymuje się: H 2 (s sh 2 + h + 2h 2 s 2 + 3s + 2 ḣ 2h +, q (62 ḣ 2 h h 2. (63 sh 2 + h (s + 2(s +, h h + 2h 2 (64 Szukane jest h 2 (t L {H 2 (s}. Można to wyznazyć wykorzystują:. rozkład (64 na ułamki proste: i transformatę odwrotną Laplae a 2. wzór Heaviside a: sh 2 + h (s + 2(s + (s + 2 + 2 (s + L(s sh 2 + h, M(s s 2 + 3s + 2, dm(s ds (65 M (s 2s + 3 (66 s 2 s 2 L(s h L(s 2 h + h 2 (67 M (s M (s 2 { h 2 (t L sh2 + h } h e 2t +(h +h 2 e t h e 2t +h e t +h 2 e t (s + 2(s + (68 Wynik jest dokładnie taki sam jak w (4. 6