PODSTAWOWE WZORY TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

Transkrypt

1 Materiały dydaktyzne Geodezja geometryzna Marin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowiska PODSTWOWE WZORY TRYGONOMETRII SFERYZNEJ Wzory trygonometrii sferyznej można wyprowadzić na wiele sposobów. W niniejszym konspekie wykorzysy zosie rahunek wektorowy do wyprowadzenia dwóh podstawowyh wzorów, pozostałe można wyprowadzić na ih podstawie na drodze mniej lub bardziej elementarnyh operaji trygonometryznyh oraz na pojęiu trójkątów wzajemnie biegunowyh. Obierają kulę o promieniu jednostkowym oraz konstruują na jej powierzhni trójkąt sferyzny zgodnie z rysunkiem poniżej: O e e e b a B Konwenja:, B, wierzhołki trójkąta sferyznego, tak samo będziemy oznazać kąty w trójkąie sferyznym. a, b, boki trójkąta sferyznego, bok a leży naprzeiw kąta itd. Dostajemy (ilozyn skalarny wektorów normalnyh do odpowiednih płaszzyzn, tutaj O oraz OB): e os e e osa os osb os e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e osa e osb e e e e e e nalogiznie postępujemy dla kątów przy wierzhołkah B oraz. Przekształają, powyższe wzory ze względu na ous boku trójkąta sferyznego dostajemy grupę wzorów ousowyh dla boków: osa osbos os osb osa os a os B os os a osb a bos Korzystają z pojęia trójkątów wzajemnie biegunowyh, mamy następująe twierdzenia:

2 Materiały dydaktyzne Geodezja geometryzna Marin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowiska Kąty danego trójkąta sferyznego i odpowiadająe im boki trójkąta biegunowego dopełniają się do, zyli mamy: a' B b' ' Kąty trójkąta biegunowego i odpowiadająe im boki trójkąta danego dopełniają się do : ' a B' b ' Wykorzystują te zależnośi i wprowadzają je do wzoru ousów dla boków dostajemy wzory ousów dla kątów: oraz os os Bos B os a os osbos B osa os osbos B osa B osos osb ososb Bos os os o sowi kolejną porję wzorów tym razem ousowyh dla kątów. Wykorzystują ponownie rahunek wektorowy, us kąta (np. ) możemy zapisać z wykorzysiem ilozynu wektorowego jako: e e e e e e e e e e e e e e e e Wyrażenie to można również przedstawić jako ilozyn mieszany, a wykorzystują jego przemienność yklizną dostajemy ostateznie: a B a Przekształają powyższy wzór otrzymamy tzw. wzór usów: a b B Poprzez elementarne przekształenia wzorów ousowyh dla boków możemy otrzymać kolejne wzory, np.:

3 Materiały dydaktyzne Geodezja geometryzna Marin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowiska Wyhodzą z wzoru ousowego dla boku b dostajemy: osb os a os osb osa os a os B a os B Natomiast z wzoru ousowego dla boku a mamy: osa osbos os Po wstawieniu otrzymamy: osb osbos os os osb osbos os os a os B osb os bos os osb bos os Zatem porja wzorów usowo ousowyh przedstawia się następująo: a os B osb bos os a os os b osbos bos os a os a os B bos os a a os os B os osa b a osb os os B osb a bosa os Korzystają z wzorów usowo ousowyh oraz z twierdzenia usów dla trójkąta sferyznego można otrzymać tzw. wzory ogensowe: Wzory Borda (połówkowe) ot a b osbos ot ot a osos B B ot ot b os os ot B ot b a os a os ot B ot a osa os B B ot ot b osb os ot Wyhodzą z wzoru ousowego dla boków i przekształają go ze względu na ous kąta dostajemy: osa os osb os Stosują tożsamość trygonometryzną: os a os osb osa os osb osa osb os a b a b os oraz podstawiają: dostajemy ostateznie: p a b oraz p a a b

4 Materiały dydaktyzne Geodezja geometryzna Marin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowiska os p p a nalogiznie postępujemy aby otrzymać us połowy kąta, zatem: os a os osb os a os osb os b a b a os b os a Podstawiają: Dostajemy ostateznie: p a b oraz p b p p b b a Dzielą przez os otrzymujemy: p b p p p a Wzory Gaussa Mollweide a - Delambre a Wzory Nepera B a b os B a b os os os B a b os B a b os os os B a b B B os a b B os

5 Materiały dydaktyzne Geodezja geometryzna Marin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowiska Wzory na nadmiar sferyzny: B B a b ot a b a b os ot a b os 4 p p a p b p a b os Związki między bokami oraz kątami dla trójkąta sferyznego eulerowskiego Każdy bok trójkąta sferyznego jest większy od różniy a mniejszy od sumy dwóh pozostałyh: b a b, a b a, a b a b Suma boków trójkąta sferyznego eulerowskiego jest mniejsza od : a b Suma kątów w trójkąie sferyznym jest większa od a mniejsza niż : B Różnia między sumą dwóh kątów i trzeim kątem jest zawsze mniejsza niż : B, B, B Konspekt powstał na podstawie: Borisenko. I., Tarapov I.E., Vetor and Tensor nalysis with appliations, Dover Publiations In., New York, 979 Szpunar W. Geodezja wyższa i astronomia geodezyjna, Tom I, PWN, Warszawa, 96 Warhałowski E. Geodezja wyższa zęść matematyzna, PWN, Warszawa, 95 Praa zbiorowa, Geodezja wyższa i astronomia geodezyjna zadania i przykłady, PWN, Warszawa, 988 Praa zbiorowa pod redakją Dziubiński I., Świątkowski, Poradnik matematyzny, PWN, Warszawa, PWN UWG!!!

6 Materiały dydaktyzne Geodezja geometryzna Marin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowiska Jeśli ktoś z Państwa znajdzie jakieś błędy w konspekie bardzo proszę dać znać. Przy takiej ilośi wzorów nie problem o pomyłkę.