Praca domowa nr. Metodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Wprowadzenie: W wielu zagadnieniach interesuje nas przybliżona wartość wielkości fizycznej X. Może to być spowodowane tym, że wyznaczenie dokładnej wartości trwałoby długo, wymagałoby dodatkowych informacji lub danych, którymi nie dysponujemy albo są nam niepotrzebne. W innych przypadkach chcemy jedynie mieć grube oszacowanie wartości wielkości fizycznej z dokładnością, jak mówimy, co do rzędu wielkości. Szacowanie prowadzimy w następujący sposób: Liczbę x określającą miarę (liczbę jednostek) wielkości X w układzie SI zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej i zapisujemy ją w systemie dziesiętnym w postaci wykładniczej (scientific notation): M 0 n ; gdzie M liczba rzeczywista, n wykładnik. Np. jeśli znamy odległość 443 m, to l 4 0 3 m, a jeśli znamy liczbę sekund 364 s, to t 3 0 3 s. Następnie na tak otrzymanych liczbach dokonujemy operacji algebraicznych i otrzymany wynik zapisujemy w postaci liczby wykładniczej o podstawie dziesięć z jedną cyfrą znaczącą. Przykładowo, jeśli szacujemy rząd wartości prędkości v = l/t, gdzie l = 60 8 m i t = 3 64 s, to w szacowaniu przyjmujemy kolejno l 0 6 m, t 4 0 3 s i otrzymujemy v ( 0 6 m)/(4 0 3 s) = 5 0 m/s. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Zad... Oszacuj grubość d kartki papieru wybranej przez siebie książki, mierząc najpierw jej grubość i odczytując liczbę stron. Zad.. Oszacuj liczbę protonów we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 85% z wody. Zad..3 Oszacuj powierzchnię i objętość swego ciała. Zad..4 Oszacuj liczbę uderzeń serca w ciągu prognozowanego samodzielnie czasu swego życia. Zad..5 Oszacuj liczbę oddechów w ciągu prognozowanego samodzielnie czasu swego życia. Zad..6 Oszacuj liczbę atomów miedzi w jednym metrze sześciennym tego metalu, niezbędne dane znajdź w tablicach. Zad..7 Oszacuj liczbę atomów powietrza w pomieszczeniu, w którym aktualnie przebywasz. Zad..8 Oszacuj liczbę cząsteczek wody we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 80% z wody. Uwaga: Niezbędne dane postaraj się określić/przyjąć/wyznaczyć samodzielnie. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Grupa. Podstawy analizy wymiarowej Podstawy analizy wymiarowej (patrz http://www.foton.if.uj.edu.pl/documents/579485/b3a7ad-e4b5-4c58-a5f0-eb6300fd74b). Znak równości w fizyce oznacza równość wartości (liczby jednostek) i wymiarów (jednostek) wielkości fizycznych znajdujących się po obu stronach znaku. Każda pochodna wielkość fizyczna ma wymiar, który wyraża się za pomocą (wymiarów) wielkości podstawowych układu SI. Wymiarami podstawowych wielkości fizycznych w SI są na podstawie definicji: długość symbol L, czas symbol T, masa symbol M, temperatura symbol K, natężenie prądu symbol I, światłość symbol C. Wymiar wielkości pochodnej X symbol dim X = [X], jest określany za pomocą definicji tychże wielkości i jest wyrażany jest w postaci iloczynu lub ilorazu wielkości/wymiarów podstawowych w odpowiednich potęgach (podniesionych do odpowiednich potęg), wykładniki potęgowe nazywa się wykładnikami wymiarowymi. Jeśli pochodną wielkością fizyczna jest praca, to dim P = [P]= (dim F) L=MLT - L=L MT -. Symbole pochodnych wielkości fizycznych piszemy kursywą, a wymiar X oznaczamy zamiennie symbolami: dim X lub [X]. Analiza wymiarowa traktuje wymiary jako wielkości algebraiczne, na których można wykonywać podstawowe działania algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie). Dwie podstawowe reguły analizy wymiarowej: R. Wielkości fizyczne mogą być dodawane lub odejmowane pod warunkiem, że mają ten sam wymiar. R. Wymiary strony lewej i prawej poprawnie sformułowanej równości wielkości fizycznych powinny być takie same.
Przykład. Czy poprawnym jest wzór s = const at, określający zależność drogi od czasu w prostoliniowym ruchu jednostajnie przyspieszonym? Rozwiązanie: [s] = L, a wymiar prawej strony [at ] = [a][t ] = (LT - )T = L. Odpowiedz: Wzór jest poprawny z dokładnością do bezwymiarowego czynnika const. Zastosujemy analizę wymiarową do wyznaczenia postaci zależności funkcyjnej typu iloczynowego między kilkoma wielkościami fizycznymi. Przykład. Załóżmy, ze hipotetyczna zależność między przyspieszeniem a ciała wykonującego ruch po okręgu o promieniu R ze stała prędkością v jest postaci a = v a R b. Jakie są wartości wykładników wymiarowych a i b? Rozwiązanie: Skorzystamy z tego, że dim a =[a]= LT - i że ten sam wymiar powinna mieć prawa strona wzoru, tj. dim (v a R b )=[ v a R b ] = (LT - ) a L b = L a+b T -a. Aby więc wymiary obu stron wzoru były zgodne winny zachodzić równości a+b = i a =. Zatem mamy odpowiedź: a = i b =, jak powinno być. Uwaga: Powyższą analizę można przeprowadzić posługując się w miejsce wymiarów jednostkami wielkości fizycznych. Przypomnijmy wartości i wymiary uniwersalnych stałych przyrody: stała grawitacji: G = 6,67 0 - L 3 /(MT ), dim G = [G] = L 3 M - T -, stała Diraca: ħ= h/π =,06 0-34 kg m /s, więc dim ħ= dim h = M L T -, prędkość światła: c = 3 0 8 m/s, dim c = L T -. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Zad... Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależność i obliczyć wartości wykładników a, b, c, jeśli założona zależność ma postać t P = (ħ) a (c) b (G) c czas (sekundę) Plancka; więcej na stronach http://pl.wikipedia.org/wiki/jednostki_plancka i http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf. Zad... Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależności i obliczyć wartości wykładników d, e, f, jeśli założyć, że poszukiwana zależność ma postać l P = (ħ) d (c) e (G) f długość (metr) Plancka); więcej na stronach http://pl.wikipedia.org/wiki/jednostki_plancka i http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf. Zad..3. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć postać matematyczną zależności prędkości V fali mechanicznej w metalu zakładają, że zależność ta ma postać (E) d (ρ) e, gdzie E moduł Younga, ρ gęstość metalu, tj. należy wyznaczyć wartości wykładników d i e. Zad..4. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależności czasu T obiegu gwiazdy o masie m planety orbitującej wokół tej gwiazdy w odległości r, wiedząc, że szukana zależności jest dana wzorem (G) a (r) b (m) c, gdzie G stała grawitacji; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c. Zad..5. Siła F bezwładności Coriolisa, działa na ciała o masie m poruszające się z prędkością o wartości V w układzie odniesienia obracającym się z prędkością kątowa ω, przy czym wartość F dana jest (zakładamy) formułą (m) a (V) b (ω) c ; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c korzystając z reguł analizy wymiarowej. Zad..6. Liczba Reynoldsa L RE służy do określania charakteru przepływu rzeczywistego płynu o lepkości dynamicznej µ (jednostką jest Pa s, Pa to skrót jednostki ciśnienia w SI), gęstości ρ poruszającego się z prędkością V w rurze o średnicy D. Jeśli L RE > 00 przepływ jest płynu jest laminarny. Zakładając, że szukana zależność matematyczna ma postać (µ) - (V) b (D) c (ρ) d, należy wyznaczyć wartości wykładników b, c i d korzystając z reguł analizy wymiarowej. Zad..7. Wartość prędkości cząsteczek gazu idealnego V zależy od masy cząsteczki, stałej Boltzmanna k B oraz temperatury bezwzględnej T gazu, przy czym wartość V dana jest (przypuszczamy) wzorem (m) a (k B ) b (T) c ; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c korzystając z reguł analizy wymiarowej. Zad..8. Prędkość fali dźwiękowej w gazie jest proporcjonalna do wyrażenia (p) a (ρ) b, gdzie p i ρ to odpowiednio ciśnienie i gęstość gazu. Należy wyznaczyć wartości wykładników a i b korzystając z reguł analizy wymiarowej.
Grupa 3. Elementy rachunku wektorowego i różniczkowo-całkowego Zad. 3.. Pokaż z definicji, że iloczyn skalarny dwóch wektorów ma postać w kartezjańskim układzie współrzędnych postać a b= ab x x + ayby + ab z z. Zad. 3.. Pokaż z definicji, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów danych w kartezjańskim układzie współrzędnych ma postać: Zad. 3.3. Pokaż, że prawdziwe są związki a ( b c) = b ( c a) = c ( a b). Zauważ, że cykliczne przestawianie symboli wektorów znacznie pomaga i ułatwia zapamiętywaniu powyższych wzorów. Ws-ka: Patrz materiał zamieszczony na końcu pracy domowej. Zad. 3.4. Pokaż, że prawdziwe są związki a ( b c) = b( c a) c( a b). Zauważ, że cykliczne przestawianie symboli wektorów znacznie pomaga i ułatwia zapamiętywaniu powyższych wzorów. Ws-ka: Patrz materiał zamieszczony na końcu pracy domowej. Zad. 3.5. Dwa wektory a i b mają składowe (w metrach): a x = 3,; a y =,6; b x = 0,5; b y = 4,5. Znajdź kąt między kierunkami wektorów a i b. Na płaszczyźnie OXY można znaleźć dwa wektory, które są prostopadłe do wektora a i mają długość równą 5 m. Jeden z nich c ma dodatnią składową x, a drugi d ma składową x ujemną. Wyznacz składową x i składową y wektora c. Wyznacz składową x i składową y wektora d. Zad. 3.6. Wyznaczyć pochodne (patrz tablica wzorów matematycznych) następujących funkcji, gdzie x 0, A, w są stałymi: d v t A t d ( ) (( ) ) ( ) = ( sin( ω )), v( t) = A sin ( ωt), v( t) = A sin ( ωt), f ( t) d ( ωt) ( ωt) d sin = cos d sin cos., f ( t) = ( ( ωt) ( ω t) ) Zad. 3.7. Oblicz całki nieoznaczone (patrz tablica wzorów matematycznych, gdzie v 0, a, ω są stałymi, n jest liczbą całkowitą ( v 0± a t ) d t n, ( ±a) d t, sin( ωt), cos( ωt) d t, ( v 0± a t ) d t (rozpatrzyć różne przypadki n). Zad. 3.8. Wyznaczyć całki oznaczone (patrz tablica wzorów matematycznych, gdzie v 0, a, ω są stałymi, n jest liczbą t t t n całkowitą: ( v0 ± a t), ( ±a) d t, sin( ωt) cos ωt d t, ( v0 ± a t ), gdzie n jest liczbą t t t t, ( ) t t całkowitą; rozpatrzyć różne wartości n. Ws-ka: Wartość całki oznaczonej jest, w odróżnieniu od całki nieoznaczonej będącej rodziną funkcji, liczbą, której wartość obliczamy, jako różnicę wartości całki nieoznaczonej, odpowiednio, dla górnej i dolnej granicy całkowania. Przykład: ln d ln const, ale t t x x = x x x + ln x d x = ( x ln x x ) = t ln t t ( t ln t t ). Można sprawdzić t t bezpośrednim rachunkiem, że pochodna funkcji pierwotnej xlnx x+ const jest równa funkcji podcałkowej ln x. t Wrocław, X 06 W. Salejda 3
Pożyteczne materiały dostępne w Internecie http://pl.wikibooks.org/wiki/metody_matematyczne_fizyki http://pl.wikibooks.org/wiki/metody_matematyczne_fizyki/działania_na_wektorach#iloczyn_mieszany Dowód ze strony: http://pl.wikibooks.org/wiki/metody_matematyczne_fizyki/działania_na_wektorach#iloczyn_mieszany Iloczyn mieszany Pierwsza równość w (.3) jest iloczynem skalarnym wektorów c ia b. Tożsamości (.4) są następstwem właściwości wyznacznika z (.3). Przestawiając pierwszy wiersz kolejno z drugim i trzecim otrzymujemy pierwszą równość (.4), tj. ax ay ac b b b. x y z c c c x y c Podobnie przestawiając ostatni wiersz kolejno z drugim i pierwszym dostajemy drugą równość w (.4), tj. Wrocław, X 05 b b b x y c c c c. x y z a a a x y c W. Salejda 4
5
6
Wrocław, X 009 7 K. Tarnowski