Modelowanie sytuacji decyzyjnej

Modelowanie sytuacji decyzyjnej dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Głogowie k.patan@issi.uz.zgora.pl

Wprowadzenie Systemy wspomagania decyzji opierają swoje działanie na modelach, które są wykorzystywane do wspomagania procesu wyboru wariantu rozwiązania Model stanowi uproszczone i sformalizowane odzworowanie rzeczywistości Typy modeli: werbalne: opisowe lub ikoniczne opisowe przedstawienioe analogowe: fizyczne, graficzne symboliczne: formalne, matematyczne

Model rzeczowy Model rzeczowy zawiera informację o świecie zewnętrznym, która może być wykorzystywana w trakcie podejmowania decyzji Wiedza ta może być wyrażona w postaci modelu matematycznego, danych, hipotez, itp. Często wykorzystuje się modele analityczne, w których wyróżniamy: zmienne decyzyjne parametry modelu zmienne pośrednie zmienne wyjściowe równania wyjść jak zmienne wyjściowe zależą od decyzyjnych równania ograniczeń określają zbiór dopuszczalny decyzji

Sformułowanie problemu Niech E x R n przestrzeń zmiennych decyzyjnych E y R m przestrzeń wyjść modelu X zbiór decyzji dopuszczalnych Odwzorowanie przestrzeni decyzji w przestrzeń wyjść: Zbiór dopuszczalnych wartości wyjść: f : E x E y Y = f(x) E y Zakładamy, że zbiór X jest zwarty, odwzorowanie f jest ciągłe Zapis wygodny teoretycznie, ale nie w przypadku budowy modelu komputerowego

Przy budowie modelu komputerowego należy uwzględnić zależność od parametrów, ograniczenia, itp. y = f(x, z, y) f : R n R l R m R m x d (z) x x g (z) y d (z) y y g (z) z d z z g gdzie x R n wektor zmiennych decyzyjnych z R l wektor parametrów modelu y R m wektor wyjść x d, y d, z d wektory ograniczeń dolnych x g, y g, z g wektory ograniczeń górnych

W wielu przypadkach można zauważyć, że modele nieliniowe dla znacznego zakresu zmiennych mają właściwości liniowe Często modele nieliniowe tworzone są w oparciu o bazę modeli liniowych Model liniowy z częścią nieliniową y 1 = f(x 1, z 1, y 1 ) + A 11 x 1 + A 12 x 2 + B 1 z y 2 = A 21 x 1 + A 22 x 2 + B 2 z x d (z) x x g (z) y d (z) y y g (z) z d z z g

Budowa i analiza modelu Zadanie syntezy określenie takich wartości zmiennych decyzyjnych, dla których wyjścia modelu będą bliskie zadanym określenie wartości odniesienia rozwiązanie zadania y i,ref : i I y,ref {1,..., m} przy ograniczeniach min ŷ y ref y = f(x, z, y) x d (z) x x g (z) y d (z) y y g (z) z d z z g

Zadanie minimalizacji odległości między poziomami odniesienia, a wartościami wyjść może nie mieć jednoznacznego rozwiązania; można również określić wartości odniesienia zmiennych decyzyjnych wartości odniesienia zmiennych decyzyjnych rozwiązanie zadania x i,ref : i I x,ref {1,..., n} min ŷ y ref + ρ ˆx x ref przy ograniczeniach y = f(x, z, y) x d (z) x x g (z) y d (z) y y g (z) z d z z g Dobierając wartość ρ można ustalić, który czynnik funkcji kryterialnej jest bardziej ważny dla procesu syntezy

Symulacja prosta Najprostszy typ analizy Wstawianie wartości zmiennych decyzyjnych i obserwacja wynikowych wartości zmiennych wyjściowych Poszukiwanie satysfakcjonującego rozwiązania na zasadzie prób i błędów Analiza what-if w arkuszu kalkulacyjnym Symulacja odwrotna Bardziej złożony typ analizy Próbuje się dobierać wartości zmiennych wyjściowych poprzez poszukiwanie wartości zmiennych decyzyjnych prowadzących do tych wyników Wymagane jest rozwiązywanie równań (wyznaczania wartości argumentów przy zadanych wartościach) Analiza goal-seeking w arkuszach kalkulacyjnych Optymalizacja poszukiwanie zmiennych decyzyjnych prowadzących do najlepszych wartości wymagany jest precyzyjny model preferencji

Optymalizacja jednokryterialna przy ograniczeniach min y i = f i (x, z, y) y = f(x, z, y) x d (z) x x g (z) y d (z) y y g (z) z d z z g i indeks zmiennej wyjściowej wybranej do określenia kryterium, f i funkcja kryterialna Metoda optymalizacji kluczowe zagadnienie

Przykład Zakład produkuje 2 modele skuterów SL i GL. Produkcja wymaga odpowiedniej liczby roboczogodzin (h) w 2 oddziałach: montowni (M) i lakierni (L). Model GL wymaga 2h w M i 3h w L, zaś SL 5h w M i 3h w L. Moce produkcyjne wynoszą: 150h dla M i 180h dla L. Jednostkowy zysk netto dla GL to 2 tys. zł, a dla SL 3 tys. zł. Zmienne decyzyjne x GL, x SL wielkość produkcji modeli GL i SL Parametry M GL, M SL, L GL, L SL pracochłonność w godzinach M m, L m moce produkcyjne w roboczogodzinach z GL, z SL zyski jednostkowe w tys. zł Zmienne wyjściowe z zysk w tys. zł M ob, L ob obciążenie oddziałów w roboczogodzinach M w, L w wolne moce oddziałów w roboczogodzinach

Przykład cd Symulacja prosta określenie wielkości produkcji i analiza wartości zmiennych wyjściowych (np. zysku) Podstawiamy różne wartości x GL, x SL i sprawdzamy jaki bedzie zysk i czy spełnione będą ograniczenia Załóżmy, że x GL = 10, x SL = 10 zysk: z = z GL x GL + z SL x SL = 10 2000 + 10 3000 = 50000zł czas pracy montowni: t m = 2x GL + 5x SL = 2 10 + 5 10 = 70h t m < M m 70 < 150 (OK) czas pracy lakierni: t l = 3x GL + 3x SL = 3 10 + 3 10 = 60h rozwiązanie jest dopuszczalne t l < L m 60 < 180 (OK) sprawdzamy kolejne możliwości, np.x GL = 30, x SL = 30

Przykład cd Symulacja odwrotna wyznaczenie profilu produkcji w pełni wykporzystującego mode produkcyjne Równania określające moce produkcyjne obu działów moc produkcyjna montowni: 2x GL + 5x SL = 150 moc produkcyjna lakierni: 3x GL + 3x SL = 180 rozwiązanie układu równań { 2xGL + 5x SL = 150 3x GL + 3x SL = 180 x GL = 50, x SL = 10 Zysk z = 130 tys. zł Nie można rozwiązać zadania symulacji odwrotnej profilu produkcji generującej zysk jedno równanie dwie niewiadome

Przykład cd Optymalizacja należy wyznaczyć precyzyjny model Funkcja celu: (model preferencji) max z = 2x GL + 3x SL Ograniczenia: (model rzeczowy) { 2xGL + 5x SL 150 3x GL + 3x SL 180 Warunki brzegowe x GL 0, x SL 0 Rozwiązanie? metoda Sympleks, metoda graficzna

Przykład Dwie hurtownie spożywcze H 1 i H 2 dostarczają cukier do czterech sklepów zlokalizowanych w różnych miejscowościach S 1, S 2, S 3,S 4. Jednostkowe koszty transportu c ij (w tys. zł), oferowane wielkości dostaw a i (w tonach) oraz zapotrzebowanie sklepów b j (w tonach) podaje poniższa tablica: c ij S 1 S 2 S 3 S 4 a j H 1 50 20 20 60 800 H 2 10 50 80 70 800 b j 100 300 500 700 1600 Opracować plan transportu cukru minimalizujący całkowite koszty transportu

Przykład cd niech x ij ( i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n ) ilość ton cukru jaka powinna być dostarczona z i-tej hurtowni do j-tego sklepu rozwiązanie dopuszczalne istnieje, bo 2 4 a i b j i=1 j=1 ograniczenia dla dostawców x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 4 x 1j = 800 (H 1 ) j=1 4 x 2j = 800 (H 2 ) j=1

Przykład cd ograniczenia dla odbiorców x 11 + x 21 = x 12 + x 22 = x 13 + x 23 = x 14 + x 24 = 2 x i1 = 100 (S 1 ) i=1 2 x i2 = 300 (S 2 ) i=1 2 x i3 = 500 (S 3 ) i=1 2 x i4 = 700 (S 4 ) i=1

Przykład cd warunki brzegowe x ij 0 (i = 1, 2; j = 1,..., 4) funkcja celu z = 50x 11 + 10x 12 + 20x 13 + 60x 14 + 10x 21 +50x 22 + 80x 23 + 70x 14 min

Modelowanie preferencji użytkownika Model rzeczowy określa zależności między zmiennymi decyzyjnymi i ich konsekwencjami oraz określa zbiór decyzji dopuszczalnych W modelu reprezentującym sytuację decyzyjną można, oprócz modelu rzeczowego, wyróżnić model preferencji użytkownika W przypadku modeli analitycznych, często ciężko wyróżnić model rzeczowy od modelu preferencji ze względu na ich wzajemne zależności Rozważmy dwa elementy x i x X z przestrzeni zmiennych decyzyjnych, reprezentujące dwie różne decyzje. Mogą wystąpić cztery sytuacje: 1 równoważność decyzji x i x 2 silna preferencja decyzji x nad x lub odwrotnie 3 słaba preferencja decyzji x nad x lub odwrotnie 4 sytuacja nieporównywalności x, x

Definicja Modelem preferencji nazywamy model, który każdej parze elementów x, x X, x x przypisuje jedną, dwie lub trzy spośród wzajemnie wykluczających się sytuacji podstawowych: równoważności, silnej preferencji, słabej preferencji i nieporównywalności Model preferencji może przyjmować różne postaci (relacje preferencji, funkcja wartości, funkcja użyteczności) Relacją binarną określoną w niepustym zbiorze A nazywa się dowolny zbiór par (x, y) elementów zbioru A podzbiór iloczynu kartezjańskiego A A Relacja R między elementami x i x x R x

Relację R nazywamy zwrotną, gdy przeciwzwrotną, jeśli symetryczną, jeśli asymetryczną, jeśli x R x, x X (x R x ), x X x R x x R x x R x (x R x ) przechodnią, jeśli x R x i x R x to x R x, x, x, x X zupełną, jeśli x, x Xspełniona jest przynajmniej jedna z relacji x R x lub x R x

Relacja R wprowadza porządek zupełny jeżeli jest zwrotna, przechodnia i zupełna Relacja R wprowadza porządek częściowy, jeżeli jest zwrotna i przechodnia Za pomocą relacji binarnych można reprezentować 4 sytuacje podstawowe 1 relacja równoważności 2 relacja silnej preferencji 3 relacja preferencji 4 relacja nieporównywalności? Możliwości modelowania preferencji 1 przyjęcie dla każdej pary wariantów tylko jednej z sytuacji podstawowych 2 Dopuszczenie przypisania dla każdej pary wariantów dwóch lub trzech sytuacji podstawowych relacje zgrupowane

Przykład relacja zgrupowana Relacja przewyższania o definicji R : {x R x x x lub x x lub x x } W oparciu o relacje wprowadza się pojęcie systemu relacyjnego preferencji, który jest modelem preferencji użytkownika Podstawowy system relacyjny zawiera cztery podstawowe relacje, a ponadto zakłada się własność zupełności (dla dowolnej pary decyzji co najmniej jedna relacja jest prawdziwa) oraz własność wykluczania (dla dowolnej pary decyzji co najwyżej jedna relacja jest prawdziwa) Zgrupowany system relacyjny oprócz relacji podstawowych zawiera 5 relacji zgrupowanych 1 brak preferencji (x x lub x?x ) 2 preferencji (x x lub x x ) 3 przypuszczenia preferencji (x x lub x x ) 4 K-preferencji (x x lub x?x ) 5 przewyższania

Przykład skutki braku racjonalności W stołówce studenckiej mamy do wyboru trzy zupy: pomidorową, ogórkową i krupnik (X = {p, o, k}) Jaś ma relacje preferencji o p, k p Nie wie, czy wolałby krupnik, czy ogórkową, czy jest mu to obojętne o k Jeśli podejmie jakąś decyzję, może wybrać gorszą możliwość Jeśli nie sprecyzuje swoich preferencji, to minie przerwa i pójdzie głodny na wykład

Przykład brak przechodności Problem wyboru systemu na podstawie opinii ekspertów. Należy wybrać jeden z trzech wariantów A, B lub C. Trzech niezależnych ekspertów uporządkowało warianty od najlepszego do najgorszego. Wyniki przedstawia tabela Ekspert 1 A B C Ekspert 2 B C A Ekspert 3 C A B Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant A od B A B Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant B od C B C Dwóch ekspertów wyżej oceniło wariant C od A C A Otrzymujemy cykl A B, B C, C A Zadanie nie ma rozwiązania brak przechodności, symetria ocen wszystkich ekspertów

Przykład Problem zakupu mąki. Na rynku dostępne są dwa rodzaje mąki: poznańska i wrocławska. Konsumentowi obojętne jest jaki rodzaj zakupi. Jego koszyk towarów (x 1, x 2 ), gdzie x 1 ilość mąki poznańskiej, x 2 ilość mąki wrocławskiej Na zbiorze X R 2 + można wprowadzić relację preferencji: czyli (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) x 1 + x 2 x 1 + x 2 Jest to przykład substytucji doskonałej, gdzie konsument chce zastapić jeden towar drugim w stosunku 1:1 Przykład opisu relacji preferencji za pomocą funkcji użyteczności u : X R : u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2

Definicja funkcja użyteczności Funkcja u : X R określona na przestrzeni X R n + z relacją związaną z relacją preferencji, nazywamy funkcją użyteczności, gdy x, y X u(x) u(y) x y. Relację preferencji na X nazywamy ciągłą, gdy dla każdego a X zbiory {x X : z > a} {x X : a > a} są otwarte w przestrzeni X Twierdzenie Debreu (1959) Jeżli przestrzeń X jest podzbiorem spójnym, a relacja preferencji określona na X jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności u : X R związana z tą relacją

Wektorowe relacje preferencji W przypadku wielowymiarowych wektorów oceny relacja preferencji zdefiniowana jest przez nierówności na poszczególnych współrzędnych relacja preferencji relacja silnej preferencji relacja równoważności relacja nieporównywalności y y i y i y i, dla i = 1, 2,..., m y y i y i > y i, dla i = 1, 2,..., m y y i y i = y i, dla i = 1, 2,..., m y?y i y i y i, dla i = 1, 2,..., m

Stosując odpowiednie relacje nierówności wektorowych w odniesieniu do wektora zerowego używa się następujących określeń: wektor nieujemny, gdy y 0 wektor dodatni, gdy y > 0 Porządek Pareto Relacja nierówności wektorowej jest zwrotna i przechodnia. Jest ona również antysymetryczna, ponieważ odpowiadająca jej relacja indyferencji (równoważności) pokrywa się z równością wektorów. Tym samym relacja nierówności wektorowej jest porządkiem częściowym nazywanym porządkiem Pareto.

Przykład Rozważmy wektory v = (3, 4) i y = (5, 3). Wektor v jest nieporównywalny w sensie porządku Pareto z wektorem y

Przykład Dokonać wyboru systemu zarządzania firmą. Dane są zestawione w tabeli Nr ocena ocena obniżka kosztów oferty elastyczności jakości (tys. zł) 1 1 2 28 2 1 0 27 3 2 4 5 4 2 3 17 5 3 2 21 6 3 1 27 jest sześć trzy-elementowych wektorów ocen y 1 = [1, 2, 28], y 2 = [1, 0, 27], y 3 = [2, 4, 5] y 4 = [2, 3, 17], y 5 = [3, 2, 21], y 6 = [3, 1, 27]

Problem decyzyjny wyboru wariantu systemu polega na wyborze jednego z sześciu trzy-elementowych wektorów ocen Stosując relacje nierówności wektorowej można stwierdzić, że y 1 y 2 i y 6 y 2 Wszystkie wektory ocen poza y 2 są nieporównywalne ze sobą w sensie nierówności wektorowej Każdy z wektorów y 1, y 3, y 4, y 5 i y 6 stanowi wektor maksymalny w sensie porządku Pareto Relacja ta nie pozwala zidentyfikować żadnego z nich jako najlepszego wyboru

Skale ocen Skala porządkowa określa kolejność obiektów wykorzystując własności porządkowe liczb przykładem może być czterostopniowa ocena studentów {niedostateczny, dostateczny, dobry, bardzo dobry} reprezentowane przez liczby {2, 3, 4, 5} wiedza studenta jest tym większa im wyższa ocena, co wynika z nierówności 2 < 3 < 4 < 5 działania arytmetyczne na ocenach nie mają bezpośredniej interpretacji poza charakterystykami statystycznymi skala porządkowa jest niezmiennicza względem dowolnych przekształceń zachowujących porządek

Skala przedziałowa pozwala wykorzystywać nie tylko porządek liczb, ale także porządek różnic liczb i ich ilorazów przykładem mogą być skale temperatury: Celsjusza czy Fahrenheita Można stwierdzić nie tylko, że ciało A ma wyższą temperaturę od ciała B, które jest cieplejsze od ciała C, ale również określić czy różnica temperatur między A i B jest większa od różnicy temperatur między B i C, a także ile razy większa aby zdefiniować skalę przedziałową należy podać punkt zerowy i odstęp jednostkowy poza odejmowaniem działania arytmetyczne nie mają określonego znaczenia nie można mówić o dwa razy wyższej temperaturze niezależnie od użytej skali

Skala ilorazowa pozwala wykorzystywać porządek ilorazów liczb przykłady miary masy, długości, objętości, wartości wyrażone w jednostkach monetarnych jedyne dopuszczalne działanie zmiana jednostek (zmiana skali centymetrowej na metrową) skale ilorazowe mają naturalny punkt zerowy można wykorzystywać wszystkie działania arytmetyczne

Przykład Rozpatrzmy uproszczony problem wyboru nowego systemu informatycznego zarządzania dla firmy. Zespół konkursowy wyłonił 6 ofert systemu i zestawił ich najważniejsze charakterystyki w poniższej tabeli Nr ocena ocena obniżka kosztów oferty elastyczności jakości (tys. zł) 1 mała dobra 28 2 mała niedostateczna 27 3 przeciętna idealna 5 4 przeciętna bardzo dobra 17 5 duża dobra 21 6 duża dostateczna 27 W jaki sposób określić sumaryczną ocenę systemów?

ocena elastyczności f 1 (x) skala porządkowa {1, 2, 3} ocena jakości f 2 (x) skala porządkowa {0, 1, 2, 3, 4} obiżka kosztów f 3 (x) to skala ilorazowa ostatecznie Nr ocena ocena obniżka kosztów oferty elastyczności jakości (tys. zł) 1 1 2 28 2 1 0 27 3 2 4 5 4 2 3 17 5 3 2 21 6 3 1 27 problem wyboru wybór elementu x ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} na podstawie trzech funkcji oceny f 1 (x), f 2 (x) i f 3 (x)

Cele W praktyce decyzyjnej decyzje są oceniane na podstawie odpowiednio dobranego zbioru kryteriów Wprowadzone systemy relacyjne odnoszą się do zbioru decyzji dopuszczalnych jednakże umożliwiają formułowanie równoważnych modeli preferencji z wykorzystaniem kryteriów Zakłada się, że dysponujemy pewnym zbiorem kryteriów Faza doboru kryteriów polega na określeniu wyjść modelu rzeczowego, na podstawie których będą formułowane kryteria, prowadzeniu obliczeń i analizie wyników Jest to proces iteracyjny, który umożliwia reprezentatywny dobór kryteriów Tradycyjne kryteria podlegają minimalizacji lub maksymalizacji Kryterium stabilizowane użytkownik określa wartość, którą chciałby uzyskać

Cele kierunkowe minimalizacja lub maksymalizacja Cele przynależności typ celu warunek cel punktowy z = q cel wyliczeniowy z {q 1, q 2,..., q m } cel progowy dolny z q cel progowy górny z q cel przedziałowy q d z q g

Przykład Jako kryterium można przyjąć koszt realizacji pewnego przedsięwzięcia. Naturalnym bedzie wybór tego kryterium jako minimalizowanego bądź stabilizowanego Niech q bedzie wektorem kryteriów, wtedy zadanie analizy wielokryterialnej Elementy wektora q: q i = f i (x, z, y) : i 1,..., m Zadanie analizy wielokryterialnej min / max /stabilize q(x, z, y) przy ograniczeniach y = f(x, z, y) x d (z) x x g (z) y d (z) y y g (z) z d z z g

Zadanie optymalizacji jednokryterialnej poprzez rozwiązanie rozumie się znalezienie takich wartości zmiennych decyzyjnych, króre minimalizują lub maksymalizują wskaźnik kosztu Zadanie optymalizacji wielokryterialnej zadanie ma wiele lub nieskończenie wiele rozwiązań (zadanie źle postawione). Dąży się do rozwiązania najbardziej zgodnego z preferencjami użytkownika (decydenta) Optymalność w sensie Pareto Zbiór niezdominowanych rozwiązań z całej dopuszczalnej przestrzeni poszukiwań nazywamy zbiorem optymalnym w sensie Pareto (rozwiązania tworzą tzw. front Pareto) Rozwiązania z tego zbioru nie są zdominowane przez żadne inne, więc w tym sensie są one optymalnymi rozwiązaniami dla problemu optymalizacji wielokryterialnej Ostatecznie należy zdecydować się na wybór jednego rozwiązania

Przykład Rozważmy problem planowania produkcji pewnego produktu gdzie zarząd chce minimalizować zarówno koszt wytworzenia produktu jak również czas jego wytworzenia wszystkie rozwiązania leżące na froncie Pareto są tak samo dobre x jest lepszym rozwiązaniem od y ze względu na czas, ale gorszym ze względu na koszt

Fazy budowy modelu 1 sformułowanie modelu rzeczowego sytuacji decyzyjnej 2 sformułowanie problemu do analizy wielokryterialnej 3 wybór lub budowa modelu preferencji 4 dostarczenie użytkownikowi informacji pomocniczych, np. do oceny zakresu zmienności kryteriów 5 interaktywne przeglądanie zbioru rozwiązań

Model sytuacji decyzyjnej Model rzeczowy reprezentuje wiedzę o środowisku decyzyjnym i wszelkie zależności mające wpływ na sytuację decyzyjną Model preferencji rzadko może być definiowany a-priori i dlatego jest raczej łączony z analizą modelu, aby pozwolić na interaktywny proces dochodzenia do właściwego modelu preferencji