BADANIA STRUKTURALNE WIELOWYMIAROWYCH MODELI MATEMATYCZNYCH W ZADANIACH IDENTYFIKACJI PIOTR PIELA

BADANIA STRUKTURALNE WIELOWYMIAROWYCH MODELI MATEMATYCZNYCH W ZADANIACH IDENTYFIKACJI PIOTR PIELA Strezczenie W artykule przedtawiono metodyczne podejcie do opracowania oraz bada trukturalnych wielowymiarowych modeli matematycznych ytemów. W wyniku zatoowania metod identyfikacji moliwe jet uzykanie zbioru rónych modeli aprokymujcych badany obiekt. Okrelenie zbioru zmiennych opiujcych badany ytem tanowi nieodłczny problem kontruowania modeli obiektów rzeczywitych. W artykule zaproponowano podtawy metodologiczne wyboru itotnych zmiennych w ytemie oparte na wykorzytaniu rozkładu wzgldem wartoci zczególnych (SVD) odpowiednich macierzy w zadaniach identyfikacji. Słowa kluczowe: wielowymiarowy model matematyczny, identyfikacja, rozkład SVD. Wprowadzenie Okrelenie zbioru zmiennych opiujcych model tanowi nieodłczny problem kontruowania modeli obiektów rzeczywitych. Podtawow technik badawcz toowan w ekonometrii jet analiza regreji. Słuy ona do analizy powiza midzy rozpatrywanymi zmiennymi. Mona j toowa, gdy punkty empiryczne, bdce geometrycznym obrazem realizacji zmiennych, rozmiezczone w takim obzarze, e zatpienie ich funkcj regreji jet dopuzczalne. Inn metod jet kontruowanie modeli na podtawie informacji zawartych w zetawach danych liczbowych charakteryzujcych badane zjawika ekonomiczne. Dane te analizuje i w przypadku budowania modeli na podtawie dwuwymiarowych zmiennych loowych. Do tego celu wykorzytuje i wykrey rozrzutu. Na ich podtawie okrela i nie tylko fakt wytpowania lub braku zalenoci łczcej analizowane zmienne, lecz take typ tej zalenoci. Obok najczciej toowanej metody najmniejzych kwadratów, do zacowania parametrów modelu liniowego mona zatoowa inne metody, które przydatne w przypadku, gdy nie pełnione wzytkie załoenia klaycznej metody najmniejzych kwadratów. Do metod tych nale- : uogólniona metoda najmniejzych kwadratów, metoda najwikzej wiarygodnoci. Po ozacowaniu parametrów modelu naley zbada, czy zbudowany model dobrze opiuje badane zalenoci. Jeeli okae i, e rozbieno midzy otrzymanym modelem, a danymi empirycznymi lub midzy otrzymanym modelem a wiedz o badanych zalenociach jet dua, wówcza naley go korygowa oraz poprawi. Przyczyny powodujce zł jako modelu mog i pojawi ju w pocztkowych etapach badania. Nigdy nie ma pewnoci, czy zotały dobrane odpowiednie zmienne objaniajce Wtpliwo- ci moe budzi take dobór potaci analitycznej modelu. W amym proceie etymacji mogła te by zatoowana niewłaciwa metoda zacowania parametrów. Wzytko to powoduje, e naley

Studie & Proceeding of Polih Aociation for Knowledge Management Nr 7, 5 przeprowadzi weryfikacj zbudowanego modelu przed jego wykorzytaniem do wniokowania o badanych zalenociach. Weryfikacja modelu prowadza i do zbadania trzech włanoci: topnia zgodnoci modelu z danymi empirycznymi, jakoci ocen parametrów trukturalnych, rozkładu odchyle loowych. Poniewa na rónych etapach identyfikacji nie wzytkie elementy wektora ocen efektywne naley korygowa algorytm identyfikacji w celu otrzymania podzbioru tylko efektywnych ocen z pominiciem ocen parametrów, które w aktualnych warunkach nie daj itotnych informacji. Bdzie to prowadziło do zmiany wymiarowoci modeli. Zmniejzanie wymiarowoci modelu mona dalej przeprowadza na podtawie badania korelacji zmiennych, mona te zatoowa metod rozkładu macierzy wzgldem wartoci zczególnych.. Zadanie identyfikacji Ogólnie zadanie identyfikacji rzeczywitych obiektów polega na okreleniu truktury i parametrów modeli matematycznych tych obiektów. W zalenoci od informacji, jak dyponujemy o badanym obiekcie, moemy mówi o rónych zadaniach identyfikacji [, ]. Nie da i zapewni dobrego jakociowo odwzorowania zachowania obiektów rzeczywitych, a co za tym idzie przeprowadzania wiarygodnych ymulacji komputerowych jeli model matematyczny nie jet znany z dotateczn dokładnoci. Identyfikacja modeli obiektów moe by przeprowadzona na dwa pooby. Pierwzy z nich polega na zgromadzeniu odpowiedniej iloci danych, a natpnie przeprowadzeniu procedury identyfikacji (identyfikacja off-line). Taka organizacja proceu identyfikacji powoduje, e model dotpny jet dopiero po zakoczeniu całego proceu identyfikacji. Natomiat w przypadku gdy konieczne jet poiadanie modelu obiektu dotpnego bezporednio w czaie kiedy ten ytem działa mona wykorzyta rekurencyjne metody identyfikacji (identyfikacja on-line), według których ocena parametrów modelu w danym momencie pomiarów kztałtuje i jako ocena parametrów w poprzednim momencie pomiarów plu pewna poprawka. Jedn z metod identyfikacji jet metoda najmniejzych kwadratów. Przykładowo przyjmijmy, e identyfikowany wielowymiarowy obiekt mona opia liniowym modelem matematycznym ze tałymi parametrami w potaci: y = a + m m y = a + m yn = a n n + nm m m n Y = AX m X R dim(a) = (n m) () gdzie: X wektor zmiennych wejciowych, Y zmiennych wyjciowych, A niewiadoma macierze o tałych wpółczynnikach odpowiedniej wymiarowoci. Załómy take, e X i Y daj i zmierzy w kadym momencie czau. Wtedy równanie identyfikacji parametrów macierzy A zapiane zgodnie z metod najmniejzych kwadratów mona przedtawi w znanej formie []: A P = R ()

5 Piotr Piela Badania trukturalne wielowymiarowych modeli matematycznych w zadaniach identyfikacji gdzie: A macierz redniokwadratowych ocen, R = Y X j = j j, P = T X j X j, j = liczba punktów pomiarowych. Podkrelmy, e wymiarowo wyznaczanych macierzy wynoi odpowiednio: dim A = n m, dim P = m m, dim R = n m. Jeli warunek rank(p ) = m jet pełniony to rozwizanie równania identyfikacji () jet jednoznaczne i ma pota: A = R P (). Rozkład macierzy wzgldem wartoci zczególnych w zadaniach identyfikacji Wiadomo, e dowolna rzeczywita macierz W o wymiarach ( n p), moe by przedtawiona za pomoc rozkładu wzgldem wartoci zczególnych według zalenoci []: W = Q M R T () gdzie Q i R macierze ortogonalne, macierz Q ma rozmiar ( n n), natomiat macierz R rozmiar ( p p). Jeli n < p to protoktna macierz M poiada natpujc form: M = n (5) µ, n tanowi wartoci zczególne macierzy W. S one uzeregowane w kolejnoci malejcej, czyli: Rozmiar macierzy M wynoi ( n p). Niezerowe elementy tej macierzy {, µ, µ }. (6) n > Wprowadmy wielko bdc odwrotnoci wkanika uwarunkowania macierzy M [5, 6]: ξ = Cond(M) µ = n µ (7) Warto ξ moe zmienia i w granicach ξ. Dla ξ = macierz M jet oobliwa, natomiat dla ξ = macierz M jet idealnie uwarunkowana. W zwizku z powyzym wpółczynnik ξ tanowi miar blikoci od granicy przekztałcenia nieoobliwej macierzy M do macierzy oobliwej. Wielko ξ jet wygodn miar gtoci informacyjnej proceu identyfikacji [7].

Studie & Proceeding of Polih Aociation for Knowledge Management Nr 7, 55 Jeli w wyniku identyfikacji obiektu () otrzymana macierz A poiada pełny rzd to minimalna warto zczególna µ n moe łuy za miar blikoci macierzy A i macierzy oobliwej. W itocie macierz A mona przekztałci w oobliw przez zaburzenie A = diag(,,,, µ ) (8) gdzie n µ n to minimalna warto zczególna macierzy A. A zatem, im mniejze µ n, tym bardziej rezultaty identyfikacji zale od błdów pomiarów i innych zakłóce. Do oceny ilociowej efektywnoci informacyjnej proceu identyfikacji mona zatoowa wpółczynnik ξ okre- lony w równaniu (7). Im mniejza jet warto, ξ tym wikzy wpływ maj błdy pomiarów i inne zakłócenia na wyniki rozwizania zadania identyfikacji. Wynika z tego, e ilo rónych od zera wartoci zczególnych pozwala oceni faktyczn wymiarowo modelu proceu. Jeli załoymy, e n r (r < n) wartoci zczególnych macierzy A jet rónych od zera, wówcza faktyczna wymiarowo modelu moe zota zmniejzona o r zmiennych objaniajcych. Wybór zmiennych, które mog zota uunite ze zbioru zmiennych objaniajcych przedtawimy na przykładzie ytemu: y y y y = a = a = a = a Y = AX X R dim(a) = ( ) (8) W wyniku zatoowania procedury identyfikacji dla podtawowego zbioru zmiennych obja- niajcych otrzymamy macierz A o wymiarowoci dim( AS ) = ( ). Dokonujc rozkładu SVD dla macierzy A twierdzono, e jedna warto zczególna jet blika zeru ( ) e model moe zota uprozczony o jedn zmienn objaniajc ( r = ), co oznacza,. Zmienn objaniajc, która moe zota pominita okrelimy przeprowadzajc ponownie razy proce identyfikacji odpowiednio bez zmiennej,, i. Po kadej procedurze identyfikacji przeprowadzamy rozkład SVD macierzy A i obliczmy wpółczynnik ξ (tabela ).

56 Piotr Piela Badania trukturalne wielowymiarowych modeli matematycznych w zadaniach identyfikacji Tabela. Wynik ponownej procedury identyfikacji w zadaniu korekty iloci zmiennych objaniajcych badanego modelu Pota modelu Wynik identyfikacji Rozkład SVD macierzy A wpółczynnik ξ Y = AX, ( ) T, X R A A = QMR ξ = cond(m Y = A ( ) T X,, X R A A = QM R ξ = cond(m Y = AX, ( ) T, X R A A = QMR ξ = cond(m Y = A X, ( ) T, X R A A = QMR ξ = cond(m ródło: Opracowanie włane. Na podtawie analizy otrzymanego zbioru wartoci wpółczynników ξ dla pozczególnych procedur identyfikacji moemy wyznaczy zmienn, która moe zota uunita ze zbioru zmiennych objaniajcych. W tym celu znajdujemy wpółczynnik ξ o najwikzej wartoci i prawdzamy dla jakiej potaci modelu zotał on wyznaczony. Przykładowo, jeli najwikz warto przyjmuje wpółczynnika ξ i zotał on wyznaczony dla modelu o potaci: Y = A ( ) T X,, X R to oznacza, e zmienna moe zota uunita ze zbioru zmiennych objaniajcych. W ogólnym przypadku dla licznego pierwotnego zbioru zmiennych objaniajcych dokonujc rozkładu SVD macierzy A otrzymanej w wyniku identyfikacji moe i okaza, e liczba zmiennych, które mona uun ze zbioru pierwotnego jet wikza ni ( r > ). Wówcza opiane potpowanie (pokazane dla przykładowego ytemu (8))naley powtórzy r-krotnie.. Przykładowe zadanie identyfikacji wielowymiarowego ytemu Zadanie okrelania zbioru zmiennych objaniajcych przedtawimy na przykładzie liniowego tatycznego modelu przedibiortwa produkcyjnego. W analizowanym przykładzie przyjmiemy, e model rozpatrywanego przedibiortwa ma charakter lokalny, badamy tylko tatyczne włano- ci obiektu oraz, e wielkoci wejciowe i wyjciowe mierzone z zakłóceniami. (9)

Studie & Proceeding of Polih Aociation for Knowledge Management Nr 7, 57 Równania potaci trukturalnej tatycznego modelu liniowego, dla badanego obiektu, wice n zmiennych wyjciowych Y zalenych od m zmiennych wejciowych X moemy zapia w potaci równania (). Pocztkowy zbiór zmiennych objaniajcych przyjmiemy na podtawie bilanu ekonomicznego wynikajcego bezporednio z działalnoci produkcyjnej (tabela ). Seria pomiarowa zawierała dane z jednego roku działalnoci przedibiortwa. Zmienne objaniajce w liniowym modelu ekonometrycznym z formalnego punktu widzenia powinny odznacza i natpujcymi właciwociami: mie odpowiednio wyok zmienno, by ilnie korelowane ze zmienn objanian, by łabo korelowane midzy ob, by ilnie korelowane z innymi zmiennymi nie pełnicymi roli zmiennych objaniajcych. Na podtawie wybranych ocen tatytycznych (badanie wpółczynnika zmiennoci, wpółczynników korelacji pomidzy wzytkimi zmiennymi, wpółczynnika determinacji) przeprowadzono wtpn redukcj zbioru zmiennych objaniajcych (tabela ). Tabela. Pocztkowy zbiór zmiennych objaniajcych Zmienne wejciowe Zmienne wyjciowe Symbol Opi Symbol Opi Przychody ze przeday produkcji X Kozt urowca zuytego do produkcji Y podtawowej X Kozt urowców pomocniczych zuytych do produkcji Y Przychody ze przeday ekportowej X Kozt opakowa Y Przychody ze przeday uług Przychody ze przeday towarów X Kozty zakupu urowców Y handlowych X 5 Kozty wydziałowe Y 5 Przychody ze przeday materiałów X 6 Kozty przeday wyrobów Y 6 Odetki uzykane X 7 Kozty tranportu włanego Y 7 Pozotałe przychody finanowe X 8 Grupa remontowo-budowlana Y 8 Pozotałe przychody operacyjne X 9 Kozt chłodni włanej Y 9 Pozotałe kozty operacyjne X X X Amortyzacja budynków Amortyzacja mazyn Wynagrodzenia X Ubezpieczenia połeczne X Zuyty półprodukt ródło: Opracowanie włane. Y Y Zyki nadzwyczajne Straty nadzwyczajne

58 Piotr Piela Badania trukturalne wielowymiarowych modeli matematycznych w zadaniach identyfikacji Tabela 5. Zredukowany zbiór zmiennych objaniajcych na podtawie analizy tatytycznej Zmienne wejciowe Zmienne wyjciowe Symbol Opi Symbol Opi Przychody ze przeday produkcji X Kozt urowca zuytego do produkcji Y podtawowej X Kozt urowców pomocniczych zuytych do produkcji Y Przychody ze przeday ekportowej X Kozt opakowa Y Przychody ze przeday uług Przychody ze przeday towarów X Kozty zakupu urowców Y handlowych X 5 Kozty wydziałowe Y 5 Przychody ze przeday materiałów X 6 Kozty przeday wyrobów Y 6 Odetki uzykane X 7 Kozty tranportu włanego X 8 Wynagrodzenia ródło: Opracowanie włane. Natpnie zgodnie z równaniami () i () przeprowadzono zadanie identyfikacji parametrów modelu, którego wynikiem jet macierz A o trukturze: A S.9 -.576 -. =.6796.57 -.67 -.59 -.665 -.7 -.595 -..5 -.89.797. -.796.68..95 9.5.55.758.95 -.5.78.6899.7 7.76.9.89 8.6.687. 66.76 -.5.75 8.5.7 -. -.6 -.. -.598-5.67 -. -.88 -.7. Na ryunku przedtawiono wartoci pozczególnych zmiennych wyjciowych uzykane dla modelu bazowego (modelu zawierajcego oiem zmiennych objaniajcych opianych w tabeli ). ()

Studie & Proceeding of Polih Aociation for Knowledge Management Nr 7, 59 Ryunek 6. Wartoci pozczególnych zmiennych wyjciowych modelu bazowego z 8 zmiennymi ( ) T objaniajcymi: 5 6 7 8. Poniewa na rónych etapach identyfikacji nie wzytkie elementy wektora ocen efektywne naley korygowa algorytm identyfikacji w celu otrzymania podzbioru tylko efektywnych ocen z pominiciem ocen parametrów, które w aktualnych warunkach nie daj itotnych informacji. Potpowanie takie doprowadzi do zmiany wymiarowoci modelu. Zmniejzanie wymiarowoci modelu zotanie przeprowadzone przy zatoowaniu metody rozkładu macierzy wzgldem warto- ci zczególnych przedtawionej w rozdziale. W wyniku zatoowania rozkładu SVD otrzymujemy rozkład macierzy A w potaci AS = Q M R. Otrzymane wartoci zczególne dla macierzy A bdce elementami diagonalnymi macierzy M przyjły warto: T ( 88.87 7.5.955.8.5.5) T () Zgodnie z przytoczonymi wczeniej rozwaaniami wytpujce w wektorze V wartoci zczególne o wartoci blikiej zero oznaczaj, e mona ze zbioru zmiennych objaniajcych uun kolejne zmienne. Tabela przedtawia pota wektora zmiennych objaniajcych oraz wektora wartoci zczególnych macierzy A uzykan w kolejnych etapach redukcji wymiarowoci modelu.

6 Piotr Piela Badania trukturalne wielowymiarowych modeli matematycznych w zadaniach identyfikacji Tabela 6. Zmiana iloci zmiennych objaniajcych w kolejnych etapach Nr etapu Zmienne objaniajce oraz wartoci zczególne macierzy A ( ) T 5 6 7 8 ( 88.87 7.5.955.8.5.5) T ( ) T 5 6 7 8 (.57 8.7.75.5.6.9) T ( ) T 6 7 8 ( 7.7889.88.9.6..8) T 5 ( ) T 6 8 ( 59..9.59.5.8) T ( ) T 6 8 ( 9.87 5.5.5.958) T ( ) T 8 (.75.779.8) T ródło: Opracowanie włane. Otatecznie po pitym etapie redukcji iloci zmiennych objaniajcych uzykalimy model, którego macierz A wynoi:.556 -.7.5.6 -.67-9.6. -.6 -.9 () A S =.85 -.7-5.67.6 -.65.9.7 -.5 -.7 Ilo zmiennych objaniajcych uległa zmniejzeniu z omiu dla modelu bazowego () do trzech dla modelu (). Jako zmienne objaniajce pozotały: kozt urowca zuytego do produkcji, kozt urowców pomocniczych zuytych do produkcji oraz 8 wynagrodzenia. Na ryunku pokazano przebieg zmiennych wyjciowych dla modelu bazowego oraz modelu po redukcji wymiarowoci.

Studie & Proceeding of Polih Aociation for Knowledge Management Nr 7, 6 Ryunek 7. Wartoci pozczególnych zmiennych wyjciowych modelu bazowego oraz modelu uprozczonego Z przebiegów przedtawionych na ryunku trudno jet okreli, który z opracowanych modeli jet dokładniejzy. Poniewa cel identyfikacji (opracowanie modelu) jet celem porednim, dlatego za otateczn miar dokładnoci modelu naley przyj oignicie celu kocowego, którym moe by na przykład jako terowania lub optymalizacja proceu bdca wynikiem zatoowania opracowanego modelu. Stoujc rozkład SVD macierzy w zadaniach identyfikacji zmniejzylimy liczb zmiennych objaniajcych i potawiony cel główny, którym było zmniejzenie wymiarowoci modelu zotał oignity. 5. Podumowanie W artykule zaprezentowano podtawy metodyczne pozwalajce na okrelenie iloci zmiennych objaniajcych w modelowanym ytemie. Poniewa w trakcie realizacji zadania identyfikacji parametrów modelu nie wzytkie elementy wektora ocen efektywne naley korygowa algorytm identyfikacji w celu pominicia ocen tych parametrów, które w aktualnych warunkach nie daj itotnych informacji. Bdzie to prowadziło do zmiany wymiarowoci modeli. W pracy przedtawiono algorytm zmniejzenia wymiarowoci modelu w oparciu o metod rozkładu macierzy wzgldem wartoci zczególnych. Naley podkreli, e zaprezentowana metoda wyboru itotnych zmiennych objaniajcych jet uniweralna i mona j toowa w rónych zadaniach, w których konieczne jet opracowanie wyokiej jakoci modeli rzeczywitych obiektów.

6 Piotr Piela Badania trukturalne wielowymiarowych modeli matematycznych w zadaniach identyfikacji Bibliografia []. Bielika E., Finger J., Kaprzyk J., Jegierki T., Ogonowki Z., Pawełczyk M., Identyfikacja proceów, Wydawnictwo Politechniki lkiej, Gliwice,. []. Kiełbainki A., Schwetlick H., Numeryczna algebra liniowa. Wprowadzenie do oblicze numerycznych. Wydanie drugie. Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warzawa, 99. []. Ljung L., Sytem Identification Theory for the Uer. Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, New York, 999. []. Popov O. Elementy teorii ytemów ytemy dynamiczne, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Szczecikiej, Szczecin 5. [5]. Popov O., Invetigation of tructural qualitie and informative denity of dynamic procee. The method of quantitative etimation. International Conference on Control Problem, IPU, Mocow, 999. [6]. Popov O., Tretyakov A., Structural propertie and informative denity of dynamic procee: The method of quantitative etimation at the control, management and identification problem. Proceeding of the 5th International Conference Advanced Computer Sytem, part II,. 6, Szczecin, 998. [7]. Popov O., Tretyakov A., Quantitative meaure of ytem tructural qualitie in control, management and identification problem. Proceeding of Workhop on European Scientific and Indutrial Collaboration WESIC 99, Newport, 999.

Studie & Proceeding of Polih Aociation for Knowledge Management Nr 7, 6 STRUCTURAL STUDIES OF THE MULTIDIMENSIONAL MODELS OF SYSTEMS IN THE TASKS OF IDENTIFICATION Summary The paper decribe a methodical approach of creating end tructural tudie the multidimenional mathematical model of the ytem. A a reult of uing the identification method it i poible to obtain a et of different model, which approimating the tet object. Defining a et of variable decribing the ytem ha been an inherent problem of contructing model of real object. The method of electing relevant variable in the ytem uing the Singular Value Decompoition (SVD) in the equation of identification i propoed in thi article. Keyword: multidimenional mathematical model, identification, ingular value decompoition Piotr Piela Wydział Informatyki Zachodniopomorki Uniwerytet Technologiczny w Szczecinie ul. ołnierka 9, 7 Szczecin e-mail: ppiela@wi.zut.edu.pl