Teoria grup Jan Derezi«ski Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, 00-682, Warszawa e-mail jan.derezinski@fuw.edu.pl 9 czerwca 2015 rok 2010/11 Spis tre±ci 1 Podstawowe wªasno±ci grup 7 1.1 Denicja......................................... 7 1.2 Podgrupy........................................ 8 1.3 Homomorzmy..................................... 8 1.4 Dziaªanie........................................ 9 1.5 Orbity.......................................... 9 1.6 Warstwy......................................... 10 1.7 Klasy sprz»ono±ci................................... 10 1.8 Klasykacja dziaªa«grupy............................... 11 1.9 Iloczyn prosty...................................... 13 1.10 Podgrupy normalne................................... 13 1.11 Iloczyn póªprosty.................................... 14 2 Przykªady grup 15 2.1 Permutacje....................................... 15 2.2 Iloczyn póªprosty z grup Z 2............................. 16 2.3 Grupa permutacji 3 elementów............................ 16 2.4 Grupa permutacji 4 elementów............................ 16 2.5 Grupa obrotów SO(3)................................. 16 2.6 Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n............. 17 2.7 Grupa dihedralna D n Z n Z 2........................... 17 2.8 Grupa czworo±cianu T A 4.............................. 17 2.9 Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S 4......................... 17 2.10 Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A 5.................. 18 2.11 Sko«czone podgrupy grupy obrotów.......................... 18 1
3 Grupy macierzowe 20 3.1 Ciaªa........................................... 20 3.2 Przestrzenie wektorowe................................. 20 3.3 Odwzorowania liniowe................................. 20 3.4 Ogólna grupa liniowa.................................. 20 3.5 Grupa ortogonalna w sko«czonym wymiarze..................... 21 3.6 Grupa pseudo-ortogonalna............................... 21 3.7 Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)ortogonalnych.............. 22 3.8 Grupa unitarna w sko«czonym wymiarze....................... 22 3.9 Grupa pseudo-unitarna................................. 22 3.10 Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)unitarnych................ 23 3.11 Grupa symplektyczna w sko«czonym wymiarze................... 23 3.12 Abstrakcyjne podej±cie do grup symplektycznych.................. 24 3.13 Grupy aniczne..................................... 24 3.14 Grupy Liego....................................... 24 4 Koincydencje w±ród grup macierzowych 25 4.1 SL(2, K) Sp(2, K).................................. 25 4.2 SU(2)/Z 2 SO(3)................................... 25 4.3 SL(2, R)/Z 2 SO 0 (1, 2), SL(2, C)/Z 2 SO(3, C),................. 25 4.4 SL(2, C)/Z 2 SO 0 (1, 3)................................ 26 4.5 (SL(2, R) SL(2, R)) /Z 2 SO 0 (2, 2), (SL(2, C) SL(2, C)) /Z 2 SO(4, C),. 26 4.6 (SU(2) SU(2)) /Z 2 SO(4)............................ 27 5 Reprezentacje grup 27 5.1 Denicja......................................... 27 5.2 Suma prosta....................................... 28 5.3 Równowa»no±..................................... 28 5.4 Nieprzywiedlno±.................................... 28 5.5 Reprezentacje jednowymiarowe............................ 29 5.6 Reprezentacje permutacyjne.............................. 30 5.7 Podstawowe reprezentacje grupy permutacji..................... 30 5.8 Lematy Schura..................................... 31 5.9 Iloczyn tensorowy I................................... 31 5.10 Iloczyn tensorowy II.................................. 31 5.11 Reprezentacja grupy permutacji............................ 33 5.12 Charaktery....................................... 34 6 Reprezentacje grup sko«czonych 35 6.1 Unitaryzowalno±.................................... 35 6.2 Relacje ortogonalno±ci................................. 35 6.3 Rozkªad reprezentacji................................. 37 6.4 Reprezentacja regularna................................ 38 6.5 Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych........................ 38 2
7 Algebry ª czne 39 7.1 Denicja......................................... 39 7.2 Podalgebry....................................... 39 7.3 Identyczno±....................................... 40 7.4 Idempotenty....................................... 40 7.5 Sumy proste....................................... 40 7.6 Homomorzmy..................................... 40 7.7 Lewa regularna reprezentacja............................. 41 7.8 Ideaªy.......................................... 41 7.9 Przykªady podalgebr w L(K n )............................. 41 7.10 -algebry........................................ 42 7.11 Reprezentacje sko«czenie wymiarowych -algebr................... 43 7.12 -homomorzmy sko«czenie wymiarowych -algebr................. 43 8 Algebra grupowa 44 8.1 Algebra grupowa.................................... 44 8.2 Posta algebry splotowej................................ 45 8.3 Reprezentacja regularna................................ 47 9 Kwaterniony 47 9.1 Denicje......................................... 47 9.2 Zanurzanie liczb zespolonych w kwaternionach.................... 48 9.3 Macierzowa reprezentacja kwaternionów....................... 48 9.4 Rzeczywiste proste algebry............................... 49 9.5 Kwaternionowe przestrzenie wektorowe........................ 49 10 Reprezentacje zespolone, rzeczywiste i kwaternionowe 51 10.1 Reprezentacja zespolenie sprz»ona.......................... 51 10.2 Przestrze«zespolenie sprz»ona............................ 51 10.3 Reprezentacje zespolone................................ 52 10.4 Splatacze w iloczynach tensorowych......................... 53 11 Elementy krystalograi 54 11.1 Grupy punktowe.................................... 54 11.2 Sieci........................................... 55 11.3 Grupa ruchów euklidesowych............................. 55 11.4 Grupy fryzowe..................................... 56 11.5 Punktowe grupy krystalograczne........................... 57 11.6 Sieci Bravais'go..................................... 57 11.7 Grupy krystalograczne................................ 59 11.8 Grupy tapetowe..................................... 60 11.9 Grupy przestrzenne................................... 61 3
12 Macierzowe algebry Liego 63 12.1 Rozmaito±ci zanurzone................................. 63 12.2 Funkcje macierzowe................................... 63 12.3 Macierzowe algebry Liego............................... 64 12.4 Przemienne grupy i algebry Liego........................... 66 12.5 Algebra Liego macierzy bez±ladowych........................ 66 12.6 Formy niezmiennicze.................................. 66 12.7 Ortogonalne i pseudoortogonalne algebra Liego................... 67 12.7.1 Abstrakcyjne podej±cie............................. 67 12.7.2 Kanoniczna forma............................... 67 12.7.3 Forma o sygnaturze (q, p)........................... 68 12.8 Unitarne i pseudounitarne algebry Liego....................... 68 12.8.1 Abstrakcyjne podej±cie............................. 68 12.8.2 Kanoniczna forma............................... 68 12.8.3 Forma o sygnaturze (q, p)........................... 68 12.9 Symplektyczna algebra Liego............................. 69 13 Abstrakcyjne algebry Liego 69 13.1 Denicja......................................... 69 13.2 Algebry ª czne a algebry Liego............................ 70 13.3 Homomorzmy..................................... 70 13.4 Reprezentacja doª czona................................ 70 13.5 Ró»niczkowania..................................... 71 13.6 Ideaªy.......................................... 71 13.7 Ideaªy charakterystyczne................................ 72 13.8 Iloczyn póªprosty.................................... 73 13.9 Aniczne algebry Liego................................. 73 13.10Zwi zek zespolonych i rzeczywistych przestrzeni wektorowych........... 73 13.11Zwi zek zespolonych i rzeczywistych algebr Liego.................. 74 13.12Formy niezmiennicze na algebrze Liego........................ 75 13.13Algebry póªproste i reduktywne............................ 77 14 Zwarte grupy i ich reprezentacje 78 14.1 Reprezentacje...................................... 78 14.2 Reprezentacja kontragradientna............................ 79 14.3 Uto»samienie iloczynu tensorowego i operatorów liniowych............. 79 14.4 Iloczyn reprezentacji i reprezentacji kontragradientnej............... 80 14.5 Istnienie miary Haara i jego konsekwencje...................... 81 14.6 Reprezentacje nieprzywiedlne............................. 81 14.7 Rozkªad dowolnej reprezentacji............................ 82 14.8 Rozkªad iloczynu tensorowego reprezentacji..................... 84 14.9 Przykªad: Z n...................................... 84 14.10Przykªad: T := R/Z.................................. 84 14.11Przykªad: S 3...................................... 85 4
15 SL(2, C) i SU(2) i ich reprezentacje 85 15.1 sl(2, C) i su(2)..................................... 85 15.2 so(3, C) i SO(3, C)................................... 86 15.3 Sko«czenie wymiarowe reprezentacje sl(2, C)..................... 86 15.4 Reprezentacje unitarne su(2)............................. 88 15.5 Reprezentacje SL(2, C) i SU(2)............................ 89 15.6 Parametryzacje SU(2)................................. 89 15.7 D-macierze Wignera.................................. 91 15.8 Typ reprezentacji grupy SL(2, C)........................... 92 15.9 Miara Haara na SU(2)................................. 92 15.10Charaktery reprezentacji SU(2)............................ 93 15.11Wspóªczynniki Clebscha-Gordana i 3j-symbole................... 94 15.12Iloczyn tensorowy z reprezentacj o spinie 1 2..................... 96 16 Zastosowanie grupy SU(3) w zyce cz stek 97 16.1 Reprezentacje su(3).................................. 97 16.2 Pierwiastki i algebra Cartana............................. 98 16.3 Wagi reprezentacji................................... 98 16.4 Pierwiastki....................................... 99 16.5 Reprezentacja fundamentalna i antyfundamentalna................. 99 16.6 Trialno±......................................... 100 16.7 Pierwiastki ujemne i dodatnie............................. 100 16.8 Diagramy wagowe przykªadowych reprezentacji................... 100 16.9 Symetrie w mechanice kwantowej........................... 102 16.10Konwencje........................................ 102 16.11Zachowane ªadunki................................... 102 16.12Izospin.......................................... 103 16.13Dziwno±........................................ 103 16.14Kwarki.......................................... 105 17 Zastosowanie teorii grup w modelu standardowym i modelach wielkiej unikacji 107 17.1 Model standardowy................................... 107 17.2 Leptony......................................... 108 17.3 Skalar Higgsa...................................... 109 17.4 Kwarki.......................................... 109 17.5 Lagran»jan modelu standardowego.......................... 110 17.6 SU(n).......................................... 111 17.7 Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(5)................... 111 17.8 Pola w GUT opartej na SU(5)............................ 112 17.9 Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(4) SU(2) SU(2)......... 112 5
18 Algebry Cliorda i grupy Spin 113 18.1 Algebry Cliorda.................................... 113 18.2 Parzyste algebry Cliorda............................... 114 18.3 Element obj to±ci.................................... 114 18.4 Reprezentacja Foka algebry Cliorda......................... 114 18.5 Posta algebr Cliorda................................. 115 18.6 Grupa Pin i Spin.................................... 115 18.7 Reprezentacje grupy Spin(n)............................. 116 19 Przegl d klasycznych algebr Liego 117 19.1 sl(n, C)......................................... 117 19.2 so(n, C)......................................... 118 19.3 so(2m).......................................... 118 19.4 so(2m + 1)....................................... 119 19.5 sp(2m, C)........................................ 120 19.6 Koincydencje...................................... 120 19.7 Konstrukcja Schura-Weyla............................... 121 19.8 Reprezentacje SL(n, C)................................ 122 20 Struktura algebr Liego 122 20.1 Nilpotentne i rozwi zalne algebry Liego....................... 122 20.2 Twierdzenie Liego.................................... 124 20.3 Dolny ci g centralny.................................. 126 20.4 Kryteria Cartana rozwi zalno±ci............................ 127 20.5 Algebry póªproste i reduktywne a algebry rozwi zalne............... 129 20.6 Operator Casimira................................... 130 20.7 Reprezentacje algebr póªprostych........................... 131 20.8 Ró»niczkowania póªprostej algebry Liego....................... 133 21 Nilpotentne algebry Liego 135 21.1 Struktura endomorzmu liniowego.......................... 135 21.2 Twierdzenie Engela................................... 137 21.3 Przestrzenie pierwiastkowe algebry nilpotentnej................... 138 21.4 Przestrzenie pierwiastkowe w algebrach Liego.................... 139 21.5 Algebry Cartanaprzypadek ogólny.......................... 140 21.6 Elementy póªproste i nilpotentne w póªprostych algebrach Liego.......... 141 22 Struktura algebr póªprostych 142 22.1 Podalgebra Cartana dla algebr póªprostych..................... 142 22.2 Zbiór pierwiastków póªprostej algebry Liego..................... 142 22.3 Ukªady pierwiastków.................................. 145 22.4 Pierwiastki dodatnie.................................. 146 22.5 Grupa Weyla...................................... 146 22.6 Reprezentacje algebr Liego............................... 147 6
23 Homotopia 148 23.1 Homotopia krzywych.................................. 148 23.2 Skªadanie krzywych i grupa homotopii........................ 148 23.3 Nakrycia......................................... 149 23.4 Nakrycie uniwersalne.................................. 150 23.5 Nakrycie wyznaczone przez podgrup grupy homotopii............... 150 24 Globalna teoria grup Liego 150 24.1 Lokalna izomorczno± grup Liego.......................... 150 24.2 Grupa homotopii grupy Liego............................. 151 24.3 Rozmaito±ci....................................... 152 24.4 Algebra Liego grupy Liego............................... 154 24.5 Przemienne grupy Liego................................ 155 24.6 Podgrupy grup Liego.................................. 156 1 Podstawowe wªasno±ci grup 1.1 Denicja Grupa to niepusty zbiór G wyposa»ony w (1) dziaªanie G G (g, h) g h G maj ce wªasno± ª czno±ci (gh)k = g(hk), g, h, k G. (2) wyró»niony element e G, zwany elementem neutralnym, speªniaj cy eg = ge = g, g G. (3) odwzorowanie G g g 1 G, zwane odwrotno±ci speªniaj ce gg 1 = g 1 g = e, g G. Czyli grupa jest czwórk (G,, e, 1 ). Notacja powy»sza nosi nazw multiplikatywnej. Mówimy,»e grupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego. Element neutralny w notacji multiplikatywnej jest cz sto oznaczany przez 1 lub 1l. Mo»liwe jest te» sformuªowanie sªabszych aksjomatów, w ktorych grupa jest zbiorem wyposa»onym jedynie w ª czne dziaªanie i dwa warunki zapewniaj ce istnienie elementu neutralnego i odwrotno±ci. Mówimy,»e grupa jest przemienna lub abelowa, gdy gh = hg, g, h G. Dla grup abelowych stosujemy cz sto notacj addytywn, w której grupa to (G, +, 0, ). 7
1.2 Podgrupy Niech G b dzie grup. Niepusty podzbiór H G nazywamy podgrup gdy jest zamkni ty ze wzgl du na mno»enie i branie odwrotno±ci. Zawiera wtedy element neutralny i ze wzgl du na mno»enie i odwrotno± dziedziczone z G jest grup. Mówimy,»e podgrupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego, jak równie» od grupy G. Je±li rodzina H α G skªada si z podgrup, to α H α jest te» podgrup. Dlatego, dla dowolnego podzbioru X G istnieje najmniejsza podgrupa zawieraj ca X. Oznaczamy j przez Gr(X) i nazywamy podgrup generowan przez X. Grup generowan przez jeden element nazywamy grup cykliczn. S to grupy Z n, n N i Z. Liczb elementów zbioru X oznaczamy przez #X. Liczb elementów grupy nazywamy rz dem grupy. Mówimy,»e g G ma rz d n N { }, gdy n = #Gr(g). Je±li rz d g jest równy n N, to Gr(g) = {e, g,..., g n 1 } jest podgrup w G izomorczn z Z n. Je±li rz d g jest równy, to Gr(g) = {..., g 1, e, g, g 2,...} jest podgrup izomorczn z Z. Je±li H jest podgrup i g G, to ghg 1 := {ghg 1 : h H} jest te» podgrup zwan podgrup sprz»on do H. 1.3 Homomorzmy Niech G, H b d grupami. Odwzorowanie φ : G H jest homomorzmem, gdy φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 )φ(g 2 ), g 1, g 2 G. Stwierdzenie 1.1 Je±li φ jest homomorzmem, to Dowód. φ(e G ) = e H, φ(g 1 ) = φ(g) 1. φ(e G )e H = φ(e G )φ(e G )φ(e G ) 1 = φ(e 2 G)φ(e G ) 1 = φ(e G )φ(e G ) 1 = e H. φ(g 1 ) = φ(g 1 )φ(g)φ(g) 1 = φ(g 1 g)φ(g) 1 = φ(e G )φ(g) 1 = e H φ(g) 1 = φ(g) 1. Bijektywny homomorzm nazywamy izomorzmem. Je±li G = H, to homomorzm nazywamy endomorzmem a izomorzm automorzmem. Automorzmy grupy G tworz grup oznaczan Aut(G). 8
1.4 Dziaªanie Niech X b dzie zbiorem. Przez S(X) oznaczamy zbiór bijekcji na zbiorze X. Wtedy S(X) jest grup ze skªadaniem i elementem neutralnym równym id, gdzie id(x) = x, x X. Niech G b dzie grup. Homomorzm G S(X) nazywamy dziaªaniem grupy G na zbiorze X. Innymi sªowy, odwzorowanie jest dziaªaniem, gdy Stosujemy te» cz sto notacj uproszczon : G X (g, x) τ g (x) X (1.1) τ g (τ h (x)) = τ gh (x), g, h G. G X (g, x) gx X. W tej notacji wªasno±ci homomorczno±ci i ª czno±ci naturalnie si zapisuj : g(hx) = (gh)x, ((gh)k)x = (g(hk))x, g, h, k G, x X. Dlatego te», zbyteczne jest pisanie nawiasów. Je±li x X, to G x := {g G : τ g (x) = x} jest podgrup w G zwan grup izotropii elementu x. Niech τ : G X X, τ : G X X, b d dziaªaniami. Mówimy,»e bijekcja φ : X X jest izomorzmem dziaªa«τ i τ, gdy W notacji uproszczonej (1.2) ma posta 1.5 Orbity τ g (φ(x)) = φ (τ g (x)), g G, x X. (1.2) gφ(x) = φ(gx), g G, x X. Niech τ : G S(X) b dzie dziaªaniem. Deniujemy relacj x τ y g G τ g (x) = y. Stwierdzenie 1.2 τ jest relacj równowa»no±ci. Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy orbitami dziaªania τ. Klas abstrakcji dla elementu x X nazywamy orbit elementu x i oznaczamy τ G (x). Zbiór orbit czasem oznaczamy przez G\X. Je±li x, y nale» do tej samej orbity, to grupy izotropii G x i G y s do siebie sprz»one, to znaczy istnieje g G takie,»e G x = gg y g 1. Mówimy,»e dziaªanie τ jest tranzytywne, gdy posiada dokªadnie jedn orbit. Mówimy te» wtedy,»e X jest przestrzeni jednorodn dla grupy G. 9
1.6 Warstwy Niech H b dzie podgrup grupy G. Wtedy H dziaªa na G przez lewe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta λ h (g) := hg, g G, h H. Hg := {hg : h H}, g G, i s nazywane lewymi warstwami podgrupy H. Zbiór lewych warstw jest oznaczany przez H\G. H dziaªa na G równie» przez prawe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta ρ h (g) := gh 1, g G, h H. gh := {gh : h H}, g G, i s nazywane prawymi warstwami podgrupy H. Zbiór prawych warstw jest oznaczany przez G/H. G g g 1 G jest izomorzmem dla tych dziaªa«. Lewe i prawe mno»enie jest bijekcj, tak samo odwrotno±. Dlatego te» wszystkie lewe (jak równie» prawe) warstwy maj t sam liczb elementów równ rz dowi H. Jako wniosek dostajemy Twierdzenie 1.3 (Lagrange) Je±li G jest grup sko«czon i H jej podgrup, to #G = (#H)(#G/H). Dowód. Wybieramy w ka»dej warstwie po jednym elemencie. Innymi sªowy, ustalamy odwzorowanie θ : G/H G o wªasno±ci θ(w ) W, W G/H. Sprawdzamy,»e G/H H (W, h) θ(w )h G jest bijekcj.. Liczb #G/H nazywamy indeksem podgrupy H. W szczególno±ci, G dziaªa na sobie samej. Jest to dziaªanie tranzytywne. Ka»demu elementowi g G odpowiada inna bijekcja na G. Dlatego te» dostajemy Twierdzenie 1.4 (Cayley) Ka»da grupa jest izomorczna z podgrup w S(G). 1.7 Klasy sprz»ono±ci Niech g G. Kªadziemy Ad(g)(h) := ghg 1, h G. Wtedy Ad(g) jest automorzmem grupy G nazywanym automorzmem wewn trznym lub automorzmem doª czonym zadanym przez g. G g Ad(g) Aut(G) 10
jest homomorzmem. Jego obraz oznaczamy przez Inn(G). Grupa G dziaªa na sobie samej przez automorzmy wewn trzne. Orbity wzgl dem tego dziaªania nazywaj si klasami sprz»ono±ci. Niech Sub(G) oznacza zbiór podgrup grupy G. Je±li H Sub(G), to ghg 1 te» jest podgrup. Sub(G) H ghg 1 Sub(G) jest dziaªaniem grupy G na Sub(G). Mówimy,»e dwie podgrupy s sprz»one, je±li nale» do tej samej orbity. 1.8 Klasykacja dziaªa«grupy Nast puj cy wzór deniuje dziaªanie grupy G na G/H: g(kh) := (gk)h, g, k G. Dziaªanie to jest tranzytywne. Grup izotropii elementu jednostkowego jest H. Poni»sze twierdzenie mówi,»e ka»de dziaªanie tranzytywne jest izomorczne z takim dziaªaniem. Twierdzenie 1.5 (Podstawowe twierdzenie o przestrzeniach jednorodnych) Niech τ : G X X b dzie dziaªaniem tranzytywnym i x X. Wtedy wzór φ(gg x ) := τ g (x) deniuje izomorzm dziaªania G na przestrzeni warstw G/G x i τ. Je±li X jest zbiorem sko«czonym, to #G = #X #G x. Dowód. Dobra okre±lono±. Niech g, k G. gg x = kg x k 1 gg x = G x k 1 g G x x = τ k 1 g(x) τ 1 k τ g(x) = x τ k (x) = τ g (x). Injektywno± Rozumowanie w stron przeciwn do poprzedniej: pokazuje,»e Surjektywno± wynika z tranzytywno±ci. Izomorczno± dziaªa«: τ k (x) = τ g (x) gg x = kg x. φ(gkg x ) = τ gk (x) = τ g (τ k x)) = τ g (φ(kg x ). Liczba elementów: X jest bijektywny zbiorowi G/G x, mo»emy wi c zastosowa Twierdzenie Lagrange'a. Twierdzenie 1.6 Niech H i K b d podgrupami. Wtedy dziaªania G na G/H i G/K s izomorczne wtedy i tylko wtedy gdy H jest sprz»ona do K. 11
Dowód. Niech K = mhm 1. Deniujemy φ(gh) = gm 1 K = ghm 1. Trywialnie sprawdzamy,»e φ jest dobrze okre±lone, bijektywne i splata dziaªania. Niech φ : G/H G/K b dzie izomorzmem. Wtedy istnieje m G takie,»e φ(h) = m 1 K. Dla h H hm 1 K = hφ(h) = φ(hh) = φ(h) = m 1 K. Czyli mhm 1 K = K. Zatem, mhm 1 K. Odwracaj c role dostajemy mhm 1 = K Zaªó»my teraz,»e grupa G dziaªa na zbiorze X (niekoniecznie tranzytywnie). Przez G\X b dziemy oznacza zbiór orbit tego dziaªania. Niech X g oznacza zbiór punktów staªych g G. Twierdzenie 1.7 Niech X = X 1 X k b dzie rozbiciem X na orbity. Z ka»dej orbity wybieramy reprezentanta x i X i, i = 1,..., k. Wtedy k ( #G 1 1 ) #G x = #X g. (1.3) i g e i=1 Dowód. Niech P := {(g, x) (G \ {e}) X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów P dwoma sposobami. Mamy P = k (G x \ {e}) {x} = x X j=1 x X j (G x \ {e}) {x}. Dla x X j mamy #X j = #G #G x. Zatem #P jest równe lewej stronie (1.3). Z drugiej strony, P = g e{g} X g. Zatem #P jest równe prawej stronie (1.3). Poni»szy podobny wzór bywa przypisywany Burnside'owi. Twierdzenie 1.8 Niech G = G 1 G l b dzie rozkªadem grupy na klasy sprz»ono±ci. Z ka»dej klasy sprz»ono±ci wybieramy reprezentanta g i G i, i = 1,..., l. Wtedy (#G)(#G\X) = l (#G j )(#X g j ). (1.4) j=1 12
Dowód. Niech Z := {(g, x) G X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów Z dwoma sposobami. Mamy Z = k G x {x} = x X j=1 x X j G x {x}. Dla x X j mamy (#G x )(#X j ) = #G. Zatem #Z jest równe lewej stronie (1.4). Z drugiej strony, Z = {g} X g. g G Zauwa»my,»e X hgh 1 = hx g, dlatego #X g jest staªe na klasach sprz»ono±ci. St d #Z jest równe prawej stronie (1.4). 1.9 Iloczyn prosty Niech K, H b d grupami. Wtedy K H jest grup z iloczynem (k 1, h 1 )(k 2, h 2 ) := (k 1 k 2, h 1 h 2 ). K H z takim iloczynem nazywamy iloczynem (zewn trznym) grupy K i H. Zauwa»my,»e K {e H }, {e K } H s podgrupami, które komutuj, ich przeci cie to {(e K, e H )} i generuj razem K H. Latwo sprawdzamy,»e dla n N przestrze«klas Z/nZ jest grup abelow. Jej elementy s postaci [0],..., [n 1]. Stwierdzenie 1.9 Je±li n, m s liczbami wzgl dnie pierwszymi, to jest izomorzmem. Z m Z n ([i], [j]) [in + jm] Z mn Dowód. Najpierw sprawdzamy,»e dla dowolnych m, n N powy»sze odwzorowanie jest dobrze okre±lone i jest homomorzmem. Aby dowie±,»e jest on surjektywny korzystamy z faktu,»e dla wzgl dnie pierwszych m, n istniej i, j Z takie,»e in + jm = 1. Mo»na pokaza,»e ka»da sko«czona grupa abelowa jest iloczynem grup postaci Z p k, gdzie p s liczbami pierwszymi. 1.10 Podgrupy normalne Niech N b dzie podgrup w G. Mówimy,»e N jest podgrup normaln, gdy g G, n N gng 1 N. 13
Równowa»ny warunek: gn = Ng, g G Czyli nie ma wtedy potrzeby rozró»nia lewych i prawych warstw. Grup która nie posiada nietrywialnych podgrup normalnych nazywamy grup prost. Przykªadami grup prostych s Z p dla pierwszych p i A n dla n 5. Wszystkie grupy proste sko«czone zostaªy sklasykowane. Dowód prostoty A 5 jako pierwszy podaª Galois w 1831 r. Peªna lista jest znana od 1981 r., kiedy skonstruowano Grup Monstrum. Dowód kompletno±ci tej klasykacji ogªoszono w 1983 r. Za dat, kiedy powszechnie zgodzono si z tym,»e dowód ten zostaª uko«czony uznaje si 2004. Je±li φ : G H jest homomorzmem, to φ(g) jest podgrup w H i jest podgrup normaln. Wzór Kerφ = {g G : φ(g) = e H } (g 1 N)(g 2 N) := g 1 g 2 N deniuje w G/N struktur grupy. Odwzorowanie G g gn G/N jest homomorzmem, którego j drem jest N. Je±li φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest te» N, to ψ(gn) := φ(g) deniuje izomorzm ψ : G/N H. Sytuacj, gdy φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, dla którego N jest j drem, cz sto zapisujemy w skrócie 1 N G H 1. (1.5) Mówimy wtedy,»e G jest rozszerzeniem N przez H, albo»e mamy krótki ci g dokªadny (1.5). 1.11 Iloczyn póªprosty Niech H, N b d grupami i homomorzm H h α h Aut(N). Deniujemy (zewn trzny) iloczyn póªprosty N α H jako N H wyposa»one w dziaªanie element neutralny (e N, e H ), i odwrotno± (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) := (n 1 α h1 (n 2 ), h 1 h 2 ), (n, h) 1 = (α h 1(n 1 ), h 1 ). Zauwa»my,»e N e H jest podgrup normaln, za± e N H jest podgrup, ich przeci cie jest równe {(e N, e H )} oraz Gr(N H) = N α H. Odwzorowanie N α H (n, h) h H 14
jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest N. Zaªó»my,»e mamy krótki ci g dokªadny 1 N G H 1. (1.6) Zachodzi pytanie, kiedy G jest izomorczne iloczynowi póªprostemu N i H? Ma to miejsce wtedy, gdy istnieje homomorzm injektywny ψ : H G taki,»e φ ψ = id, ψ(h) i N generuj G i ψ(h) N = e G. Mówimy wtedy,»e ci g si rozszczepia. Nie zawsze to ma miejsce: We¹my 0 Z 2 Z 4 Z 2 0. 2 Przykªady grup 2.1 Permutacje Je±li X jest zbiorem sko«czonym, bijekcj na X cz sto nazywamy permutacj. Pami tamy,»e przez S(X) oznaczamy grup bijekcji na X. Piszemy S n := S({1, 2,..., n}). Oczywi±cie, je±li X ma n elementów, to S(X) jest izomorczne z S n. Permutacj π S n nazywamy cyklem k-elementowym, gdy istniej parami ró»ne x 1,..., x k {1,..., n} takie,»e πx i = x i+1, i = 1,..., k, (rozumiej c,»e k + 1 = 1). Cykl oznaczamy przez (x 1,..., x k ). Dwa cykle (x 1,..., x k ) i (y 1,..., y m ) nazywamy rozª cznymi je±li zbiory {x 1,..., x k }, {y 1,..., y m } s rozª czne. Ka»d permutacj mo»emy przedstawi jako iloczyn cykli rozª cznych. Rozkªad ten jest jednoznaczny (z dokªadno±ci do kolejno±ci). W szczególno±ci, wyznacza on ci g λ 1, λ 2,... liczb z {0, 1,...} takich,»e j jλ j = n i w rozkªadzie na cykle rozª czne wyst puje λ j cykli j- elementowych. Wielomian Vandermonda stopnia n deniujemy jako V (x 1,..., x n ) := i<j(x i x j ). Latwo sprawdzi,»e dla π S n, Deniujemy V (x 1,..., x n ) = ±V (x π(1),..., x π(n) ). sgnπ := V (x 1,..., x n ) V (x π(1),..., x π(n) ). sgn : S n {1, 1}. jest homomorzmem. J dro tego homomorzmu nazywamy grup alternuj c i oznaczamy przez A n. 15
2.2 Iloczyn póªprosty z grup Z 2 Niech K b dzie grup abelow z zapisem addytywnym. Odwzorowanie K k β(k) := k K jest automorzmem grupy K. Dla grup Z n 2 jest to automorzm identyczno±ciowy. Je±li nie wszystkie elementy grupy K s rz du 2 lub 1, to jest to automorzm nietrywialny. Mo»emy zdeniowa grup K β Z 2. W szczególno±ci, grupa D n := Z n β Z 2 nosi nazw grupy dwu±ciennej (dihedralnej). Jest ona nieabelowa dla n 3. 2.3 Grupa permutacji 3 elementów Mamy izomorzm A 3 Z 3 : A 3 = {id, (123), (132)}. Mamy te» izomorzm S 3 D 3 = Z 3 β Z 2 S 3 posiada nast puj ce nietrywialne podgrupy: jedn podgrup (normaln ) Z 3 i 3 sprz»one do siebie podgrupy Z 2. Mamy zatem 4 nieizomorczne tranzytywne dziaªania S 3 : na zbiorze 6-, 3-, 2- i 1-elementowym 2.4 Grupa permutacji 4 elementów Elementy grupy Z 2 Z 2 mo»na oznaczy jako {e, a, b, ab}. Automorzmy tej grupy polegaj na permutacjach {a, b, ab}. Czyli Aut(Z 2 Z 2 ) S 3. Grup Z 2 Z 2 mo»na wªo»y w A 4 S 4 {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Jest ona normalna w A 4 i w S 4. Mamy izomorzmy (Z 2 Z 2 ) A 3 A 4, (Z 2 Z 2 ) S 3 S 4. W szczególno±ci, A 4 nie jest prosta. To,»e A 5 jest prosta pokazaª Galois. 2.5 Grupa obrotów SO(3) Przez SO(3) b dziemy oznacza grup obrotów (wªa±ciwych) przestrzeni R 3. Lemat 2.1 Dla ka»dego A SO(3)\{1l} istnieje dokªadnie jedna prosta przechodz ca przez 0 i θ [0, 2π[ takie,»e A jest obrotem wokóª A o k t θ. A jest sko«czonego rz du, gdy θ = 2πj n, j = 1,..., n 1. Prost opisan w powy»szym lemacie nazywamy osi obrotu A. Je±li wybierzemy zwrot tej prostej, b dziemy mówili o osi skierowanej. Nast pnie opiszemy wszystkie sko«czone podgrupy grupy obrotów. 16
Lemat 2.2 Niech G b dzie sko«czon podgrup SO(3). Niech α b dzie osi pewnego obrotu z G. Wtedy obroty wokóª osi α nale» ce do G stanowi grup izomorczn z Z n. O± tak jak w powy»szym lemacie nazywamy osi n-krotn. Przez O(3) b dziemy oznacza grup obrotów niewªa±ciwych przestrzeni R 3. Mamy O(3) = SO(3) Z 2, gdzie generatorem Z 2 jest symetria ±rodkowa. 2.6 Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n 1 0 0 0 cos 2πj n sin 2πj n, j = 0,..., n 1. (2.7) 0 sin 2πj n cos 2πj n 2.7 Grupa dihedralna D n Z n Z 2 Do (2.7) doª czamy 1 0 0 0 cos πj n sin πj n 0 sin πj n cos πj n, j = 0,..., n 1. (2.8) 2.8 Grupa czworo±cianu T A 4 Grupa symetrii czworo±cianu. Permutuje (1) 4 wierzchoªki, (2) 4 ±ciany, (3) 6 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy wierzchoªkiem a przeciwlegª ±cian, (2) 3 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 2.9 Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S 4 Grupa symetrii sze±cianu. Permutuje (1) 8 wierzchoªków/±cian, (2) 6 ±cian/wierzchoªków, (3) 12 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 3 osie 4-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 6 osi 2-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 17
2.10 Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A 5 Grupa symetrii dwudziesto±cianu. Permutuje (1) 10 wierzchoªków/±cian, (2) 20 ±cian/wierzchoªków, (3) 30 kraw dzi. Ma (1) 6 osi 5-krotnych, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 10 osi 3-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 15 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 2.11 Sko«czone podgrupy grupy obrotów Twierdzenie 2.3 Lista powy»sza zawiera wszystkie sko«czone podgrupy obrotów. Dowód. Niech G b dzie sko«czon podgrup grupy obrotów. Niech X b dzie zbiorem osi skierowanych elementów z G, czyli X = {α S 2 : gα = α dla pewnego g G} G X (g, α) gα X jest dziaªaniem grupy G na X. Dziaªanie zachowuje krotno±. Niech X 1,..., X k b dzie rozbiciem X na orbity. Niech n i b dzie krotno±ci elementów orbity X i. Zakªadamy,»e n 1 n k. Zachodzi wzór k ) ( (1 1nj = 2 1 1 ). (2.9) #G j=1 Jest to przykªad zastosowania Tw. 1.7. Dla wygody czytelnika przytaczamy niezale»ny dowód. Rozwa»my P := {(g, α) (G\{1l}) X : gα = α}. Dla ka»dego g G\{1l} mamy dwa przeci cia osi obrotu i sfery. Dlatego #P = 2(#G 1). (2.10) Dla ka»dego α X j jest n j 1 obrotów g G\{1l} takich,»e gα = α. Dlatego #P = Ale grupa izotropii α X i jest izomorczna z Z ni. Dlatego k #X i (n i 1). (2.11) i=1 #X i = #G n i. (2.12) 18
(2.10), (2.11) i (2.12) daj razem (2.9). Rozwi zujemy wi c równanie ( )(2.9). #G 2 implikuje 2 1 1 #G [1, 2[. n i 2 implikuje 1 1 n i [ 1 2, 1[. Dla k = 1 lewa strona (2.9) < 1. Dla k 4 lewa strona (2.9) 1. Dlatego k = 2, 3. Rozwa»my k = 2. Mo»emy przepisa (2.9) jako 1 + 1 = 2 n 1 n 2 #G. (2.13) Wiemy,»e n i #G. Wi c jedyne rozwi zania (2.13) to n 1 = n 2 = #G N Rozwa»my k = 3. Mo»emy przepisa (2.9) jako 1 + 1 + 1 = 1 + 2 n 1 n 2 n 3 #G. (2.14) Je±li n 1 3, to lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 1 = 2. Je±li n 2 4, to znów lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 2 = 2 lub n 2 = 3. Je±li n 2 = 2, to n 1 = n 2 = 2, n 3 = #G 2. Je±li n 2 = 3, to dla n 3 6 lewa strona (2.14) 1. Dlatego n 3 = 3, n 3 = 4 lub n 3 = 5. Nast pnie identykujemy powstaªe mo»liwo±ci z poszczególnymi grupami n 1 = n 2 = n = #G. Mamy #G n 1 = #G n 2 = 1. Zatem mamy tylko jedn o±. Jest ona n-krotna. Zatem G = C n. n 1 = n 2 = 2, n 3 = n, #G = 2n. Mamy #G n 1 = #G n 2 = n, #G n 3 = 2. Zatem mamy tylko jedn o± n-krotn. Zatem G zawiera C n. Osie 2-krotne musz by prostopadªe do niej. Jedyna mo»liwo± to D n. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 3, #G = 12. Mamy #G n 1 = 6, #G n 2 = 4, #G n 3 = 4. Wybierzmy o± 3-krotn. Musi ona przecina sfer w dwóch ró»nych orbitach. Pozostaªe punkty 3-krotne tworz dwa trójk ty równoboczne w pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 4, #G = 24. Mamy #G #G #G n 1 = 12, n 2 = 8, n 3 = 6. Wybierzmy o± 4-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 4-krotne tworz kwadrat w pªaszczyznie prostopadªej do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 5, #G = 60. Mamy #G n 1 = 30, #G n 2 = 20, #G n 3 = 12. Wybierzmy o± 5-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 5-krotne tworz dwa pi ciok ty foremne w dwóch pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. 19
3 Grupy macierzowe 3.1 Ciaªa Mówimy,»e (K, +,, 1, 0} jest ciaªem, gdy (K, +, 0, } i (K,, 1, 1 ) s grupami abelowymi speªniaj cymi x(y + z) = xy + xz, gdzie K := K\{0}. Deniujemy homomorzmy, izomorzmy, etc. ciaª w oczywisty sposób. Najwa»niejszymi ciaªami dla nas s R i C. R ma jedynie automorzm trywialny. C ma jeden nietrywialny automorzm: sprz»enie zespolone C z z C. 3.2 Przestrzenie wektorowe Mówimy,»e (V, +, 0, ) jest przestrzeni wektorow nad ciaªem K, gdy jest to grupa abelowa wyposa»ona w dziaªanie K V (x, v) xv V takie,»e (x + y)v = xv + yv, (xy)v = x(yv), x, y K, v V, x(u + v) = xu + xv, x K, u, v V. Przykªadem przestrzeni nad K s K n. Przestrzenie wektorowe izomorczne z K n nazywamy przestrzeniami wymiaru n 3.3 Odwzorowania liniowe Homomorzmy przestrzeni wektorowych nazywamy odwzorowaniami liniowymi. Je±li V, W s przestrzeniami, to L(V, W) b dzie oznaczaªo zbiór odwzorowa«liniowych z V do W. B dziemy pisa L(V) := L(V, V). L(K n, K m ) b dziemy uto»sami z macierzami o n wierszach i m kolumnach. Dla A L(K n, K m ) przez A, A i A # b dziemy oznacza macierz hermitowsko sprz»on, zespolenie sprz»on i transponowan do A. 3.4 Ogólna grupa liniowa Niech A L(K n ). Wzór deniuje wyznacznik speªniaj cy GL(K n ) deniujemy jako det A := π S n sgnπa 1,π(1) A n,π(n) K det AB = det A det B. GL(K n ) := {A L(K n ) : det A 0}. 20