2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

Podobne dokumenty
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

Metody dowodzenia twierdze«

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Podstawy matematyki dla informatyków

Macierze i Wyznaczniki

Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Przekroje Dedekinda 1

Zbiory i odwzorowania

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Metodydowodzenia twierdzeń

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

O pewnym zadaniu olimpijskim

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Funkcje wielu zmiennych

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

Matematyka dyskretna dla informatyków

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Macierze i Wyznaczniki

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Algorytmiczna teoria grafów

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Zadania. 4 grudnia k=1

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

Freyd, Abelian Categories

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

Indeksowane rodziny zbiorów

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

Skrypt do Algorytmów i Struktur Danych

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Wyra»enia logicznie równowa»ne

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2

Matematyka dyskretna dla informatyków

Algebra Boole'a i logika cyfrowa

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Ukªady równa«liniowych

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Matematyka dyskretna dla informatyków

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

Algorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Wektory w przestrzeni

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

i = n = n 1 + n 2 1 i 2 n 1. n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) =

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Strategia czy intuicja?

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:

LZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera

Funkcje wielu zmiennych

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

1 Rozwi zywanie ukªadów równa«. Wyznaczniki.

Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Lab. 02: Algorytm Schrage

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

Informacje pomocnicze

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Transkrypt:

2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym, to ilo± elementów w A oznaczamy symbolem A lub #A; tego drugiego symbolu u»ywamy zwªaszcza wtedy, gdy zbiór jest zadany przez list swoich elementów. 2.1 Niech A b dzie zbiorem so«czonym. Ci g nelementowy o warto±ciach w A zapisywany w postaci a 1, a 2,..., a n, gdzie a i A, jest funcj a : [n] A przy czym ai a i dla i 1, 2,..., n. St d w odniesieniu do ci gów mo»na u»ywa tych samych terminów, tórych u»ywamy w odniesieniu do funcji. Proste rozumowanie inducyjne poazuje,»e wszystich ci gów nelementowych o warto±ciach w zbiorze elementowym jest n. Denicja. Permutacj zbioru nelementowego A nazywamy a»dy ró»nowarto±ciowy ci g nelememntowy o warto±ciach w A. Zbiór wszystich permutacji zbioru A oznaczamy symbolem P A. Stwierdzenie. Je±li A jest zbiorem nelementowym, to ilo± wszystich permutacji A jest równa. Dowód. Niech p n oznacza ilo± permutacji zbioru n-elementowego. Stosujemy inducj wzgl dem n. Oczywi±cie p 1 1 1!. Niech teraz A b dzie zbiorem o n > 1 elementach i zaªó»my prawdziwo± twierdzenia dla wszystich zbiorów o n 1 elementach. Niech a 1, a 2,..., a n b dzie permutacj zbioru A. Wówczas a 1, a 2,..., a n 1 jest permutacj zbioru A \ {a n }. Odwrotnie, je±li b A i a 1, a 2,..., a n 1 jest permutacj zbioru A \ {b}, to a 1, a 2,..., a n 1, b jest permutacj zbioru A. St d p n n p n 1 i na mocy zaªo»enia inducyjnego p n n n 1!. 2.2 Uwagi na temat silni. Zatrzymajmy si na chwil nad wyst puj c w poprzednim twierdzeniu funcj silni. Warto±ci tej funcji dla maªych n podaje nast pj ca tabela. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 1 1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800... Ze wzgl dów pratycznych warto zapami ta ostatni z podanych warto±ci, a przynajmniej pami ta,»e 10! to troch wi cej ni» 3 i póª miliona. Z tabeli wida,»e funcja silni ro±nie bardzo szybo co zreszt znalazªo odbicie w jej polsiej nazwie. Ja szybo? Zazwyczaj zadawalaj c odpowied¹ daje nast puj ce stwierdzenie. Stwierdzenie. Dla wszystich n naturalnych zachodzi n n nn+1 en 1 e n 1. 1

Dowód. Puntem wyj±cia jest nast puj ca, ªatwa do udowodnienia nierówno± : dla wszystich x R zachodzi 1 + x e x. Przyjmuj c x 1 i podnosz c obie strony do -tej pot gi, otrzymujemy + 1 e. Mo»emy teraz oszacowa iloraz nn w sposób nast puj cy n n n n 1 n 1 n n 1! n 1n 2 n 1 n 2! n 1 n 2 n n 1 n 2n 3 n 1 n 2 n 3! n 1 n 2 2 n n 1 3 2 e n 1, n 1 n 2 2 1 co daje lew nierówno± zapisan w tezie stwierdzenia. Analogicznie dla x 1 +1 otrzymujemy +1 e 1 + 1 i mo»emy oszacowa n n+1 n n 1! n 1 n 2! n n n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 2 n 3! n n 1 n 2 n 2 n n 1 3 2 n 1 n 2 2 1 e n 1, n n 1 3 2 co daje drug nierówno±. Z powy»szego stwierdzenia wynia,»e jest iloczynem n/e n przemono»onym przez pewien czynni zawarty pomi dzy e i en. Oazuje si,»e obserwacj t mo»na u±ci±li. Twierdzenie. Stirling 2πn n n. e 2.3 Denicja. Kombinacj elementow zbioru A nazywamy elementowy podzbiór A. Symbolem C n, b dziemy oznacza zbiór wszystich ombinacji elementowych zbioru [n]. Stwierdzenie. Zbiór C n, jest niepusty wtedy i tylo wtedy, gdy 0 n. Je±li ta nierówno± zachodzi, to C n,!n!. 2

Dowód. Deniujemy funcj ore±lon na P [n] o warto±ciach w C n, w sposób nast puj cy: a 1, a 2,..., a n {a 1, a 2,..., a }. Przeciwobraz a»dego zbioru A C,n sªada si z tych ci gów b 1, b 2,..., b n P [n], dla tórych podci g b 1, b 2,..., b jest permutacj zbioru A, a podci g b +1, b +2,..., b n jest permutacj zbioru [n] \ A. 2.4 Wyra»enie!n! nazywa si wspóªczynniiem dwumianowyn Newtona i oznacza symbolem n. W dalszym ci gu b dzie wygodniej rozszerzy nieco denicj. Denicja. Niech n b dzie liczb naturaln. Dla liczby caªowitej deniujemy symbol Newtona n nad w sposób nast puj cy n 2.5 Wzór dwumianowy Newtona Dla dowolnej liczby naturalnej n Dowód. { n!!, gdy 0 n; 0 w przeciwnym przypadu. x + y n n 0 Rozwijaj c lew stron, mamy n x y n. x + y n x + yx + y x + y. }{{} n razy Wymna»aj c powy»sze dwumiany, z a»dego z n nawiasów wybieramy czynni x lub y. Wspóªczynni przy x y n jest równy ilo±ci sposobów wybrania czynniów x spo±ród n dwumianów. Uwaga. Wzór dwumianowy obowi zuje nie tylo wtedy, gdy x i y s liczbami rzeczywistymi czy zespolonymi. Z dowodu wynia,»e obowi zuje w a»dym systemie z przemiennymi i ª cznymi dziaªaniami + i, w tórym obowi zuje rozdzielno± dodawania wzgl dem mno»enia, a wi c na przyªad dla wielomianów, w ciaªach so«czonych, w pier±cieniach reszt itp. 2.6 Doonuj c cz ±ciowego srócenia, mo»emy zapisa x x + 1 x 1x,! co pozwala zdeniowa symbol dwumianowy dla dowowolnej liczby naturalnej i dowolnej liczby rzeczywistej x. Zauwa»my,»e 3

1 przy ustalonej liczbie wyra»enie x jest wielomianem stopnia od x; 2 dla > 0, liczby 0, 1,..., 1 s pierwiastami wielomianu x, s to jego jedyne pierwiasti. 2.7 Reurencja dla symboli dwumianowych. Twierdzenie. a Dla dowolnych liczb naturalnych n > 0 zachodzi n n 1 n 1 +. 1 b Dla a»dej liczby naturalnej > 0 zachodzi x x 1 x 1 +. 1 Dowód. a Niech A b dzie elemnetowym pozbiorem [n]. Je±li n A, to A jest podzbiorem [n 1]. W przeciwnym przypadu A \ {n} jest 1 elementowym podzbiorem [n 1]. Otrzymujemy w ten sposób wzajemnie jednoznaczn odpowiednio± pomi dzy C n, oraz rozª czn sum C n 1, i C n 1, 1. b Na mocy 2.6 obie strony równo±ci s dla ustalonego wielomianami stopnia, a na mocy puntu a wielomiany te przyjmuj równe warto±ci dla nieso«- czenie wielu warto±ci x. St d s równe. 2.8 Uwaga. Wªasno± reurencyjna wraz z warunami pocz towymi n 0 1 dla wszystich n, 0 0 dla wszysich > 0 pozwala wyliczy n dla wszystich n, N trój t Pascala. 2.9 Symbole wielomianowe Newtona O elemtowym podzbiorze B zbioru nelementowego A mo»emy my±le jao o podziale zbioru A na dwie cz ±ci: elementow cz ± B i n elementow A \ B. Uogólnienie tego punt widzenia prowadzi do uogólnienia symboli dwumianowych. Denicja. Niech 1, 2,..., r b dzie ci giem liczb naturalnych z sum n. Rozªadem zbioru n elementowego A na bloi dªugo±ci 1, 2,..., r nazywamy ciag A 1, A 2,..., A r podzbiorów A tai,»e 1 A i i dla i 1, 2,..., r; 2 A i A j dla i j; 3 A 1 A 2 A r A. Twierdzenie. Niech 1 + 2 + + r n. Wszystich rozªadów zbioru nelementowego na bloi dªugo±ci 1, 2,..., r jest ozn. n. 1! 2! r! 1, 2,..., r Twierdzenie. Dla a»dego ci gu 1, 2,..., r, gdzie 1 + 2 + + r n i i > 0, zachodzi wzór reurencyjny n r n 1. 1, 2,..., r 1,..., i 1,..., r i1 4

Twierdzenie. Wzór wielomianowy Newtona x 1 + x 2 + + x r n n x 1 1 1, 2,..., x2 2... xr r. r 1+ 2++ rn Dowody tych twierdze«s analogiczne do dowodów w przypadu r 2. 5