J. Szantyr Wykład nr 5 Przeływy w rzewodach zamkniętych I Przewód zamknięty kanał o dowonym kształcie rzekroju orzecznego, ograniczonym inią zamkniętą, całkowicie wyełniony łynem (bez swobodnej owierzchni) Do oisu ruchu łynu w kanałach zamkniętych stosuje się uroszczony mode rzeływu jednowymiarowego. Zakłada się, że oś kanału jest rawie rosta, a rzeływ rzez rzekrój S odbywa się z rędkością rerezentatywną, czyi jakąś rędkością średnią u ~
Najrostszy rzyadek: rzewód o stałym rzekroju kołowym ułożony oziomo. Przeływ stacjonarny łynu nieściśiwego. Równanie zachowania masy (m-masowe natężenie rzeływu): ρ ~ ~ ~ m ρs ~~ ρfs ( us) 0 ρus m const u const Równanie zachowania ędu: ( ρus ) S C gdzie C obwód rzekroju S τ D Dt ~~ - ekościowe narężenia styczne ~ C C 0 S d τc τ τ d S S Przy stałych narężeniach wzdłuż kanału o rzekroju kołowym mamy: τ 4 d τ
Na skutek działania sił ekości wzdłuż kanału wystęuje sadek ciśnienia wrost roorcjonany do i τ oraz odwrotnie roorcjonany do d. W rzyadku w ełni rozwiniętego rzeływu aminarnego, czyi o odcinku oczątkowym w 0,03 Re d można uzyskać anaityczne rozwiązanie równania Naviera-Stokesa, które rowadzi do wzorów: rędkość okana: ( ) ( u r r ) 0 r 4 µ rędkość r średnia: u~ 8µ Wzór na rędkość średnią można rzekształcić do wzoru Darcy-Weisbacha: ~ λ d ρu gdzie λ wsółczynnik ooru, ub wsółczynnik strat iniowych 0
W rzeływie aminarnym: W rzeływie turbuentnym rzez rury hydrodynamicznie gładkie: W ogónym rzyadku naeży uwzgędnić wływ chroowatości ci ścian: λ λ 64 Re 0,364 4 Re λ λ Re, r 0 k Henri Darcy 803-858 Juius Weisbach 806-87 Turbuentny rofi rędkości w rzewodzie
Przyadek trudniejszy: rzewód nachyony od kątem α Jeżei założymy rzeływ stacjonarny, to równanie zachowania ędu rzyjmie ostać: S C gz u S C f u u ρ ρ ρ ρ τ τ ~ ~ ~ gdzie odstawiono składową siły masowej wzdłuż : d dz g g f α sin Po scałkowaniu omiędzy dwoma rzekrojami kanału otrzymujemy równanie Bernouiego da rzeczywistego rzeływu ze stratami: równanie Bernouiego da rzeczywistego rzeływu ze stratami: ~ ~ d S C gz u gz u ρ ρ ρ τ abo: const H h z g g u z g g u s ~ ~ ρ ρ gdzie - wysokość strat s h Danie Bernoui 707-783
Wysokość strat możemy odzieić na dwa składniki: -wysokość strat iniowych związanych z tarciem łynu o ścianki rzewodu rostoiniowego o stałym rzekroju, -wysokość strat okanych związanych z obecnością zaworów, koan, zwężeń, rozgałęzień i innych eementów. Wysokość strat iniowych wyraża się wzorem: Wysokość strat okanych wyraża się wzorem: h s ~ u λ g d u~ u ~ h ς s g ς g Gdzie ζ jest wsółczynnikiem strat okanych, który może być okreśony w odniesieniu do rędkości rzed eementem ub rędkości za eementem. Wsółczynniki ζ są okreśane ekserymentanie i można je znaeźć w odowiednich tabicach. Poniżej odano kika rzykładowych wartości wsółczynników strat okanych.
Wsółczynniki strat okanych Rodzaj straty okanej Wot ze zbiornika Załamanie rzewodu o φ Zwiększenie rzekroju Kurek otwarcie 5 stoni Kurek otwarcie 45 stoni Wot ssania omy Wsółczynnik straty ς 0,5 ς 0,946sin ϕ,05sin 4 ϕ ς ( A A ) ς ( A A ) ς 0,05 ς 3, ς 0,0
W rzyadku gdy rzeływ odbywa się w rzewodach o znacznej średnicy, równanie Bernouiego owinno być jeszcze uzuełnione o wsółczynnik Corioisa (ub de Saint-Venanta) α α u~ α u~ z z hs H const g ρg g ρg Wynika to z faktu, że energia strumienia niejednorodnego różni się od energii obiczonej według średniej rędkości wydatkowej da tego strumienia. Wobec tego mamy: Gasard Coriois 79-843 α A u u~ 3 3 da Wsółczynnik α jest tym większy im bardziej niejednorodne jest oe rędkości rzeływu. A Adhemar de Saint Venant 797-886
Przykład : rzewodem o zmiennym rzekroju rzeływa w ciągu godziny 9600 kg aiwa o gęstości ρ930 kg/m**3 i wsółczynniku ekości kinematycznej ν0,00006 m**/s. Obiczyć sadek ciśnienia w rzewodzie jeżei wymiary wynoszą: [ m], d 50[ mm], 0[ m], d 00[ mm], h [ m] 5 5
Rozwiązanie 9600 930 3600 Objętościowe natężenie rzeływu: Q [ m s] 3 0,00585 Prędkość średnia w części : Prędkość średnia w części : Liczba Reynodsa w części : Liczba Reynodsa w części : 4Q 4 0,00585 c, 98 π d 3,4 0,05 4Q 4 0,00585 c 0, 745 π d 3,4 0, cd Re ν,98 0,05 0,00006 cd Re ν 0,745 0, 0,00006 Wsółczynnik strat iniowych w części : 0,364 λ 4 Re 0,364 4 443 443 0,045 [ m s] [ m s]
64 64 Wsółczynnik strat iniowych w części : λ 0, 05 Re Sadek wysokości ciśnienia wywołany stratami iniowymi wynosi: c c,98 5 0,745 0 h λ λ 0,045 0,05, 83 g d g d 9,8 0,05 9,8 0, λ Sadek wysokości ciśnienia wywołany stratami w rozszerzeniu rzekroju: ( c c ) (,98 0,745 ) hς 0, 55[ m] g 9,8 Całkowita strata wysokości ciśnienia wynosi: h s h h,83 0,55, 438 λ ς Sadek ciśnienia w rzewodzie: [ m] c c ρg hs h 745 7 g [ Pa] 0, [ MPa] [ m]
Przykład : Syfon o średnicy d i długości łączy dwa zbiorniki, w których owierzchnie cieczy są oddaone o wysokość h. Okreśić objętościowe natężenie rzeływu wody rzez syfon znając wsółczynnik strat iniowych λ oraz wsółczynniki strat okanych na doływie i na wyływie.
Rozwiązanie Równanie Bernouiego da rzekrojów i : c g Da rzeływu ustaonego mamy: z c z z z hs g z z hs c c Co rowadzi do: c Ponieważ: z z z h oraz h s λ ς ς g d Otrzymujemy: c h λ ς ς g d c Z tego wyznaczamy średnią rędkość rzeływu: c gh λ ς ς d
Nastęnie obiczamy objętościowe natężenie rzeływu rzez syfon: Q πd 4 λ d gh ς ς
Przykład 3 Z otwartego zbiornika wyływa woda rzez rzewód o długości 00 [m] i średnicy d00 [mm]. Jaka owinna być wysokość H oziomu wody w zbiorniku aby objętościowe natężenie wyływu z wyotu rurociągu wynosiło Q40 [/s]? [ 6 Dane: h [m] 0 ] υ 0 m ς w 0,5 wot ze zbiornika s ς k ς z 0, 5,0 koano zawór wyotowy
Rozwiązanie Prędkość średnia wyływu z rurociągu wynosi: Liczba Reynodsa wynosi: Q c~ 4 4 0,04 5, π d 3,4 ( 0,) cd ~ 5, 0, Re 50000 6 0 υ [ m s] Przeływ w rurociągu jest turbuentny, czyi wsółczynnik tarcia wynosi: λ 0,364 4 Re 4 0,364 50000 0,0 Wysokość H okreśamy z równania Bernouiego: c~ b c~ g gdzie: c 0 h H ρg g c c ~ b ρg h s
Łączna wysokość strat wynosi: h s ~ c g ς w 3 ς k ς z λ d Czyi niezbędny oziom wody H w zbiorniku wynosi: H ~ c ς w 3 ς k ς w λ g d h Po odstawieniu danych iczbowych: (,) H 5 00 0,5 3 0, 5 0,0 39, m 9,8 0, [ ]
Przyadek rzewodów o rzekroju niekołowym ub częściowo wyełnionych W rzyadku rzewodów o rzekroju innym niż kołowy oraz w rzyadku rzewodów częściowo wyełnionych łynem istotnym arametrem jest romień hydrauiczny, czyi stosunek oa rzekroju strumienia łynu do obwodu zwiżonego: F r h L W takich rzyadkach iczbę Reynodsa obiczamy według wzoru: u 4r Re h υ z