ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: a) f(x, y) = (x + y 2 ) e x 3 f(x, y, z) = xy 2 + xe z b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy + x + 2z 4. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji: w obszarze domkniętym f(x, y) = x 2 + y 3 2x 3y + D = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x + y }.
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 2. Rozwiązać równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: a) x(y 2 4)dx + ydy = 0 b) y cos x = y ln y sin x c) yy x + ey = 0 2. Rozwiązać jednorodne równania różniczkowe: a) y = y x ln y x b) y = y2 xy x 2 c) y = y2 x 2 2 3. Rozwiązać równania różniczkowe: a) y = 2x + y + 3 b) y = (2y + 6x + ) 2 c) y = cos 2 (x y)
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 3. Rozwiązać liniowe równania różniczkowe: a) y + y = e x b) y 2yx = x x 3 c) y 3y = e 3x, y(0) =. 2. Rozwiązać równanie Bernoulli ego: y 3. Rozwiązać równanie zupełne: y x = y2 x. ye x dx + (y + e x )dy = 0. 4. Przy pomocy odpowiedniego czynnika całkującego (zależnego od jednej zmiennej) sprowadzić do równania zupełnego i rozwiązać równanie: ydx (x + y 2 )dy = 0.
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 4. Znaleźć i naszkicować rodziny linii ortogonalnych do: a) rodziny parabol y = ax 2 b) rodziny okręgów x 2 + y 2 = 2ax 2. Znależć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drugiego rzędu y + 2 x y + y = 0 znając jego rozwiązanie szczególne y (x) = sin x x. 3. Metodą uzmiennienia stałych rozwiązać równania: a) y + 5y + 6y = x + b) y + y = x z warunkami y(0) =, y (0) = 0. 4. Metodą przewidywań rozwiązać równania: a) y 4y + 3y = e 5x b) y + 4y = + sin 2x z warunkami y(0) = 3 4, y (0) = 7 4.
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 5. Zmienić kolejność całkowania: a) 4 dx 2x f(x, y)dy, 0 3x 2 b) dx 3x f(x, y)dy, 0 2x c) dy y 0 y 2 f(x, y)dx. 2. Obliczyć całkę x dxdy, gdzie S jest trójkątem S o wierzchołkach (0, 0), (, ), (0, ). 3. Opisując obszar D, ograniczony przez krzywe y = 0, y = x, x + y = 2, jako normalny względem obu osi, obliczyć dwoma sposobami całkę 2ydxdy. 4. Obliczyć pole obszaru D określonego granicami całkowania z przykładu c. D
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 6. Oblicz całki: a) D e x2 y 2 dxdy, gdzie D : x 2 + y 2 a 2, b) D x dxdy, gdzie D : x2 + y 2 2x. Wskazówka: W obu przykładach zastosuj zmienne biegunowe. 2. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 2x 2 + y 2 +, x + y = oraz płaszczyznami układu współrzędnych. 3. Oblicz całki potrójne: a) V x3 y 2 z dxdydz, gdzie V : 0 x, 0 y x, 0 z xy, b) V x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie V : x 2 + y 2 + z 2 x. Wskazówka: Zastosuj zmienne sferyczne. 4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami x 2 + y 2 + z 2 = 2z, x 2 + y 2 = z 2. Wskazówka: Zastosuj zmienne cylindryczne.
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 7. Sprawdzić potencjalność całkowanego pola wektorowego i obliczyć całkę (2,) (0,0) 2xydx + x 2 dy 2. Sprawdzić twierdzenie Greena na przykładzie (x + y) 2 dx (x y) 2 dy, K gdzie K = K K 2, przy czym K - odcinek prostej od (0, 0) do (, ), a K 2 - łuk paraboli y = x 2 od (, ) do (0, 0). (Porównać wyniki obliczenia powyższej całki z i bez zastosowania tw. Greena) 3. Oblicz skierowane całki krzywoliniowe: a) K xydx + (y x)dy, gdzie K łuk krzywej y = x3 od (0, 0) do (, ), b) ydx + xdy, gdzie K łuk okręgu o środku w (0, 0) i promieniu R K od (0, R) do ( R, 0), c) xdx + ydy + (x + y + )dz, gdzie K odcinek prostej K od (,, ) do (2, 3, 4). 4. Sprawdzić potencjalność całkowanych pól wektorowych i obliczyć całki krzywoliniowe a) (2,,3) (,,2) xdx + y2 dy + zdz, b) yzdx + zxdy + xydz, gdzie K - okrąg o środku (, 2, 3) i promieniu K r = 2, zawarty w płaszczyźnie π : x + y + z = 6.
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 8. Oblicz nieskierowane całki krzywoliniowe: a) (x + y)dl, gdzie L jest obwodem trójkąta L o wierzchołkach A(0, 0), B(, 0), C(0, ). b) L x2 ydl, gdzie L jest górną częścią okreęgu x 2 + y 2 = a 2. zawartą pomiędzy punktami A(a, 0) i B(0, a), a > 0. 2. Obliczyć niezorientowane całki powierzchniowe a) (6x + 4y + 3z) ds, gdzie S - część płaszczyzny π : x + 2y + 3z = 6 S położona w pierwszej ósemce 3-wymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich. Odp. 54 4 b) S (8 2z) ds, gdzie S : z = 4 2 x2 2 y2 dla z 0. Odp. 92 5 π 3. Obliczyć strumień pola wektorowego [x, y, 0] przez powierzchnię sfery S : x 2 + y 2 + z 2 = a 2, a > 0, w kierunku normalnej zewnętrznej. Wynik otrzymany w rezultacie obliczenia (niezorientowanej) całki powierzchniowej porównać z wynikiem otrzymanym z pomocą twierdzenia Gaussa. (Odp. 8 3 πa3 )
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 9. Sprawdzić holomorficzność funkcji zespolonej f(z) = z 3 + z 2 +. 2. Znaleźć wszystkie funkcje holomorficzne f(x + jy) = u(x, y) + jv(x, y) takie, że u(x, y) = 6x 2 y 2y 3, f(0) = 0. 3. Obliczyć całkę K z2 dz, gdzie K : z(t) = t + j t, t < 0, >. 4. Sprawdzić tw. Cauchy ego na przykładzie dz, gdzie K - dodatnio K z zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach z = 2 j, z 2 = 4 j, z 3 = 4+j, z 4 = 2 + j. 5. Sprawdzić wzór całkowy Cauchy ego na przykładzie dz, gdzie K - dodatnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach z =, z 2 = j, z 3 =, K z z 4 = j. 6. Stosując wzór całkowy Cauchy ego obliczyć całki: a) K e jz dz, gdzie K : z + j = 5 okrąg zorientowany dodatnio, z+ b) K e jz dz, z 2 +4 gdzie K : z + j = 2 okrąg zorientowany dodatnio.
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 0. Porównaj rozwinięcia funkcji f(z) = z 2 a) w szereg Taylora w kole z <, b) w szereg Laurenta w pierścieniu < z <. w podanych obszarach: 2. Wyznaczyć punkty osobliwe i określić typ osobliwości: a) z (z 2 )(z 2 4) 3, b) z sin z, sin z c) z 2, d) e ( z) 2. 3. Wyznaczyć residua funkcji w podanym punkcie: a) res z=±j z+ z 2 +, b) res z=0 z+ ( z)z 2. 4. Obliczyć całki: a) d) K(0,2) b) K(0,2) z 3 dz, z 4 e z dz, z 2 (z 2 +) c) d) K(0,) z5 e z dz.
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład x i 0 2 3 p i 5 Obliczyć prawdopodobieństwa P (X ), P ( X 2, 5), P (X >, 5) oraz wartość oczekiwaną E(X) i wariancję D 2 (X). 2. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów w pieciu rzutach monetą. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X (w postaci tabelki) oraz obliczyć: P (X 3), P (X 4), P (X > ), E(X), D 2 (X). 3. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest wzorem { α x, x [0, ] f(x) = 0, x / [0, ]. Wyznaczyć α, a następnie obliczyć: P (x > 4 ), E(X), D2 (X). 4. Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład x i 0 2 p i 4 Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres. 5. Zmienna losowa X ma rozklad wykładniczy z parametrem λ > 0 o gęstości { λe λx, x 0 f(x) = 0, x < 0. Obliczyć wartość oczekiwaną E(X) i wariancję D 2 (X). Wyznaczyć dystrybuantę F (x) i narysować jej wykres. 6. Zmienna losowa X ma rozkład N(00, 20). Obliczyć prawdopodobieństwa: P (X < 90), P (X > 27), P (70 < X 30). 7. Średnica wytwarzanych masowo detali ma rozkład N(55mm; 0, 4mm). Detale, których średnica odchyla sie od 55mm o mniej niż 0, 5mm są kwalifikowane jako I gatunek, przy większej różnicy, nie przekraczającej jednak mm, jako II gatunek, a przy różnicy większej od mm detale sa kwalifikowane jako braki. Jaka cześć produkowanych detali należy do poszczególnych grup? 2 5 2 4 5 4. 5.